eseje otázka zk

y budou totiž
podléhat vysokým ztrátám a neuplatní se.
Jelikož vlnové číslo a frekvenci váže vztah
k
c
=
2πν
, (5-9)

může se frekvence modů vyjádřit pomocí absolutních hodnot složek vlnového vektoru:

()
1
222
2
,,
.
2
mnq x y z
c
kkkν
πλ
=++
rrr
(5-10)
S uvážením poslední nerovnosti lze upravit výraz pro frekvenci modů (5-6) na tvar

ν
mnq
cq
d
mn
a
q
d
,,
=+
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
2
1
2
22
2
12
(5-13)

Index modu q se vztahuje k podélné souřadnicové ose z, proto mody jím označované se
nazývají podélné mody (někdy „longitudinální“). Indexy modů m, n se vztahují k příčným
souřadnicovým osám x, y a mody jimi označované se nazývají příčné mody. Pokud je výstupní
zrcadlo obdélníkového tvaru rozlišují se příčné mody „transversální“ – ve kratší strany
obdélníka a příčné mody „laterální“ – ve směru delší strany obdélníka.




Znázornění podélných a příčných modů:


d = n
z
λ
z
/2
x
y

Frekvenční vzdálenost podélných modů Δν
q
se určí podle definice Δν ν ν
qmnq mn
=
q
−
+,, ,,1

tak, že ve vztahu (5-15) se zanedbá vůči jednotce druhý člen v závorce, čímž se dostane

Δν
q
c
d
&=
2
. (5-17)

Frekvenční vzdálenost příčných modů Δν
m
se určí pomocí vztahu (5-16) vyjádřením rozdílu
ν ν
mnq mnq+
−
1, , , , ,
:

()
Δν
m
cm m
q
d
a
cd
qa
m=
+−
=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
1
248
1
2
2
2
22
. (5-20)

Veličiny před závorkou se upraví pomocí (5-17):
ΔΔνν
mq
d
qa
m=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
2
4
1
2
.+ (5-21)

Pro ohodnocení difrakčních ztrát v optickém rezonátoru se definuje tzv. "Fresnelovo číslo" N
vztahem
N
g
d
=
α
α4
, (5-22)

kde α
g
je úhel, pod kterým je jedno zrcadlo rezonátoru s příčným rozměrem 2a viděno ze středu
druhého zrcadla; α
d
je úhlová vzdálenost prvního difrakčního minima od osy rezonátoru při
difrakci vlny na jednom ze zrcadel rezonátoru. Po dosazení příslušných vztahů α
g
a
d
=
2
,
α
λ
d
a
=
2
do definičního vztahu (5-22), je
N
a
d
=
2
λ
. (5-23)
Znázornění:


d
difrakce
α
g 2a
difrakční obrazec
α
d
I

Upraví-li se výraz (5-21) pomocí Fresnelova čísla, platí
ΔΔνν
mq
m
N
=
+
1
2
8
, (5-24)

V rozsahu jedné spektrální čáry aktivní látky se může vyskytnout několik rezonančních čar
rezonátoru. Spektrální rozložení modů rezonátoru je znázorněno na obr.5-2, přičemž pro
názornost se předpokládají „nekonečně úzké“ šířky rezonančních čar.
V reálném případě mají rezonanční čáry nenulovou šířku a určitý tvar. Šířka rezonanční čáry
se charakterizuje "dobou života fotonů" v rezonátoru τ
f
. Jedná se o podobný postup, jaký byl
učiněn v případě vyjádření šířky spektrální čáry, kdy byla stanovena spontánní doba života
částice τ
sp
na vzbuzené energetické hladině. Pro τ
f
platí vztah: τ
f
= d/cγ; (γ jsou celkové ztráty
v rezonátoru na 1 průběh). Pro šířku rezonanční čáry Δν
f
, vyjádřené pomocí τ
f
, platí vztah


1
22
f
f
c
d
γ
ν
τ π
Δ= =
π
(5-27)

Funkce tvaru rezonanční čáry g
f
(ν) optického rezonátoru pro podélné mody je znázorněna na
obr.5-3.

Obr.5-3. Funkce tvaru rezonančních čar optického rezonátoru Fabryova-Perotova typu.
Konfokální rezonátor (konstrukce, mody, podmínka stability)

F
1
= F
2
R
1
R
2
d






Obr.6-4. Konfokální optický rezonátor.
Pro praktické použití je výhodnější namísto rovinných zrcadel použít v optickém
rezonátoru zrcadla sférická. V určitém rozmezí hodnot poloměrů křivosti zrcadel R
1
, R
2
(při daném d) bude mít takový rezonátor menší difrakční ztráty. Speciálním typem
optického rezonátoru se sférickými zrcadly je tzv. "konfokální rezonátor" (viz obr.6-4) s
parametry
R
1
= R
2
= d.
Výsledkem matematické analýzy je, že pole v konfokálním rezonátoru se zrcadly
s pravoúhlou symetrií má charakter Hermitových-Gaussových svazků reprezentujících
jednotlivé mody záření. V případě zrcadel s kruhovou symetrií má pole v rezonátoru charakter
Laguerrových-Gaussových svazků. Na zrcadlech rezonátoru vytvářejí tyto svazky (mody)
plošné rozložení intenzity elektrického pole, které je pro vybrané svazky (mody) znázorněno
na obr.6-5. Modový index q, vztahující se k ose z, není uváděn.

TEM
00
TEM
10
TEM
01
TEM
11
TEM
00
TEM
01
TEM
10
TEM
11
x
y
r
ϕ








Obr.6-5: Plošné rozložení intenzity elektrického pole na zrcadlech s pravoúhlou a kruhovou
symetrií.

Podobně jako je modový index q roven počtu uzlů stojaté vlny v rezonátoru podél osy z,
jsou modové indexy m, n rovny počtu uzlů podél os x, y, což je patrné z obr.6-5. (V případě
kruhových zrcadel se používá válcová soustava souřadnic 0r zϕ . Počet uzlů v radiálním směru
r je roven p; počet uzlů v azimutálním směru ϕ je roven 2l.)
V analytickém vyjádření intenzity elektrického pole se vyskytuje součin Hermitových
polynomů (v případě kruhových zrcadel Laguerrova polynomu) a Gaussovy funkce. Jedná-li
se o mod TEM
00
(základní mod), nabývají jak Hermitovy polynomy, tak Laguerrův polynom
jednotkové hodnoty a svazky v rezonátoru přecházejí v Gaussův svazek, jehož analytické
vyjádření je už jednoduché:

()
rr
EE
xy
wz
=
−
−
0
22
2
e, (6-28)
kde w(z) je taková kolmá vzdálenost od osy rezonátoru, ve které absolutní hodnota vektoru
intenzity elektrického pole klesá vůči své maximální hodnotě (na ose) e-krát. Veličina 2w(z),
která je závislá na souřadnici z, se nazývá "šířkou" svazku. Na obr.6-6 je graficky znázorněno
jednorozměrné Gaussovo rozložení velikosti vektoru intenzity elektrického pole na ose x.


E
E
max
x
E
max
/e
w 0














Obr.6-6. Jednorozměrné Gaussovo rozložení.

V rovině x0z opisuje kraj svazku hyperbolickou křivku. Ve všech rovinách kolmých na osu
z vytváří kraj svazku kružnice. V rovině x0y je svazek nejužší. Tomuto místu se říká "krček"
svazku. Pro šířku svazku v krčku vyplývá z teorie konfokálních rezonátorů vztah
22
2
0
w
d
=
λ
π
(6-29)
a pro šířku svazku na zrcadlech ()zd= 2 platí 22
0
ww= 2.
Z podrobné analýzy konfokálního rezonátoru vyplývají následující vztahy pro určení
frekvence modů:
ν
mnq
c
d
q
mn
,,
,=+
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
1
2
(6-30)
ν
plq
c
d
q
pl
,,
,=+
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
21
2
(6-31)
z nichž lze odvodit frekvenční vzdálenosti
Δν
q
c
d
=
2
, (6-32)

ΔΔΔΔνννν
mn pl
c
d
====
4
. (6-33)
Spektrální rozložení modů v konfokálním rezonátoru s pravoúhlými zrcadly je uvedeno na
obr.6-7. Mody, pro něž platí m + n + 2q = konst., mají stejnou frekvenci.
M ... 1 0 ... 1 0 ... 1 0
N ... 1 0 ... 2 1 ... 1 0
Q ... q - 1 q ... q - 1 ... q ... q q + 1
M+n+2q 2q 2q 2q + 1 2q + 1 2q + 2 2q + 2

c/2d
c/4d






Obr.6-7: Spektrální rozložení modů v konfokálním rezonátoru s
pravoúhlými zrcadly.
Kromě konfokálních rezonátorů existují i jiné sférické rezonátory, avšak poloměry
křivosti zrcadel nelze volit libovolně. Pro volbu R
1
, R
2
plyne z teorie rezonátorů tzv.
"podmínka stability" rezonátoru:
01 1
12
≤−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≤
d
R
d
R
1. (6-34)
Optický rezonátor, jehož parametry vyhovují nerovnosti (6-34), se nazývá stabilním
rezonátorem.

T 15 Gaussův svazek (optická intenzita, základní parametry, komplexní parametr
svazku)

Optické svazky
Pro optické bezkabelové spoje je důležitý případ, kdy se optické vlny šíří v úzkém
svazku, např. podél osy 0z. v souřadnicové soustavě 0xyz. Vlny, jejichž normály vlnoploch
svírají s osou 0z malý úhel, se nazývají paraxiálními vlnami. Takové vlny musí rovněž
vyhovovat vlnové rovnici. Důležitým řešením vlnové rovnice pro případ paraxiální vlny je
vlna, která se nazývá gaussovský svazek.

Optický výkon gaussovského svazku je soustředěn do úzkého kužele a optická intenzita
v rovině kolmé na směr šíření vlny je dána kruhově symetrickou gaussovskou funkcí
s maximem I
0
na ose svazku (souřadnicové ose 0z). Kraj svazku je definovaný poklesem
optické intenzity na hodnotu I
0
/e
2
. Vzdálenosti kraje svazku od osy svazku se říká pološířka
svazku s označením w. Gaussovský svazek je nejužší v místě, kterému se říká krček svazku.
V krčku svazku se pološířka svazku označuje w
0
.

Vlnoplochy gaussovského svazku jsou blízko počátku téměř rovinné s poloměrem
křivosti R → ∞ . Vlnoplocha gaussovského svazku je nejvíce zakřivena v místě na ose 0z,
kterému se říká Rayleighova vzdálenost (také hranice blízké a vzdálené zóny záření)
s označením z
0
.
Podrobnou analýzou lze dospět k následujícím parametrům a charakteristikám
gaussovského svazku. Závislost pološířky svazku na souřadnici z je vyjádřena vztahem

()
12
2
0
0
1
z
wz w
z
⎡⎤
⎛⎞
⎢⎥=+
⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦
, (5-35)

Řešením vlnové rovnice vychází pro komplexní amplitudu elektrického pole
gaussovského svazku po příslušných úpravách tvar
()
()
()
()
22
2
0
1
20
0
,, e e
xy z
j
jkz z
z
wz
w
Exyz E
wz
ϕ
⎛⎞+
π⎡ ⎤
−+
⎜⎟− +−
⎢ ⎥
⎝⎠⎣ ⎦
=
&
,
(5-37)
kde E
0
je reálná amplituda elektrického pole.

Pomocí rovnice konstantní fáze
()
()−
+
−− +=
xy
wz
z
z
kz z
22
2
0
2
ϕ
π
konst (5-38)
lze odvodit, že vlnoplochy gaussovského svazku vytvářejí v prostoru rotační paraboloidy.
Úpravou a diferencováním (5-38) lze vyjádřit poloměr křivosti vlnoplochy
()
2
0
1
z
Rz z
z
⎡⎤
⎛⎞
=+⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦
.
(5-39)

Grafické zobrazení (5-39) je na obr. 5-10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
R/z
0
z/z
0

Obr. 5-10: Závislost normovaného poloměru křivosti gaussovského svazku na bezrozměrné
souřadnici z/z
0

Jednodušší vyjádření komplexní amplitudy elektrického pole gaussovského svazku (5-
37) se získá zavedením tzv. komplexního parametru svazku rovnicí &q
2
11 2
() ()
()
j
qz Rz
kw z
=−
&
.
(5-43)
Je vidět, že parametr &q má pro gaussovský svazek stejný význam jako veličina R pro
sférickou vlnu. Zákony platné pro sférickou vlnu platí i pro gaussovský svazek, stačí formálně
nahradit veličinu R parametrem . Z rovnice (5-43) lze odvodit i jiné tvary pro vyjádření
parametru :
&q
&q
0
11
qzz
=
+&
,
(5-45)
resp.
0
qzz=+& .
(5-46)

Lze vyjádřit optickou intenzitu gaussova svazku ve tvaru
22
2
2
2
()0
0
(, ,)
()
x y
wz
w
Ixyz I e
wz
+
−
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
,
(5-47)

kde I
0
je optická intenzita na ose svazku v počátku (z = 0). Rozložení optické intenzity
v příčné rovině 0xy je znázorněno na obr. 5-11.

-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x/w
0
I/I
0
e
-
Obr. 5-11: Normovaná optická intenzita jako funkce bezrozměrné souřadnice x/w
0
; (z = 0)

Na ose svazku má optická intenzita rozložení dané vztahem
2
00
0
2
0
(0,0, )
()
1
wI
IzI
wz
z
z
⎡⎤
==
⎢⎥
⎣⎦ ⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
,
(5-48)

který je graficky znázorněn na obr. 5-12.
a optická intenzita klesá se čtvercem vzdálenosti podobně jako u sférické vlny.

z/z
0
z/z
0
I/I
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1

Obr. 5-12: Normovaná optická intenzita jako funkce bezrozměrné souřadnice z/z
0



Gaussův svazek (profil svazku a rozložení optické intenzity) s vyznačením všech jeho
základních charakteristik a parametrů je názorným způsobem uveden na obr. 5-13.

θ
y
z
R(z
2w
0
0
Σ
w(z
0
I
0
e
-2
I
0
I
y

Obr. 5-13 Základní charakteristiky a parametry Gaussova svazku
(I - intenzita záření s maximální hodnotou I
0

na ose svazku)



T 16
Dvouhladinový systém (energetické hladiny, sestavení kinetických rovnic,
spektrální koeficient absorpce)


Analýza dvouhladinového systému
Lze-li látku modelovat přechody mezi pouze dvěma energetickými hladinami, hovoří se o
dvouhladinovém systému. Takovýto proces lze zabezpečit vhodnou volbou frekvence budicí
vlny, která na látku působí a vhodnou volbou aktivní látky (z hlediska spektrálních vlastností
této látky).
Představme si, že na aktivní látku působí rovinná monochromatická optická vlna (tzv.
budicí vlna) s frekvencí ω
12
s intenzitou I
b.
Představte si atom, který má pouze dvě energetické hladiny (dvouhladinový systém) a může
přecházet z jedné hladiny na druhou za současného pohlcení nebo vyzáření kvanta
elektromagnetického záření. V prvním případě máme atom na horní energetické hladině.
V některém okamžiku, který nelze předem určit, opustí atom horní hladinu a přejde na
hladinu spodní. Zároveň vyzáří kvantum energie, hovoříme o spontánní emisi. V dalších dvou
případech dopadá na atom kvantum elektromagnetického záření. Zastihne-li ho na spodní
energetické hladině, může být atomem pohlceno a atom přeskočí na horní hladinu, hovoříme
o absorpci. Setká-li se záření s atomem na horní hladině, může ho donutit vyzářit další
kvantum energie a přejít na spodní hladinu, hovoříme o indukované emisi.


E
W
12
W
21 A
21
S
21
I
b
,ω
12
(2
(1


















Předpokládá se, že v systému dochází pouze k homogennímu rozšíření spektrální čáry. Je-
li N
1
, N
2
obsazení energetických hladin (1) a (2), platí podle zákona zachování počtu částic
vztah
NN N
12
+ = =
∑
konst,
kde N
∑
je celkový počet aktivních částic systému. Pro vyjádření rychlosti změny obsazení
druhé hladiny platí kinetická rovnice

d
d
N
t
WN N N
2
12 2
1
=−−
∑
() ,
τ


WW W==
12 21
,

11 1
11
21 21
21 21
τττ
ττ
∑
=+ =+
==
sp nezář
sp nezář
AS
AS
;
(, ).


Rozdíl v obsazení energetických hladin N
1
- N
2
se označuje ΔN:
NN N
12
− =Δ . (6-5)
Odečtením rovnice (6-5) od (6-1) se získá rovnice
2
2
NN N= −
∑
Δ , (6-6)
přičemž platí
2
2
d
d
d
d
N
tt
N=− (), (6-7) Δ
neboť N
∑
= konst.

Pomocí vztahů (6-6) a (6-7) se upraví kinetická rovnice (6-2) do tvaru
−= −−
∑
∑
d
dt
NWN N N() () (ΔΔ2
1
τ
)Δ
a po další úpravě je

d
dt
NN WN() ( )ΔΔ=− + +
1
2
1
ττ
ΣΣ
Σ
, (6-8)
což je diferenciální rovnice pro ΔN.

Ve stacionárním případu, definovaném rovnicí

d
dt
N(), (6-9) Δ=0
se získá z diferenciální rovnice (6-8) rovnice algebraická
0
1
2
1
=− + +
∑∑
∑
ΔNW()
ττ
N (6-10)
a pro rozdíl obsazení hladin ΔN vychází vztah
ΔN
N
W
=
+
∑
∑
12τ
.
I
b
/I
s
= 0
I
b
/I
s
= 1
α(ω’)
ω’
ω
0
α
0
(ω
0
)
0,5 α
0
(ω
0
)

Spektrální koeficient absorpce

Jedná se o modifikaci známého
Lambertova-Beerova zákona o absorpci,
kde koeficient absorpce je vyjádřen jako
b
I
NNW
12
12
)(
ω
α
h
−=
jak se bude měnit hustota záření po průchodu prostředím rozhoduje znaménko exponentu. Při
termodynamické rovnováze je dolní energetická hladina, na základě Boltzmannova rozdělení,
vždy populována (obsazena) mnohem výrazněji (existuje mnohem více částic na dolní
energetické hladině než na horní) než výše ležící energetické hladiny. Potom je N
1
>N
2
a tudíž
α:> 0Prostředí záření absorbuje.
Pokud se však podaří docílit toho, že vyšší energetická hladina jevíce obsazena, neboli , N
1
<
N
2
potom bude α < 0 nehovoříme o zeslabování, ale naopak o zesilování záření.
Prostředí záření zesiluje.

T 17
Tříhladinový systém (energetické hladiny, sestavení kinetických rovnic,
spektrální koeficient zesílení)

U dvouhladinového systému jsou okamžiky vyzáření energie a zásobování novou energií od
sebe odděleny a generátor nemůže pracovat plynule. To přivedlo vědce k myšlence vytvořit
tří- a vícehladinový systém. Látce dodáváme energii ve formě nekoherentního
elektromagnetického záření o určité vlnové délce, tento proces nazýváme pumpování nebo
čerpání. Atomy pohltí toto záření a přejdou na vyšší energetickou hladinu, ale i opačně. Po
určité době je přechod mezi hladinami přesycen a vytvoří se vněm rovnováha, kdy je na obou
hladinách v průměru stejný počet atomů. To ale ještě nemáme aktivní prostředí. Vložíme-li
však mezi hladiny hladinu třetí, může se stát, že atomy budou bez vyzáření padat z horní na
tuto prostřední a udrží se zde relativně dlouhou dobu. Na této hladině, říkáme jí pracovní,
bude počet elektronů větší než na hladině spodní a tím vytvoříme aktivní prostředí. Tento
generátor bude vydávat záření odpovídající rozdílu prostřední, tedy pracovní, a spodní
energetické hladiny.

W
12
, W
21
1/τ
21
(2)
(1)
W
13
, W
31
1/τ
31
1/τ
32
E
(3)











Pravděpodobnost indukovaného přechodu (absorpce nebo emise) jedné částice za jednotku
času mezi dvěma hladinami je značena W
13
nebo W
31
(pro přechody typu 1→3 nebo 3→1) a
W
12
nebo W
21
(pro přechody typu 1→2 nebo 2→1). Pravděpodobnost spontánních (zářivých i
nezářivých) přechodů jedné částice za jednotku času mezi dvěma hladinami je značena
3231
1,1 ττ (pro přechody typu 3→1, 3→2) a 1
21
τ (pro přechody typu 2→1). Jiné než
vyznačené přechody jsou vůči vyznačeným přechodům málo pravděpodobné a lze je
zanedbat.
Pro inverzní obsazení mezi hladinami (2) a (1) je potřebné, aby částice vzbuzené na
hladinu (3) rychle „přešly“ na hladinu (2) a tam určitou - relativně dlouhou dobu - setrvaly.


32 21 31
111
»,
τ ττ
.
Proces buzení tříhladinového systému se popíše následujícími kinetickými rovnicemi:

d
d
N
t
WN W N
3
13 1 31
31 32
3
11
=−++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ττ
, (6-33)

d
d
N
t
WN W N N
2
12 1 21
21
2
32
3
11
=−+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
ττ
. (6-34)
Je-li N
1
, N
2
, N
3
obsazení jednotlivých energetických hladin, platí podle zákona zachování
počtu částic
NNN N
123
+ + = =
∑
konst, (6-35)
přičemž z podmínky (6-32) plyne

213
,« τττ (6-36)
což ve svém důsledku znamená, že
(6-37) NNN
31
« ,
2
a třetí hladina zůstává téměř neobsazena.



Spektrální koeficient zesílení

Jedná se o modifikaci známého Lambertova-Beerova zákona o absorpci, kde koeficient
absorpce je vyjádřen jako:


() ()
12
0
.
i
n
BN g
c
β βω ω ω==Δh

ΔN
i
– rozdíl částic v inverzním obsazení

Zesilovací účinky aktivní látky lze zvětšit zavedením kladné zpětné vazby pomocí
optického rezonátoru.

Existuje mnoho druhů buzení aktivní látky, z nichž nejdůležitější jsou: optické (bylo
rozebráno), elektrické, chemické a dynamické.
Volba druhu buzení záleží ve značné míře na druhu aktivního prostředí. Aktivní prostředí
může být jak v plynném, tak v kapalném i pevném stavu. Speciálními aktivními látkami jsou
polovodiče.
Optický způsob buzení se používá u kapalinových a pevnolátkových laserů. U plynových
laserů se používá elektrické, chemické a dynamické buzení. Polovodičové lasery jsou buzeny
elektricky (elektrickým proudem). Volba druhu buzení je určována požadovaným výkonem
laseru a účinností, s jakou daný laserový systém využívá energii budicího zdroje k vzbuzení
částic aktivní látky na pracovní energetickou hladinu laserového přechodu. Optické buzení
využívá energii světelných výbojek; elektrické buzení u plynových laserů je založeno na
elektrickém výboji v plynu. Chemické buzení čerpá energii v chemických reakcích plynů a
dynamické buzení využívá energii stlačeného plynu, která se uvolní náhlým rozepnutím
plynu.





Stacionární režim práce tříhladinového laseru

Existují dvě základní podmínky vzn