moment_setrvacnosti8

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM
Katedra fyziky
FE VUT BRNO
Jméno:
Jindřich Kment
Kód
Ročník:
II.
Obor:
EST
Skupina:
A-03
Oddělení:
Spolupracoval:
Měřeno dne:
5.10.1998
Odevzdáno dne:
12.10.1998
Příprava:
Opravy:
Učitel:
Hodnocení:
Název úlohy:
Moment setrvačnosti desky a setrvačníku
Číslo úlohy:
5
Úkol:
Stanovte moment setrvačnosti homogenní desky přímo z definičního vztahu a experimentálně z doby kyvu fyzického kyvadla
Stanovte moment setrvačnosti daného setrvačníku
Použité přístroje:
Přístrojtyp
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Šuplera± 0,05 mm
Stopky± 0,5 s
Ocelové měřítko± 0,5 mm
Přípravek s deskou
Přípravek se setrvačníkem
Teoretický rozbor:
Moment setrvačnosti desky
Moment setrvačnosti J tuhého tělesa vzhledem k dané ose je skalární veličina charakterizující rozložení hmotnosti v tělese vzhledem k dané ose. Je-li hmotnost v tuhém tělese rozložena spojitě, určí se moment setrvačnosti vztahem
,[1]
Moment setrvačnosti je mírou setrvačných vlastností tělesa při otáčivém pohybu. Vystupuje analogicky jako hmotnost při popisu posuvného pohybu tělesa. Ze všech rovnoběžných os otáčení přísluší nejmenší moment setrvačnosti J0 ose procházející těžištěm. Tento moment setrvačnosti bývá nazýván hlavním (centrálním). Mezi momenty setrvačnosti tuhého tělesa vzhledem ke dvěma rovnoběžným osám, z nichž jedna prochází těžištěm tuhého tělesa, platí Steinerova věta
,[2]
Určit moment setrvačnosti výpočtem podle definiční rovnice bývá výhodné pouze u těles jednoduchého tvaru. Např. homogenní deska obdélníkového tvaru o rozměrech a, b a hmotnosti m má hlavní moment setrvačnosti vzhledem k ose kolmé na plochu desky
.[3]
Fyzické kyvadlo je každé tuhé těleso o hmotnosti m, které je otáčivé kolem horizontální osy, jejíž vzdálenost od těžiště tělesa je l. Pohybová rovnice tuhého tělesa, otáčející se kolem pevné osy, je
,[4]
kde M je výsledný moment vnějších sil vzhledem k ose otáčení, J moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose otáčení a je úhlové zrychlení.
Vychýlíme-li fyzické kyvadlo z rovnovážné polohy o úhel  působí na něj tíha momentu, který se snaží vrátit ho zpět do rovnovážné polohy – těleso začne konat kmitavý pohyb ( obr. 1 ). Velikost momentu tíhy je
.[5]

Pro malé výchylky z rovnovážné polohy můžeme položit , takže .[6] Chyba, jaké se při tom dopustíme, je při asi 0,05%. Po dosazení rovnice [6], [4] a malých úpravách obdržíme rovnici
.[7]
Tato rovnice je totožná s diferenciální rovnicí harmonického pohybu, v níž
[8]
je kvadrát úhlové frekvence kmitavého pohybu kyvadla.
Doba kmitu fyzického kyvadla T je tedy rovna
[9]
a závisí na vzdálenosti osy od těžiště.
Z rovnice [9] obdržíme pro moment setrvačnosti J vztah
. [10]
Dosadíme-li za J z rovnice [2], určíme nejkratší dobu kmitu z podmínky pro minimum funkce T(l):
. [11]
Z řešení rovnice [11] vyplývá, že nejkratší doba kmitu nastává pro
, [12]
kde l0 se nazývá poloměr setrvačnosti.
Moment setrvačnosti setrvačníku
Souvislost otáčivého pohybu a moment setrvačnosti můžeme sledovat na setrvačníku. Je realizová