Gravitační a tíhové pole

A
0
v
r


b) v bodě B B

c) v bodě C

d) žádná z odpovědí a), b), c) není správná C
x

16
Šikmý vrh
Šikmým vrhem rozumíme takový pohyb tělesa (hmotného bodu) v homogenním poli
tíhové síly, kdy počáteční rychlost tělesa nemá obecně svislý nebo vodorovný směr. Tento
pohyb je odedávna pro lidstvo strategicky důležitý: ve válkách vyhrával ten, kdo dovedl
přesněji odhadnout dráhu vrhaných kamenů, oštěpů, střel nebo raket.



Obr. 9 Střela, která byla vystřelena z počátku souřadnic v okamžiku 0=t rychlostí
0
v
r
pod
úhlem θ . V jednotlivých bodech trajektorie jsou zakresleny vektory rychlosti a jejich
rozklad do složek.

Počáteční rychlost můžeme ve vektorovém tvaru zapsat
yx
vvv
000
rrr
+= ,
velikosti těchto složek vyjádříme pomocí úhlu θ (tzv. elevační úhel) , který svírá vektor
0
v
r

s kladným směrem osy x.
θcos
00
vv
x
= , θsin
00
vv
y
= .
Všimněte si na obr. 9, že vodorovná složka rychlosti se v průběhu pohybu nemění, na
rozdíl od složky svislé, která mění jak svou velikost, tak i směr.
Šikmý vrh můžeme rozložit na dva jednodušší pohyby:
na pohyb rovnoměrný přímočarý ve směru osy x (vodorovná složka zrychlení je nulová)
a na svislý vrh vzhůru ve směru osy y
Rovnice popisující tyto pohyby jsou
θcos
0
vv
x
= , gtvv
y
−= θsin
00
(22 a, b)
θcos
0
tvx = ,
2
0
2
1
sin gttvy −= θ (23 a, b)
Trajektorii pohybu obdržíme z rovnic (23 a, b) vyloučením času t:
17
()
2
2
0
cos
tg x
vs
g
xy
θ
θ −= . (24)
Jedná se o rovnici paraboly.
V nejvyšším bodě dráhy je svislá složka rychlosti nulová 0=
y
v a podobně jako pro
svislý vrh vzhůru můžeme vypočítat dobu výstupu
g
v
t
v
θsin
0
= . (25)
Nejvyšší dosaženou výšku obdržíme po dosazení této hodnoty do rovnice (23 b)
g
v
gttvy
vv
2
sin
2
1
sin
22
0
0max
θ
θ =−= .
Doba dopadu je dvojnásobkem doby výstupu, tedy
g
v
t
d
θsin2
0
= . (26)
Délku vrhu obdržíme dosazením
d
t do vztahu (23 a)
g
v
tvx
dd
θ
θ
2sin
cos
2
0
0
== . (27)

Na obrázku 9 je délka vrhu označena R (říká se jí také dolet). Doletem rozumíme
vodorovnou vzdálenost střely od místa výstřelu měřenou v okamžiku, kdy střela projde
bodem ležícím v téže výšce nad povrchem Země jako ústí hlavně.
Poznámka:
V mnoha reálných situacích nelze zanedbávat odpor vzduchu. Skutečnou trajektorií
tělesa je pak nesymetrická křivka s kratším doletem, zvaná balistická křivka.








Obr. 10 Balistická křivka (I): Dráha tenisového míčku vypočtená (na počítači) s uvážením
odporu vzduchu. Parabola (II): Dráha míčku ve vakuu, vypočtená pro stejnou
počáteční rychlost
0
v
r
pomocí vztahů odvozených v této kapitole.
18
Příklad 7
Pirátská loď je zakotvena 560 m od pobřežní pevnosti, která chrání vjezd do ostrovního
přístavu. Obránci mají k dispozici dělo umístěné v úrovni mořské hladiny, které může
vystřelit náboj rychlostí 82 m.s
-1
. a) Pod jakým elevačním úhlem musí být nastavena hlaveň,
aby náboj pirátskou loď zasáhl? b) Za jakou dobu zasáhne střela tuto loď? c) Do jaké
vzdálenosti musí rychle odplout loď, aby byla mimo dostřel?
Řešení:
a) Úhel zjistíme přímo z rovnice pro dolet střely (27)
2
0
2
0
2sin2sin
v
Rg
g
v
Rx
d
=⇒== αα . (28)
Po dosazení číselných hodnot obdržíme rad816,0rad
82
81,9.560
2sin
2
==α
Této hodnoty nabývá
funkce sin v intervalu
od
o
0 do
o
360 pro dva
různé úhly:
o
7,542
1
=α a
o
3,1252
2
=α . Pro
elevační úhly pak
obdržíme
o
o
27
7,54
2
1
=
=
α
α



Zvolí-li velitel pevnosti kteroukoli z nich, bude pirátská loď zničena. Odpor vzduchu lze
v tomto případě zanedbat.

b) Dobu t získáme, dosadíme-li do rovnice (27) postupně oba úhly:
s7,7
27cos
0
1
==
o
v
R
t .
s15
63cos
0
2
==
o
v
R
t


Let střely trvá při větším elevačním úhlu déle (což jsme očekávali – trajektorie je delší).

19
c) Z rovnice (28) je zřejmé, že největší hodnotu doletu získáme pro
o
90212sin =⇒= αα . Elevační úhel je pak
o
45=α
Dolet nabývá největší hodnoty, je-li elevační úhel roven
o
45 .
Dosadíme-li tuto hodnotu do vztahu (28), obdržíme:
m690)45.2(sin
81,9
82
2sin
2
2
0
===
o
α
g
v
R
Začne-li loď odplouvat, začnou se hodnoty obou elevačních úhlů
21
,αα postupně
sbližovat a splynou v okamžiku, kdy bude loď od pevnosti vzdálena 690 m (jejich
společná hodnota bude v tomto okamžiku
o
45=α .

Ve vzdálenosti větší než 690 m jsou již piráti v bezpečí.


Otázka 8
Šíp byl vystřelen pod nenulovým elevačním úhlem α . V kterém bodě dráhy má
rychlost nejmenší velikost?
a) v počátku dráhy
b) v nejvyšším bodě dráhy
c) před dopadem
d) nelze jednoduše určit, záleží na hmotnosti střely

Úloha 1
Střela vyletěla z ústí hlavně pušky rychlostí 750 m.s
-1
pod elevačním úhlem
o
30 .
a) Za jakou dobu byla ve výšce 300 m?
b) Jakou rychlost měla v nejvyšším bodě dráhy
c) Jak daleko střela doletěla?

Úloha 2
Rychlost střely lze určit z poklesu její polohy h∆ na
délce l∆ při vodorovném výstřelu. Pokles stanovíme
z poloh průstřelů na dvou svislých štítech postavených za
sebou do dráhy střely. Vypočtěte velikost rychlosti dráhy
střely.


20
3 Pohyby těles v radiálním gravitačním poli

Při pohybu ve větších vzdálenostech od povrchu Země a po delších trajektoriích se již
neiplatňuje vliv odstředivé síly způsobené otáčením Země. Musíme si také připomenout, že
zemské gravitační pole je radiální, takže gravitační zrychlení závisí na vzdálenosti od středu
Země podle vztahu
2
r
M
Ga
Z
g
= ,
(28)



Dráhy pohybů nejsou parabolické jako
v případě homogenního tíhového pole, ale
eliptické
1
(ve speciálním případě kruhové),
přičemž Země je v jednom z ohnisek elipsy.

Obr. 11 Kruhová a eliptické dráhy družic
Při malých rychlostech vrhu tělesa elipsa „vniká“ do zemského povrchu, ale těleso
přistane na zemském povrchu
2
. Postupným zvyšováním počáteční rychlosti dospějeme ke
stavu, kdy elipsa mine zemský povrch a těleso se stává oběžnicí Země.

3.1 Kosmické rychlosti
Nejjednoduššími trajektoriemi v centrálním gravitačním poli jsou kružnice. Přibližně po
takové trajektorii se pohybují např. Měsíc a některé umělé družice Země. Položme si otázku,
jaká je minimální hodnota rychlosti
k
v , při níž se těleso udrží na kruhové dráze a nespadne na
zemský povrch.
Na družici o hmotnosti m působí gravitační síla
g
F
r
o velikosti
2
r
mM
GF
Z
g
= .
Tato síla směřuje stále do středu Země a vytváří tak dostředivou sílu
d
F
r
, která zakřivuje
trajektorii družice do kružnice. Její velikost je
r
mv
F
k
d
2
= ,

1
Odchylka mezi eliptickou a parabolickou dráhou v blízkosti zemského povrchu je nepatrná.
2
To je pohyb, který můžeme označit jako šikmý vrh v radiálním gravitačním poli.
21
Oba vztahy vyjadřují tedy tutéž sílu:
gd
FF = , po dosazení
2
2
r
mM
G
r
mv
Zk
= . (29)
Odtud po úpravě
r
M
Gv
Z
k
= ,
(30)
Jak je vidno, velikost kruhové rychlosti
k
v nezávisí na hmotnosti umělé družice, pouze
na její vzdálenosti od středu Země.
Obvodovou kruhovou rychlost, při níž by se družice pohybovala po kružnici o poloměru
blízkém poloměru Země (
Z
Rr =& ), nazýváme I. kosmická rychlost. Dosadíme-li do vztahu
(30) rovnici (28) a uvážíme-li, že pro
Z
Rr =& je ga
g
= , obdržíme pro první kosmickou
rychlost vztah
Zk
gRv = ,
(31)
po dosazení
111
km.s9,7m.s7906m.s378,6.81,9
−−−
=== &
k
v .
Družice mající rychlost
k
v by se pohybovala stále po kružnici o poloměru R.
I. kosmická rychlost
I
v je rovna rychlosti, kterou musíme udělit tělesu v horizontálním směru
těsně nad povrchem Země, aby obíhala okolo ní po kruhové dráze jako umělá družice Země.

Je-li družici udělena počáteční rychlost o málo větší než I. kosmická rychlost, opisuje
elipsu. Velikost počáteční rychlosti ovlivňuje tvar elipsy. Při větších počátečních rychlostech
je elipsa protáhlejší. Od určité hodnoty
p
v se změní uzavřená elipsa v parabolu a těleso se
trvale vzdaluje od Země. Tato mezní rychlost se nazývá úniková rychlost nebo II. kosmická
rychlost.
II. kosmická rychlost
II
v představuje tzv. únikovou rychlost z povrchu Země. Je to minimální
rychlost, kterou musíme vrhnout těleso ze zemského povrchu svisle vzhůru, aby natrvalo
opustilo gravitační pole Země a vzdálilo se do nekonečna.

Velikost únikové rychlosti, kterou lze odvodit ze zákona zachování mechanické energie
v gravitačním poli, je
1
km.s2,1129,72
−
===
III
vv

22
Úniková rychlost nezávisí na směru, kterým je střela vypuštěna. Uvážíme-li však rotaci
Země kolem vlastní osy, je získání této rychlosti snadnější, pokud je střela vypuštěna ve
směru pohybu Země. Například rakety startující na východ od mysu Canaveral mají navíc
rychlost 1 500 km/h, kterou se mys pohybuje na východ díky rotaci Země.

Příklad 8
Umělá družice obíhá po kruhové trajektorii ve výši h = 550 km nad povrchem Země.
a) Vypočítejte její rychlost na kruhové dráze. b) Jaká je oběžná doba této družice?
Řešení:
a) Na družici o hmotnosti m působí Země ve výšce h nad jejím povrchem gravitační silou
()
2
hR
mM
GF
Z
Z
g
+
= ..
Tato síla je silou dostředivou
d
F , jež způsobuje stálé zakřivení dráhy družice do tvaru
kružnice o poloměru hR
Z
+ . Platí
gd
FF = , tj.
()
Z
Z
Z
k
R
mM
G
hR
mv
=
+
2
,
Po úpravě dostaneme pro kruhovou rychlost
hR
M
Gv
Z
Z
k
+
= ,
číselně
131
2
24
11
m.s10.59,7m.s
)55,0378,6(
10.98,5
10.67,6
−−−
=
+
=
k
v .

b) Za oběžnou dobu T opíše družice rychlostí
k
v kružnici, jejíž obvod má délku
)(2 hR
Z
+π , takže
k
Z
v
hR
T
)(2 +
=
π
, číselně
s10.73,5s
10.59,7
10).55,0378,6(14,3.2
3
3
6
=
+
= &T .

Družice má kruhovou rychlost 7,59.10
3
m.s
-1
a její oběžná doba je 5,73.10
3
s .


23
Příklad 9
Aby mohla meteorologická družice pravidelně snímat určitou oblast Země, musí obíhat
současně s otáčením zemského povrchu po geostacionární (geosynchronní) dráze, tj. vůči
pozorovateli na povrchu Země musí být nehybná. Jaký je poloměr její dráhy?
Řešení:
Pro těleso pohybující se po kruhové dráze se dostředivá síla rovná gravitační síle
2
2
r
mM
G
r
mv
Zk
= . (32)
Aby geostacionární družice monitorovala stále stejnou oblast Země, musí mít stejnou
úhlovou rychlost jako Země. Pro její rychlost po kruhové dráze platí
r
T
rv
k
π
ω
2
== , kde T je perioda otáčení Země.
Dosadíme-li tento vztah do rovnice (32), obdržíme po úpravě
r
M
Gr
T
Z
=
2
2
2
4π
. (33)
Pokud výška stacionární družice je ve srovnání s poloměrem malá, platí podle (28)
ZZ
GMgR =
2
. Po dosazení do vztahu (33) obdržíme pro poloměr oběžní dráhy
3
2
22
4π
TgR
r
Z
= .
Číselně
km30042m
4
86400.)0003786.(81,9
3
2
22
== &
π
r

Poloměr geostacionární družice musí být 42 300 km.


Otázka 9
Beztížný stav v raketě letící na Měsíc nastane ve chvíli, když
a) raketa dosáhne první kosmické rychlosti,
b) raketa dosáhne druhé kosmické rychlosti,
c) raketa se dostane do místa, kde je rovnováha přitažlivé síly Země a Měsíce,
d) se vypnou motory.


24


Výsledky

Otázka 1: c)
Otázka 2: d)
Otázka 3: d)
Otázka 4: c)
Otázka 5: a)
Otázka 6: b)
Otázka 7: d)
Otázka 8: b)
Otázka 9: d)

Úloha 1: a) 0,8 s; 74,2 s
b) 650 m.s
-1

c) 48,7 km

Úloha 2:
h
g
v
∆
∆=
2
l