- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálGONIOMETRIE I
Goniometrie se zabývá tzv. goniometrickými (úhloměrnými) funkcemi sinus, kosinus, tangens, kotangens.
Goniometrické funkce ostrého úhlu
jsou definovány z pravoúhlého trojúhelníka s dalším již ostrým úhlem o velikosti ( . Jejich definice si nyní připomeneme:
sin ( = ----------------------------------
cos ( = ---------------------------------
tg ( = ---------------------------------
cotg ( = ---------------------------------
Někdy se použijí i funkce sekans a kosekans : sec ( = 1/cos (cosec ( = 1/ sin (
Pomocí vět o podobnosti trojúhelníků ukážeme, že hodnoty goniometrických funkcí závisejí pouze na velikosti úhlu (, ale nezávisejí potom už na velikosti stran trojúhelníka.
Věty o podobnosti trojúhelníků
Věta uu :
Dva trojúhelníky jsou podobné právě když mají stejné velikosti dvou úhlů ( např. (= (( , ( =(()
Věta sss :
Dva trojúhelníky jsou podobné právě když mají stejné poměry velikostí odpovídajících si stran
( a : a( = b : b( = c : c( )
Věta sus :
Dva trojúhelníky jsou podobné právě když se shodují v poměrech dvou odpovídajících si stran a ve velikosti úhlu jimi sevřeného.
Je dán trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C.
Označte na obrázku jeho strany a, b, c, pravý úhel a úhel o velikosti ( u vrcholu A. Pak narýsujte vedle trojúhelník A´B´C´ se stranami a´= 2a, b´= 2b, c´= 2c.
Použijte vět o podobnosti a dokažte nejprve, že velikost úhlu při vrcholu A´je ( a že u vrcholu C´je pravý úhel.
Vypočtěte sin (, cos (, tg (, cotg ( nejprve z trojúhelníku ABC, potom z trojúhelníku A(B(C( a ukažte, že se hodnoty odpovídajících funkcí musí shodovat
Z trojúhelníku ABC:z trojúhelníku A´B´C´:
sin ( = -------sin ( = -----= -------- = ----
cos ( = -------cos ( = ----- = -------- = -----
tg ( = ---------tg ( = ------ = ------- = -----
cotg ( =--------cotg ( = ----- = ------ = -----úkol je splněn
Nyní procvičíme definice goniometrických funkcí a zároveň podnikneme malý výlet k Euklidovým větám a ke slavné větě Pythagorově.
V pravoúhlém trojúhelníku ABC spustíme z vrcholu C výšku na přeponu a rozdělíme ho na dva menší trojúhelníky podle obrázku.
Označte obvyklým způsobem strany a úhly trojúhelníku, velikost úsečky AP označte c1, velikost úsečky PB označte c2 a velikost výšky označte v.
Podle věty o součtu úhlů v trojúhelníku dokažte, že velikost úhlu BCP je rovna (.
Z trojúhelníků na obrázku vyjádřete funkci kosinus:
z ( APC:cos ( = -------- (
-------- = --------- ( __________ = ____________
z ( ABC:cos ( = -------- (
Dospěli jsme k tzv. Eukleidově větě o odvěsně ( b ).
Interpretace: Obsah čtverce sestrojeného na odvěsně se rovná obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a z přilehlého úseku na přeponě.
Ještě jednou zopakujme celý postup pro druhou odvěsnu :
z ( PBCcos ( = -------- (
-------- = --------- ( __________ = ____________
z ( ABCcos ( = -------- (
Dospěli jsme opět Eukleidově větě o odvěsně ( a ).
Pokud nyní obě rovnice vyjadřující Eukleidovu větu o odvěsně sečteme, dostaneme a2 + b2 = c. ( c1 + c2 ) = c2, což je matematické vyjádření slavné Pythagorovy věty. Její interpretace je dobře známá :
Celý postup zopakujeme ještě naposledy (tentokrát vyjádřete funkci tangens):
z ( APCtg ( = -------- (
-------- = --------- ( __________ = ____________
z ( PBCtg ( = -------- (
Dospěli jsme k tzv. Eukleidově větě o výšce.
Interpretace: Obsah čtverce sestrojeného na
Znovu procvičíme definice goniometrických funkcí z pravoúhlých trojúhelníků a zároveň objevíme první vztahy mezi nimi:
V trojúhelnících na obrázku označte obvyklým způsobem strany, u vrcholů R a B vyznačte pravé úhly, úhel při vrcholu T označte (, úhel při vrcholu S označte (, úhel při vrcholu D označte (, úhel při vrcholu A označte (.
Vyjádřete podle definic sinus, kosinus, tangens a kotangens všech úhlů v trojúhelnících podle následujícího vzoru:
sin ( = ------sin ( = --------
cos ( = ------cos (
Vloženo: 5.06.2011
Velikost: 82,00 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2024 unium.cz