hrw40

hluboké potenciálové jámě — v krabici. Pokud je
krabicepravoúhlá,jakojetomuvpřípaděznázorněnémna
obr.40.11,pakřešeníSchrödingerovyrovnicedáváenergii
elektronuve tvaru
E
n
x
,n
y
,n
z
=
h
2
8m
parenleftBigg
n
2
x
L
2
x
+
n
2
y
L
2
y
+
n
2
z
L
2
z
parenrightBigg
, (40.15)
kde n
z
představuje třetí kvantové číslo de Broglieho vlny
odpovídajícíšířceL
z
.
x
y
z
L
y
L
x
L
z
Obr.40.11 Pravoúhlá krabice o rozměrechL
x
,L
y
a L
z
je troj-
rozměrnouverzíjednorozměrné jámyz obr.40.2.
K
ONTROLA 5: Použijeme-li stejné značení jako v rov-
nici(40.14),odpovídajíenergieE
0,0
,E
1,0
,E
0,1
aE
1,1
energiizákladníhostavuelektronuvpravoúhléhradbě?
PŘÍKLAD40.5
Elektron je zachycen ve čtvercové dvojrozměrné nekonečně
hluboképotenciálovéjámě(hradbazobr.40.10)orozměrech
L
x
= L
y
.
(a)Určetehodnotyenergiepětinejnižšíchenergiovýchhladin
elektronu a sestrojte energiový diagram.
ŘEŠENÍ: Základnímyšlenkařešeníspočívávtom,žeener-
gie elektronu uvězněného ve dvojrozměrné pravoúhlé jámě
závisínadvoukvantovýchčíslechn
x
an
y
podlerov.(40.14).
Poněvadžjámaječtvercová,položímeL
x
= L
y
= L.Pakse
rov.(40.14) zjednoduší na tvar
E
n
x
,n
y
=
h
2
8mL
2
parenleftbig
n
2
x
+n
2
y
parenrightbig
, (40.16)
kde n
x
a n
y
jsou přirozená čísla 1,2,…. Stavys nejnižší
energií odpovídají stavům s nejmenšími hodnotami kvan-
tových čísel. Dosadíme-li za n
x
a n
y
do rov.(40.16) od nej-
nižšímožnéhodnoty1,získámehodnotyuvedenévtab.40.1.
Tabulka 40.1 Energiovéhladiny
n
x
n
y
ENERGIE
a
n
x
n
y
ENERGIE
a
13 10 24 20
31 10 42 20
22 8 33 18
12 5 14 17
21 5 41 17
11 2 23 13
32 13
a
vnásobcíchh
2
/(8mL
2
)
Znichjezřejmé,ženěkterédvojicekvantovýchčísel(n
x
,n
y
)
odpovídajístejnéenergii.Napříkladstavy(1,2)a(2,1)mají
1066 KAPITOLA 40 VÍCE O DEBROGLIEHO VLNÁCH
stejnouenergii5h
2
/(8mL
2
).Každátakovádvojiceodpovídá
degenerované energiové hladině. Povšimněme si rovněž, že
stavy (1,4) a (4,1) mají poněkud překvapivě menší energii
než stav (3,3).
Z tab.40.1 při započtení degenerovaných hladin energie
můžemevytvořit energiový diagram z obr.40.12.
(b) Vyjádřete energiový rozdíl mezi základním stavem a tře-
tím excitovaným stavem (vnásobcích h
2
/(8mL
2
)).
ŘEŠENÍ: Z obr.40.12 vyplývá, že základní stav je po-
psán dvojicí kvantových čísel (1,1) a odpovídá energii
2h
2
/(8mL
2
). Vyplývá z něj i to, že třetí excitovaný stav
(třetíhladinanadzákladníhladinouvenergiovémdiagramu)
odpovídá stavům s (1,3) a (3,1) s energií 10h
2
/(8mL
2
).
EnergiovýrozdílDelta1E mezitěmitodvěmastavyjetedyroven
Delta1E = 10
parenleftbigg
h
2
8mL
2
parenrightbigg
−2
parenleftbigg
h
2
8mL
2
parenrightbigg
=
= 8
parenleftbigg
h
2
8mL
2
parenrightbigg
. (Odpovědquoteright)
2
E
1,1
5
E
2,1
,E
1,2
8
E
2,2
10
E
3,1
,E
1,3
13
E
3,2
,E
2,3
E
(
h
2
/
(8
mL
2
))
Obr.40.12 Příklad40.5.Energiovýdiagram.
40.7 ATOMVODÍKU
Přejděme nyní od umělých atomů k reálným; jako příklad
použijemenejjednoduššíatom—atomvodíku.Tentoatom
seskládázjednohoelektronu(náboj−e)vázanéhokjádru
tvořenémujednímprotonem(náboj+e);mezinimipůsobí
přitažlivá Coulombova síla. Atom vodíku je, jako ostatně
všechnyatomy, elektronovou pastí; váže svůj elektron na
určitou oblast prostoru. Z omezovacího principu pak vy-
plývá,žeelektronvatomumůžeexistovatpouzevjednom
z diskrétních kvantových stavů; každý stav má dobře defi-
novanouenergii.Chcemeurčittytoenergieavlnovéfunkce
těchtostavů.
Energiekvantovýchstavůatomuvodíku
Vkap.25jsmeodvodilirov.(25.43)propotenciálníenergii
dvoučásticového systému, složeného ze dvou nábojů Q
1
aQ
2
:
E
p
=
1
4D4ε
0
Q
1
Q
2
r
,
kde r je vzdálenost mezi oběma částicemi. Pro dvoučásti-
covýsystém,vodíkovýatom,vyjádřímepotenciálníenergii
vetvaru
E
p
=
1
4D4ε
0
(e)(−e)
r
=−
1
4D4ε
0
e
2
r
. (40.17)
Obr.40.13 naznačuje trojrozměrnou potenciálovou jámu,
ve které je zachycen elektron atomu vodíku. Tato jáma se
od jámykonečné hloubky(obr.40.5) liší tím, že pro atom
vodíkujeE
p
zápornéprovšechnyhodnoty r proto,žejsme
sizvolilinulovouhladinupotenciálníenergieelektronupro
r →∞.Projámukonečnéhloubkynaobr.40.5jsmevšak
zvolili (stejně libovolně), že nulovou hodnotu potenciální
energiepřiřadímeoblastiuvnitř jámy.
základní
stav
r (pm) r (pm)
E
p
(eV)
0
200 400 600200400600
−10
−20
−30
Obr.40.13 Závislost potenciální energie E
p
atomu vodíku na
vzdálenosti r mezi elektronem a jádrem umístěným v počátku
souřadnic. Závislost je vynesena napravo i nalevo, aby byla
naznačena trojrozměrná sférickysymetrická jáma, ve které je
elektron „uvězněn“.
Abychom našli vlnové funkce a energie kvantových
stavů vodíkového atomu, musíme řešit Schrödingerovu
rovnici, do které dosadíme za E
p
z rov.(40.17). Protože
se však elektron v atomu vodíku nachází v trojrozměrném
poli,musímepoužíttrojrozměrnýtvarSchrödingerovyrov-
nice.
Řešenímtéto rovnicenajdeme,žeenergie kvantových
stavůelektronujsou dányvztahem
E
n
=−
me
4
8ε
2
0
h
2
1
n
2
=−
13,6eV
n
2
pro n = 1,2,3,…, (40.18)
40.7 ATOM VODÍKU 1067
kdenjekvantovéčísloamjehmotnostelektronu.Nejnižší
energie odpovídá základnímu stavu s n = 1 a je znázor-
něna na obr.40.13. Obr.40.14 ukazuje energiové hladiny
základního a pěti excitovaných stavů, určených odpovída-
jícími kvantovými čísly n. Je na něm znázorněna rovněž
energiová hladina pro nejvyšší možnou hodnotu n =∞,
pronižjeE
n
= 0.Projakoukolivětšíenergiijižneníelek-
tronvázánkprotonu(netvoříjižspoluatom)aodpovídající
oblastenergiívobr.40.14jestejnějakoupotenciálovéjámy
konečné hloubkyna obr.40.7 oblastí spojitých (nekvanto-
vaných)energií.
Lymanovasérie
Balmerova
série
Paschenova
série
hranasérie
hranasérie
hrana
série
spojitéspektrum
ener
gie
(
eV)
1
2
3
4
5
6
n
∞
0
−2,0
−4,0
−6,0
−8,0
−10,0
−12,0
−14,0
Obr.40.14 Energiové hladinyatomu vodíku (rov.(40.18)) a
přechodyz vyšších do nižších energiových hladin, při kterých
atomemitujesvětlo.Přechodyjsousdruženydosérií,kteréjsou
pojmenoványpovědci,kterýsestudiempříslušnésériezabýval.
Kvantovanéhodnotyenergiídanérov.(40.18)jsoutaké
energiemivodíkovéhoatomu,tj.systémuelektron+proton.
Zpravidlaale přisuzujemetuto energii pouzeelektronusa-
mému,poněvadžjehohmotnostjedalekomenší,nežhmot-
nost protonu. (Obdobně můžeme přiřadit energii systému
míč+Zeměpouzesamotnémumíči.)Můžemetedyříci,že
pokud je elektron vázán v atomu vodíku, mohou energie
tohotoelektronunabývathodnotdanýchrov.(40.18).
Jak jsme již viděli u elektronu v jiných potenciálo-
vých jámách, i elektron v atomu vodíku má tendenci být
na nejnižší hladině energie — to znamená v základním
stavu. Získá-li však odpovídající množství energie, může
přeskočit do stavu excitovaného. Jednou z možností, jak
můžeelektronzískatenergiikpřechodunavyššíenergiové
hladiny, je absorpce fotonu. Energie hf fotonu pak musí
býtrovnarozdíluenergiímezipočátečníakoncovouhladi-
nou energie elektronu. Jakmile je elektron „excitován“ na
vyššíenergiovouhladinu,nezůstávánaní,alerychlepřejde
na nižší energiovou hladinu — je „deexcitován“. Jednou
z možností,jak může elektron snížit svou energii,je vyzá-
řenífotonu.Vtomtopřípaděbudeenergiefotonuhf rovna
rozdílu energií mezi počáteční vyšší hladinou a koncovou
nižšíhladinouenergie.
Všechnymožnékvantovéskokyřadímedo sérií.Kaž-
dou z těchto sérií určuje specifická hladina, z níž vychá-
zejí přechodyna vyšší úrovně energií,nebo na kterékončí
přechodyz hladin vyšších. Na obr.40.14 jsou znázorněny
možné přechodyz vyšších energiových hladin pro tři sé-
rie. Například absorpčnía emisní čárypro všechnymožné
přechody, které začínají na hladině s n = 1 nebo na hla-
dině s n = 1 končí, tvoří Lymanovusérii. Každá série je
rovněž omezena tzv. hranousérie, odpovídající přechodu
mezispecifickouhladinousérieahladinousn =∞.Jedná
seonejvětšímožnýskokmezikvantovanýmienergiovými
hladinamiaodpovídánejvětšímožnézměněenergieatomu
pro danouhladinuenergie.
Na obr.40.15 je spektrografem pořízené spektrum
emisních čar Balmerovy série atomu vodíku. (Spektrální
čáryjsou podobné jako v obr.37.23 a 37.24.) Balmerova
série, již určuje specifická hladina s n = 2, má čtyři spek-
trálníčáryveviditelnéoblastispektra,jakjevyznačenona
obr.40.15arovněžbarevněnaobr.40.14.Malýtrojúhelník
u hodnoty λ = 364,6nm na obr.40.15 vyznačuje hranu
série.
Bohrovateorieatomuvodíku
V roce 1913, necelých 13 let před formulací Schrödin-
gerovyrovnice, navrhl Bohr model atomu vodíku, zalo-
žený na důmyslné kombinaci klasické a raně kvantové
koncepce. Jeho základní předpoklad — atomyse nachá-
zejí v diskrétních kvantových stavech s odpovídajícími
diskrétními hodnotami energie — byl odvážným poruše-
ním klasických představ; až do dnešních dní představuje
jeden z nepostradatelnýchpilířů moderní kvantové fyziky.
Tímto předpokladem Bohr dovedně využil principu ko-
respondence (čl.40.3) nejen k odvození rov.(40.18) pro
energie kvantových stavů atomu vodíku, ale také k vyjá-
dření číselné hodnotyefektivního poloměru tohoto atomu
(tzv.Bohrůvpoloměr).IpřesnespornéúspěchybylBohrův
model atomu vodíku, založený na představě, že elektron
obíhákolemjádrapoorbitách(připomínajícíchpohybpla-
net kolem Slunce), v rozporu s principem neurčitosti a byl
později nahrazen moderním pravděpodobnostním mode-
lem.Zasvévynikajícíúspěchyvpoznáváníatomovéstruk-
tury,kterévýrazněstimulovaly vývojfyziky směremkmo-
1068 KAPITOLA 40 VÍCE O DEBROGLIEHO VLNÁCH
Obr.40.15 Spektrální čáry
Balmerovysérie atomu vodíku.
Zatímco v obr.40.14 jsou zná-
zorněnyčtyři přechodyv rámci
této série spolu s hranou série,
zde je vidět asi tucet čar série;
povšimněte si, že spektrální čáry
jsou si tím bližší, čím více se
blíží k hraně série, označené
trojúhelníkem.
λ(nm)
trianglesolid
červená modrá fialová blízkáultrafialová
656
,
3
486
,
1
434
,
1
410
,
2
397
,
0
388
,
9
364
,
6
derní kvantové teorii, získal Bohr v roce 1922 Nobelovu
cenu.
Kvantováčíslaatomuvodíku
Ačkolienergieodpovídajícíkvantovýmstavůmatomuvo-
díku může být charakterizována jediným kvantovým čís-
lemn,jsouvlnovéfunkcepopisujícítytostavyurčenytřemi
kvantovýmičísly,kteráodpovídajípohybuelektronuvtroj-
rozměrnémprostoru.Tatotřikvantováčísla,současněsje-
jichnázvyamožnýmihodnotami,jsouuvedenavtab.40.2.
Tabulka40.2 Kvantováčíslaatomuvodíku
SYMBOL NÁZEV POVOLENÉ HODNOTY
n hlavní kvantové číslo 1,2, 3, …
l orbitální kvantové číslo 0,1, 2, …, n−1
m
l
orbitální magnetické −l,−(l −1),…,
kvantové číslo +(l −1),+l
Každý soubor kvantových čísel (n, l, m
l
)určujevl-
novou funkci kvantového stavu. Kvantové číslo n, nazý-
vanéhlavníkvantovéčíslo,se objevujev rov.(40.18) pro
energii stavu. Uvedeme bez dalšího důkazu, že orbitální
kvantovéčíslol (dříve též zvanévedlejší) určuje velikost
momentuhybnostipříslušnéhokvantovéhostavu.Magne-
tickékvantovéčíslom
l
(někdyprozdůrazněnízvanéorbi-
tálnímagnetickékvantovéčíslo)souvisísorientacívektoru
momentu hybnosti v prostoru. Omezení kladená na výběr
hodnotkvantovýchčísel(uvedenávtab.40.2),nejsouzvo-
lenalibovolně,nýbržpřirozeněvyplynoupřiřešeníSchrö-
dingerovyrovnice. Pro základní stav n = 1 tato omezení
vyžadují,abyl = 0am
l
= 0.Toznamená,žeatomvodíku
v základnímstavumánulový momenthybnosti.
K
ONTROLA6:Uvažujmekvantovéstavyatomuvodíku
pro n = 5. (a) Kolika hodnot může nabývat orbitální
kvantové číslo l?(b)Je-lin = 5al = 3, kolika
možných hodnot může nabývat magnetické kvantové
číslom
l
?
Vlnováfunkcezákladníhostavu
atomuvodíku
Normovanávlnováfunkcezákladníhostavuatomuvodíku,
získanářešenímtrojrozměrnéSchrödingerovyrovnice,má
tvar
ψ(r)=
1
√
D4a
3/2
e
−r/a
, (40.19)
kdea jekonstanta,tzv.Bohrůvpoloměr,srozměremdélky;
můžesloužitjako„efektivní“poloměratomuvodíku.Uka-
zuje se, že je rovněž vhodnou jednotkou délkyi v jiných
případechvesvětěatomů.Jehohodnotaje
a =
h
2
ε
0
D4me
2
= 5,29·10
−11
m = 52,9pm. (40.20)
Podobně jako je tomu i u ostatních vlnových funkcí,
nemáfunkceψ(r)vrov.(40.19)zřejmýfyzikálnívýznam;
funkce ψ
2
(r) jej již má. Výraz ψ
2
(r)dV odpovídá prav-
děpodobnosti, že se elektron bude nacházet v daném infi-
nitezimálním objemovém elementu dV. Poněvadž ψ
2
(r)
závisí pouze na r, má smysl zvolit za element dV objem
mezi dvěma soustřednými kulovými plochami,jejichž po-
loměryjsou r a r +dr. Objemový element lze vyjádřit ve
tvaru
dV = (4D4r
2
)dr, (40.21)
kde 4D4r
2
je obsah vnitřní kulové plochya d r je radiální
vzdálenostmezioběmaplochami.Pak
ψ
2
(r)dV =
4
a
3
e
−2r/a
r
2
dr. (40.22)
Nyní definujme radiálníhustotupravděpodobnosti
P(r) tak, abyvýraz P(r)dr udával pravděpodobnost,
že se elektron nachází v objemovém elementu, definova-
ném rov.(40.21). Jinými slovy, definujeme P(r)tak, aby
P(r)dr = ψ
2
(r)dV.Pakzrov.(40.22)dostaneme
P(r)=
4
a
3
r
2
e
−2r/a
(radiální hustota
pravděpodobnosti pro
základní stav atomu vodíku).
(40.23)
40.7 ATOM VODÍKU 1069
Obr.40.16 ukazuje závislost danou rov.(40.23). Plocha
podkřivkou jejednotková,tedy
integraldisplay
+∞
0
P(r)dr = 1. (40.24)
Tato rovnice jednoduše vyjadřuje fakt, že ve vodíkovém
atomu se elektron někde v prostoru kolem jádra nacházet
musí.
Trojúhelníková značka na vodorovné ose v obr.40.16
je umístěna ve vzdálenosti jednoho Bohrova poloměru od
počátku.Grafukazuje,ževzákladnímstavuatomuvodíku
seelektronnacházísnejvětšípravděpodobnostívevzdále-
nosti(odstředuatomu) odpovídajícíBohrověpoloměru.
P(
r
)
/
10
−
3
pm
−
1
r/pm
0
5
10
50 100 150 200 250
Obr.40.16 Závislost radiální hustotypravděpodobnosti P(r)
základního stavu atomu vodíku na vzdálenosti r od jádra. Troj-
úhelníková značkajeumístěna vevzdálenostijednoho Bohrova
poloměru od počátku, který odpovídá středu atomu.
Obr.40.16 je v ostrém rozporu s populární představou
elektronů obíhajících v atomech po definovaných drahách
obdobně, jako tomu je v případě planet obíhajících ko-
lem Slunce.Tentorozšířenýnázor,jakkolidůvěrněznámý,
jenesprávný. Obr.40.16 ukazuje všechno, co se můžeme
dozvědětoelektronuvzákladnímstavuatomuvodíku.Při-
měřenáotázkanezní„Kdysebudenacházetelektronvtom
a v tom bodě?“, ale „Jaká je pravděpodobnost, že se elek-
tronbudenacházetvmalémobjemukolemtohotobodu?“.
Obr.40.17, nazývaný též bodovýgraf, naznačuje pravdě-
podobnostní povahu vlnové funkce a poskytuje užitečný
myšlenkovýmodelatomuvodíkuvzákladnímstavu.Atom
v tomto stavu lze pokládat za rozmazanou kouli bez ostře
definovanéhraniceabeznáznakuorbit.
Pro začátečníka není vůbec jednoduché přestavit si
subatomárníčásticetímtopravděpodobnostnímzpůsobem.
Problém spočívá v našem přirozeném nutkání vidět elek-
tron jako nějakou malinkou kuličku, nacházející se v ur-
čitém místě v určitý čas a pohybující se po dobře defino-
vanédráze.Jenomžeelektronyaostatnísubatomárníčástice
prostětakovénejsou.
;;;
;;;
;;;
QQQ
QQQ
QQQ
¢¢¢
¢¢¢
¢¢¢
;;;
;;;
;;;
;;
;;
;;
;;
;;
Obr.40.17 „Bodový graf“ znázorňující hustotu pravděpodob-
nostiψ
2
(r)—nikoliradiálníhustotupravděpodobnostiP(r)—
základníhostavuatomuvodíku.Hustota tečekklesáexponenci-
álně se zvyšující se vzdáleností od jádra.Takovýto bodový graf
poskytuje myšlenkový obraz „elektronového oblaku“ atomu.
Energie základního stavu, získaná po dosazení n = 1
do rov.(40.18), je E
1
=−13,6eV. Vlnovou funkci da-
nou rov.(40.19) získáme řešením Schrödingerovyrovnice
pro tuto hodnotu energie. Ve skutečnosti můžeme tuto
rovnici vyřešit pro jakoukoli hodnotu energie, řekněme
E =−11,6eVnebo−14,3eV. To bymohlo naznačovat,
žestavyatomuvodíkunejsoukvantované.Myalevíme,že
kvantovanéjsou.
Záhada se vyjasní, uvědomíme-li si, že taková řešení
Schrödingerovyrovnice nejsou fyzikálně přijatelná – ros-
tou do nekonečna pro r →∞. Pravděpodobnost výskytu
elektronubytedytaképro r →∞prudcerostla,atonedává
smysl. Těchto nežádoucích řešení se zbavíme zavedením
vhodnéokrajovépodmínky— budeme požadovat, abyfy-
zikálněpřijatelnářešeníSchrödingerovyrovnicesplňovala
podmínkuψ(r)→ 0pror →∞.Jinýmislovy,chcemese
zabývat pouze vázanými elektrony. Toto omezení vybere
ze všech možných řešení Schrödingerovyrovnice pouze
některá;jejichenergiejsou dányrov.(40.18).
PŘÍKLAD40.6
(a) Jaká je vlnová délka fotonu s nejmenší možnou energií,
emitovaného v rámci přechodů uvnitř Lymanovy série pro
spektrální čáryatomu vodíku?
ŘEŠENÍ: Provšechnysérieplatí,žepřechodu,jehoždůsled-
kem je emise (absorpce) fotonu s nejmenší možnou energií,
odpovídá přechod mezi specifickou energiovou hladinou sé-
rie a hladinou, nacházející se těsně nad ní. Z obr.40.14 je
patrno, že pro Lymanovu sérii tomuto přechodu odpovídá
přechod z hladinys n = 2 na hladinu sn = 1. Z rov.(40.18)
1070 KAPITOLA 40 VÍCE O DEBROGLIEHO VLNÁCH
je odpovídající hodnota rozdílu energiírovna
Delta1E = E
2
−E
1
=
=−(13,6eV)
parenleftbigg
1
2
2
−
1
1
2
parenrightbigg
=
= 10,2eV.
Odpovídající vlnovou délku lze získat z rov.(39.2) E = hf
ve tvaru
Delta1E = hf =
hc
λ
,
kdehf jeenergieemitovanéhofotonu.Řešenímtétorovnice
pro neznámouλ dostáváme
λ =
hc
Delta1E
=
(6,63·10
−34
J·s)(3,00·10
8
m·s
−1
)
(10,2eV)(1,60·10
−19
J/eV)
=
= 1,22·10
−7
m = 122nm. (Odpovědquoteright)
Světlostoutovlnovoudélkousenacházívultrafialovéoblasti
elektromagnetického spektra.
(b) Jaká vlnová délka odpovídá hraně Lymanovy série?
ŘEŠENÍ: Z obr.40.14 je patrno, že hraně série odpovídá
přechod z hladinys n =∞na hladinu s n = 1, což je
specifickáhladinaenergieprotutosérii.Podlerov.(40.18)je
pak energiový rozdíl odpovídající tomuto přechodu roven
Delta1E = E
∞
−E
1
=
=−(13,6eV)
parenleftbigg
1
∞
2
−
1
1
2
parenrightbigg
=
=−(13,6eV)(0−1) = 13,6eV.
Odpovídající vlnovou délku lze určit podobně jako v(a):
λ =
hc
Delta1E
=
(6,63·10
−34
J·s)(3,00·10
8
m·s
−1
)
(13,6eV)(1,60·10
−19
J/eV)
=
= 9,14·10
−8
m = 91,4nm. (Odpovědquoteright)
Světlostoutovlnovoudélkouserovněžnacházívultrafialové
oblasti elektromagnetického spektra.
PŘÍKLAD40.7
Ukažte, že radiální hustota pravděpodobnosti základního
stavu atomu vodíku dosahuje svého maximapro r = a.
ŘEŠENÍ: Požadovanáradiálníhustotapravděpodobnosti je
podle rov.(40.23)
P(r)=
4
a
3
r
2
e
−2r/a
.
Abychom nalezli maximum funkce, musíme ji zderivovat
a položit tuto její první derivaci rovnu nule. Použijeme-li
pravidla pro derivacisoučinu funkcí, dostaneme
dP
dr
=
4
a
3
r
2
parenleftbigg
−2
a
parenrightbigg
e
−2r/a
+
4
a
3
2re
−2r/a
=
=
8r
a
3
e
−2r/a
−
8r
2
a
4
e
−2r/a
=
=
8
a
4
r(a−r)e
−2r/a
.
Položíme-li pravou stranu rovnu nule, je výsledná rovnice
splněna pro r = a. Jinými slovy, pror = a je dP/dr = 0.
(Všimněte si, že dP/dr je rovno nule i pro r = 0ar =
=∞. Avšak tyto podmínky odpovídajíminimu, nikoli námi
požadovanému maximu,jak lze snadno zjistit z obr.40.16.)
PŘÍKLAD40.8
Pravděpodobnost, že se elektron v základním stavu atomu
vodíku bude nalézat uvnitř kulové plochyo poloměru r,je
rovna
p(x) = 1−e
−2x
(1+2x +2x
2
),
kde x je bezrozměrová veličina rovná podílu r/a.Najděter
pro p(x) = 0,90.
ŘEŠENÍ: Hledámepoloměrkoule,prokteroup(x) = 0,90.
Dosadíme-li tuto hodnotu do vztahu pro p(x),obdržíme
0,90 = 1−e
−2x
(1+2x +2x
2
)
neboli
10e
−2x
(1+2x +2x
2
) = 1.
Musíme tedyurčit hodnotu x, splňující tuto rovnici. Není
možné ji vyřešit explicitně, a