hrw25

25
Elektrick˝ potenci·l
Blesk zabÌjel… Kdyû se na vyhlÌdkovÈ ploöinÏ tato ûena tÏöila z pohledu
na okolÌ,zjistila,ûe jÌ na hlavÏ stojÌ vlasy. JejÌ bratr ji tak vyfotografoval.
PÏt minut po jejich odchodu ude¯il do ploöiny blesk,zabil jednu osobu
a sedm dalöÌch zranil. ProË se ûenÏ zjeûily vlasy? Z jejÌho pohledu lze
soudit,ûe to nebyl strach ó i kdyû k nÏmu byl p·dn˝ d˘vod.
25.1 ELEKTRICKÁ POTENCIÁLNÍ ENERGIE 641
25.1 ELEKTRICKÁ POTENCIÁLNÍ
ENERGIE
Newtonův zákon pro gravitační sílu a Coulombův zákon
pro elektrostatickou sílu mají stejný matematický tvar,
takže některé obecné závěry týkající se gravitační síly, ke
kterým jsme došli v kap. 14, mohou být zřejmě použity i pro
sílu elektrostatickou. Především je zřejmé, že elektrosta-
tická síla je silou konzervativní. Systému složenému ze
dvou nebo více nabitých částic lze tedy přiřadit potenciální
energii E
p
, kterou nazýváme elektrostatickou nebo též
elektrickou. Změní-li se v takovém systému poloha částic
z počáteční konfiguraceK
i
do koncovéK
f
, pak elektrosta-
tická síla vykoná na částicích práci W. Z rov. (8.1) plyne,
že odpovídající změnaDelta1E
p
potenciální energie systému je
Delta1E
p
=E
p,f
−E
p,i
=−W. (25.1)
Pro elektrostatickou sílu platí stejně jako pro jiné kon-
zervativní síly, že práce touto silou vykonaná nezávisí na
trajektorii. Předpokládejme, že se jedna z nabitých čás-
tic patřících do systému přesune z počáteční polohy r
i
do
koncové polohy r
f
vlivem elektrostatické síly od ostatních
nabitých částic. Za předpokladu, že se polohy ostatních
částic nemění, je práce vykonaná touto silou stejná při li-
bovolném tvaru (tedy i délce) trajektorie částice mezi body
s polohovými vektory r
i
a r
f
(dále jen mezi body (i) a (f)).
Za vztažnou(referenční)konfiguraci dané soustavy na-
bitých částic je vhodné zvolit takové vzájemné rozmístění
částic, při němž jsou částice „v nekonečnu“, tedy tak daleko
od sebe, že jejich vzájemné působení můžeme zanedbat.
Potenciální energie, která takovéto konfiguraci částic od-
povídá, se obvykle volí rovna nule. Předpokládejme, že
několik nabitých částic přejde z počátečního stavu s ne-
konečně velkými rozestupy (konfigurace K
i
) do nového
stavu a vytvoří tak uvažovaný systém částic (v konfigu-
raci K
f
). Nechtquoteright počáteční potenciální energie částic E
p,i
je nulová a nechtquoteright symbol W
∞
představuje práci vykona-
nou elektrostatickými silami působícími mezi částicemi při
jejich přesunu z nekonečna do poloh v konfiguraci K
f
.*
Pak podle rov. (25.1) potenciální energieE
p
systému částic
v koncové konfiguraci K
f
je
E
p
=−W
∞
. (25.2)
Elektrickou potenciální energii považujeme stejně jako
jiné druhy potenciální energie za jednu z forem energie.
* Abychom mohli elektrické síly považovat za elektrostatické, musí
se částice pohybovat natolik pomalu, aby se neuplatnily jevy spjaté
s pohybem náboje, např. elektrický proud.
Připomeňme z kap. 8, že (mechanická) energie izolovaného
systému se zachovává, pokud v systému působí pouze kon-
zervativní síly. Tento fakt náležitě využijeme v další části
této kapitoly.
RADYANÁMĚTY
Bod 25.1: Elektrická potenciální energie. Práce vykonaná
elektrickým polem
Elektrickou potenciální energii spojujeme se systémem
částic jako s celkem. Setkáme se však i s výroky (poprvé
u př. 25.1), v nichž je tato energie přiřazena pouze jediné čás-
tici systému. Například čteme „elektron v elektrickém poli
má elektrickou potenciální energii 10
−7
J.“ I takové výroky
jsou přijatelné, ale vždy si musíme uvědomit, že ve sku-
tečnosti je potenciální energie vlastností celého systému —
v uvedeném příkladu celé konfigurace elektron+nabité části-
ce, které vytvářejí elektrické pole. Přiřazujeme-li potenciální
energii jen jediné částici z celého systému, říkáme často, že
práce vykonaná na částici je vykonána elektrickým polem.
Tím rozumíme, že práci na částici vykoná výsledná síla vy-
volaná ostatními částicemi systému prostřednictvím jejich
společného elektrického pole.
Zapamatujme si také, že přiřadit hodnotu potenciální ener-
gie částici nebo systému částic (jako v uvedeném příkladu
hodnotu 10
−7
J) má smysl jen tehdy, zadáme-li hodnotu po-
tenciální energie ve vhodném referenčním stavu.
PŘÍKLAD25.1
Elektrony se uvolňují náhodnými srážkami molekul vzdu-
chu s částicemi kosmického záření přicházejícího z vesmíru.
Uvolněný elektron podléhá působení elektrostatické síly F
vyvolané elektrickým polem o intenzitě E, které je v atmo-
sféře vytvořeno nabitými částicemi nacházejícími se vždy
v nějakém množství na zemském povrchu. Blízko zemského
povrchu má elektrická intenzita velikost E
.
= 150 N·C
−1
a směřuje k zemi. Jaká je změna Delta1E
p
elektrické poten-
ciální energie uvolněného elektronu, jestliže se působením
elektrostatické síly posunul vzhůru po svislé dráze délky
d = 520 m (obr. 25.1)?
EF
d
Q −
Obr.25.1 Příklad 25.1. Elektron v atmosféře se přemístquoterightuje svisle
vzhůru do vzdálenosti d vlivem elektrostatické síly F =QE.
ŘEŠENÍ: Rov. (25.1) uvádí do vzájemného vztahu změnu
elektrické potenciální energie elektronuDelta1E
p
a práciW vyko-
nanou na elektronu elektrickým polem. Podle kap. 7 je práce
642 KAPITOLA 25 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL
vykonaná konstantní silou F, působící na částici a vyvoláva-
jící posunutí d částice, rovna
W = F ·d. (25.3)
Podle rov. (23.28) platí F =QE. Připomeňme, že znaménko
náboje Q je do této vektorové rovnice zahrnuto a že Q je
náboj elektronu (Q=−e
.
=−1,60·10
−19
C). Do rov. (25.3)
dosadíme za sílu F, čímž dostaneme
W =QE·d =QEd cosθ, (25.4)
kde θ je úhelmezi směry vektorů E a d. Intenzita E směřuje
k zemskému povrchu a posunutí d má směr svisle vzhůru.
Proto θ = 180
◦
. Dosadíme-li tuto hodnotu spolu s ostatními
hodnotami do rov. (25.4), dostaneme
W =(−1,60·10
−19
C)(150 N·C
−1
)(520 m)·(−1)=
= 1,20·10
−14
J.
Podle rov. (25.1) pak je
Delta1E
p
=−W =−1,20·10
−14
J. (Odpovědquoteright)
To znamená, že během 520 m dlouhého výstupu klesne
elektrická potenciální energie elektronu o 1,20·10
−14
J.
K
ONTROLA 1: Na obrázku znázorněný proton se pohy-
buje ve směru šipky v homogenním elektrickém poli
o intenzitě E z bodu (i) do (f). (a) Koná elektrické
pole působící na proton kladnou, nebo zápornou prá-
ci? (b) Roste, nebo klesá elektrická potenciální energie
protonu při jeho pohybu?
fi
E
+
25.2 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL,
NAPĚTÍ
Z př. 25.1 je vidět, že elektrická potenciální energie nabité
částice v elektrickém poli závisí na velikosti jejího náboje.
Avšak potenciální energie vztažená na jednotkovýnáboj má
jednoznačnou hodnotu, závislou už jen na poloze v elek-
trickém poli.
Předpokládejme například, že jsme za testovací částici
zvolili proton s kladným nábojem 1,60·10
−19
C a umístili
ho do pole v bodě,v němž má tato částice potenciální energii
2,40·10
−17
J. Potenciální energie připadající na jednotkový
náboj je tedy
2,40·10
−17
J
1,60·10
−19
C
= 150 J·C
−1
.
Dále předpokládejme, že proton nahradímeα-částicí, která
má dvakrát větší kladný náboj, tedy 3,20·10
−19
C. Zjistili
bychom, že α částice má energii dvakrát větší než proton,
tj. 4,80·10
−17
J. Energie připadající na jednotkový náboj
však zůstává stejná (150 J·C
−1
). Energii připadající na jed-
notkový náboj můžeme zapsat podílemE
p
/Q. Je nezávislá
na náboji Q částice, kterou jsme k testování použili, a cha-
rakterizujepouzeelektricképole, které v bodě s polohovým
vektorem r vyšetřujeme. Nazýváme ji elektrický poten-
ciálϕ (neboli potenciál elektrického pole; v dalším píšeme
též jen potenciál, pokud nehrozí záměna s potenciály polí
jiných sil— gravitační, pružnosti, … ):
ϕ(r)=
E
p
Q
(definice potenciálu). (25.5)
Poznamenejme, že potenciálje skalární veličina, nikoli
vektorová.
Rozdílhodnot potenciálu Delta1ϕ mezi dvěma libovolnými
body (i) a (f) elektrického pole je roven rozdílu hodnot
potenciální energie jednotkového náboje v těchto bodech:
Delta1ϕ =ϕ
f
−ϕ
i
=
E
p,f
Q
−
E
p,i
Q
=
Delta1E
p
Q
(25.6)
a nazýváme ho (elektrické) napětí U mezi těmito body.
Přívlastek „elektrický“ budeme používat tehdy, pokud by
hrozilo nedorozumění, např. záměna s mechanickým napě-
tím τ = F/Sz kap. 13. Dosadíme-li rov. (25.1) do (25.6),
dostaneme
U =Delta1ϕ =ϕ
f
−ϕ
i
=−
W
Q
(definice napětí). (25.7)
Napětí mezi dvěma body elektrického pole je tedy
rovno záporně vzaté práci vykonané elektrostatickou si-
lou při přemístění náboje jednotkové velikosti mezi těmito
body. Může být kladné, záporné, nebo nulové; to záleží na
znaménkách náboje Q a práce W. Jestliže za referenční
(vztažnou) hodnotu elektrické potenciální energie zvolíme
E
p,i
= 0 v nekonečnu, pak podle rov. (25.5) bude hodnota
potenciálu ϕ v nekonečnu také nulová. Elektrický poten-
ciál ϕ
f
v libovolném bodě (f) elektrického pole je podle
rov. (25.7) dán vztahem
ϕ
f
=−
W
∞
Q
, (25.8)
25.3 EKVIPOTENCIÁLNÍ PLOCHY 643
kde W
∞
je práce vykonaná elektrickým polem při pře-
místění částice s nábojem Q z nekonečna do uvažovaného
bodu (f). Potenciáltedy může být kladný, záporný, nebo
nulový. Z rov. (25.8) vyplývá, že jednotkou pro elektrický
potenciáli pro napětí v soustavě SI je J·C
−1
. Tato jednotka
se vyskytuje tak často, že pro ni bylzavedený samostatný
název volt (značka V). Platí tedy
1 volt = 1 joule na 1 coulomb. (25.9)
Tato jednotka pro potenciálumožňuje zavést vhodnější
jednotku pro intenzitu elektrického pole E, kterou jsme až
dosud vyjadřovali v newtonech na coulomb.Přihlédneme-li
ke vztahům (25.4) a (25.6), dostaneme
1N·C
−1
=(1N·C
−1
)(1V·C·J
−1
)(1J·N
−1
·m
−1
)=
= 1V·m
−1
. (25.10)
V dalším budeme dávat přednost jednotce V·m
−1
před
dosavadní jednotkou 1 N·C
−1
.
Nyní můžeme stanovit velikost jednotky energie na-
zvané elektronvolt, která byla zavedena v čl. 7.1 pro mě-
ření energie v atomovém a subatomovém světě. Jeden elek-
tronvolt (značka eV) je energie, která se rovná práci nutné
k přemístění jednoho elementárního nábojee(tj. náboje ve-
likosti např. jednoho elektronu nebo protonu) mezi dvěma
místy elektrického pole, mezi nimiž je napětí jednoho vol-
tu. Z rov. (25.7) vyplývá, že tato práce je určena výrazem
QDelta1ϕ, takže
1eV=e(1V)
.
=
.
=(1,60·10
−19
C)(1J·C
−1
)
.
= 1,60·10
−19
J.
RADYANÁMĚTY
Bod25.2: Potenciál a potenciální energie
Elektrický potenciál ϕ a elektrická potenciální energie E
p
jsou rozdílné veličiny a nesmíme je zaměňovat.
Elektrický potenciál charakterizuje elektrické pole jako
takové. Hodnota potenciálu se vyjadřuje v joulech na cou-
lomb neboli ve voltech.
Elektrická potenciální energie je energie nabitého tělesa
umístěného do vnějšího elektrického pole (nebo přesně-
ji, je to energie systému sestávajícího z nabitého tělesa
a vnějšího elektrického pole); vyjadřuje se v joulech.
Práce vykonaná v elektrickém poli
vnější silou
Předpokládejme, že se v elektrickém poli vlivem vnější
síly přemístquoterightuje částice s nábojem Q z bodu (i) do bodu (f).
Při takovém přemístění částice koná vnější síla práci W
ext
a elektrické pole koná práci W. Podle rov. (7.15) je změna
kinetické energie Delta1E
k
částice rovna
Delta1E
k
=E
k,f
−E
k,i
=W
ext
+W. (25.11)
Předpokládejme, že částice byla před přemístěním
v klidu a po něm bude rovněž v klidu. Pak E
k,f
=E
k,i
= 0
a rov. (25.11) se zjednoduší:
W
ext
=−W. (25.12)
Slovy: práce W
ext
vykonaná vnější (neboli externí) silou
během přemístění částice je rovna záporně vzaté práci W
vykonané elektrickým polem.
Dosadíme-li rov. (25.12) do (25.1), dostaneme vztah
mezi prací vnější síly a změnou elektrické potenciální ener-
gie částice během jejího pohybu:
Delta1E
p
=E
p,f
−E
p,i
=W
ext
. (25.13)
Podobně dosazením rov. (25.12) do rov. (25.7) dosta-
neme vztah mezi prací vnější síly W
ext
a potenciálovým
rozdílem Delta1ϕ mezi body v počáteční a výsledné poloze
částice:
W
ext
=QDelta1ϕ. (25.14)
PráceW
ext
může zřejmě být také kladná, záporná, nebo
nulová. Je to práce, kterou musíme vykonat, abychom pře-
místili částici s nábojem Q mezi dvěma body, mezi nimiž
je napětí U = Delta1ϕ, aniž se přitom změní kinetická energie
částice.
K
ONTROLA 2: Na obrázku v kontrole 1 přemístquoterightujeme
proton z bodu (i) do bodu (f) v homogenním elek-
trickém poli naznačeného směru. (a) Koná vnější síla
kladnou, nebo zápornou práci? (b) Pohybuje se při-
tom proton směrem k vyšším, nebo k nižším hodnotám
potenciálu?
25.3 EKVIPOTENCIÁLNÍ PLOCHY
Body, ve kterých má elektrický potenciál stejnou hodno-
tu, tvoří ekvipotenciální plochu. Ta může být reálná —
fyzická (např. povrch nějakého tělesa) anebo jen myšlená
(např. jeho rovina symetrie). Při přemístění částice mezi
body (i) a (f), které leží na téže ekvipotenciální ploše, ne-
vykoná elektrické pole žádnou úhrnnou práci. To vyplývá
z rov. (25.7): jestliže platí ϕ
i
= ϕ
f
,pakW = 0. Protože
práce elektrostatické síly je nezávislá na trajektorii,je vyko-
naná práce nulová, a to pro libovolnou trajektorii spojující
644 KAPITOLA 25 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL
body (i) a (f), bez ohledu na to, zda celá trajektorie leží, či
neleží na ekvipotenciální ploše.
I
II
III
IV
ϕ
1
=100V
ϕ
2
=80V
ϕ
3
=60V
ϕ
4
=40V
Obr.25.2 Části čtyř ekvipotenciálních ploch. Jsou zobrazeny
čtyři trajektorie, po nichž se může pohybovat testovací nabitá
částice. Dále jsou naznačeny dvě elektrické siločáry.
Obr. 25.2 ukazuje svazek ekvipotenciálních ploch
v elektrostatickém poli. Práce vykonaná silou tohoto pole
při přemístění nabité částice z počátečního do koncového
bodu v případě trajektorie I nebo trajektorie II je nulová,
protože každá z nich začíná a končí na téže ekvipotenciální
ploše. Práce vykonaná při přesunu nabité částice z po-
čátečního bodu do koncového bodu podéltrajektorie III
i trajektorie IV je nenulová a v obou případech stejně
velká, protože potenciál má v počátečních bodech obou
trajektorií stejnou hodnotu a rovněž v koncových bodech
má stejnou hodnotu. (Trajektorie III a IV spojují stejnou
dvojici ekvipotenciálních ploch.)
V elektrickém poli bodového náboje stejně jako v poli
náboje rozloženého středově symetricky jsou ekvipoten-
ciálními plochami soustředné kulové plochy. Ekvipoten-
ciální plochy v homogenním poli tvoří svazek vzájemně
rovnoběžných rovin kolmých k siločárám (obr. 25.3). Ekvi-
potenciální plochy jsou vždy kolmé k siločárám, a tedy
také k elektrické intenzitě E (protože její směr je dán teč-
nou k elektrickým siločárám). Kdyby totiž vektor E ne-
byl kolmý k příslušné ekvipotenciální ploše, měla by jeho
složka ve směru tečném k této ploše nenulovou hodnotu.
Tato složka by konala práci na nabité částici při jejím po-
hybu po ekvipotenciální ploše. Avšak podle rov. (25.7) při
posunutí nabité částice po ekvipotenciální ploše nekonají
elektrické síly práci. Z toho plyne jediný možný závěr, že
vektor E musí být v každém bodě ekvipotenciální plochy
k ní kolmý. Obr. 25.3 ukazuje elektrické siločáry a příčné
řezy ekvipotenciálních ploch (a) homogenního elektrického
pole, (b) pole bodového náboje a (c) pole elektrického di-
pólu.
Nyní obrátíme svou pozornost k fotografii ženy, uve-
dené na začátku této kapitoly. Protože žena stála na plo-
šině, která byla vodivě spojena s horským svahem, byla
přibližně na stejném potenciálu jako tento svah. Elektricky
vysoce nabitý mrak vytvořil elektrostatickou indukcí silné
elektrické pole kolem ženy a kolem horského svahu s inten-
zitou E směřující kolmo k povrchu od ní a od svahu. Elek-
trostatické síly tohoto pole přinutily některé volné elektrony
v těle ženy k pohybu směrem dolů, ponechávajíce prameny
jejích vlasů kladně nabité. Intenzita pole byla zřejmě vyso-
ká, ale menší než asi 3·10
6
V·m
−1
, protože ta by vyvolala
elektrický průraz molekulami vzduchu. (A k průrazu sku-
tečně o něco později došlo: do plošiny udeřil blesk.)
Ekvipotenciální plochy obklopující ženu stojící na hor-
ské plošině lze odhadnout podle jejích vlasů, které jsou
nataženy ve směrech vektoru E, a jsou tedy kolmé k ekvi-
potenciálním plochám, jak je znázorněno na obr. 25.4.
(a)
ekvipotenciální plocha
siločára
(b)
+
(c)
+
Obr.25.3 Elektrické siločáry (fialově) a příčné řezy ekvipotenciálních ploch (zlatě) (a) v homogenním elektrickém poli, (b) v elek-
trickém poli bodového náboje, (c) v poli elektrického dipólu.
25.4 VÝPOČET POTENCIÁLU ZE ZADANÉ INTENZITY ELEKTRICKÉHO POLE 645
ekvipotenciální
plochy
E
E
E
E
E
E
Obr.25.4 Schématem doplněná fotografie z úvodní strany této
kapitoly ukazuje důsledek působení nabitého mraku, který vy-
tvořil silné elektrické pole o intenzitěE blízko hlavy ženy.Mnohé
prameny jejích vlasů se natáhly podél směru elektrického pole,
které je vždy kolmé k ekvipotenciálním plochám a silnější je tam,
kde jsou tyto ekvipotenciální plochy těsněji u sebe, tj. v tomto
případě nad temenem hlavy ženy.
Pole bylo zřejmě nejsilnější právě nad hlavou ženy,
protože zde jsou její vlasy nataženy více než po stranách
hlavy (proto jsou ekvipotenciální plochy nad hlavou ženy
blíž u sebe).
Poučení je jednoduché. Jestliže vám vlivem vnějšího
elektrického pole vstanou vlasy na hlavě, běžte raději do
úkrytu a nepózujte pro fotografický snímek.
25.4 VÝPOČET POTENCIÁLU
ZE ZADANÉ INTENZITY
ELEKTRICKÉHO POLE
Potenciálový rozdíl neboli napětí mezi dvěma libovolnými
body (i) a (f) v elektrickém poli můžeme vypočítat,známe-li
vektor intenzity elektrického pole E v každém bodě libo-
volné spojnice těchto dvou bodů. K výpočtu je třeba určit
práci vykonanou elektrickým polem při přemístění klad-
ného testovacího náboje z bodu (i) do bodu (f) a pak použít
rov. (25.7).
Uvažujme libovolné elektrické pole, např. pole zobra-
zené siločárami na obr. 25.5, a kladný testovací náboj Q
0
,
který se pohybuje podélznázorněné trajektorie z bodu (i)
do bodu (f). Pole působí na částici v každém bodě její
trajektorie silou F = Q
0
E a tato síla koná práci.* Z kap. 7
víme, že elementární práce, kterou vykoná síla F při posu-
nutí částice o dr, je rovna
dW = F · dr. (25.15)
V našem případě je F = Q
0
E a posunutí dr označíme ds
(obr. 25.5). Rov. (25.15) pak má tvar
dW =Q
0
E · ds. (25.16)
Vyjádřit celkovou práciW vykonanou elektrostatickou
silou, působící na nabitou částici, která se vlivem tohoto
působení pohybuje z bodu (i) do bodu (f), vyžaduje sečíst
všechny dílčí práce vykonané při infinitezimálních posu-
nutích ds podélcelé trajektorie C částice:
W =Q
0
integraldisplay
C
E · ds. (25.17)
i
f
trajektorie
siločára
Q
0
Q
0
E
ds
+
Obr.25.5 Testovací částice s kladným nábojemQ
0
se pohybuje
(posunutí ds) v nehomogenním elektrickém poli E z bodu (i) do
bodu (f) podéltrajektorie C. Působí na ni elektrostatická síla
Q
0
E ve směru tečny k siločáře; síla koná práci dW =Q
0
E·ds.
Protože elektrostatická síla je konzervativní, vedou
všechny integrační cesty (jednoduché i jakkoli složité) spo-
jující tutéž dvojici bodů ke stejnému výsledku. Proto není
nutné u křivkového integrálu v rov. (25.17) pro výpočet
práce vyznačovat trajektorii C, stačí uvést jen počáteční
a koncový bod. Jestliže práciW z rov. (25.17) dosadíme do
rov. (25.7), dostaneme
ϕ
f
−ϕ
i
=−
integraldisplay
f
i
E· ds. (25.18)
Rozdílpotenciálů (ϕ
f
−ϕ
i
) mezi dvěma libovolnými body
(i) a (f) elektrického pole je tedy roven záporné hodnotě
* K tomu, aby se částice pohybovala po znázorněné trajektorii, musí
na ni zřejmě působit kromě F ještě i jiná síla F
prime
(např. vazební). Práci
této síly neuvažujeme; víme ostatně z čl. 8.2, že vazební síla je vždy
k trajektorii kolmá, a práci tedy nekoná.
646 KAPITOLA 25 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL
křivkovéhointegráluod(i)do(f).Všimněme si,že tento vý-
sledek je nezávislý na velikosti nábojeQ
0
testovací částice,
k