hrw23

z
2
parenleftbigg
parenleftBig
1 −
d
2z
parenrightBig
−2
−
parenleftBig
1 +
d
2z
parenrightBig
−2
parenrightbigg
. (23.6)
(a)
d
z
z
P
+Q
−Q
+
−
r
(−)
r
(+)
E
(−)
E
(+)
(b)
p
+
−
d
Obr.23.9 (a) Elektrický dipól. Intenzity E
(+)
a E
(−)
v bodě P
na ose dipólu jsou buzeny náboji +Qa −Q. Vzdálenost boduP
od jednotlivých nábojů, které tvoří dipól, je r
(+)
a r
(−)
.(b)Di-
pólový moment dipólu p = Qd směřuje od záporného náboje
ke kladnému.
Obvykle se zajímáme o elektrické působení dipólu ve
vzdálenostech, které jsou velké ve srovnání s jeho rozmě-
ry, tj. ve vzdálenostech z greatermuch d. Pro tak velké vzdálenosti
v rov. (23.6) platí d/(2z) lessmuch 1. Oba výrazy v závorkách
můžeme proto rozvinout podle binomické věty
parenleftbigg
parenleftBig
1 +
2d
2z(1!)
+ …
parenrightBig
−
parenleftBig
1 −
2d
2z(1!)
+ …
parenrightBig
parenrightbigg
.
Pro velikost intenzity tedy platí
E =
Q
4D4ε
0
z
2
bracketleftBigparenleftBig
1 +
d
z
+ …
parenrightBig
−
parenleftBig
1 −
d
z
+ …
parenrightBigbracketrightBig
. (23.7)
Vynechané členy v obou rozvojích v rov. (23.7) obsahují
d/z ve vyšších mocninách. Protože d/z lessmuch 1, příspěvky
těchto členů jsou stále menší a při aproximaciE ve velkých
vzdálenostech je můžeme zanedbat. V naší aproximaci mů-
žeme rov. (23.7) zapsat ve tvaru
E =
Q
4D4ε
0
z
2
2d
z
=
1
2D4ε
0
Qd
z
3
. (23.8)
Součin Qd udává velikost p vektorové veličiny, kte-
rou nazývámeelektrickýdipólovýmomentp. Rov. (23.8)
600 KAPITOLA 23 ELEKTRICKÉ POLE
můžeme tedy psát ve tvaru
E =
1
2D4ε
0
p
z
3
(elektrický dipól). (23.9)
Vektorp =Qd podle definice směřuje od záporného konce
dipólu ke kladnému (obr. 23.9b).
Jak plyne z rov. (23.9),měříme-li elektrické pole dipólu
pouze ve vzdálených bodech, nemůžeme určit odděleně
hodnoty Q a d, ale pouze hodnotu jejich součinu. Pole
ve vzdálených bodech se nezmění, jestliže se například
zdvojnásobí Q a současně d klesne na polovinu. Dipólový
moment je tedy základní vlastností dipólu.
Ačkoli rov. (23.9) platí pouze pro vzdálené body na ose
dipólu,lze dokázat,že velikost intenzityEpole dipólu klesá
se vzdáleností: E ∼ 1/r
3
pro všechny vzdálené body bez
ohledu na to, leží-li na ose dipólu nebo ne; r zde označuje
vzdálenost mezi uvažovaným bodem a středem dipólu.
Ze srovnání obr. 23.9 s průběhem siločár na obr. 23.6 je
vidět, že směr intenzity E pro vzdálené body na ose dipólu
je vždy stejný jako směr dipólového momentu p.Toplatí
bez ohledu na to, kam jsme umístili bod P na ose dipólu.
Z rov. (23.9) plyne, že zdvojnásobíme-li vzdálenost
uvažovaného bodu od dipólu,klesne intenzita pole osmkrát.
Zdvojnásobíme-li však vzdálenost od bodového náboje,
zmenší se intenzita pole pouze čtyřikrát (viz rov. (23.3)).
Intenzita pole dipólu klesá tedy se vzdáleností mnohem
rychleji než intenzita pole náboje. Fyzikálním důvodem pro
tento rychlý pokles je skutečnost, že ze vzdálených bodů
se dipól jeví jako dva stejně velké, ale opačné náboje, které
téměř — ale ne zcela — splývají. Proto se také jejich pole
ve vzdálených bodech téměř — i když ne zcela — ruší.
PŘÍKLAD23.4
Molekula vodní páry budí ve svém okolí stejné elektrické
pole jako dipól na obr. 23.9. Její dipólový moment má veli-
kost p = 6,2·10
−30
C·m. Jaká je velikost intenzity pole ve
vzdálenosti z = 1,1 nm od molekuly na její dipólové ose?
(Tato vzdálenost je dostatečně velká, abychom mohli použít
rov. (23.9)).
ŘEŠENÍ: Z rov. (23.9) plyne
E =
1
2D4ε
0
p
z
3
=
=
(6,2·10
−30
C·m)
2D4(8,85·10
−12
C
2
·N
−1
·m
−2
)(1,1·10
−9
m)
3
=
= 8,4·10
7
N·C
−1
. (Odpovědquoteright)
23.6 ELEKTRICKÉ POLE
NABITÉHO VLÁKNA
Dosud jsme uvažovali pole vytvářené jedním nebo nanej-
výše několika bodovými náboji. Nyní uvažujme rozložení
náboje, které je tvořeno velkým množstvím velmi těsně
vedle sebe umístěných bodových nábojů, prostírajících se
na vlákně, na ploše, nebo uvnitř nějakého objemu. Mluvíme
o spojitémrozloženínáboje. V tomto odstavci vyšetříme
elektrické pole spojitě nabitého vlákna a plochy. S nabi-
tým objemem jsme se již setkali v př. 23.3, kde jsme určili
intenzitu pole vně rovnoměrně nabité koule. V kap. 24
vypočteme intenzitu i uvnitř takové koule.
Když se zabýváme spojitě rozloženým nábojem, po-
pisujeme náboj na tělese pomocí hustoty náboje.Jeto
náboj, který připadá na jednotku délky (nabitého vlákna),
nebo na jednotkovou plochu (nabité plochy), nebo na jed-
notku objemu (nabitého tělesa). V tab. 23.2 jsou uvedeny
příslušné hustoty nábojů s jejich označením a jednotkou
v soustavě SI.
Tabulka 23.2 Některé charakteristiky popisující
rozložení elektrického náboje
NÁZEV ZNAČKA JEDNOTKA SI
Náboj Q C
Délková hustota náboje τ C·m
−1
Plošná hustota náboje σ C·m
−2
Objemová hustota náboje rho1 C·m
−3
Na obr. 23.10 je tenký nevodivý prstenec o poloměruR
s rovnoměrně rozloženým kladným nábojem o délkové hus-
totěτ. Jaká je intenzita E elektrického pole v boděP,který
je ve vzdálenosti z od roviny prstence na jeho ose souměr-
nosti?
Obr.23.10 Prstenec s rovnoměrně
rozloženým kladným nábojem. Na
element délky ds připadá element
náboje τ ds, který budí v bodě P
pole o intenzitě dE. Složka dE ve
směru osy prstence je dEcosθ.
R
ds
r
z
θ
θ
P
z
dE
dEcosθ
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
23.6 ELEKTRICKÉ POLE NABITÉHO VLÁKNA 601
Abychom našli odpovědquoteright, nemůžeme přímo použít
rov. (23.3), která udává intenzitu pole vytvářeného bodo-
vým nábojem: prstenec není bod. Můžeme ho však myšleně
rozdělit na infinitezimální elementy tak malé, že je mů-
žeme považovat za bodové, a pak pro každý z nich použít
rov. (23.3). Intenzitu, kterou v bodě P budí prstenec, do-
staneme podle principu superpozice jako vektorový součet
intenzit, které budí jednotlivé nábojové elementy.
Nechtquoteright ds je délka elementu prstence. Protožeτ je náboj
připadající na jednotku délky, má element prstence infini-
tezimální náboj o velikosti
dQ=τ ds (23.10)
a ten vytváří v bodě P ve vzdálenosti r pole o inten-
zitě dE. Element považujeme za bodový náboj a s užitím
rov. (23.10) můžeme z rov. (23.3) vyjádřit velikost dE
dE =
1
4D4ε
0
dQ
r
2
=
1
4D4ε
0
τ ds
r
2
. (23.11)
Protože r
2
= z
2
+ R
2
, můžeme rov. (23.11) přepsat do
tvaru
dE =
1
4D4ε
0
τ ds
(z
2
+R
2
)
. (23.12)
Z obr. 23.10 plyne, že dE svírá s osou prstence (kterou jsme
zvolili za osuz) úhelθ a má nenulovou složku jak ve směru
kolmém k této ose, tak i rovnoběžném s ní.
Každý element náboje na prstenci vytváří v bodě P
infinitezimální pole o intenzitě dE, jejíž velikost je dána
rov. (23.12). Všechny tyto vektory dE mají stejné z-ové
složky. Průměty kolmé k ose souměrnosti mají stejnou
velikost, ale míří do různých směrů. Ke každému z nich
přitom existuje druhý, opačně orientovaný; takové dvojice
průmětů se spolu vyruší. Výsledná intenzita v boděP proto
leží v ose z a má velikost rovnou součtu z-ových složek
intenzit dE.
Podle obr. 23.10 máz-ová složka dE velikost dEcosθ.
Dále odsud plyne, že
cosθ =
z
r
=
z
(z
2
+R
2
)
1/2
. (23.13)
Z rov. (23.13) a (23.12) dostáváme
dEcosθ =
zτ
4D4ε
0
(z
2
+R
2
)
3/2
ds. (23.14)
Velikost výsledné intenzity získáme integrací rovni-
ce (23.14) podélobvodu prstence, tj. od s = 0dos =
= 2D4R.Protožes je jediná veličina v rov. (23.14), která se
během integrace mění, můžeme ostatní veličiny vytknout
před integrál. Integrace pak dává
E =
integraldisplay
dEcosθ =
1
4D4ε
0
zτ
(z
2
+R
2
)
3/2
integraldisplay
2D4R
0
ds =
=
zτ(2D4R)
4D4ε
0
(z
2
+R
2
)
3/2
. (23.15)
Protožeτ je náboj připadající na jednotkovou délku prsten-
ce, je člen τ(2D4R) v rov. (23.15) roven celkovému náboji
prstence Q. Rov. (23.15) můžeme tedy zapsat ve tvaru
E =
Qz
4D4ε
0
(z
2
+R
2
)
3/2
(nabitý prstenec). (23.16)
Je-li náboj na prstenci záporný, je velikost intenzity v bo-
dě P také dána rov. (23.16), ale vektor E je orientován
směrem k prstenci.
Uvažujme nyní rov. (23.16) pro bod na ose z, který je
tak daleko od prstence, že z greatermuch R. Pro takový bod mů-
žeme výraz z
2
+R
2
v rov. (23.16) nahradit výrazem z
2
;
rov. (23.16) přejde do tvaru
E =
1
4D4ε
0
Q
z
2
(nabitý prstenec
ve velké vzdálenosti).
(23.17)
To je pochopitelný výsledek, protože z velké vzdálenosti se
prstenec jeví jako bodový náboj. Dosadíme-li v rov. (23.17)
r za z, dostaneme skutečně rov. (23.3) pro intenzitu elek-
trického pole bodového náboje.
Uvažujme dále rov. (23.16) pro bod ve středu prstence,
tj. pro z = 0. V tomto bodě vychází E = 0. To je opět po-
chopitelný výsledek,protože když umístíme testovací náboj
do středu prstence, nebude na něj působit žádná výsledná
síla: síla, kterou působí libovolný element prstence, se bude
rušit se silou, kterou působí element k němu protilehlý. To
znamená, že je nulová také intenzita elektrického pole.
PŘÍKLAD23.5
Na obr. 23.11a je ebonitová tyč rovnoměrně nabitá nábo-
jem −Q. Tyč je ohnuta do oblouku o středovém úhlu 120
◦
a poloměru r. Zvolme souřadnicový systém tak, že osa x
splývá s osou oblouku a počátek je v jeho středu křivosti P.
Vyjádřete pomocí Q a r intenzitu E elektrického pole vytvo-
řeného tyčí v bodě P.
ŘEŠENÍ: Uvažujme infinitezimální element tyče o délce ds,
který je nad osou x a jehož průvodič svírá s osou x úhel θ
(obr. 23.11b). Nechtquoteright τ je délková hustota náboje na tyči. Pak
element ds má infinitezimální náboj o velikosti
dQ=τ ds. (23.18)
602 KAPITOLA 23 ELEKTRICKÉ POLE
Ten vytváří v bodě P, který je ve vzdálenosti r od elementu,
pole o infinitezimální intenzitě dE. Považujeme-li element za
bodový náboj, můžeme pomocí rov. (23.3) vyjádřit velikost
dE vztahem
dE =
1
4D4ε
0
dQ
r
2
=
1
4D4ε
0
τ ds
r
2
. (23.19)
Protože náboj dQ je záporný, směřuje dE kds.
(a)
ebonitová tyč
s nábojem −Q
r
x
P
y
60
◦
60
◦
(b)
symetrický
element ds
prime
x
y
θ
θ
P
dE
x
dE
y dE
dE
prime
(c)
x
y
P
r
ds
ds
dθ
Obr.23.11 Příklad 23.5. (a) Ebonitová tyč s nábojem −Q tvoří
oblouk o poloměru r se středovým úhlem 120
◦
; bod P je středem
křivosti oblouku. (b) Infinitezimální element ds v horní části tyče,
jehož průvodič svírá s osou x úhel θ, budí v bodě P elektrické
pole dE. Element ds
prime
, symetrický k ds podle osy x, budí v bodě P
pole dE
prime
, které má stejnou velikost. (c) Oblouku délky ds odpovídá
úheld θ.
Ke každému elementu ds existuje symetricky umístěný
element ds
prime
(zrcadlový obraz) na spodní polovině tyče. In-
tenzita dE
prime
, kterou budí v bodě P element ds
prime
, má velikost
rovněž danou rov. (23.19), přičemž vektor intenzity směřuje
směrem k ds
prime
(obr. 23.11b). Je zřejmé, že y-ové složky vek-
torů dE adE
prime
jsou stejně velké, ale mají opačná znaménka;
jejich součet je proto nulový. Dále vidíme, že jejich x-ové
složky jsou stejné. Abychom našli intenzitu pole buzeného
tyčí, stačí sečíst (integrovat) pouze x-ové složky infinitezi-
málních intenzit buzených všemi elementy tyče.Z obr. 23.11b
a rov. (23.19) dostáváme pro velikost x-ové složky dE
x
bu-
zené elementem ds
dE
x
= dE cosθ =
1
4D4ε
0
τ
r
2
cosθ ds. (23.20)
Rov. (23.20) má dvě proměnné, θ a s. Ty však nejsou nezá-
vislé. Element ds vyjádříme vztahem
ds =r dθ,
kde dθ je úhel, příslušný oblouku ds (obr. 23.11c). Nyní mů-
žeme integrovat rov. (23.20) přes středový úhelod θ =−60
◦
do θ = 60
◦
. Pro intenzitu pole, které v bodě P budí celá tyč,
dostaneme
E
x
=
integraldisplay
dE
x
=
integraldisplay
60
◦
−60
◦
1
4D4ε
0
τ
r
2
r cosθ dθ =
=
1
4D4ε
0
τ
r
integraldisplay
60
◦
−60
◦
cosθ dθ =
1
4D4ε
0
τ
r
bracketleftbig
sinθ
bracketrightbig
60
◦
−60
◦
=
=
1
4D4ε
0
τ
r
[sin 60
◦
− sin(−60
◦
)] =
=
1,73τ
4D4ε
0
r
. (23.21)
Určíme ještě τ. Tyči odpovídá středový úhel120
◦
, tj. tyč
tvoří třetinu celé kružnice. Její délka je tedy 2D4r/3 a délková
hustota náboje
τ =
náboj
délka
=
Q
2D4r/3
=
0,477Q
r
.
Dosazením do rov. (23.21) a úpravou dostáváme
E
x
=
1,73(0,477Q)
4D4ε
0
r
2
=
0,83Q
4D4ε
0
r
2
. (Odpovědquoteright)
Vektor E směřuje k tyči, podélosy symetrie rozložení náboje.
RADYANÁMĚTY
Bod23.1: Výpočet pole nabitého vlákna
Podáme obecný návod,jak určit intenzitu pole,které v boděP
budí rovnoměrně nabité vlákno, budquoteright přímé, nebo ve tvaru
oblouku. Zvolíme element náboje dQ, najdeme intenzitu dE
buzenou tímto elementem a dE integrujeme přes celé nabité
vlákno.
1. Má-li nabité vlákno tvar oblouku, je ds délka elementár-
ního oblouku. Je-li přímé, zvolíme v jeho směru osu x
apakdx je délka elementu. Délkový element si označíme
na náčrtku.
2. Vyjádříme element náboje dQ zvoleného délkového ele-
mentu budquoteright jako dQ=τ ds,nebodQ=τ dx.
3. Vyjádříme intenzitu dE pole buzeného v bodě P nábojem
dQ z rov. (23.3), kde dQ je rovno τ ds (nebo τ dx). Je-li
náboj vlákna kladný, zakreslíme v boděP vektor dE,který
směřuje od elementu dQ. Je-li náboj záporný, zakreslíme
vektor směřující k dQ.
4. Vždy hledáme, zda je v rozložení nábojů symetrie. Jestliže
bod P leží na ose symetrie, rozložíme vektor intenzity dE
23.7 ELEKTRICKÉ POLE NABITÉHO DISKU 603
do dvou směrů, z nichž jeden je k ose symetrie kolmý
a druhý je s ní rovnoběžný. Pak zavedeme element dQ
prime
symetrický s dQ. V bodě P zakreslíme vektor dE
prime
po-
le, které je buzeno elementem dQ
prime
,arozložímehodo
výše uvedených směrů. Jedna ze složek buzená dQ se
ruší s odpovídající složkou buzenou dQ
prime
anemusímeji
dále uvažovat. Složky ve směru kolmém se však sčítají.
Integrováním sečteme tyto složky od všech elementů.
5. Existují čtyři typy rovnoměrného rozdělení náboje, kde
můžeme zjednodušit integrálpodle kroku 4. Každý typ
můžeme ještě zobecnit tím, že část vlákna bude nabita
kladně a část záporně.
Prstenec, leží-li bodP na jeho ose (obr. 23.10): Ve výrazu
pro dE dosadímer
2
=z
2
+R
2
jako v rov. (23.12). Vyjádříme
sčítanou složku dE pomocí θ. Tím se zavede cosθ,aleθ je
pro všechny elementy stejné a není tedy proměnnou. Vyjá-
dříme cosθ z rov. (23.13). Integrujeme přes s podélobvodu
kružnice.
Oblouk kružnice, leží-li bod P v jejím středu (obr. 23.11):
Vyjádříme sčítanou složku dE pomocí θ. Tím se zavede budquoteright
sinθ,nebocosθ. Zredukujeme výsledné dvě proměnné s a θ
na jednu (θ) nahrazením ds = r dθ. Integrujeme přes θ jako
v př. 23.5 od jednoho konce oblouku ke druhému.
(a)
P
x
(b)
x
y
P
(c)
x
y
P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++ ++++++
Obr.23.12 (a) Bod P leží v prodloužení nabitého vlákna. (b) Bod
P leží v rovině symetrie vlákna ve vzdálenosti y. (c) Totéž jako
(b), ale P neleží v rovině symetrie.
Přímé vlákno, leží-li bod P v prodloužení vlákna jako na
obr. 23.12a: Ve výrazu pro dE nahradíme r =x.Integrujeme
přes x od jednoho konce vlákna ke druhému.
Přímé vlákno, leží-li bod P ve vzdálenosti y jako na
obr. 23.12b: Ve výrazu pro dE nahradíme r výrazem obsa-
hujícím x a y.Je-liP na ose vlákna, najdeme výraz pro
sčítanou složku dE. Tím se zavede budquoteright sinθ,nebocosθ.
Zredukujeme výsledné dvě proměnné x a θ na jednu (x)
nahrazením goniometrické funkce výrazem obsahujícím x
a y. Integrujeme přes x od jednoho konce vlákna k druhému.
Jestliže P neleží na ose (obr. 23.12c), sestavíme integrál pro
součet složek dE
x
a integrujeme přes x, abychom našli E
x
.
Sestavíme také integrálpro součet složek d E
y
aintegrujeme
opět přesx,abychom našliE
y
.Obvyklým způsobem najdeme
ze složek E
x
a E
y
velikost E asměrE.
6. Má-li být výsledek vyjádřen pomocí celkového nábojeQ,
nahradíme τ = Q/s, kde s je délka vlákna (např. pro
prstenec je s rovno obvodu prstence).
K
ONTROLA 3: Na obrázku jsou tři nevodivé tyče, jedna
ohnutá do oblouku a dvě přímé. Na obou polovinách
každé z nich je rovnoměrně rozložen uvedený náboj.
Určete pro každou tyč směr intenzity výsledného pole
v bodě P.
(a)
y
x
P
−Q
+Q
(b)
y
x
P
+Q
+Q
(c)
y
x
P
+Q
−Q
23.7 ELEKTRICKÉ POLE
NABITÉHO DISKU
Na obr. 23.13 je kruhový ebonitový disk o poloměru R,
který má na svém horním povrchu rovnoměrně rozložený
kladný náboj o plošné hustotě σ (tab. 23.2). Jaká je elek-
trická intenzita v boděP,který je ve vzdálenostizod roviny
disku na jeho ose souměrnosti?
Obr.23.13 Disk o poloměru R
rovnoměrně nabitý kladným nábojem.
Vyznačený prstenec má poloměr r
a radiální šířku dr. V bodě P na ose
souměrnosti budí prstenec infinitezi-
mální intenzitu dE.
r
R
z
dr
P
dE
604 KAPITOLA 23 ELEKTRICKÉ POLE
Rozdělíme disk na soustředné prstence a spočítáme
intenzitu v bodě P sečtením (tj. integrací) všech dílčích
příspěvků. Na obr. 23.13 je jeden takový prstenec o polo-
měrur a šířce dr.Protožeσ je náboj připadající na jednotku
plochy, je náboj na prstenci roven
dQ=σ dS =σ(2D4r dr), (23.22)
kde dS je element plochy prstence.
Je-li elektrická intenzita v okolí nabitého tělesa dostatečně vel-
ká, dojde k elektrickému průrazu okolního vzduchu: molekuly
vzduchu jsou ionizovány (z molekul se uvolní elektrony) a vzni-
kají přechodné vodivé dráhy. Elektrické jiskry, které zde vidíte,
tyto dráhy ukazují.
Pole, které budí nabitý prstenec, jsme už počítali. Do
rov. (23.16) za Q dosadíme dQ z rov. (23.22) a za R pro-
měnnou r. Tím získáme výraz pro velikost intenzity dE,
kterou v bodě P budí zvolený prstenec:
dE =
zσ2D4r dr
4D4ε
0
(z
2
+r
2
)
3/2
neboli
dE =
σz
4ε
0
2r dr
(z
2
+r
2
)
3/2
.
Nyní můžeme najít velikost E integrací přes celý po-
vrch disku, tj. integrací podle proměnné r od r = 0do
r = R, přičemž z zůstává během integrace konstantní.
Dostáváme
E =
integraldisplay
dE =
σz
4ε
0
integraldisplay
R
0
(z
2
+r
2
)
−3/2
(2r)dr. (23.23)
Integrálpřevedeme na tvar
integraltext
X
m
dX substitucí X =(z
2
+
+ r
2
), m =−
3
2
adX = (2r)dr. Pro upravený integrál
máme
integraldisplay
X
m
dX =
X
m+1
m+ 1
a z rov. (23.23) dostáváme
E =
σz
4ε
0
bracketleftBigg
(z
2
+r
2
)
−1/2
−
1
2
bracketrightBigg
R
0
.
Po dosazení mezí a úpravě dostáváme pro velikost inten-
zity pole buzeného plochým kruhovým nabitým diskem
v bodě P na jeho ose
E =
σ
2ε
0
parenleftbigg
1 −
z
√
z
2
+R
2
parenrightbigg
(nabitý disk). (23.24)
Směr intenzity E je kolmý k disku.
Pro R →∞a z konečné se v rov. (23.24) druhý člen
v závorce blíží k nule a rovnice se redukuje na tvar
E =
σ
2ε
0
(nekonečná vrstva). (23.25)
To je intenzita pole buzeného nekonečnou vrstvou náboje
rovnoměrně rozloženého na jedné straně nevodiče.Siločáry
v takové situaci jsou zobrazeny na obr. 23.4.
Rov. (23.25) dostaneme i v případě, že z → 0aR
zůstává konečné. To znamená, že v bodech velmi blízko
disku je intenzita stejná, jako kdyby byldisk nekonečný.
PŘÍKLAD23.6
Disk na obr. 23.13 je na svém horním povrchu nabit nábojem
s plošnou hustotou σ =+5,3D1C·m
−2
. (To odpovídá situaci
na fotosenzitivním válci kopírovacího stroje.)
(a) Jaká je elektrická intenzita u povrchu disku?
ŘEŠENÍ: Směr E je kolmý k disku a velikost E plyne
z rov. (23.25):
E =
σ
2ε
0
=
(5,3·10
−6
C·m
−2
)
2(8,85·10
−12
C
2
·N
−1
·m
−2
)
=
= 3,0·10
5
N·C
−1
. (Odpovědquoteright)
23.8 BODOVÝ NÁBOJ V ELEKTRICKÉM POLI 605
Tato hodnota platí pro všechny body, které jsou blízko po-
vrchu disku, a přitom dostatečně daleko od jeho okraje.
Je-li intenzita pole v látce dostatečně velká, dojde k elek-
trickému průrazu, při kterém v materiálu náhle vznikají vo-
divé cesty. Ve vzduchu k němu za atmosférického tlaku do-
chází, jestliže intenzita přesáhne hodnotu 3·10
6
N·C
−1
.Při
průrazu probíhají elektrony jednou či více vodivými drá-
hami a vytvářejí elektrické jiskry. Protože vypočítaná inten-
zita v tomto příkladu je pouze 3·10