hrw24

uzavřenou křivkou (obr. 24.2d).
Podle této interpretace již tok neznačí, že plochou Delta1S
musí téci něco hmatatelného rychlostí v. Místo rychlosti v
můžeme použít libovolné vektorové pole a a hovořit o jeho
toku Delta1Φ = a·Delta1S.
24.3 TOK ELEKTRICKÉ INTENZITY
K definici toku elektrické intenzity uvažujme libovolnou
(i nesymetrickou) Gaussovu plochu, nacházející se v ne-
homogenním elektrickém poli (obr. 24.3a). Rozdělme tuto
plochu na plošky (např. čtverečky) Delta1S natolik malé, aby-
chom mohli zanedbat jejich zakřivení a považovat je za ro-
vinné. Každý z nich popíšeme vektoremDelta1S, jehož velikost
je rovna obsahu Delta1S a jehož směr je ke čtverečku kolmý
a je orientován ven z Gaussovy plochy. (Leží-li Delta1S na
uzavřené ploše, orientujeme vektory Delta1S směrem ven.)
Protože čtverečky jsou libovolně malé, můžeme před-
pokládat, že elektrické pole E na každém z nich je konstant-
ní. Označmeθ úhel, který spolu svírají vektory Delta1S a E.Na
obr. 24.3b jsme zvětšili tři ze čtverečků Gaussovy plochy
(1, 2, 3) a vyznačili jsme u nich odpovídající úhel θ.
(a)
Gaussova
plocha
1
2
3
(b)
1
2
3
θ
θ
E
E
E
Delta1S
Delta1S
Delta1S
Obr.24.3 (a) Gaussova plocha libovolného tvaru ležící v elek-
trickém poli. Plocha je rozdělena na malé čtverečky o obsahu
Delta1S. (b) Vektory elektrické intenzity E avektoryDelta1S pro tři
vyznačené čtverečky (1, 2, 3).
Tok elektrického pole Gaussovou plochou je součtem
toků Delta1Φ
E
jednotlivými čtverečky (obr. 24.3)
Φ
E
=
summationdisplay
Delta1Φ
E
=
summationdisplay
E ·Delta1S. (24.3)
Tato rovnice nám říká, že je třeba vzít každý čtvereček na
Gaussově ploše, pro něj vyjádřit skalární součin obou vek-
torů E ·Delta1S a algebraicky sečíst (s patřičnými znaménky)
příspěvky od všech čtverečků, které tvoří Gaussovu plo-
chu. Znaménko každého skalárního součinu určuje, zda
je tok daným čtverečkem kladný, záporný, nebo nulový.
Z tab. 24.1 plyne, že v případech typu 1, v nichž E smě-
řuje dovnitř plochy, je příspěvek k celkovému součtu vy-
jádřenému rov. (24.3) záporný. V případech typu 2, kdy E
leží v rovině čtverečku, je příspěvek nulový a v případech
typu 3, kdy E směřuje ven z plochy, je příspěvek kladný.
Definici toku elektrického pole uzavřenou plochou
zpřesníme tím, že předpokládáme, že obsahy čtverečků
v obr. 24.3a jsou stále menší. Vektor plošky se pak blíží
v limitě k dS. Suma v rov. (24.3) přechází v plošný integrál
24.3 TOK ELEKTRICKÉ INTENZITY 621
Tabulka 24.1 Tři čtverečky na Gaussově ploše
z obr.24.3
Č. θ SMĚR E SOUČIN E·Delta1S
1 > 90
◦
dovnitř plochy záporný
2 = 90
◦
rovnoběžně nulový
s plochou
3 < 90
◦
ven z plochy kladný
a tok intenzity elektrického pole definujeme vztahem
Φ
E
=
contintegraldisplay
S
E · dS
(tok elektrické intenzity
Gaussovou plochou S).
(24.4)
Kroužek na integrálu znamená, že integrace probíhá přes
uzavřenou plochu S. Tok intenzity elektrického pole je
skalární veličinou a jeho jednotkou v SI je N·m
2
·C
−1
.
Rov. (24.4) je možné interpretovat ještě jinak, když
použijeme hustotu elektrických siločár procházejících plo-
chou jako míru intenzity elektrického pole E na této ploše.
Velikost E je pak úměrná počtu elektrických siločár při-
padajících na jednotkovou plochu. Skalární součin E · dS
z rov. (24.4) je tedy úměrný počtu siločár, které procházejí
plochou dS. Protože integrace v rov. (24.4) probíhá přes
celou uzavřenou Gaussovu plochu, vidíme odtud, že platí:
Tok Φ
E
intenzity Gaussovou plochou je úměrný celko-
vému počtu siločár procházejících touto plochou.
PŘÍKLAD24.1
Na obr. 24.4 je znázorněna Gaussova plocha tvořená povr-
chem válce o poloměru R, který se nachází v homogenním
elektrickém poli E. Osa válce je rovnoběžná se směrem pole.
Jaký je tok Φ
E
touto plochou?
ŘEŠENÍ: Tok je možno vyjádřit jako součet tří výrazů:
toku levou podstavou a válce, pláštěm b válce a pravou pod-
stavou c. Potom z rov. (24.4) plyne
Φ
E
=
contintegraldisplay
E · dS =
integraldisplay
a
E · dS +
integraldisplay
b
E · dS +
integraldisplay
c
E · dS. (24.5)
Pro všechny body na levé podstavě je úhel θ mezi E adS
roven 180
◦
a velikost intenzity E pole je konstantní. Je tedy
integraldisplay
a
E · dS =
integraldisplay
a
E(cos 180
◦
)dS =
=−E
integraldisplay
a
dS =−ES,
kde
integraltext
dS = S je obsah podstavy D4R
2
. Podobně pro pravou
podstavu, kde θ = 0:
integraldisplay
c
E · dS =
integraldisplay
c
E(cos 0
◦
)dS =ES.
Konečně pro pláštquoteright válce, kde úhel θ = 90
◦
pro každý bod, je
integraldisplay
b
E · dS =
integraldisplay
b
E(cos 90
◦
)dS = 0.
Dosazením těchto výsledků do rov. (24.5) dostaneme
Φ
E
=−ES+ 0 +ES= 0. (Odpovědquoteright)
Tento výsledek nás zřejmě nepřekvapí, protože elektrické