hrw24

24
Gauss˘v z·kon elektrostatiky
PodÌvejte se na z·¯ivou kr·su blesk˘ p¯i bou¯ce nad Manhattanem. Kaûd˝
blesk p¯itom p¯enese z mrak˘ na zemsk˝ povrch p¯ibliûnÏ 10
20
elektron˘.
Je moûnÈ urËit pr˘mÏr blesku? Vzhledem k tomu,ûe se na blesk dÌv·me
ze vzd·lenosti nÏkolika kilometr˘,m˘ûeme porovnat jeho rozmÏry
nap¯. s rozmÏry automobilu
?
24.2 TOK 619
24.1 NOVÝ POHLED
NA COULOMBŮV ZÁKON
Chcete-li nalézt těžiště brambory, můžete to provést budquoteright
experimentálně, nebo pomocí složitého číselného výpočtu
trojného integrálu. Jestliže má však brambora tvar elip-
soidu, můžete z její symetrie určit přesně těžiště i bez
výpočtu. V tom je značná výhoda symetrie. Se symet-
rickými situacemi se setkáváme ve všech oborech fyzi-
ky. Je-li to možné, snažíme se vyjádřit fyzikální zákony
v takovém tvaru, aby se výhody symetrie mohly plně pro-
jevit.
Coulombův zákon je hlavním zákonem elektrostatiky,
ale nemá bohužel tvar, který by nám podstatně ulehčoval
práci v situacích, které se vyznačují symetrií. Proto v této
kapitole zavedeme jinou formulaci Coulombova zákona,
kterou odvodilněmecký matematik a fyzik Carl Friedrich
Gauss (1777–1855). Tento zákon, zvaný Gaussův zákon
elektrostatiky, může být s výhodou použit v některých
případech symetrie v rozložení nábojů. Pro elektrostatické
problémy je přitom zcela ekvivalentníCoulombovuzákonu.
Který z těchto zákonů zvolíme, závisí pouze na povaze
zkoumaného problému.
U Gaussova zákona je důležitá volba myšlené uzavřené
plochy, zvané Gaussova plocha. Ta může mít libovolný
tvar, ale nejvýhodnější je takový, který vyjadřuje symetrii
zkoumaného problému. Proto volíme za Gaussovu plochu
nejčastěji povrch koule, válce či jiného symetrického útva-
ru. Musí to však být vždy plocha uzavřená.
Představme si, že jsme vytvořili Gaussovu plochu ko-
lem jisté konfigurace nábojů. Potom můžeme použít Gaus-
sův zákon elektrostatiky.
Gaussův zákon vyjadřuje vztah mezi intenzitou elek-
trického pole na (uzavřené) Gaussově ploše a celkovým
nábojem, který se nachází uvnitř této plochy.
Na obr. 24.1 je znázorněna jednoduchá situace, kdy
Gaussovou plochou je kulová plocha. Předpokládejme, že
v každém bodě jejího povrchu existuje elektrické pole o in-
tenzitě konstantní velikosti a směřující ven z koule. I bez
znalosti Gaussova zákona můžeme usoudit, že uvnitř plo-
chy musí existovat určitý (kladný) náboj. Jestliže známe
Gaussův zákon, můžeme vypočítat, jak velký náboj se na-
chází uvnitř plochy. K výpočtu potřebujeme pouze vědět,
„jak mnoho pole“ je na povrchu Gaussovy plochy. Toto
„jak mnoho“ vyjadřujeme tokem elektrické intenzity danou
plochou.
kulová
Gaussova
plocha
E
?
Obr.24.1 Kulová Gaussova plocha. Mají-li vektory elektrické
intenzity ve všech bodech povrchu stejnou velikost a míří-li ven
z koule, je možné učinit závěr, že v objemu ohraničeném Gaus-
sovou plochou se nachází kulově symetricky rozložený kladný
náboj.
24.2 TOK
Předpokládejme podle obr. 24.2a, že proud vody o kon-
stantní rychlosti v prochází malou čtvercovou plochou
(a)
proud
vody
v
(b)
v
θ
(c)
θ
v
Delta1S
(d)
Obr.24.2 (a) Homogenní proud vody pohybující se rychlostí v
kolmo k ploše čtverce o obsahuDelta1S. (b) Vektor v svírá s kolmicí
k ploše čtverce úhel θ; složka vektoru v ve směru této kolmice
je rovnavcosθ. (c) Vektor plochyDelta1S je kolmý k rovině čtverce
asvírásvektoremv úhel θ. (d) Rychlostní pole v ploše čtverce.
620 KAPITOLA 24 GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY
o obsahu Delta1S. Nechtquoteright Delta1Φ představuje objemový tok (objem
za jednotku času) vody plochou. Jeho velikost závisí na
úhlu, který svírá rychlost v s rovinou plochy. Je-li v kolmá
k rovině,jeDelta1Φ =vDelta1S.Je-li vektor rychlostiv rovnoběžný
s plochou čtverce, pak jím neproudí žádná voda aDelta1Φ = 0.
ObecněDelta1Φ závisí na průmětu vektoruv do kolmice k ploše
čtverce (obr. 24.2b). Proto
Delta1Φ =(vcosθ)Delta1S. (24.1)
Dříve než budeme diskutovat tok, který se vyskytuje
v elektrostatice, přepíšeme rov. (24.1) do vektorového tva-
ru. Uvažujme plochu Delta1S a pokládejme ji za rovinnou
(obr. 24.2c). Definujeme vektor Delta1S tak, že je k rovině plo-
chy kolmý a jeho velikost je rovna jejímu obsahu Delta1S.Po-
tom můžeme napsat rov. (24.1) jako skalární součin vektoru
rychlosti v proudu vody a vektoru plochy Delta1S čtverce
Delta1Φ =vDelta1Scosθ = v ·Delta1S, (24.2)
kde θ je úhelmezi v a Delta1S.
Slovo „tok“ má smysl, jestliže hovoříme např. o proudu
vody plochou.Můžeme se však na rov. (24.2) dívat abstrakt-
něji. Abychom to vysvětlili, uvědomme si, že můžeme při-
řadit vektor rychlosti každému bodu v proudu vody. Soubor
všech těchto vektorů vytváří pole rychlostí. Nyní můžeme
interpretovat rov. (24.2) jako tok rychlostního pole plo-
chou, která je ohraničena