Číslicové zpracování signálů

alu x[n] a nez´avis´ı na pˇredchoz´ıch nebo
budouc´ıch vzorc´ıch. Syst´em nem´a pamˇet’ pro uloˇzen´ı vstupn´ıho nebo vstupn´ıch vzork˚u.
Diferenˇcn´ı rovnice reprezentuj´ıc´ı statick´y syst´em mohou m´ıt napˇr. tvar:
y[n] = ax[n],
y[n] = nx[n] +bx3[n] apod.
Dynamick´y diskr´etn´ısyst´em(neboli syst´em s pamˇet´ı) ukl´ad´a vstupn´ı nebo v´ystupn´ı
vzorky do pamˇeti pro dalˇs´ı v´ypoˇcet. Diferenˇcn´ı rovnice, kter´e reprezentuj´ı tento syst´em
mohou b´yt napˇr´ıklad:
y[n] = x[n] + 3x[n−1],
y[n] =
nsummationdisplay
i=0
x[n−i],
y[n] =
∞summationdisplay
i=0
x[n−i],
y[n] = ay[n−1] +bx[n].
Diskr´etn´ı syst´emy ˇcasovˇe invariantn´ı a ˇcasovˇe promˇenn´e
Definujme vnˇejˇs´ı popis diskr´etn´ıho syst´emu pomoc´ı transformace T{} jako:
y[n] = T{x[n]}. (2.52)
Pro ˇcasovˇe invariantn´ı (stacion´arn´ı) diskr´etn´ı syst´em mus´ı platit
y[n−i] = T{x[n−i]}, (2.53)
to znamen´a, ˇze odezva mus´ı z˚ustat stejn´a i pˇri posunut´ı vstupn´ıho sign´alu. Pro ˇcasovˇe
promˇenn´y diskr´etn´ı syst´em podm´ınka (2.53) neplat´ı.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 29
Pˇr´ıklad 2.11 Mˇejme diskr´etn´ı derivaˇcn´ı ˇcl´anek, definovan´y diferenˇcn´ı rovnic´ı
y[n] = x[n]−x[n−1]. (2.54)
Zjistˇete zda se jedn´a o ˇcasovˇe invariantn´ı nebo ˇcasovˇe promˇenn´y diskr´etn´ı syst´em.
ˇReˇsen´ı:
Vypoˇc´ıtejme odezvu na zpoˇzdˇen´y vstupn´ı sign´al x[n−i]:
y[n,i] = T{x[n−i]} = x[n−i]−x[n−1−i].
Nyn´ı zpozd´ıme v´ystupn´ı sign´al (2.54) o i vzork˚u:
y[n−i] = x[n−i]−x[n−1−i].
Vid´ıme, ˇze y[n,i] = y[n−i], coˇz znamen´a, ˇze se jedn´a o ˇcasovˇe invariantn´ı diskr´etn´ı
syst´em.
Pˇr´ıklad 2.12 Nyn´ı m´ame diskr´etn´ı syst´em definovan´y diferenˇcn´ı rovnic´ı
y[n] = nx[n]. (2.55)
Opˇet urˇcete o jak´y ˇcasov´y syst´em se jedn´a.
ˇReˇsen´ı:
Odezva syst´emu na vstupn´ı sign´al x[n−i] je rovna
y[n,i] = nx[n−i].
Zpozd´ıme-li odezvu y[n] o i vzork˚u, obdrˇz´ıme
y[n−i] = (n−i)x[n−i].
Vid´ıme, ˇze se oba v´ysledky nerovnaj´ı, tj.
y[n,i] negationslash= y[n−i],
coˇz znamen´a, ˇze se jedn´a o ˇcasovˇe promˇenn´y diskr´etn´ı syst´em.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 30
Line´arn´ı a neline´arn´ı diskr´etn´ı syst´emy
Line´arn´ı diskr´etn´ı syst´em mus´ı splˇnovat podm´ınku superpozice. Necht’ je syst´em defi-
nov´an podle rovnice (2.50). Jestliˇze na vstup syst´emu pˇrivedeme sign´al a1x1[n]+a2x2[n],
kde a1, a2 jsou libovoln´e komplexn´ı konstanty, pak pro line´arn´ı syst´em plat´ı podm´ınka
principu superpozice
T{a1x1[n] +a2x2[n]} = a1T{x1[n]}+a2T{x2[n]}. (2.56)
Pˇr´ıklad 2.13 Mˇejme diskr´etn´ı syst´em definovan´y diferenˇcn´ı rovnic´ı (2.55)
y[n] = nx[n].
Urˇcete zda jde o line´arn´ı syst´em.
ˇReˇsen´ı:
Urˇceme nejprve odezvu na d´ılˇc´ı vstupn´ı sign´aly x1[n] a x2[n]:
y1[n] = T{x1[n]} = nx1[n],
y2[n] = T{x2[n]} = nx2[n].
Nyn´ı urˇc´ıme odezvu syst´emu na vstupn´ı sign´al x3[n] = a1x1[n] +a2x2[n]
y3[n] = T{a1x1[n] +a2x2[n]}
= n(a1x1[n] +a2x2[n])
= a1nx1[n] +a2nx2[n].
Porovn´ame-li souˇcet d´ılˇc´ıch v´ystup˚u a1y1[n] +a2y2[n] s v´ystupem y3[n], plat´ı
a1y1[n] +a2y2[n] = a1nx1[n] +a2nx2[n] = n[a1x1[n] +a2x2[n] = y3[n].
Protoˇze jsou v´ysledky totoˇzn´e, tak se jedn´a o line´arn´ı diskr´etn´ı syst´em.
Pˇr´ıklad 2.14 Diskr´etn´ı syst´em je definov´an diferenˇcn´ı rovnic´ı
y[n] = x2[n].
Urˇcete, zda se jedn´a o line´arn´ı syst´em.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 31
ˇReˇsen´ı:
Nejprve urˇc´ıme odezvu na d´ılˇc´ı sign´aly x1[n] a x2[n]:
y1[n] = x21[n],
y2[n] = x22[n].
Provedeme-li line´arn´ı kombinaci odezev, dostaneme:
a1y1[n] +a2y2[n] = a1x21[n] +a2x22[n].
Nyn´ı urˇc´ıme odezvu na vstupn´ı sign´al
x3[n] = a1x1[n] +a2x2[n]
y3[n] = T{a1x1[n] +a2x2[n]}
= (a1x1[n] +a2x2[n])2
= a21x21[n] +a22x22[n] + 2a1a2x1[n]x2[n].
Porovn´ame-li souˇcet d´ılˇc´ıch v´ystup˚u a1y1[n] +a2y2[n] s v´ystupem y3[n], vid´ıme, ˇze
a1y1[n] +a2y2[n] = a1x21[n] +a2x22[n] negationslash= a21x21[n] +a22x22[n] + 2a1a2x1[n]x2[n] = y3[n].
Protoˇze se oba v´ysledky nerovnaj´ı jedn´a se o neline´arn´ı diskr´etn´ı syst´em.
Kauz´aln´ı a nekauz´aln´ı diskr´etn´ı syst´emy
Diskr´etn´ı syst´em je kauz´aln´ı (pˇr´ıˇcinn´y), kdyˇz v´ystupn´ı sign´al x[n] z´avis´ı pouze na
nynˇejˇs´ım a pˇredeˇsl´ych vzorc´ıch vstupn´ıho sign´alu, tj. pouze na hodnot´ach x[n],x[n −
1],x[n−2] atd. Nesm´ı z´aviset na budouc´ıch vzorc´ıch x[n+ 1], x[n+ 2] apod.
Diferenˇcn´ı rovnice kauz´aln´ıho syst´emu jsou
y[n] = x[n]−x[n−1],
y[n] =
nsummationdisplay
i=−∞
x[i],
y[n] = ax[n].
Diferenˇcn´ı rovnice nekauz´aln´ıho syst´emu mohou b´yt
y[n] = x[n] + 3x[n+ 4],
y[n] = x[n2],
y[n] = x[2n],
y[n] = x[−n].
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 32
Pˇr´ıklad 2.15 Dokaˇzte, ˇze diskr´etn´ı syst´em definovan´y diferenˇcn´ı rovnic´ı
y[n] = x[−n],
je nekauz´aln´ım syst´emem.
ˇReˇsen´ı:
D˚ukaz je jednoduch´y. Staˇc´ı napˇr. dosadit do diferenˇcn´ı rovnice n = −1, pak y[−1] =
x[1]. Z toho vid´ıme ˇze tuto podm´ınku nelze splnit, nebot’ odezva y[−1] pˇredb´ıh´a podnˇet
x[1].
Stabiln´ı a nestabiln´ı diskr´etn´ı syst´emy
Libovoln´y diskr´etn´ı syst´em maj´ıc´ı nulov´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky je BIBO (Bounded In-
put - Bounded Output) stabiln´ı, kdyˇz odezva na omezen´y vstupn´ı sign´al je tak´e omezen´a.
Matematicky to znamen´a, ˇze existuj´ı-li koneˇcn´a ˇc´ısla Mx a My, pak pro stabiln´ı diskr´etn´ı
syst´em mus´ı platit podm´ınky
| x[n] | ≤ Mx < ∞
| y[n] | ≤ My < ∞ pro vˇsechna n. (2.57)
Je-li pro omezen´y vstupn´ı sign´al x[n] v´ystupn´ı sign´al y[n] neomezen´y (jdouc´ı k ne-
koneˇcnu), znamen´a to, ˇze je diskr´etn´ı syst´em nestabiln´ı.
Pˇr´ıklad 2.16 Necht’ je definov´an diskr´etn´ı syst´em prostˇrednictv´ım diferenˇcn´ı rovnice:
y[n] = y2[n−1] +x[n].
Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınka y[−1] = 0. Urˇcete stabilitu syst´emu pro vstupn´ı sign´al x[n] =
C.δ[n], kde C je konstanta.
ˇReˇsen´ı:
Budeme-li dosazovat postupnˇe za n hodnoty 0,1,2,..., tak z´ısk´ame hodnoty v´ystupn´ı
odezvy:
y[0] = y2[−1] +x[0] = 0 +Cδ[0] = C.
y[1] = y2[0] +x[1] = C2 + 0 = C2.
y[2] = y2[1] +x[2] = C4 + 0 = C4.
y[n] = y2[n−1] +x[n] = C2n.
Jestliˇze 1 1.
Pro transformaci Z posloupnosti s[n] pouˇz´ıv´ame symbolick´y z´apis:
Z{s[n]} = S(z) neboli s{n} ⇔ S(z). (3.2)
Jak bylo jiˇz vidˇet v pˇr´ıkladu 3.1 hled´ame oblast, v n´ıˇz lze ˇradu seˇc´ıst a v´ysledek je
koneˇcn´e ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz ∞. V tom pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ame, ˇze ˇrada konverguje a hled´ame oblast
konvergence. Oblast konvergence je urˇcena polomˇerem konvergence R. Pro pˇr´ıklad 3.1 je
polomˇer konvergence R = 1.
Definiˇcn´ı vztah (3.1) popisuje tzv. jednostrannou (unilateral, one- sided) transfor-
maci Z. Existuje tak´e dvojstrann´a transformace Z, kter´a je definov´ana v mez´ıch n ∈
(−∞,+∞), [3, 4, 7].
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 43
Obr´azek 3.1: Oblast konvergence (ˇsrafovan´a oblast) obrazu S(z) z pˇr´ıkladu 3.2.
Pˇr´ıklad 3.2 Mˇejme diskr´etn´ı sign´al - posloupnost s[n] = anu[n], kde a ∈ R. Vypoˇc´ıtejte
obraz transformace Z a urˇcete oblast konvergence.
ˇReˇsen´ı:
S(z) =
+∞summationdisplay
n=0
anu[n]z−n =
+∞summationdisplay
n=0
parenleftBiga
z
parenrightBign
= 1 + az +
parenleftBiga
z
parenrightBig2
+
parenleftBiga
z
parenrightBig3
+··· = 11− a
z
= zz −a.
Oblast konvergence je urˇcena z podm´ınky: |az| < 1, tj. |z| > a. Polomˇer konvergence
R = a. Oblast konvergence je vyznaˇcena ˇsrafovanˇe na obr. 3.1.
Diskr´etn´ı sign´al - posloupnost s[n] naz´yv´ame pˇredmˇetem a oznaˇcujeme ji p´ısmenem
mal´e abecedy. Funkci S(z) naz´yv´ame obrazem a oznaˇcujeme ji odpov´ıdaj´ıc´ım p´ısmenem
velk´e abecedy.
Linearita
Transformace Z je line´arn´ı transformace.
Necht’ plat´ı:
s[n] ⇔ S(z) a t[n] ⇔ T(z).
Potom
as[n] +bt[n] ⇔ aS(z) +bT(z), a,b ∈ C(komplexn´ı ˇc´ısla). (3.3)
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 44
D˚ukaz:
Z{as[n] +bt[n]} =
+∞summationdisplay
n=0
[a.s[n] +b.t[n]]z−n
= a
+∞summationdisplay
n=0
s[n].z−n +b
+∞summationdisplay
n=0
t[n]z−n = aS(z) +bT(z).
Pˇr´ıklad 3.3 Vypoˇc´ıtejte obraz harmonick´eho sign´alu s[n] = sin[ω0n].u[n].
ˇReˇsen´ı:
Pouˇzijeme-li Eulerova vztahu, tak plat´ı:
sin[ω0n] = e
jω0n −e−jω0n
2j
a z pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚u v´ıme, ˇze:
Z{ejω0n} = zz −ejω
0
,
Z{e−jω0n} = zz −e−jω
0
.
Vyuˇzijeme-li linearity transformace Z, pak:
Z{sin[ω0n]} = 12jZ{ejω0n}− 12jZ{e−jω0n}
= 12j( zz −ejω
0
− zz −e−ω
0
) = zsinω0z2 −2zcosω
0 + 1
.
Zpoˇzdˇen´a posloupnost (posun doprava)
Posloupnost zpoˇzdˇen´a o m vzork˚u, kdyˇz m je pˇrirozen´e ˇc´ıslo, tj. m ∈ N m´a obraz:
s[n−m] ⇔ z−mS(z), kdyˇz s[n] ⇔ S(z). (3.4)
Pˇredsunut´a posloupnost (posun doleva)
s[n+m] ⇔ zmS(z)−
m−1summationdisplay
i=0
s[i]zm−i,m ∈ N,s[n] ⇐⇒ S(z). (3.5)
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 45
Pˇr´ıklad 3.4 Vypoˇc´ıtejte obraz transformace Z sign´alu s[n]eα[n+2]u[n], α ∈ C , kdyˇz v´ıte,
ˇze Z{eαn} = zz −eα.
ˇReˇsen´ı:
Podle vztahu (3.5) plat´ı:
Z{s[n+ 2]} = z2S(z)−s[0]z2 −s[1]z.
Pro
n = 0 s[0] = eα.0 = 1,
n = 1 s[1] = eα.1 = eα.
Z{eα[n+2]} = z2S(z)−s[0]z2 −s[1]z
= z2 zz −eα −1z2 −eαz =
= z2
bracketleftbigg z
z −eα −1−
ed
z
bracketrightbigg
= ze
2α
z −eα.
Vypoˇc´ıtejte obraz transformace Z pro s[n] = eα(n−2).u[n].
Vyuˇzijte v´ysledky z pˇr´ıkladu 3.4.
ˇReˇsen´ı
Z{eα[n−2]} = z−2Z{eαn} = z−2 zz −eα = 1z(zeα).
Derivace obrazu
−zdS(z)dz ⇔ ns[n] (3.6)
Pˇr´ıklad 3.5 Urˇcete obraz sign´alu s[n] = n2u[n], kdyˇz v´ıte, ˇze plat´ı:
Z{n} = z(z −1)2
ˇReˇsen´ı: Pouˇzijeme vlastnosti (3.6):
Z{n.n} = −z ddz z(z −1)2 = −z(z −1)
2.1−z.2(z −1).1
(z −1)4 =
z(z + 1)
(z −1)3·
Diskr´etn´ı konvoluce posloupnost´ı
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 46
Konvoluce dvou diskr´etn´ıch sign´al˚u s[n] a t[n] je d´ana vztahem:
w[n] = s[n]∗t[n] =
nsummationdisplay
m=0
s[n−m]t[m].
Plat´ı-li:
s[n] ⇔ S(z) a t[n] ⇔ T(z),
pak transformace Z diskr´etn´ı konvoluce je:
W(z) = S(z)T(z) (3.7)
Pˇr´ıklad 3.6 Mˇejme sign´al t[n] =summationtextnm=0 s[m] Chceme naj´ıt jeho obraz transformace Z.
ˇReˇsen´ı: Zadan´y sign´al lze napsat jako
t[n] =
nsummationdisplay
m=0
s[m] = u[n]∗s[n],
kde u[n] je posloupnost jednotkov´eho skoku, kter´a m´a obraz
u[n] = zz −1·
Potom podle (3.7) m´ame:
T(z) = zz ·1 ·S(z)· (3.8)
Tato vlastnost je oznaˇcov´ana jako SUMACE.
Souˇcin s exponenci´aln´ı posloupnost´ı
ans[n]u[n] ⇔ S
parenleftBigz
a
parenrightBig
, a negationslash= 0 (3.9)
Pˇr´ıklad 3.7 Urˇcete obraz posloupnosti nanu[n], kdyˇz v´ıte, ˇze¿
an.u[n] ⇔ zz −a,
n.u[n] ⇔ z(z −1)2.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 47
ˇReˇsen´ı:
Z{nan} = Z{ans[n]} = S
parenleftBigz
a
parenrightBig
=
za
parenleftbigz
a −1
parenrightbig2 = a.z(z −a)2·
Vˇeta o poˇc´ateˇcn´ı hodnotˇe
Jestliˇze s[n] je kauz´aln´ı posloupnost, tj. plat´ı s[n] = 0 pro n < 0, pak:
s[0] = limz−→∞S(z)· (3.10)
Pˇr´ıklad 3.8 Urˇcete poˇc´ateˇcn´ı hodnotu s[0] pro obraz:
S(z) = z −1(z + 1)(z −0,5)·
ˇReˇsen´ı:
s[0] = lim
z→∞
z −1
(z + 1)(z −0,5) = limz→∞
1
z −
1
z2
(1 + 1z)(1− 0,5z ) = 0.
Diskr´etn´ı sign´al je re´aln´y
Posloupnost s[n] m´a sv´e hodnoty d´any pouze re´aln´ymi ˇc´ısly. Potom pro obrazy trans-
formace Z plat´ı:
S(z∗) = S∗(z), (3.11)
kde symbol ∗ vyjadˇruje komplexnˇe sdruˇzenou hodnotu.
3.2 Slovn´ık obraz˚u transformace Z
u[n] ⇔ zz −1, anu[n] ⇔ zz −a, nu[n] ⇔ z(z −1)2,
n2u[n] ⇔ z(z + 1)(z −1)3, nanu[n] ⇔ az(z −a)2, an−1u[n] ⇔ 1z −a,
an sin[ω0n].u[n] ⇔ azsinω0z2 −2azcosω
0 +a2
,
an cos[ω0n].u[n] ⇔ z(z −acosω0)z2 −2azcosω
0 +a2
,
eϕnu[n] ⇔ zz −eϕ, a
n
n! ·u[n] ⇔ e
a
z,
parenleftbigg n
k
parenrightbigg
u[n] ⇔
parenleftbiggz + 1
z
parenrightbiggn
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 48
3.3 Zpˇetn´a transformace Z
Zpˇetnou (inverzn´ı) transformac´ı Z rozum´ıme postup urˇcen´ı pˇredmˇetu, tj posloupnosti
s[n] k dan´emu obrazu S(z). Pouˇz´ıv´ame symbolick´y z´apis
s[n] = Z−1{F(z)}. (3.12)
Zpˇetnou transformaci Z m˚uˇzeme prov´adˇet nˇekolika zp˚usoby. Nejjednoduˇsˇs´ı zp˚usob je
pouˇzit´ı slovn´ıku obraz˚u.
Pˇr´ıklad 3.9 Je d´an obraz
S(z) = z −1(z + 1)(z −0,5)
a hled´ame posloupnost s[n] = Z−1 {S(z)}.
ˇReˇsen´ı:
Obraz rozloˇz´ıme na dvˇe d´ılˇc´ı funkce
z −1
(z + 1)(z −0,5) =
A
z + 1 +
B
z −0,5.
ˇReˇsen´ım rovnice, kter´e dostaneme porovn´an´ım obou stran obdrˇz´ıme v´ysledek:
A = 43, B = −13.
S pouˇzit´ım slovn´ıku obraz˚u a vˇety o posunut´ı dostaneme v´ysledek:
Z−1
braceleftbigg4
3
1
z + 1
bracerightbigg
= 43(−1)n−1,
Z−1
braceleftbigg
−13 1z −0,5
bracerightbigg
= −13(0,5)n−1·
Pak pro n ≥ 1 m´ame v´ysledek:
s[n] = 43(−1)n−1 − 13(0,5)n−1
Hodnota pro n = 0 je urˇcena (3.9) pomoc´ı vˇety o poˇc´ateˇcn´ı hodnotˇe.
Obecn´y zp˚usob zpˇetn´e transformace Z spoˇc´ıv´a v pouˇzit´ı Cauchyho integr´aln´ı vˇety
k urˇcen´ı koeficient˚u Laurentova rozvoje. Potom je definiˇcn´ı vztah zpˇetn´e transformace Z
urˇcen jako [7, 11]:
s[n] = 12pij
contintegraldisplay
c
S(z)zn−1dz, pro n = 0,1,2,... s[n] = 0, pro n < 0. (3.13)
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 49
Kˇrivkov´y integr´al je poˇc´ıt´an po kˇrivce C, kter´a leˇz´ı v oblasti konvergence obrazu. V
oblasti uzavˇren´e touto kˇrivkou leˇz´ı vˇsechny singul´arn´ı body operandu S(z)zn−1.
Pozn´amka.
Definiˇcn´ı tvar transformace Z S(z) =
∞summationtext
n=0
s[n]z−n je Laurentovou ˇradou v bodˇe 0,
kter´a je definov´ana pro |z| > R, kde R je polomˇer konvergence. Hodnoty diskr´etn´ıho
sign´alu s[n] jsou koeficienty Laurentovy ˇrady.
Cauchyho integr´al lze vypoˇc´ıtat pomoc´ı reziduov´e vˇety, [7, 11]. Pokud je obraz S(z)
ve tvaru racion´aln´ı lomen´e funkce ve tvaru:
S(z) = P(z)Q(z) = c0z
s +c1zs−1 +c2zs−2 +···zcs−1z +cs
zs +d1zs−1 +d2zs−2 +···+ds−1z +ds
lze reziduum pro jednoduch´y p´ol zi vypoˇc´ıtat takto:
rezz=ziS(z)zn−1 = lim
z→zi(z −zi)S(z)z
n−1 = P(zi)
Q‘(zi)z
n−1
i , (3.14)
kde
Q‘(zi) = dQ(z)dz |z=zi.
Pˇr´ıklad 3.10 Vypoˇc´ıtejte pˇredmˇet pro stejn´y obraz, kter´y je d´an v pˇr´ıkladu 3.9, tj.
S(z) = z −1(z + 1)(z −0,5)
pomoc´ı Cauchyho integr´aln´ı vˇety.
ˇReˇsen´ı:
Protoˇze obraz S(z) nem´a nulov´y bod pro z = 0, tak je nutn´e oddˇelit v´ypoˇcet pro
n = 0 a n ≥ 1.
n=0
s[0] =
3summationdisplay
i=1
rez z −1(z + 1)(z −0,5)z
= lim
z→0
z −1
(z + 1)(z −0,5)z + limz→−1(z + 1)
z −1
(z + 1)(z −0,5)z +
+ lim
z→0,5
(z −0,5) z −1(z + 1)(z −0,5)z = 0.
n ≥ 1
s[n] =
2summationdisplay
i=1
rezz=zi z −1(z + 1)(z −0,5)zn−1
= lim
z→−1
(z + 1) z −1(z + 1)(z −0,5)zn−1 + lim
z→0,5
(z −0,5) z −1(z + 1)(z −0,5)zn−1
= 43(−1)n−1 − 13(0,5)n−1·
Je zˇrejm´e, ˇze v´ysledky souhlas´ı s v´ysledky pˇr´ıklad˚u (3.9) a (3.10).
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 50
3.4 Pouˇzit´ı transformace Z k ˇreˇsen´ı diferenˇcn´ıch rovnic
Mˇejme nehomogenn´ı line´arn´ı diferenˇcn´ı rovnice 1. ˇr´adu s konstantn´ımi koeficienty ve
tvaru:
y[n+ 1]−ay[n] = bx[n], a,b ∈ C. (3.15)
Pomoc´ı vlastnosti pˇredsunut´ı posloupnosti dostaneme obraz:
zY(z)−zy[0]−aY(z) = bX(z)
Y(z) = bz −aX(z) + zz −ay[0]. (3.16)
Pˇrenosov´a funkce H(z) je definov´ana pro y[0] = 0:
H(z) = Y(z)X(z) = bz −a.
Pomoc´ı zpˇetn´e transformace Z pˇrenosov´e funkce H(z) dostaneme impulsn´ı charakte-
ristiku h[n]
h[n] = Z−1
braceleftbigg b
z −a
bracerightbigg
= ban−1.
Pˇr´ıklad 3.11 Algoritmus pro vytvoˇren´ı tzv. Hanojsk´e vˇeˇze je:
c[n+ 1] = 2c[n] + 1, c[0] = 0.
Urˇcete jeho ˇreˇsen´ı pro c[n].
ˇReˇsen´ı:
Porovn´ame-li tento algoritmus s rovnic´ı (3.15) vid´ıme, ˇze plat´ı:
x[n] = u[n], a = 2, b = 1.
Potom obraz v transformaci Z srovn´an´ım s (3.16) m´a tvar:
C(z) = 1z −2 zz −1 + zz −2 ·0
= z(z −2)(z −1)·
Napˇr. pomoc´ı reziduov´e vˇety dostaneme pˇredmˇet:
c[n] = 2n −1, n ≥ 0.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 51
Pˇr´ıklad 3.13 Algoritmus pro souˇcet prvn´ıch n pˇrirozen´ych ˇc´ısel je:
c[n+ 1]−c[n] = n+ 1, c[0] = 0.
Urˇcete ˇreˇsen´ı c[n].
ˇReˇsen´ı:
Opˇet porovn´an´ım s rovnic´ı (3.15) vid´ıme, ˇze plat´ı:
a = 1, b = 1, x[n] = n+u[n], n ≥ 0.
Dosazen´ım do rovnice (3.16) m´ame:
Y(z) = 1z −1( z(z −1)2 + zz −1) + zz −1 ·0
= z(z −1)3 + z(z −1)2,
C[n] = 12pij
contintegraldisplay
c
z
(z −1)3 ·z
n−1dz + 1
2pij
contintegraldisplay
c
z
(z −1)2z
n−1dz
= n(n−1)2 +n = n(n+ 1)2 .
Shrnut´ı
Ve 3. kapitole je definov´ana jednostrann´a transformace Z, kter´a je vyuˇz´ıv´ana zvl´aˇstˇe
proˇreˇsen´ı line´arn´ıch diferenˇcn´ıch rovnic s konstantn´ımi koeficienty. Jsou pops´any jej´ı vlast-
nosti a jsou uk´az´any zp˚usoby v´ypoˇctu zpˇetn´e transformace Z. Nejv´ıce se pouˇz´ıv´a metoda
se slovn´ıkem obraz˚u a reziduov´a vˇeta. Na z´avˇer kapitoly je uk´az´ano pouˇzit´ı transformace
Z pro ˇreˇsen´ı diferenˇcn´ıch rovnic. Je vybr´ana nehomogenn´ı line´arn´ı diferenˇcn´ı rovnice s
konstantn´ımi koeficienty 1. ˇr´adu. Jej´ı ˇreˇsen´ı je uk´az´ano pro r˚uzn´e typy poˇc´ıtaˇcov´ych al-
goritm˚u.
Neˇreˇsen´e pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad 3.12 Vypoˇc´ıtejte obraz jednostrann´e transformace Z diskr´etn´ıho sign´alu
s[n] = cos[ω0n].u[n].
Pˇr´ıklad 3.13 Pomoc´ı vlastnosti derivace (3.6) zkontrolujte spr´avnost v´ysledku z pˇr´ıkladu
3.8.
Pˇr´ıklad 3.14 Vypoˇc´ıtejte obraz jednostrann´e transformace Z pro diskr´etn´ı sign´al
s[n] = a
n
n!.u[n].
Pˇr´ıklad 3.15 Vypoˇc´ıtejte obraz jednostrann´e transformace Z diskr´etn´ıho sign´alu
s[n] =
parenleftbigg n
k
parenrightbigg
, n,k ∈ Z.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 52
Pˇr´ıklad 3.16 Pomoc´ı slovn´ıku obraz˚u vypoˇc´ıtejte pˇredmˇet k obrazu
S(z) = 50z
3 + 25z2 −16z
50z3 −45z2 + 12z −1·
Pˇr´ıklad 3.17 Pomoc´ı reziduov´e vˇety vypoˇc´ıtejte pˇredmˇet k obrazu
S(z) = z(z −2)(z −1)·
Pˇr´ıklad 3.18 Pomoc´ı transformace Z ˇreˇste diferenˇcn´ı rovnici
a[n+ 2]−a[n+ 1]−a[n] = 0, a[0] = a[1], n ≥ 0.
4 Kmitoˇctov´a anal´yza diskr´etn´ıch sign´al˚u a syst´em˚u
V pˇr´ıspˇevku kr´alovsk´e akademii v roce 1672 Isaac Newton pouˇzil poprv´e pojem spektrum.
Nazval tak spojit´e p´asmo barev produkovan´e sklenˇen´ym hranolem (obr.4.1). Z fyziky
v´ıme, ˇze kaˇzd´a barevn´a sloˇzka svˇetla m´a urˇcit´y kmitoˇcet. Proto anal´yze spektra ˇr´ık´ame
tak´e kmitoˇctov´a anal´yza. Tuto anal´yzu nemus´ıme prov´adˇet jen se svˇetlem, ale m˚uˇzeme
vybrat jak´ykoliv jin´y sign´al jako funkci ˇcasu (obrazov´y nebo zvukov´y sign´al, sign´aly z
ˇcidel apod.)
Z´akladn´ımi prostˇredky pro kmitoˇctovou anal´yzu spojit´ych sign´al˚u jsou Fourierovaˇrada
a Fourierova transformace. Je zn´amo, ˇze ˇcasovˇe spojit´e periodick´e sign´aly lze rozloˇzit
pomoc´ı Fourierovy ˇrady teoreticky do nekoneˇcn´eho poˇctu harmonick´ych sloˇzek (sinusovek
a kosinusovek). Spektrum ˇcasovˇe spojit´eho sign´alu koneˇcn´eho trv´an´ı lze urˇcit pomoc´ı
Fourierovy transformace.
Periodick´e diskr´etn´ı sign´aly (posloupnosti) je moˇzn´e rozloˇzit pouze do koneˇcn´eho poˇctu
N harmonick´ych sloˇzek pomoc´ı ˇcasovˇe diskr´etn´ı Fourierovy ˇrady.
4.1 Kmitoˇctov´a anal´yza diskr´etn´ıch sign´al˚u
4.1.1 ˇCasovˇe diskr´etn´ı Fourierova ˇrada
ˇCasovˇe diskr´etn´ı Fourierova ˇrada (DTFS - Discrete Time Fourier Series) slouˇz´ı k anal´yze
periodick´ych posloupnost´ı.
Pˇredpokl´adejme,ˇze m´ame definov´anu periodickou posloupnostsp[n], kter´a m´a koneˇcnou
periodu N, a pro n´ıˇz podle vztahu (2.25) mus´ı platit podm´ınka:
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 53
Obr´azek 4.1: Anal´yza a synt´eza svˇetla pomoc´ı sklenˇen´eho hranolu.
sp[n+N] = sp[n] pro vˇsechna n ∈ N. (4.1)
Abychom odliˇsili periodick´e posloupnosti od posloupnost´ı s koneˇcn´ym poˇctem hodnot,
tak jsme zde pro periodick´e posloup