eseje otázka zk

tem “splácela”. Ale
co se takových operací může účastnit například v tiché a prázdné oblasti prostoru?
Všechno. Doslova. Energie (a hybnost) jsou nakonec oněmi základními konvertibilními
měnami. E=mc^2 nám říká, že lze energii přeměnit na hmotu i naopak. Tedy pokud je
fluktuace energie dostatečně velká, může například na okamžik způsobit, že se v prostoru
vynoří elektron se svým antihmotným společníkem pozitronem, a to i pokud byla oblast
původně prázdná! Jelikož je třeba energii rychle splatit, vytvořené částice spolu během
okamžiku zanihilují, aby zanechaly jen energii zapůjčenou k jejich kreaci. Totéž platí i
pro jiné masky, které si na sebe energie a hybnost mohou nasadit – mohou se objevit jiné
druhy částic a obratem zase zanihilovat, elektromagnetické pole může divoce fluktuovat,
stejně jako pole slabé i silné jaderné síly – kvantově mechanická neurčitost nám vesmír
na mikroskopických měřítcích ukazuje jako šílenou a chaotickou arénu, hemžící se všemi
typy částic. Poněvadž se půjčky a splátky v průměru kompenzují, prázdná oblast prostoru
vyhlíží klidně a mírně, pokud ji sledujeme s rozlišením horším než mikroskopickým.
Princip neurčitosti však obnažuje fakt, že makroskopické průměrování zamlžuje
intenzivní mikroskopickou aktivitu. Jak za krátkou dobu uvidíme, právě tohle
mikroskopické šílenství je překážkou spojení obecné relativity s kvantovou mechanikou.
Heisenbergův princip neurčitosti praví, že čím více toho zjistíme o jedné veličině, tím
méně můžeme zjistit o druhé. Konstanta úměrnosti je známá Planckova konstanta. Její
velikost právě způsobuje, že se tento jev neprojevuje v makrosvětě, ale jen u částic, jako
jsou elektrony, fotony a podobně.
Úvod:
Ve statistické mechanice, Fermi-Dirac statistiky jsou zvláštním případem statistik
částic vyvinutých Enricem Fermim a Paulem Diracem. Určují statistické rozdělení
fermionů v energetických stavech pro system, který je v teplotní rovnováze. Jinými
slovy je to pravděpodobnost , že je daná hladina zabrána fermionem. Fermiony jsou
částice, které jsou nerozeznatelné a řídí se Pauliho vylučovacím principem, tj., víc než
jedna částice se nemůže nacházet ve stejném kvantovém stavu současně. Statistická
termodynamika je používána pro popis chování velkých množství částic. Shluk
neovlivňujících fermionů se nazývá Fermiho plyn.
F-D statistiky byly představeny v 1926 Enrico Fermi a Paul Dirac .
Jádro:
Fermiovo-Diracovo rozdělení
Jedná se o určení N v případě fermionů. Sledovaný systém je definován jako jeden
kvantový stav (např. elektronů v krystalu) a uvažuje se jak tepelný, tak difúzní kontakt se
zásobníkem. Otázka zní: Jaký je střední počet fermionů, nacházejících se v l-tém
kvantovém stavu, v němž může být maximálně jeden fermion s energií E? V takovém
případě je veličina N totožná s pravděpodobností obsazení l-tého stavu jednou částicí
(obvykle se N značí jako f).

Mohou nastat tyto dva případy:

N
0
, U
0 N
0
- 1, U
0
- E


∑
−
==
N
kT
NEN
v
Ne
Z
Nf
)(
1
μ
;

kT
E
kT
E
kTkT
E
kT
N
kT
NEN
v
eeeeeeZ
−−−−
=
−
+=+=+==
∑
λ
μμμμ
11
.10.0
1
0
)(
; kde λ
μ
= e
kT
.
l
1 l
2
N = 0
E = 0
N = 1
E
ba)
)

Po dosazení:

1
1
1
1
.1.0
1
1
1
1
1
.10.0)(
+
=
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
+
=
−
−
−−
−
−
− ∑
kT
E
kT
E
kT
E
kT
kT
E
N
kT
NEN
kT
E
ee
ee
e
Ne
e
f
μ
μμμ
λλλ
;
f
e
E
kT
=
+
−
1
1
μ
. (Fermiovo-Diracovo rozdělení publikované poprvé v r. 1926.)
je energie stavu i,
je úpadek státu i (množství států se energií ),
μ je chemický potenciál (Někdy Fermi energie je používán místo toho,
jako nízkoteplotní přiblížení),
Graficky:


Z Fermiho-Diracova rozdělení se dají vyvodit i následující závislosti:

Fermi-Diracovo rozdělení jako funkce ε/μ vykreslená pro 4 různé teploty.
1
0,5
1
0
1
f(E)
E/μ
T = 0
T > 0
f(E=μ) = 0,5;
f(E=0) = 1;
f(E>>μ) → 0.

μ se v případě
F-D rozdělení nazývá
Fermiho hladinou


Fermi-Diracovo rozdělení jako funkce teploty. Více stavů je obsazeno ve vyšších
teplotách.


Fermi-Diracovo rozdělení jako funkce ε. Stavy s vysokou energií jsou méně
pravděpodobné. Nebo analogicky, nízko energetické stavy jsou pravděpodobnější.

Odvození výsledné rovnice (asi jen pro zájemce hodně složité ale
když bude mít čas, tak to tam dejte)
Uvažujte 1 stav částice ve vícestavovém systému, jehož energie je . Například,
jestliže náš systém je nějaký kvantový plyn v krabici, potom by stav mohl být specifická
jedno-částicová vlnová funkce. Vzpomeňte si na to, že velká rozdělovací funkce je

kde
je energie stavu s,
je množství částeček ovládaných systémem když ve stavu s,
μ označí chemický potenciál,
s je index vyjadřující počet možných stavů systému.

V současném kontextu, považujeme náš systém jako jednostavový (ne s 1 částicí).
Tak náš systém má energii když je stav obsazený n částicemi a 0 jestliže je
neobsazený. Uvažujme, že rovnováha jednoho stavu je reservoir. Protože systém a
reservoir obsazují stejný fyzický prostor, probíhá mezi nimi výměna částic (opravdu, toto
je jev, který my pozorujeme). Toto je důvod proč používáme velkou rozdělovací funkci,
která, přes chemický potenciál, vezme v úvahu proud částeček mezi systémem a jeho
teplotním reservoirem.
Pro fermiony, může být stav buď obsazený jedinou částicí nebo neobsazený. Proto
náš systém má dvě možnosti: obsazený jedinou částečkou, nebo neobsazení, nazvané
příslušně s
1
a s
2
. e zejmé že: , , a ,
. Funkce rozdělení je proto
.
Pro velký kanonický soubor, je pravděpodobnost že je systém v microstatu s
α
dán:
.
Pokud je stav obsazen částicí, znamená to že je systém v microstavu s
1
, jehož
pravděpodobnost je
.
se nazývá Fermi-Dirac distribuce. Pro danou teplotu T, je pravděpodobnost,
že stav s energií ε bude být zabírán fermionem. Upozornění je klesající funkce ε. Toto
je shodné s naším očekáváním, že vyšší energetické stavy jsou obsazeny s menší
pravděpodobností.
Si všimnout toho jestliže energetická hladina? má úpadek , pak my bychom dělali
jednoduchou modifikaci:
Pro všechny teploty T, , to jsou stavy jejichž energie je μ bude vždy
pravděpodobnost že je obsazený rovna pst že je neobsazený.
V limitu , se stane skokovou funkcí (vidět graf nahoře). Všechny stavy
jejichž energie je pod chemickým potenciálem budou obsazeny s pravděpodobností 1 a ty
stavy s energií nad μ budou neobsazené. Chemický potenciál u nulové teploty je nazýván
Fermiho energií, označuje se E
F
, tj.
.
Je nutné si všimnout toho, obecně chemický potenciál je teplotně-závislý. Nicméně,
pro systémy hodně pod Fermiho teplotou , to je často dostatečné používat
aproximaci ≅ .
Závěr:
Fermi-Dirac a Bose-Einstein statistiky platí, když kvantové efekty musí být
uvažovány a částice jsou “nerozeznatelné”. Kvantové efekty se projevují jestliže
koncentrace částeček (N/V) >= n
q
(kde n
q
je kvantová koncentrace). Kvantová
koncentrace je, když mezičásticová vzdálenost je rovna termální de Brogliho vlnové
délce tj. když vlnové fce částic se dotýkají ale nepřekrývají se. Kvantová koncentrace
závisí na teplotě. Fermi-Dirac statistiky platí pro fermions (částečky, které se řídí Pauliho
vylučovacím principem), Bose-Einstein statistiky platí pro bosony. Oba Fermi-Dirac a
Bose-Einstein se stanou Maxwellem-Boltzmannovými statistikami pro vysoké teploty
nebo nízké koncentrace.
Maxwell-Boltzmann statistiky jsou často popisovány jako statistiky pro
“rozeznatelné” klasické částice. Jinými slovy konfigurace částice A ve stavu 1 a částice B
v stavu 2 je odlišný od případu kde částice B je v stavu 1 a částice A je v stavu 2. Když
toto plně uskutečněno, je (Boltzmannova) distribuce částeček v energetických stavech
pravdivá ale přináší to nefyzikální výsledky pro entropii. Tyto problémy zmizí, když se
uvědomíme, že všechny částice jsou ve skutečnosti nerozeznatelný. Obě tyto distribuce
se přibližují v Maxwell-Boltzmannově distribuci v limitu vysoké teploty a nízké hustoty,
bez potřeby některých přídavných předpokladů.

Boseovo-Einsteinovo rozdělení

Jedná se o určení N (střední hodnota) v případě bosonů (typ částice). V případě bosonů
neplatí Pauliho vylučovací princip a l-tý stav může být obsazen libovolným počtem částic.

Mohou nastat tyto případy:

a) N = 0 ; E = 0
b) N = N ; E = NE


N
Z
Ne
v
NNE
kT
N
=
−
∑
1
μ



x
xeeeeeZ
N
N
N
N
kT
E
kT
E
kT
E
kT
N
N
kT
NEN
v
−
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=+++==
∑∑∑
∞
=
∞
=
−−−−
=
−
1
1
.....
00
2.2.10.0
0
0
λ
μμμμ



kT
E
ex
−
=λ
kde


Po dosazení:
NxNe xN
NNE
kT
N
N
N
=− =−
−
=
∞
=
∞
∑∑
() ()11
00
μ
x.

Platí BD:
Nx x
d
dx
xx
d
dx x
N
N
N
N=
∞
=
∞
∑∑
==
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
00
1
1
.

Po dosazení a úpravě:
N
x
d
dx
x
x
x
x
e
E
kT
=
−
−
=
−
=
−
−
−−
()
()
1
1 1
1
1
1
1 μ
;

N
e
E
kT
=
−
−
1
1
μ
. (Boseovo-Einsteinovo rozdělení publikované poprvé v r. 1924.)



Graficky:



N
f
1
0
(E - μ)/kT
0
-1
2
1
Pro (E - μ)/kT >> 1 je
N > 1. Pak
N
e
e
E
kT
E
kT
=
±
≈
−
−
1
1
μ
μ
1, je
w
n
c
e
kT
ω ω
π
ω
=
−
h
h
3
2
0
3
3
1
,
kde c
0
je rychlost šíření pole ve vakuu.

• závislost celkové intenzity záření na teplotě.


Planckův zákon záření – těleso z vyšší teplotou září více ve všech vlnových
délkách než těleso za teploty nižší.
T 11 
Interakce záření a látky (absorpce, emise spontánní a stimulovaná, rovnice 
interakce a Planckův zákon) 

Úvod
Pro fotony platí Planckovo rozdělení (vyjádření středního počtu fotonů v jednom modu
záření definovaném frekvencí ω):
N
e
f
kT
=
−
1
1
hω
(nezávisle proměnnou je frekvence ω, teplota T je parametr).
Pro klasické částice (ideálního plynu) v uzavřeném objemu platí Maxwellovo-
Boltzmannovo rozdělení (vyjádření středního počtu částic nacházejících se na energetické
hladině E):
E
kT
Ne
μ−
−
= (nezávisle proměnnou je energie E; teplota T je parametr).

Planckův zákon záření
Představme si uzavřenou kovovou krychli s dokonale odraznými stěnami, obsahující
látkové částice (podléhající Maxwellovu-Boltzmannovu rozdělení) a fotony (podléhající
Planckovu rozdělení). Látkové částice a fotony spolu interagují.
Cílem je vyjádřit spektrální rozložení energie optického záření v podmínkách této
interakce.
L

(Uvnitř krychle jsou ve vzájemné
interakci fotony a klasické látkové částice.)
Nejdříve se vyjádří frekvenční hustotu modů záření D
ω
.
D
dN
d
n
ω
ω
= ,
kde dN
n
je elementární počet kvantových stavů (resp. modů) v elementárním intervalu spektra
úhlových frekvencí.

Je potřeba vyjádřit závislost počtu modů na kvantovém čísle n. Pro kvantová čísla platí
nnnn
xy
2 222
=++
z
2
,
což je formálně stejné vyjádření jaké se používá při vyjádření velikosti polohového vektoru
rxyz
222
=++.



Využije-li se této podobnosti, lze uvažovat jakýsi „prostor kvantových čísel“ jako kladný
oktant koule o poloměru n.
Platí: 1nnn
xyz
Δ ΔΔ=

n








Velikost elementárního objemu v prostoru kvantových čísel je rovna jedné. Poloha
elementárního objemu reprezentuje určitý kvantový stav n. Celkový počet možných
kvantových stavů systému, který je právě ve stavu n je roven obsahu kladného oktantu koule
N
n
n
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
8
2
4
3
3
..
π
;
(nejde však o stanovení celkového počtu kvantových stavů v systému, ale o počet kvantových
stavů odpovídající jednotkovému intervalu frekvencí – frekvenční hustotu modů)
Číslo 2 odpovídá dvěma nezávislým stavům polarizace nebo dvěma nezávislým spinům.

Frekvenční hustotu modů záření se vyjádří vztahem
D
dN
dn
dn
d
n
dn
d
n
ω
ω
π
ω
==
2
.
K určení výrazu
dn
dω
použijeme podmínku: L = nλ/2. Na stěnách krychle musí být
tangenciální složky pole rovny nule. Tato podmínka vede k výsledku
n
cL
ω π
= ,
kde ω (vlastní frekvence) je veličina určená kvantovým číslem n.
Po úpravě máme
n
L
c
=
ω
π
;
dn
d
L
cωπ
=
a po dosazení je
Dn
dn
d
L
c
L
c
V
c
ω
π
ω
π
ω
ππ
ω
π
==
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟=
2
2
2
23
,
kde V je objem krychle (V = L
3
).

Nyní se vyjádří spektrální optická energie
WN D
fω
ωω= h (),
kde N
f
je počet fotonů v (jednom) modu záření určeném (úhlovou) frekvencí jednoho
fotonu ω , hω je energie jednoho fotonu a D(ω) je počet modů v jednotkovém intervalu
frekvencí. Spektrální optickou energií W se rozumí frekvenční hustota energie optického
záření (energie vztažená na jednotkový interval frekvencí). Po dosazení je
ω
W
V
c
e
kT
ω ω
π
ω
=
−
h
h23
3
1
; (což představuje Planckův zákon záření).

Pro spektrální objemovou hustotu optické energie platí
w
dW
dV c
e
kT
ω
ω
ω
π
ω
==
−
h
h23
3
1
.
Dosud se předpokládalo, že záření je v prostředí homogenním, izotropním, dielektrickém a
lineárním s indexem lomu n = 1. Je-li n > 1, je
w
n
c
e
kT
ω ω
π
ω
=
−
h
h
3
2
0
3
3
1
,
kde c
0
je rychlost šíření pole ve vakuu.

4.2. Rovnice interakce záření a látky
Představme si nyní látkové částice spolu s fotony v ideální kovové krychli s konstantní
teplotou T. Prostředí v krychli je homogenní, izotropní, dielektrické a lineární s indexem lomu
n = 1. Vyberme dvě energetické hladiny (viz obrázek) a studujme procesy, které nastávají.


(N
2
)
E
2
stimulovaná
emise
(N
1
)
EE
21
− = hω
E
1
E
absorpce
spontánní
emise
hω








Sestaví se kinetické rovnice, charakterizující jednotlivé přechody (heuristický přístup):
dN
dt
WN
2
12 1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ,
kde N
2
, resp. N
1
jsou střední počty (symbol střední hodnoty už není použit) látkových částic
v objemové jednotce (!) na hladině 2, resp.1; W
12
je rychlost absorpce (také „hustota
pravděpodobnosti“ absorpce), která představuje v procesu absorpce počet přechodů jedné
částice za jednotku času. Dále platí
dN
dt
WN AN
1
21 2 21 2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =+,
kde W
21
je rychlost indukované emise a A
21
je rychlost spontánní emise.

Při termodynamické rovnováze musí platit (rovnice termodynamické rovnováhy)
dN
dt
dN
dt
21
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .

Pro indukované přechody (absorpci a stimulovanou emisi) platí Einsteinovy vztahy
WBw
12 12
=
ω
; WBw
21 21
=
ω
,
kde BB
12
, B
21
B jsou Einsteinovy koeficienty.
Pro rychlost spontánní emise lze odvodit vztah (viz kvantová mechanika):
A
nQl
c
21
3
2
0
3
0
8
3
10=≈
ω
πε
r
h
s
-1
. (Předpokládá se: index lomu n = 1, ω = 2π.10
14
Hz, Q = 1,6.10
-19
C,
r
l ≈ 10
-10
m.)
Rychlost spontánní emise souvisí s dobou života částice na energetické hladině (E
2
), kterou
opouští, vztahem
A
21
21
1
=
τ
,
kde τ
21
je doba života částice, která přechází z energetické hladiny E
2
na hladinu E
1
.

Nyní se dosadí příslušné výrazy do rovnice termodynamické rovnováhy:

12 1 21 2 21 2 21 21 2
(BwN BwN AN Bw A N
ωω ω
=+=+); (rovnice interakce).

Poslední rovnice se nazývá rovnicí interakce záření a látky (fotonů a látkových částic).

Po úpravě se získá
w
A
B
N
N
B
ω
=
−
21
12
1
2
21
,
kde poměr středního počtu částic
N
N
1
2
se vyjádří z Maxwellova-Boltzmannova rozdělení
N
N
ee
EE
kT kT
1
2
21
==
− hω
.
Po dosazení je
w
A
Be B
kT
ω ω
=
−
21
12 21
h
.
Úvahou se stanoví:
Půjde-li T → ∞, bude: () BBBBB
e
w
kT
==⇒→−⇒
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
→
∞→
21122112
0
1
ω
ω
h
.
Po dosazení se dostane rovnice interakce ve tvaru
w
A
B
e
kT
ω ω
=
−
21
1
1
h
.

Nyní se porovná Planckův zákon záření s rovnicí interakce
A
B
e
n
c
e
kT kT
21
33
2
0
3
1
1
1
1
hh
h
ωω
ω
π
−
=
−
,
A
B
n
c
21
33
2
0
3
=
hω
π
,
tedy
BA
c
n
=
21
2
0
3
33
π
ωh

a po dosazení za A
21
a úpravě se dostane vyjádření Einsteinova koeficientu pro stimulované
přechody
B
Ql
n
=
π
ε
r
h
2
0
22
3
.
Rychlosti indukovaných přechodů se rovnají a lze psát
WBw=
ω
.
Rozměry veličin: [W] = s
-1
; [B] = J
-1
.m
3
.s
-2
;[w
ω
] = J.Hz
-1
.m
-3

T 12 
Spektrální charakter interakce  (spektrální rovnice, Einsteinovy koeficienty, 
funkce tvaru, druhy rozšíření) 


Spektrální charakter interakce

Předpokládejme, že v krychli je optický filtr, propouštějící záření jen v oblasti spektra
záření ( . Místo optického filtru si lze představit, že přechody se uskutečňují pouze
mezi dvěma hladinami.
)ωω δω; +
V aktivní části spektra platí (diferenciální) „spektrální“ rovnice interakce
ANd BwNd BwNd
ωωωω
ω ω ω
221
dw w d
ω
ω= ), = ; (+
[ ]
21
() ()A wB N g d wBN g dω ωω+=ω; (viz dále),

a po integraci:
[ ]
21
() ()AwBNg wBNgω ω+=,
kde A
ω
a B
ω
jsou „spektrální“ Einsteinovy koeficienty závislé na frekvenci (viz níže). První
člen na levé straně rovnice vyjadřuje počet částic, které přejdou v procesu spontánní emise za
jednotku času a budou emitovat fotony s frekvencí ω. Druhý člen na levé straně rovnice
vyjadřuje počet částic, které přejdou v procesu stimulované emise za jednotku času
v důsledku stimulace zářením o frekvenci ω. Člen na pravé straně rovnice vyjadřuje počet
částic, které přejdou v procesu absorpce fotonů s frekvencí ω. Lze odvodit:
A
B
A
B
ω
ω
= .

Je-li spektrální objemová hustota energie soustředěna do frekvenčního intervalu δω , je
wwd=
∫ ω
δω
ω .





Pro podrobnější studium tvaru spektrální čáry a určení její šířky se zavádí normovaná
funkce tvaru spektrální čáry g(ω) takto:
ω δω
w
ω

w
wwgdwgd==
∫∫
() ()ωω ωω
δωδω

s podmínkou
gd()ωω
δω
=
∫
1; [g] =Hz
-1
.
Pomocí g(ω) lze vyjádřit:
wwg
AAg
BBg
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
=
()
()
()

Příčiny rozšíření spektrální čáry.
Emitované fotony nebudou nikdy přesně jednofrekvenční. Hovoříme o rozšiřování
spektrální čáry.
a) Homogenní rozšíření:
- přirozené,
- srážkami.
b) Nehomogenní rozšíření:
- Dopplerovo,
- nehomogenity v aktivní látce.

T 13 Planparalelní optický rezonátor (mody, Fresnelovo číslo, šířka rezonanční čáry)

S ohledem na požadavky buzení aktivní látky a vyvedení části záření z aktivního prostředí ven
je nutné kovovou krychli otevřít a současně zachovat podmínky kladné zpětné vazby. Uvedeným
požadavkům se vyhoví tak, že z krychle se odstraní čtyři boční stěny a ponechají se dvě protilehlé
rovnoběžné stěny se vzájemnou vzdáleností, kterou pro další postup označíme d. Takto vznikne
uspořádání, kterému se říká otevřený optický rezonátor.
Zrcadla rezonátoru mohou být kruhová o poloměru a nebo čtvercová se stranou 2a. Kromě
rovinných zrcadel se používají zrcadla s konečnými poloměry křivosti R
1
, R
2
. Číselné hodnoty
R
1
, R
2
se volí s ohledem na podmínku stability rezonátoru (viz další text).

Z praktického hlediska je výhodné přejít od úhlové frekvence ω k prosté frekvenci ν (ω = 2πν)
ν
mnq
cm
a
n
a
q
d
,,
.=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
22 2
222
12
(5-6)
V otevřeném optickém rezonátoru se budou vytvářet především takové mody, při nichž se
směr šíření elektromagnetických vln příliš neodchyluje od osy z. Ostatní mod