hrw35

zrcadla.Prozrcadlaoboutypůjsouohnisková
vzdálenost f a poloměr křivosti r vázány vztahem
f =
1
2
r (kulové zrcadlo), (35.3)
926 KAPITOLA 35 OBRAZY
kde r je kladné u vydutého a záporné u vypuklého zrcadla
v souladu se znaménky ohniskové vzdálenosti.
35.4 ZOBRAZENÍ KULOVÝM
ZRCADLEM
Máme-li definováno ohnisko kulového zrcadla, můžeme
najít vztah mezi obrazovou vzdáleností i a předmětovou
vzdáleností p pro vydutá a vypuklá kulová zrcadla. Za-
čneme s případem, kdy předmět O je umístěn mezi vyduté
zrcadlo a jeho ohnisko F (obr.35.9a). Potom může pozo-
rovatel vidět v zrcadle virtuální obraz předmětu O: obraz
se vytváří za zrcadlem a je stejně orientován jako předmět.
Jestliže nyní pohybujeme předmětem dále od zrcadla
až do ohniska, obraz postupuje dále za zrcadlo až do neko-
nečna (obr.35.9b). Pak je obraz nejasný a nerozeznatelný,
protože ani odražené paprsky, ani paprsky prodloužené za
zrcadlo se neprotnou v konečné vzdálenosti, aby vytvořily
obraz bodu O.
Pohybujeme-lipředmětemještědáleodohniska,tj.tak,
žejehovzdálenostodzrcadlajevětšínežohniskovávzdále-
nost,budousepaprskyodraženéodzrcadlasbíhatavytvoří
převrácený obraz I předmětu O před zrcadlem(obr.35.9c).
Tento obraz postupuje z nekonečna, přemístquoterightujeme-li před-
mět z ohniska. Kdybychom v místě, kde se nachází obraz,
podrželi kousek papíru, bude na něm obraz viditelný —
říkáme, že obraz je zaostřený neboli fokusovaný na pa-
pír. Protože obraz na papíře skutečně vzniká, je to reálný
obraz—paprskyseskutečněprotnouavytvoříobraznezá-
visle na tom, zda je přítomen pozorovatel. Obrazová vzdá-
lenost i reálného obrazu je kladná veličina na rozdíl od
obrazové vzdálenosti virtuálního obrazu. Dále vidíme, že
platí:
Reálné obrazy vznikají na téže straně zrcadla, kde se
nachází předmět, virtuální obrazy na opačné straně.
Jak dokážemev čl.35.8,svírají-li světelnépaprsky jen
malé úhly s centrální osou kulového zrcadla, jsou před-
mětová vzdálenost p, obrazová vzdálenost i a ohnisková
vzdálenost f vázány jednoduchým vztahem
1
p
+
1
i
=
1
f
(kulové zrcadlo). (35.4)
(V obrázcích jako např. obr.35.9 jsou pro názornost úhly
paprsků zveličeny.)
Velikost předmětu, resp. obrazu měřená kolmo kcen-
trální ose zrcadla se nazývá výška předmětu,resp.obrazu.
Označme výšku předmětu h a výšku obrazu h
prime
. Pak po-
měr h
prime
/h nazveme příčným zvětšením m zrcadla. Podle
(a)
virtuální
obraz
p
f
i
F
O
I
(b)
rovnoběžné paprsky
p=f
i
F
O
I
(i=+∞)
(i=−∞)
(c)
reálný
obraz
p
f
I
F
O
I
Obr.35.9 (a) Předmět O mezi vydutým zrcadlem a jeho ohnis-
kem a jeho virtuální obraz I. (b) Předmět v ohnisku F.(c)Před-
mět ve vzdálenosti větší než ohnisková vzdálenost a jeho reálný
obraz.
dohody opatříme příčné zvětšení znaménkem plus, jsou-li
orientace obrazu a předmětu stejné a znaménkem minus,
jsou-li opačné. Proto píšeme vztah pro m takto:
|m|=
h
prime
h
(příčné zvětšení). (35.5)
35.4 ZOBRAZENÍ KULOVÝM ZRCADLEM 927
(a)
O
C
I
F
V
1
2
(b)
O
C
I
F V
3
4
B
D
A
E
(c)
O
C
I
F
V
1
2
(d)
O
C
I
F
V
3
4
1
2
Obr.35.10 (a, b) Čtyři paprsky, jejichž narýsováním můžeme nalézt obraz libovolného předmětu vytvořený vydutým zrcadlem.
Pro polohu předmětu na obrázku vznikne reálný a převrácený obraz menší než předmět. (c, d) Čtyři podobné paprsky pro případ
vypuklého zrcadla. Toto zrcadlo vytvoří vždy virtuální obraz orientovaný stejně jako předmět a menší než předmět. (Paprsek 2
v obr. (c) směřoval původně do ohniska F.)
Brzy dokážeme, že příčné zvětšení můžeme zapsat takto:
m =−
i
p
(příčné zvětšení). (35.6)
Prorovinnézrcadlo,kde i =−p,dostanemem =+1.
Zvětšení rovné 1 znamená, že velikosti obrazu a předmětu
jsou stejné. Znaménko plus značí, že obraz a předmět mají
stejnou orientaci. Pro vyduté zrcadlo na obr.35.9c je m
.
=
.
=−1,5.
Rov.(35.3)až(35.6) platí pro všechnarovinná,kulová
vydutá a kulová vypuklá zrcadla. Kromě těchto rovnic je
potřeba,abystezvládlimnožstvídalšíchinformacíotěchto
zrcadlech. Vyplněním tab.35.1 byste si je měli uspořádat.
Ve sloupci OBRAZ/POLOHA rozhodněte, zda je obraz na
téžestranězrcadlajakopředmět,nebonaopačné straně.Ve
sloupci OBRAZ/TYP rozhodněte, zda je obraz reálný,nebo
virtuální. Ve sloupci OBRAZ/ORIENTACE rozhodněte, zda
obraz má stejnou orientaci jako předmět, nebo zda je pře-
vrácený.VesloupcíchZNAMÉNKOuvedquoterightteznaménkoveliči-
ny,nebovyplňte±,může-lisevyskytnoutznaménkoobojí.
Nalezení polohy obrazu
paprskovou konstrukcí
Naobr.35.10a,bjeznázorněnpředmětOumístěnýpředvy-
dutýmzrcadlem.Polohuobrazulibovolnéhobodupředmě-
tu, který neleží na ose, můžeme určit pomocí paprskového
Tabulka 35.1 Uspořádání informací o zrcadlech
OBRAZ ZNAMÉNKO VELIČINY
TYP POLOHA
ZRCADLA PŘEDMĚTU POLOHA TYP ORIENTACE frim
Rovinné kdekoli
pf
Vypuklé kdekoli
928 KAPITOLA 35 OBRAZY
obrazce s využitím kterýchkoli dvou paprsků z následují-
cích čtyř speciálních paprsků procházejících tímto bodem.
1. Paprsek původně rovnoběžný s osou se odráží do oh-
niska (paprsek 1 na obr.35.10a).
2. Paprsek,kterýsepoprůchoduohniskemodrážíodzrca-
dla,vystupujerovnoběžněsosou(paprsek2naobr.35.10a).
3. Paprsek, který se odráží po průchodu středem kři-
vosti C od zrcadla, se vrací po stejné přímce (paprsek 3
na obr.35.10a).
4. Paprsek,kterýseodrážíodzrcadlavprůsečíkuV zrca-
dla s osou, se odráží symetricky podle této osy (paprsek 4
na obr.35.10b).
Obrazzvolenéhobodujevprůsečíkulibovolnýchdvou
speciálních paprsků. Obraz předmětu nalezneme určením
polohy obrazů dvou nebo více jeho bodů. Při užití těchto
paprsků u vypuklých zrcadel je zapotřebí poněkud změnit
jejich popis (obr.35.10c, d).
Odvození rov.(35.6)
Nyní jsme schopni odvodit rov.(35.6) (m =−i/p), tj. vý-
raz pro příčné zvětšení předmětu zobrazeného zrcadlem.
Uvažujme paprsek 4 v obr.35.10b. Ten se odráží v bodě V
tak,žedopadajícíaodraženýpaprseksvírajítýžúhelsosou
zrcadla.
Dva pravoúhlé trojúhelníky ABV a DEV v obrázku
jsou podobné, takže můžeme napsat
|DE|
|AB|
=
|VD|
|VA|
.
Podíl na levé straně (necháme-li stranou otázku zna-
ménka) představuje příčné zvětšení zrcadla. Protože pozo-
rujeme převrácený obraz a tedy zvětšení je záporné, ozna-
čímejej−m.Jenže|VD|=i,|VA|=p,takžedostáváme
m =−
i
p
(zvětšení). (35.7)
PŘÍKLAD 35.2
Tarantule výšky h sedí před kulovým zrcadlem s ohnisko-
vou vzdáleností |f|=40cm. Obraz tarantule vytvořený
zrcadlem je orientován shodně jako předmět a má výšku
h
prime
= 0,20h.
(a) Je obraz reálný, nebo virtuální a leží na stejné straně jako
tarantule, nebo na opačné?
ŘEŠENÍ: Protože obraz je stejně orientován jako předmět
(tarantule), musí být virtuální a musí ležet na opačné straně
zrcadla. (Tento výsledek snadno zjistíte, máte-li vyplněnu
tab.35.1.)
(b) Je zrcadlo vyduté, nebo vypuklé a jaká je jeho ohnisková
vzdálenost f (včetně znaménka)?
ŘEŠENÍ: Můžemeztypuobrazu,kterýzrcadlovytváří,určit
typ zrcadla? Ne, protože virtuální obraz může být vytvářen
oběmatypyzrcadel.Můžemeurčittypzrcadlanalezenímzna-
ménka f z rov.(35.3) a (35.4)? Ne, na to nemáme dostatek
informací. Jediný postup, který nám zbývá, je uvážit infor-
mace o zvětšení. Víme, že podíl obrazové výšky h
prime
a výšky
předmětu h se rovná 0,20. Z rov.(35.5) vychází
|m|=
h
prime
h
= 0,20.
Protože předmět i obraz jsou orientovány shodně, víme, že
m musí být kladné: m =+0,20. Dosazením do rov.(35.6)
a jejím řešením, řekněme pro i, dostaneme
i =−0,20p,
cožsenezdábýtužitečnépronalezení f.Užitečnýmsestane
po dosazení do rov.(35.4). Z rovnice vychází
1
f
=
1
i
+
1
p
=
1
−0,20p
+
1
p
=
1
p
(−5+1),
odkud nalezneme
f =−p/4.
Protože p je kladné, f musí být záporné, což znamená, že
zrcadlo je vypuklé a jeho ohnisková vzdálenost je
f =−40cm. (Odpovědquoteright)
K
ONTROLA 2: Netopýr klímající na centrální ose kulo-
véhozrcadlajezobrazensezvětšenímm =−4.Jejeho
obraz (a) reálný, nebo virtuální, (b) převrácený, nebo
stejněorientovanýjakonetopýra(c)natéžestranějako
netopýr, nebo na opačné straně?
35.5 KULOVÝ LÁMAVÝ POVRCH
Odobrazůvytvářenýchodrazem(reflexí)přejdemekobra-
zůmvytvářenýmlomem(refrakcí)napovršíchprůhledných
materiálů, např. skla. Budeme uvažovat pouze kulové po-
vrchy;jejichpoloměrkřivostioznačmer astředkřivostiC.
BodovýpředmětOumístěnývprostředísindexemlomun
1
budevysílatsvětlo,kterésebudelámatnakulovémrozhraní
do prostředí s indexem lomu n
2
.
Zajímáme se o to, kdy světelné paprsky po lomu na
ploše povrchu nebo rozhraní vytvoří reálný obraz (jehož
existence není podmíněna přítomností pozorovatele),nebo
virtuální obraz(podmíněný tím,žepozorovatelzachytípa-
prsky). Odpovědquoteright závisí na poměru indexů n
1
a n
2
ana
geometrické situaci.
35.5 KULOVÝ LÁMAVÝ POVRCH 929
Na obr.35.11 je znázorněno šest možných výsledků.
V každé části obrázku je vystínováno prostředí s větším
indexem lomu a předmět O je vždy nalevo od lámavého
povrchu v prostředí s indexem lomu n
1
. V každé části je
zakreslenchodjednohotypickéhopaprskupolomunaplo-
še. (Tento paprsek spolu s paprskem šířícím se ve směru
optické osy určuje ve všech případech polohu obrazu.)
Normálou k lámavé ploše v bodě dopadu typického
paprsku je radiála procházející středem křivosti C.Vstu-
puje-li paprsek do prostředí s větším indexem lomu, láme
se ke kolmici. Vstupuje-li do prostředí s menším indexem
lomu, láme se od kolmice. Směřuje-li pak lomený paprsek
k centrální ose, vytvoří spolu s ostatními (v obrázku ne-
zakreslenými paprsky) reálný obraz na optické ose. Smě-
řuje-li paprsek od centrální osy, nemůže se reálný obraz
vytvořit; zpětné prodloužení tohoto paprsku a také ostat-
ních může vytvořit virtuální obraz za předpokladu (stej-
ného jako u zrcadel), že některé z těchto paprsků zachytí
oko pozorovatele.
Reálné obrazy I (v obrazové vzdálenosti i) se tvoří
v obr.35.11a, b tam, kde lomené paprsky směřují k cent-
rálníose.Virtuálníobrazyvznikajívobr.35.11c,dtam,kde
lomené paprsky směřují od centrální osy. Povšimněme si,
že v těchto čtyřech případech vznikají reálné obrazy tehdy,
nachází-li se předmět poměrně daleko od lámavé plochy
a virtuální obrazy tehdy, je-li předmět blíže lámavé plo-
chy. V posledních dvou případech (obr.35.11e, f) směřují
lomené paprsky vždy od centrální osy a vytváří virtuální
obraz nezávisle na předmětové vzdálenosti.
Povšimněmesihlavníhorozdíluoprotiobrazůmvznik-
lým odrazem:
Reálnéobrazyvznikajínaopačnéstranělámavéplochy,
nežsenacházípředmět;virtuálnívznikajínatéžestraně.
V čl.35.8 ukážeme,že pro paprsky svírající malé úhly
s centrální osou platí
n
1
p
+
n
2
i
=
n
2
−n
1
r
. (35.8)
Předmětová vzdálenost p je stejně jako u zrcadel kladná;
obrazová vzdálenost i je kladná pro reálný obraz a zá-
pornápro virtuálníobraz.Abychomvšakmělivrov.(35.8)
všechnaznaménkasprávně,musímeještěužítnásledujícího
pravidla pro znaménko poloměru křivosti r:
Nachází-li se předmět před vypuklou lámavou plochou,
jepoloměrkřivosti r kladný.Nachází-lisepředvydutou
plochou, je r záporné.
(a)
O C I
n
1
n
2
r
pi
reálný
(b)
O C I
n
1
n
2
r
pi
reálný
(c)
O CI
n
1
n
2
virtuální
(d)
OC I
n
1
n
2
virtuální
(e)
O CI
n
1
n
2
virtuální
(f)
O CI
n
1
n
2
virtuální
Obr.35.11 Šest možných způsobů, při nichž vznikne obraz lo-
mem na kulovém povrchu poloměru r se středem křivosti C.
Povrch (rozhraní) odděluje dvě prostředí s indexy lomu n
1
a n
2
.
Bodový zdroj O je vždy v prostředí s n
1
nalevo od povrchu.
Prostředí s menším indexem lomu není vystínováno (myslete
si, že je to vzduch, zatímco druhé prostředí je vyplněno sklem).
Reálné obrazy vznikají v případech (a) a (b), virtuální obrazy
vznikají v ostatních čtyřech případech.
Pozor:totopravidlojeprávěobrácenénežpravidlopro
zrcadla.
PŘÍKLAD 35.3
Moskyt z jurského období byl nalezen zalitý v kusu jantaru
s indexem lomu 1,6. Jeden povrch jantaru tvoří vypuklá ku-
lováplochaspoloměremkřivosti 3,0mm(obr.35.12).Hlava
moskyta leží na centrální ose povrchu. Prohlížíme-li ji ve
směruosy,jevísevnořena5,0mmdojantaru.Vjakéhloubce
je ve skutečnosti?
ŘEŠENÍ: Předně si musíme uvědomit, co znamená „jeví
se“:znamenáto,žepozorovatel(vevzduchu)vidíobrazhlavy
moskytavjantaru5,0mmodkulového povrchujantaru.Pro-
tože předmět (hlava) a jeho obraz jsou na téže straně lámavé
plochy, musí být obraz virtuální a tedy i =−5,0mm. Index
lomu prostředí, v němž leží předmět, je vždy označen n
1
;
musíme tedy položit n
1
= 1,6an
2
= 1,0. Konečně protože
předmět leží před vydutou lámavou plochou, je její polo-
měr křivosti záporný, r =−3,0mm. Hledáme polohu před-
930 KAPITOLA 35 OBRAZY
mětu p. Dosazením těchto údajů do rov.(35.8) dostaneme
n
1
p
+
n
2
i
=
n
2
−n
1
r
,
tedy
1,6
p
+
1,0
−5,0mm
=
1,0−1,6
−3,0mm
a
p = 4,0mm. (Odpovědquoteright)
IOC
r
p
i
Obr.35.12 Příklad 35.3. Moskyt z jurského období pohřbený
v kusu jantaru; jeho hlava se nachází v bodě O. Kulový lámavý
povrch na pravé straně se středem křivosti C vytváří obraz I vní-
manýpozorovatelem,kterýzachytípaprskyšířícísezpředmětuO.
K
ONTROLA 3: Včela se vznáší před vydutým kulovým
lámavýmpovrchemskleněnésochy.(a)Kterýzpřípadů
naobr.35.11odpovídátétosituaci?(b)Jeobrazvytvo-
řený tímto povrchem reálný, nebo virtuální a nachází
se na stejné straně jako včela, nebo na opačné?
35.6 TENKÁ ČOČKA
Čočka je průhledné (transparentní) těleso se dvěma lá-
mavými plochami, jejichž centrální osy splývají. Společná
centrálníosajecentrálníosoučočky.Je-ličočkaobklopena
vzduchem, láme se světlo ze vzduchu do čočky, prochází
čočkou a znovu se láme do vzduchu. Při každém lomu se
může změnit směr chodu světla.
Čočku,kterázpůsobí,žepaprskypůvodněrovnoběžné
s centrální osou se sbíhají (konvergují), nazveme spoj-
kounebolispojnou(konvergentní)čočkou.Jestližečočka
místo toho způsobí, že takové paprsky se rozbíhají (diver-
gují), jde o rozptylku neboli čočku rozptylnou (diver-
gentní).Umístíme-lipředmětpředčočkyoboutypů,mohou
lomené světelné paprsky vytvořit obraz tohoto předmětu.
Budeme se zabývat pouze speciálním případem tenké
čočky, tj. čočkou, jejíž nejtlustší část je tenká ve srovnání
Hmyz pohřbený v jantaru přibližně před 25 miliony let. Protože
hopozorujemepřeszakřivenýlámavýpovrch,nesouhlasíobraz,
který vidíme, s polohou předmětu.
s předmětovou vzdáleností p, s obrazovou vzdáleností i
a s poloměry křivosti r
1
a r
2
obou povrchů čočky. Budeme
také uvažovat pouze světelné paprsky, které svírají malé
úhly s centrální osou (v obrázcích jsou tyto úhly zveli-
čeny). V čl.35.8 dokážeme, že za těchto předpokladů má
tenká čočka ohniskovou vzdálenost f, která je vázána se
vzdálenostmi i a p vztahem
1
f
=
1
p
+
1
i
(tenká čočka). (35.9)
Tento vztah má stejný tvar, jaký měla rovnice pro ku-
lová zrcadla. Dokážeme také, že pro tenkou čočku s inde-
xem lomu n obklopenou vzduchem je ohnisková vzdále-
nost f dána vztahem
1
f
= (n−1)
parenleftbigg
1
r
1
−
1
r
2
parenrightbigg
(tenká čočka
ve vzduchu),
(35.10)
kde r
1
je poloměr křivosti povrchu bližšího k předmětu
ar
2
jepoloměrkřivostidruhéhopovrchu.Znaménkatěchto
poloměrů určíme podle pravidla pro poloměry lámavých
ploch v čl.35.5. Pro čočku obklopenou jinou látkou než
35.6 TENKÁ ČOČKA 931
vzduchem (řekněme rostlinným olejem) s indexem lomu
n
m
nahradíme n v rov.(35.10) podílem n/n
m
. Z předchá-
zejících úvah, na nichž jsou založeny rov.(35.9) a (35.10),
vyplývá:
Čočka může vytvářet obraz nějakého předmětu jen tím,
že mění směr světelných paprsků. To však může jen
tehdy,je-lijejíindexlomuodlišnýodindexulomulátky,
která ji obklopuje.
Na obr.35.13a je tenká čočka s vypuklými lámavými
povrchy neboli stranami čočky (dvojvypuklá). Prochá-
zejí-li jí paprsky, které byly původně rovnoběžné s její
centrální osou, lámou se dvakrát, což ukazuje zvětšený
obr.35.13b. Tento dvojí lom způsobuje, že se paprsky sbí-
hají a procházejí společným bodem F
2
ve vzdálenosti f
od středu čočky. Tato čočka je tedy spojná, má v bodě F
2
reálné ohnisko (protože paprsky jím skutečně procházejí)
a její ohnisková vzdálenost je f. Pošleme-li čočkou pa-
prsky rovnoběžné s optickou osou v opačném směru, na-
lezneme jiné reálné ohnisko v bodě F
1
na druhé straně
čočky.Vpřípadětenkéčočkyvevzduchujsoutatoohniska
stejně vzdálena od čočky.
Protože ohniska spojné čočky jsou reálná, pokládáme
jejíohniskové vzdálenosti f za kladné,stejnějako u vydu-
tého zrcadla s reá