- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálGONIOMETRIE II
Zatím jsme měli definovánu funkci sinus (a i ostatní goniometrické funkce) z pravoúhlého trojúhelníka pro úhly o velikostech v intervalu ( 0, ((2 ) radiánů (tj.od 0( do 90( ).
Kdybychom zobrazili takto definovaný sinus graficky, vypadal by jako malý oblouček.
Při popisech kmitavých pohybů, vlnění, zvuku, elektromagnetických vln, světla, střídavých proudů a např. při popisu sezónních jevů jsme se už sešli s grafem funkce sinus, který vypadal jako „stále rostoucí a klesající vlnovka“.
Je zřejmé, že bude nutno podstatně rozšířit definiční obor původního sinu - z intervalu ( 0, ((2 ) , který vyjadřoval velikosti úhlů v pravoúhlém trojúhelníku, na všechna reálná čísla, která budou vyjadřovat jakési úhly otáčení tentokráte již o libovolné velikosti.
Na tomto místě zavádějí autoři učebnic často pojem orientovaného úhlu, definují jeho velikosti, a základní velikost. Intuitivnímu pojmu úhel otáčení se však stejně vyhnout nemohou, proto se nám zdají výše uvedené pojmy nadbytečné a zavádět je nebudeme.
Obecná definice sinu a kosinu
Sestrojíme následující geometrickou konstrukci-viz obrázek:
- v rovině zavedeme kartézskou soustavu souřadnic (vodorovná osa x, svislá osa y, stejná měřítka na nich) – na obrázku je již vyznačena
- sestrojíme jednotkovou kružnici ( její poloměr je roven jedné ) se středem v počátku soustavy souřadnic – na obrázku je již vyznačena
- budeme otáčet kladnou poloosu x kolem tohoto středu o úhel ( radiánů (resp. ( stupňů), přitom směr otáčení proti hodinovým ručičkám považujeme za kladný, obrácený směr za záporný- na obrázku vyznačte tučně kladnou poloosu x a obloučkem se šipkou její otáčení o úhel (
- otočená poloosa protne jednotkovou kružnici v bodě P = [ xp, yp] -na obrázku vyznačte tučným kotoučkem nejdůležitější útvar- bod P. Po spuštění kolmic na souřadnicové osy vyznačte na osách jeho souřadnice xp, yp
Potom definujeme sin ( = yp cos ( = xp
V první řadě musíme ukázat, že mezi starou definicí sinu a kosinu z pravoúhlého trojúhelníka a novou obecnou definicí není v intervalu ( 0, ((2 ) žádný rozpor.
Podle staré definice je sinus nebo kosinus úhlu ( poměrem délek stran v pravoúhlém trojúhelníku. Takový trojúhelník nám však na obrázku (viz obecná definice) vznikl a vypočteme
sin ( = ------ = _____, podobněcos ( = ------- = ______. Výsledky jsou v úplné shodě s novou definicí.
Procvičíme nyní obecnou definici sinu a kosinu při sestrojování grafů těchto funkcí ve větším intervalu.
Ve všech jednotkových kružnicích s napsanými úhly otáčení (můžete připsat i ve stupních) vyznačte:
otočenou poloosu x(pomocí úhloměru)
otáčení kladné poloosy x o zadaný úhel obloučkem se šipkou
bod P (podle definice) tučným kotoučkem
ypsilonovou souřadnici bodu P červeně na ose y (tuto hodnotu budeme později vynášet jako funkční hodnotu do grafu sinu)
hodnoty úhlů v radiánech zadané v násobcích ( vyjádřete pomocí desetinných čísel zaokrouhlených na setiny (nad rovnítkem pište tečku)
(/6 =(/3 =(/2 = 2(/3 =
( =5(/4 =3(/2 =7(/4 =
2( =9(/4 =5(/2 =0 =
-(/4 =-(/2 =-2(/3 =-( =
vypočtené hodnoty úhlů odměřte v centimetrech a vyznačte jako čárky na ose x (hodnotu k nim připište pomocí násobku ( nebo zlomku ( ). Pak k nim vyhledejte v příslušné jednotkové kružnici hodnotu sinu- je červeně vyznačená na ose y-a vyneste ji do grafu v podobě křížku
pomocí šablony pro kreslení grafů body propojte a dokončete graf sinu
Ještě sestrojíme graf kosinu
ve všech jednotkových kružnicích, které jsme použili pro sestrojení grafu sinu vyznačtex-ovou souřadnici bodu P zeleně na ose x (tuto hodnotu budeme vynášet jako funkční hodnotu do grafu kosinu)
při konstrukci grafu kosinu postupujte obdobně jako u sinu
Vlastnosti sinu a kosinu
Z obecné definice a z grafů plyne okamžitě řada vlastností sinu a kosinu:
1) definiční obory sinu a kosinu D =
2) obory hodnot sinu a kosinu H =
3) sinus a kosinus jsou periodické funkce s periodou 2( radiánů (360( ), tj. pro celá čísla k platí:
sin (( + k. 2( ) = sin (cos (( + k. 2( ) = cos (
sin ((+ k. 360( ) = sin (cos (( + k. 360() = cos (
K pochopení této vlastnosti postačí vyznačit v jednotkových kružnicích na obrázku úhly otáčení (v prvním případě obloučkem se šipkou, v dalších případech spirálami se šipkami),otočené poloosy a body P.
4) určení znamének sinu a kosinu v různých kvadrantech ( I. II. III. IV. )
dokreslete tučnými kotoučky body P do jednotlivých kvadrantů
do tabulky doplňte znaky + nebo - podle toho, zda příslušná funkce nabývá v kvadrantu kladných nebo záporných hodnot
I.
II.
III.
IV.
sinus
kosinus
5) lichost a sudost sinu a kosinu
Načrtněte nejprve dva grafy lichých mocninných funkcí a potom dva grafy sudých mocninných funkcí
liché mocninné funkce sudé mocninné funkce
x( y x (y
-x ( -y -x ( y
Tyto vlastnosti lichých a sudých mocninných funkcí se objevují i u funkcí goniometrických.
Rozhodněte, zda je sinus lichá nebo sudá funkce, podobně , zda je kosinus lichá nebo sudá funkce.
Vyznačte do vš
Vloženo: 5.06.2011
Velikost: 114,50 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2024 unium.cz