hrw25

terou jsme použili k určení rozdílu potenciálů (tj. napětí)
v elektrickém poli. Je-li intenzita pole v určité části prostoru
známa, pak rov. (25.18) umožňuje vypočítat napětí mezi
dvěma libovolnými body pole v této části prostoru. Zvo-
líme-li potenciál ϕ
i
v bodě (i) roven nule, pak rov. (25.18)
dává
ϕ
f
=ϕ =−
integraldisplay
f
i
E · ds. (25.19)
V rov. (25.19) už nepíšeme index (f) u potenciálu ϕ
f
.
Rov. (25.19) určuje hodnotu elektrického potenciáluϕ vli-
bovolném bodě (f) vzhledem k nulové hodnotě potenciálu
v bodě (i). Nulovou hodnotu potenciálu volíme zpravidla
v nekonečnu nebo na některé v daném případě důležité
vodivé ploše.
PŘÍKLAD25.2
(a) Na obr. 25.6a vidíme dva body (i) a (f) v homogenním
elektrickém poli o intenzitěE.Oba body leží na téže elektrické
siločáře (která není znázorněna) ve vzdálenosti d. Určete po-
tenciálový rozdíl (ϕ
f
−ϕ
i
) pomocí kladně nabité testovací
částice s nábojem Q
0
, pohybující se z bodu (i) do bodu (f)
po trajektorii rovnoběžné se směrem pole.
ŘEŠENÍ: Protože se testovací částice pohybuje z bodu (i)
do bodu (f) (obr. 25.6a), má vektor jejího infinitezimálního
posunutí ds směr stejný jako intenzita E.Úhelθ mezi směry
těchto dvou vektorů je roven nule, takže rov. (25.18) dává
ϕ
f
−ϕ
i
=−
integraldisplay
f
i
E· ds =−
integraldisplay
f
i
E(cos 0)ds =
=−
integraldisplay
f
i
Eds.
Protože pole je homogenní, je vektor intenzity E kon-
stantní (má konstantní velikost i směr) ve všech bodech inte-
grační cesty a jeho velikost lze vytknout před integrál
ϕ
f
−ϕ
i
=−E
integraldisplay
f
i
ds =−Ed. (Odpovědquoteright)
V tomto vztahu je integrálroven délce d trajektorie částice.
Záporné znaménko ve výsledku znamená, že elektrický po-
tenciálv bodě (f) má menší hodnotu než v bodě (i).Tento
výsledek potvrzuje, že elektrický potenciál klesá ve směru
elektrických siločár.
(b) Nyní určeme rozdílpotenciálů (ϕ
f
−ϕ
i
) sledováním po-
hybu stejné testovací částice, která se však pohybuje z bodu
(i) do bodu (f) přes bod (c) podle obr. 25.6b.
ŘEŠENÍ: Ve všech bodech spojnice bodů(i)a(c)jsou vek-
tory E ads vzájemně kolmé. Proto platí E · ds = 0 ve všech
bodech této části integrační cesty. Podle rov. (25.18) mají
body(i)a(c)stejnou hodnotu elektrického potenciálu.Jinými
slovy, body (i) a (c) leží na stejné ekvipotenciální ploše.
Ve všech bodech spojnice bodů(c)a(f)jeθ = 45
◦
,a proto
podle rov. (25.18) je
ϕ
f
−ϕ
c
=−
integraldisplay
f
c
E · ds =−
integraldisplay
f
c
E(cos 45
◦
)ds =
=−
E
√
2
integraldisplay
f
c
ds.
Integrálv této rovnici je roven délce spojnice bodů (c) a (f),
a má tedy hodnotu d/sin 45
◦
=
√
2d.Proto
ϕ
f
−ϕ
c
=−
E
√
2
√
2d =−Ed. (Odpovědquoteright)
Poněvadž ϕ
c
= ϕ
i
, dostali jsme stejný výsledek jako
v otázce (a) tohoto příkladu. Tím je opět ověřeno, že na-
pětí mezi dvěma body nezávisí na volbě trajektorie, po které
přejdeme od jednoho bodu ke druhému. Poučení: hledáme-li
napětí mezi dvěma body elektrického pole pomocí testovací
částice pohybující se mezi nimi, pak lze volit takovou tra-
jektorii, pro kterou bude výpočet integrálu v rov. (25.18) co
nejjednoduší.
(a)(b)
d
i
f
Q
0
E
ds
i
f
c
d
E
ds
E
ds
Q
0
Q
0
+
+
+
45
◦
45
◦
Obr.25.6 Příklad 25.2. (a) Testovací částice s nábojem Q
0
se po-
hybuje po přímé dráze z bodu (i) do bodu (f) ve směru intenzity
homogenního elektrického pole. (b) Táž částice se pohybuje ve
stejném elektrickém poli podél spojnice bodů (i), (c), (f).
K
ONTROLA 3: Obrázek znázorňuje několik vzájemně
rovnoběžných ekvipotenciálních ploch (v příčném
řezu) a pět trajektorií, po kterých budeme přemístquoterightovat
elektron z jedné plochy na druhou. (a) Jaký je směr
vektoru intenzity elektrického pole, které je těmito
25.5 POTENCIÁL BODOVÉHO NÁBOJE 647
ekvipotenciálními plochami zobrazeno? (b) U každé
znázorněné trajektorie určete, zda práce námi vyko-
naná po této trajektorii je kladná, záporná, nebo nulová.
(c) Uvedené trajektorie seřadquoterightte sestupně podle práce
na nich vykonané.
1
2
3
4
5
40V50V60V70V80V90V
25.5 POTENCIÁL BODOVÉHO NÁBOJE
Rov. (25.18) nyní použijeme pro odvození vztahu pro po-
tenciál ϕ pole bodového náboje. Uvažujme bod P ve
vzdálenosti r od pevného kladného bodového náboje Q
(obr. 25.7). Představme si, že se kladně nabitá testovací
částice Q
0
pohybuje z bodu P do nekonečna. Protože ne-
záleží na trajektorii, po které se testovací částice pohybuje,
zvolíme tu nejjednodušší: vybereme trajektorii směřující
z bodu P do nekonečna podélpaprsku vycházejícího z bo-
dového náboje Q.
Pole bodového náboje je radiální a pro Q>0směřuje
od něj. Z obr. 25.7 je vidět, že vektory E ads jsou souhlasně
rovnoběžné, a také, že ds = dr
prime
.Proto
E· ds =E(ds)(cos 0
◦
)=Eds =Edr
prime
, (25.20)
Dosadíme tuto rovnici do rov. (25.18), přičemž položíme
r
i
=r a r
f
=∞, dostaneme:
ϕ
f
−ϕ
i
=ϕ(∞)−ϕ(r)=−
integraldisplay
∞
r
Edr
prime
. (25.21)
P
r
r
prime
Q
Q
0
++
ds
E
Obr.25.7 Kladný bodový náboj Q vyvolává v bodě P elek-
trické pole o intenzitě E a potenciálu ϕ. Potenciálv bodě P ur-
čujeme s pomocí testovací částice s nábojemQ
0
,kteroupřemís-
tquoterightujeme z bodu P do nekonečna. Je znázorněno infinitezimální
posunutí částice o ds ve vzdálenosti r
prime
od bodového náboje.
Velikost intenzity elektrického pole v místě testovací
částice je dána rov. (23.3) a má hodnotu
E =
1
4D4ε
0
Q
r
prime2
. (25.22)
Dosazením tohoto výsledku do rov. (25.21) a integro-
váním dostaneme
ϕ(∞)−ϕ(r)=−
Q
4D4ε
0
integraldisplay
∞
r
1
r
prime2
dr
prime
=
=−
Q
4D4ε
0
bracketleftbigg
−
1
r
prime
bracketrightbigg
∞
r
=
=−
Q
4D4ε
0
parenleftbigg
−0 −
parenleftbigg
−
1
r
parenrightbiggparenrightbigg
=
=−
1
4D4ε
0
Q
r
. (25.23)
Nulovou hladinu potenciálu zvolíme v nekonečnu, tedy
ϕ(∞) = 0. Potom potenciál ϕ kladného bodového ná-
boje Q v bodě P je vyjádřen vztahem
ϕ(r)=
1
4D4ε
0
Q
r
(pro kladný
bodový náboj +Q),
(25.24)
kde r je vzdálenost bodu P od náboje Q. To znamená, že
potenciál ϕ v libovolném bodě elektrického pole kladného
bodového náboje je kladný vzhledem k nulové hodnotě
potenciálu v nekonečnu.
Dosud jsme uvažovali kladný náboj Q. Nyní jej na-
hradíme nábojem záporným −Q. V tomto případě vek-
tor intenzity E elektrického pole směřuje k náboji −Q,
a proto jsou vektoryE adsorientovány nesouhlasně. Potom
E·ds =−Edr
prime
a znaménko před integrálem v rov. (25.21)
je kladné. Pro potenciál tedy dostaneme
ϕ(r)=−
1
4D4ε
0
Q
r
(pro záporný
bodový náboj −Q).
(25.25)
Potenciálϕ v libovolném bodě elektrického pole buzeného
záporným nábojem je záporný vzhledem k nulové hodnotě
potenciálu v nekonečnu.
Pokud symbol Q chápeme tak, že reprezentuje nejen
velikost elektrického náboje, ale i jeho znaménko, lze
rov. (25.24) a (25.25) pro potenciálbodového náboje ve
vzdálenosti r od něj zapsat jedinou rovnicí
ϕ(r)=
1
4D4ε
0
Q
r
(pro kladný i záporný
bodový náboj Q).
(25.26)
Znaménko potenciáluϕ je tedy stejné jako znaménko elek-
trického náboje Q, který pole vytváří.
648 KAPITOLA 25 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL
Obr. 25.8 ukazuje počítačem vytvořený prostorový graf
závislostiϕ na vzdálenostir od kladného bodového náboje
podle rov. (25.26). Povšimněme si, že velikost ϕ vzrůstá,
jestliže r → 0. Vskutku, podle rov. (25.26) potenciál ϕ
elektrického pole bodového náboje má v bodě r = 0 neko-
nečně velkou hodnotu (i když na obr. 25.8 je graf v tomto
bodě pochopitelně ukončen nějakou hodnotou konečnou).
x
y
ϕ(r)
Obr.25.8 Počítačem vytvořený prostorový diagram průběhu
elektrického potenciálu ϕ v bodech roviny z= 0 v závislosti na
vzdálenostir od kladného bodového náboje v počátku rovinyxy.
Hodnoty potenciálu v bodech této roviny jsou vyneseny svisle.
Nekonečná hodnota potenciálu ϕ, vyplývající z rov. (25.26) pro
r = 0, není samozřejmě zobrazena.
Rov. (25.26) vyjadřuje také elektrický potenciál kulové
vrstvy (slupky) s kulově symetricky rozloženým nábojem,
a to na jejím vnějším povrchu i vně této vrstvy. Lze to
dokázat s použitím jednoho ze „slupkových teorémů“ uve-
dených v čl. 22.4 a 24.9 myšleným stažením celkového
náboje do středu koule. Rov. (25.26) ovšem nevyjadřuje
potenciálani ve vrstvě, ani v její dutině.
RADYANÁMĚTY
Bod25.3: Určení napětí (neboli potenciálového rozdílu)
Napětí Delta1ϕ mezi libovolnými dvěma body v elektrickém poli
bodového náboje lze určit pomocí rov. (25.26). Nejprve vy-
počítáme hodnoty potenciálu v obou bodech a poté je od sebe
odečteme. Je zřejmé, že hodnota rozdílu Delta1ϕ =ϕ
f
−ϕ
i
bude
stejná při kterékoli volbě referenční potenciální energie.
PŘÍKLAD25.3
(a) Jaký je potenciál ϕ elektrického pole jádra vodíkového
atomu ve vzdálenosti r = 2,12·10
−10
m od jeho středu? (Já-
dro vodíku tvoří jediný proton.)
ŘEŠENÍ: Dosazením do rov. (25.26) dostaneme
ϕ =
1
4D4ε
0
e
r
=
=
(8,99·10
9
N·m
2
·C
−2
)(1,60·10
−19
C)
(2,12·10
−10
m)
=
= 6,78 V. (Odpovědquoteright)
(b) Jakou potenciální energiiE
p
(v elektronvoltech) má elek-
tron v této vzdálenosti? (Tato potenciální energie je energií
systému elektron + proton, tj. vodíkového atomu.)
ŘEŠENÍ: Dosazením potenciálu ϕ = 6,78 V a náboje elek-
tronu do rov. (25.5) dostaneme
E
p
=Qϕ =−eϕ =(−1,60·10
−19
C)(6,78 V)=
=−1,09·10
−18
J =−6,78 eV. (Odpovědquoteright)
(c) Kdyby se elektron přiblížil k jádru, zvětšila by se, nebo
zmenšila jeho potenciální energie?
ŘEŠENÍ: Potenciál ϕ elektrického pole protonu je vyšší
blíže protonu. Podle výsledku části (b) tohoto příkladu tedy
energieE
p
klesne do větších záporných hodnot. Jinými slovy,
přiblížením k jádru potenciální energie E
p
elektronu klesne
(tím klesne i energie celého systému čili celého atomu).
25.6 POTENCIÁL SOUSTAVY
BODOVÝCH NÁBOJŮ
Potenciál v libovolném bodě elektrického pole soustavy bo-
dových elektrických nábojů určíme pomocí principu super-
pozice. Nejprve vypočítáme podle rov. (25.26) potenciály
elektrických polí jednotlivých nábojů, samozřejmě s při-
hlédnutím ke znaménkům nábojů. Potom tyto potenciály
sečteme. Soustava n bodových nábojů má potenciál
ϕ =
n
summationdisplay
i=1
ϕ
i
=
1
4D4ε
0
n
summationdisplay
i=1
Q
i
r
i
(n bodových
nábojů).
(25.27)
SymbolQ
i
zde znamená hodnotui-tého bodového ná-
boje a r
i
jeho vzdálenost od bodu, v němž potenciál ur-
čujeme. Součet v rov. (25.27) je součet algebraický, nikoli
vektorový jako v případě výpočtu intenzity pole soustavy
nábojů. V tom spočívá výhoda potenciálu před intenzitou:
je mnohem snazší sčítat skaláry než vektory.
25.6 POTENCIÁL SOUSTAVY BODOVÝCH NÁBOJŮ 649
K
ONTROLA 4: Obrázek znázorňuje tři různá uspořádání
dvou protonů. Seřadquoterightte tato uspořádání sestupně podle
velikosti potenciálu v bodě P jejich elektrického pole.
(a)(b)(c)
d
dd
D
D
D
P
PP
PŘÍKLAD25.4
Jaký je potenciálv bodě P uprostřed čtverce,v jehož rozích se
nacházejí bodové elektrické náboje (obr. 25.9a)? Délka strany
čtverce je d = 1,3 m a náboje mají velikosti Q
1
=+12 nC,
Q
2
=−24 nC, Q
3
=+31 nC, Q
4
=+17 nC.
(a)(b)
dd
d
d
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
P
P
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
ϕ=350V
Obr.25.9 Příklad 25.4. (a) Čtyři bodové náboje leží v rozích čtver-
ce. (b) Uzavřená křivka je průsečnicí roviny čtverce a ekvipoten-
ciální plochy, která prochází bodem P.
ŘEŠENÍ: Bod P leží ve stejné vzdálenosti r od každého
bodového náboje, takže podle rov. (25.27) dostaneme:
ϕ =
4
summationdisplay
i=1
ϕ
i
=
1
4D4ε
0
Q
1
+Q
2
+Q
3
+Q
4
r
.
Protože r =d/
√
2
.
= 0,919 m a součet nábojů je
Q
1
+Q
2
+Q
3
+Q
4
=(12 − 24 + 31 + 17)·10
−9
C =
= 36·10
−9
C,
dostaneme
ϕ =
(8,99·10
9
N·m
2
·C
−2
)(36·10
−9
C)
(0,919 m)
.
=
.
= 350 V. (Odpovědquoteright)
Poznámka: Uvážíme-li pouze tři kladné bodové náboje
v obr. 25.9a, bude mít potenciál jejich společného elektric-
kého pole kladné hodnoty. Uvážíme-li pouze jediný záporný
náboj,bude mít potenciál jeho elektrického pole záporné hod-
noty. Proto v rovině uvedeného čtverce musí existovat body,
v nichž má potenciálstejnou hodnotu jako v bodě P. Křivka
na obr. 25.9b ukazuje průsečnici roviny čtverce a ekvipo-
tenciální plochy procházející bodem P. Libovolný bod této
průsečnice má stejnou hodnotu potenciálu jako bod P.
PŘÍKLAD25.5
(a) Dvanáct elektronů na obr. 25.10a (s náboji −e) je rov-
noměrně rozloženo na kružnici o poloměru R. Jaká je hod-
nota elektrického potenciálu a intenzity elektrického pole ve
středu S kružnice, je-li referenční hodnota potenciálu ϕ = 0
zvolena v nekonečnu?
(a)
R
S
(b)
S
120
◦
Obr.25.10 Příklad 25.5. (a) Dvanáct elektronů rovnoměrně roz-
místěných na kružnici. (b) Tytéž elektrony jsou nyní nepravidelně
rozmístěny na oblouku původní kružnice.
ŘEŠENÍ: Jelikož všechny elektrony mají stejný (záporný)
náboj a jsou ve stejné vzdálenosti R od bodu S, bude podle
rov. (25.27) platit
ϕ =−12
1
4D4ε
0
e
R
.(Odpovědquoteright) (25.28)
Protože potenciál je veličina skalární, není orientace poloho-
vých vektorů nábojů vzhledem k bodu S pro výpočet poten-
ciáluϕ podstatná. Intenzita elektrického pole je však veličina
vektorová, proto orientace polohových vektorů elektrických
nábojů pro výpočet E podstatná je. Protože elektrony jsou
na kružnici rozloženy symetricky, je v bodě S vektor inten-
zity elektrického pole libovolného elektronu vykompenzován
vektorem intenzity elektrického pole toho elektronu, který
je umístěn symetricky vzhledem ke středu kružnice. Proto
v bodě S je
E = 0. (Odpovědquoteright)
(b) Jak se změní (změní-li se vůbec) potenciál a intenzita
v boděS, jestliže elektrony rozmístíme nerovnoměrně na ob-
louku kružnice se středovým úhlem 120
◦
podle obr. 25.10b?
650 KAPITOLA 25 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL
ŘEŠENÍ: Potenciálje i zde dán rov. (25.28), protože vzdá-
lenosti mezi bodem S a každým elektronem se nezměni-
ly, a orientace polohových vektorů elektronů je pro poten-
ciálbezvýznamná. Avšak intenzita je nyní nenulová, protože
uspořádání elektronů již není symetrické. Výsledná intenzita
směřuje k oblouku s náboji.
25.7 POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO
POLE DIPÓLU
Použijme rov. (25.27), abychom našli potenciál dipólu
v boděP podle obr. 25.11a. Podle rov. (25.26) kladný náboj
budí ve vzdálenosti r
(+)
potenciál ϕ
(+)
, záporný náboj ve
vzdálenostir
(−)
budí potenciálϕ
(−)
. Výsledný potenciál je
podle rov. (25.27) součtem:
ϕ =
2
summationdisplay
i=1
ϕ
i
=ϕ
(+)
+ϕ
(−)
=
1
4D4ε
0
parenleftbigg
Q
r
(+)
+
−Q
r
(−)
parenrightbigg
=
=
Q
4D4ε
0
r
(−)
−r
(+)
r
(−)
r
(+)
. (25.29)
(a)(b)
Od
r
P
z
θ
+Q
−Q
r
(+)
r
(−)
r
(−)
−r
(+)
+
d
z
θ
+Q
−Q
r
(+)
r
(−)
r
(−)
−r
(+)
+
Obr.25.11 (a) Bod P je ve vzdálenosti r od středu O elektric-
kého dipólu. Úsečka OP svírá s osou dipólu úhel θ.(b)Je-li
bod P velmi daleko od dipólu, jsou úsečky r
(+)
a r
(−)
přibližně
rovnoběžné s úsečkouOP a čárkovaná černá úsečka je přibližně
kolmá k úsečce r
(−)
.
Často se zajímáme o pole dipólu ve vzdálenostir mno-
hem větší než délka d dipólu, tj. r greatermuch d. (Pak mluvíme
o elementárním dipólu; to je např. polární molekula, pro
kterou platí prakticky vždy r greatermuch d.) Pak podle obr. 25.11b
platí: r
(−)
−r
(+)
.
= d cosθ a r
(−)
r
(+)
.
= r
2
. Po dosazení
do rov. (25.29) dostaneme pro potenciál ϕ pole dipólu
ϕ =
Q
4D4ε
0
d cosθ
r
2
,
kde θ je úhelměřený od osy dipólu (obr. 25.11a). Je tedy
ϕ =
1
4D4ε
0
pcosθ
r
2
(elektrický dipól), (25.30)
kde p je velikost dipólového momentu p = Qd definova-
ného v čl. 23.5. Připomeňme, že vektor p leží na ose dipólu
a je orientován od záporného ke kladnému pólu a úhel θ
měříme od směru p.
K
ONTROLA 5: Předpokládejme,že tři body jsou rozmís-
těny ve stejných (velkých) vzdálenostech r od středu
dipólu (obr. 25.11): bod A leží na ose dipólu nad jeho
kladným nábojem, bod B leží na ose dipólu pod zá-
porným nábojem a bod C leží na kolmici k ose dipólu
procházející středem O dipólu. Seřadquoterightte tyto body se-
stupně podle velikosti jejich elektrického potenciálu.
Indukovaný dipólový moment
Mnohé molekuly,např.molekuly vody,jsoupolární,tj. mají
permanentní (trvalé) elektrické dipólové momenty. U mo-
lekul nepolárních a také v každém atomu splývá střed
všech kladných nábojů se středem nábojů záporných
(obr. 25.12a). Proto elektrický dipólový moment takových
molekul a atomů je nulový.
(a)
+
(b)
E
p
+
Obr.25.12 (a) Atom s kladně nabitým jádrem (zeleně) a záporně
nabitými elektrony (zlatě stínované). Střed kladného náboje já-
dra splývá se středem záporně nabitého elektronového obalu
atomu. (b) Je-li atom umístěn do vnějšího elektrického pole,
jsou elektronové orbity deformovány a tím se středy kladného
a záporného náboje oddálí. Atom tak získá elektrický dipólový
moment. Deformace elektronových drah je značně přehnána.
Umístíme-li však atom nebo nepolární molekulu do
vnějšího elektrického pole, deformují se vlivem elektric-
kých silelektronové orbity, a tím se střed všech záporných
25.8 POTENCIÁL SPOJITĚ ROZLOŽENÉHO NÁBOJE 651
nábojů nepatrně posune vůči středu všech kladných nábojů
(obr. 25.12b). Protože elektrony jsou záporně nabité, posu-
nou se proti směru vektoru intenzity vnějšího elektrického
pole. Tím vznikne dipól, jehož dipólový momentpmá směr
souhlasný s vnějším elektrickým polem. Říkáme, že takový
dipólový moment je indukovaný elektrickým polem a atom
nebo molekula je tímto polem polarizována (získá kladný
a záporný pól). Je-li vnější elektrické pole odstraněno, in-
dukovaný dipólový moment a polarizace zanikají.
25.8 POTENCIÁL SPOJITĚ
ROZLOŽENÉHO NÁBOJE
Je-li náboj Q rozložen spojitě (např. na vodivé tyči, disku
apod.), je nutno pro výpočet elektrického potenciálu ϕ
v rov. (25.27) sčítání nahradit integrací. Zvolíme infinite-
zimální elementy dQ náboje, vyjádříme v bodě P jejich
potenciály dϕ, a poté integrujeme přes celý spojitě rozlo-
žený náboj.
Infinitezimální náboj dQpovažujeme vždy za bodový.
Zvolíme-li nulovou hodnotu potenciálu v nekonečnu, je
podle rov. (25.26) potenciál jeho pole v boděP dán vztahem
dϕ =
1
4D4ε
0
dQ
r
, (25.31)
kde r je vzdálenost bodu P od náboje dQ. Abychom ur-
čili celkový potenciál ϕ v bodě P, musíme integrovat přes
všechen spojitě rozložený náboj:
ϕ =
integraldisplay
dϕ =
1
4D4ε
0
integraldisplay
dQ
r
. (25.32)
Dále vyšetříme dva případy spojitě rozloženého nábo-
je: na úsečce a na disku.
Náboj spojitě rozložený na úsečce
Na obr. 25.13a je tenká nevodivá tyč délky L, rovnoměrně
nabitá kladným elektrickým nábojem o délkové hustotě
náboje τ = konst. Určíme potenciál ϕ elektrického pole
buzeného v bodě P nábojem na tyči. Bod P se nachází
v kolmé vzdálenosti d od levého konce tyče.
Infinitezimální délkový element dx tyče (obr. 25.13b)
nese infinitezimální náboj
dQ=τ dx. (25.33)
Tento náboj budí v bodě P (který leží ve vzdálenosti
r =
√
x
2
+d
2
od dQ) elektrické pole o potenciálu dϕ.
Určíme jej podle rov. (25.31):
dϕ =
1
4D4ε
0
dQ
r
=
1
4D4ε
0
τ dx
√
x
2
+d
2
. (25.34)
(a) (b)
d
L
x
P
x
rd
x
P
dx
Obr.25.13 (a) Tenká, rovnoměrně nabitá tyč budí v bodě P
elektrické pole o potenciálu ϕ. (b) Element náboje dQ vyvolává
v bodě P pole o potenciálu dϕ.
Jelikož náboj tyče je kladný a nulová hodnota potenciálu
byla zvolena v nekonečnu, je podle čl. 25.5 potenciál dϕ
v rov. (25.34) také kladný.
Potenciál ϕ elektrického pole buzeného nábojem celé
tyče dostaneme integrací rov. (25.34) přes celou délku tyče,
od x = 0dox =L. Dostaneme tak (dodatek E)
ϕ =
integraldisplay
dϕ =
integraldisplay
L
0
1
4D4ε
0
τ
√
x
2
+d
2
dx =
=
τ
4D4ε
0
integraldisplay
L
0
dx
√
x
2
+d
2
=
=
τ
4D4ε
0
bracketleftBig
ln
parenleftbi