moment_setrvacnosti14

otnost tělesa a l je vzdálenost obou rovnoběžných os. Určit moment setrvačnosti výpočtem podle definiční rovnice bývá výhodné pouze u těles jednoduchého tvaru. Např. homogenní deska obdélníkového tvaru o rozměrech a, b a hmotnosti m má hlavní moment setrvačnosti vzhledem k ose kolmé na plochu desky
(2)
Při rovnoměrně rozložené hmotnosti nezáleží moment setrvačnosti na tloušťce desky.
U těles složitějších tvarů je snadnější (i přesnější) určit moment setrvačnosti některou z nepřímých metod, např. z doby kmitu fyzického kyvadla.
Fyzické kyvadlo je každé tuhé těleso o hmotnosti m, které je otáčivé kolem horizontální osy, jejíž vzdálenost od těžiště tělesa je l. Pohybová rovnice tuhého tělesa, otáčejícího se kolem pevné osy, je
(3)
kde M je výsledný moment vnějších sil vzhledem k ose otáčení, J moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose otáčení a ( je úhlové zrychlení.
Vychýlíme-li těleso z rovnovážné polohy o úhel (, působí na něj tíha momentem, který se snaží vrátit ho zpět do rovnovážné polohy - těleso začne konat kmitavý pohyb. Velikost momentu tíhy je
(4)
Záporné znaménko vyjadřuje okolnost, že moment tíhy tělesa M má vždy opačný smysl než výchylka.

Pro malé výchylky z rovnovážné polohy můžeme položit
, takže . (5)
Chyba, jaké se přitom dopustíme, je při (=5° asi 0,05%. Po dosazení rovnice (5) do (3) a malých úpravách obdržíme rovnici
(6)
Tato rovnice je totožná s diferenciální rovnicí harmonického pohybu, v níž
(7)
je kvadrát úhlové frekvence kmitavého pohybu kyvadla.
Doba kmitu fyzického kyvadla T (při jeho nahrazení harmonickým pohybem) je tedy rovna
(8)
a závisí na vzdálenosti osy od těžiště.
Z rovnice (8) obdržíme pro moment setrvačnosti vztah
(9)
Dosadíme-li za z rovnice (1), určíme nejkratší dobu kmitu z podmínky pro minimum funkce T(l):
(10)
Z řešení rovnice (10) vyplývá, že nejkratší doba kmitu nastává pro