Číslicové zpracování signálů

pulsuδ[n] lze vyj´adˇrit jakoukoliv jinou posloupnost, napˇr´ıklad:
p[n] = a−3δ[n+ 3] +a1δ[n−1] +a2δ[n−2] +a7δ[n−7] =
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 11
= 2δ[n+ 3] + 3δ[n−1] +δ[n−2]−2δ[n−7]. (2.8)
Na obr. 2.5 je posloupnost p[n] vyj´adˇrena graficky.
Obr´azek 2.5: Grafick´e zobrazen´ı diskr´etn´ıho sign´alu p[n].
Obecnˇe lze kaˇzd´y diskr´etn´ı sign´al vytvoˇrit ze sv´ych hodnot pomoc´ı jednotkov´ych im-
puls˚u podle vztahu:
s[n] =
∞summationdisplay
i=−∞
s[i]δ[n−i]. (2.9)
Posloupnost jednotkov´eho skoku je definov´ana takto (obr.2.4d):
u[n] = 1 pro n ≥ 0
u[n] = 0 pro n < 0. (2.10)
Pˇr´ıklad 2.1 Vyj´adˇrete posloupnost jednotkov´eho skoku jako obecnou posloupnost pomoc´ı
jednotkov´ych impuls˚u.
ˇReˇsen´ı: Jestliˇze vyjdeme ze vztahu 2.9, pak plat´ı
u[n] = 1.δ[n] + 1.δ[n−1] + 1.δ[n−2] +... =
∞summationdisplay
k=0
δ[n−k]. (2.11)
Podobnˇe lze vyj´adˇrit opaˇcn´y vztah:
δ[n] = u[n]−u[n−1]. (2.12)
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 12
Obr´azek 2.6: Pr˚ubˇehy exponenci´aln´ıho diskr´etn´ıho sign´alu pro r˚uzn´y z´aklad a. ˇSipka
oznaˇcuje hodnotu pro n = 0.
Harmonick´y diskr´etn´ı sign´al je definov´an takto (obr.2.4f):
s[n] = C cos[ω1n+ϕ], (2.13)
kde C je amplituda, ω1 = 2pif1 = 2pi/T1 je ´uhlov´y kmitoˇcet, T1 je perioda a ϕ vyjadˇruje
poˇc´ateˇcn´ı f´azi.
Exponenci´aln´ı diskr´etn´ı sign´al m˚uˇzeme vyj´adˇrit vztahem:
s[n] = an pro vˇsechna n. (2.14)
Mohou nastat dva pˇr´ıpady podle toho, zda z´aklad a je re´aln´e nebo komplexn´ı ˇc´ıslo.
a) ˇC´ıslo a je re´aln´e
Potom plat´ı pˇr´ımo vztah (2.14) a jak je vidˇet z obr. 2.6 mohou nastat ˇctyˇri pˇr´ıpady
pro r˚uzn´e hodnoty z´akladu a.
V praxi se nejv´ıce pouˇz´ıv´a exponenci´aln´ı diskr´etn´ı sign´al pro re´aln´e a, kter´y je kauz´aln´ım
sign´alem:
s[n] = anu[n] pro vˇsechna n. (2.15)
Pˇr´ıklad tohoto sign´alu pro a = 0,9 je vidˇet na obr. 2.4e.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 13
b) ˇC´ıslo a je komplexn´ı
Potom lze z´aklad a vyj´adˇrit jako:
a = rejΘ = rcosΘ + jrsinΘ. (2.16)
Posad´ıme-li rovnici (2.16) do vztahu (2.14):
s[n] = an = (rejΘ)n = rnejΘn
= rn(cosΘn+ jsinΘn)
= rn cosΘnbracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright
re´aln´a ˇc´ast
+j rn sinΘnbracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright
imagin´arn´ı ˇc´ast
. (2.17)
Pˇr´ıklad 2.2 Nakreslete pr˚ubˇeh re´aln´e a imagin´arn´ı sloˇzky komplexn´ıho exponenci´aln´ıho
sign´alu pro parametry r = 0,9 a Θ = pi10.
ˇReˇsen´ı:
Dosad´ıme-li zadan´e parametry do vztahu (2.17), tak dostaneme:
s[n] = 0,9n.ej pi10n = 0,9n cos pi10n+ j0,9n sin pi10n. (2.18)
Na obr. 2.7. vid´ıme zobrazen´ı re´aln´e a imagin´arn´ı ˇc´asti vztahu (2.18).
Posloupnost line´arnˇe stoupaj´ıc´ıho sign´alu (rampov´a posloupnost - unit ramp) m´a tvar
(obr.2.8):
ur[n] = n pro n ≥ 0,
ur[n] = 0 pro n < 0. (2.19)
2.1.2 Klasifikace jednorozmˇern´ych diskr´etn´ıch sign´al˚u
Energetick´e a v´ykonov´e sign´aly
Diskr´etn´ı sign´al s[n] m´a definov´anu energii E jako souˇcet ˇctverc˚u absolutn´ıch hodnot:
E =
∞summationdisplay
n=−∞
| s[n] |2 . (2.20)
Je-li E koneˇcn´e ˇc´ıslo, tj. plat´ı 0 < E < ∞ , pak naz´yv´ame diskr´etn´ı sign´al s[n]
energetick´ym sign´alem.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 14
Obr´azek 2.7: Komplexn´ı exponenci´aln´ı diskr´etn´ı sign´al (2.17) pro parametry r = 0,9 a
Θ = pi10: a) re´aln´a sloˇzka, b) imagin´arn´ı sloˇzka.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 15
Obr´azek 2.8: Posloupnost line´arnˇe stoupaj´ıc´ıho diskr´etn´ıho sign´alu.
Nˇekter´e diskr´etn´ı sign´aly maj´ı nekoneˇcnou hodnotu energie E, ale maj´ı koneˇcnou
hodnotu stˇredn´ıho v´ykonu, kter´y je definov´an vztahem:
P = lim
N→∞
1
2N + 1
Nsummationdisplay
n=−N
| s[n] |2 . (2.21)
Definujeme-li energii v koneˇcn´em intervalu −N ≤ n ≤ N, pak plat´ı:
EN =
Nsummationdisplay
n=−N
| s[n] |2 . (2.22)
Srovn´ame-li vztahy (2.20) a (2.22), dostaneme mezi nimi souvislost:
E = lim
N→∞
EN. (2.23)
Potom vztah (2.21) m˚uˇzeme pˇrepsat do tvaru:
P = lim
N→∞
1
2N + 1EN. (2.24)
Ze vztahu (2.24) je zˇrejm´e, ˇze pokud energie E je koneˇcn´a (energetick´y sign´al), pak
v´ykon je nulov´y, tj. P = 0.
Na druh´e stranˇe existuj´ı diskr´etn´ı sign´aly, u nichˇz je energie E nekoneˇcn´a a pˇresto
v´ykon P je nenulov´y a koneˇcn´y. Takov´e diskr´etn´ı sign´aly budeme naz´yvat v´ykonov´e
sign´aly.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 16
Pˇr´ıklad 2.3 Urˇcete energii a v´ykon posloupnosti jednotkov´eho skoku u[n].
ˇReˇsen´ı:
Podle vztahu (2.20) m˚uˇzeme ps´at:
E =
∞summationdisplay
n=−∞
| u[n] |2=
∞summationdisplay
n=0
12 = ∞.
Pro v´ypoˇcet v´ykonu pouˇzijeme vztah (2.21):
P = lim
N→∞
1
2N + 1
∞summationdisplay
n=−∞
| u[n] |2= lim
N→∞
1
2N + 1
∞summationdisplay
n=0
| 1 |2
= lim
N→∞
N + 1
2N + 1 = limN→∞
1 + 1N
2 + 1N =
1
2
Z tˇechto v´ysledk˚u vypl´yv´a, ˇze posloupnost jednotkov´eho skoku u[n] nen´ı energetick´ym
sign´alem, ale je v´ykonov´ym sign´alem.
Pˇr´ıklad 2.4 Zjistˇete, zda komplexn´ı harmonick´y sign´al s[n] = Aejω0n je v´ykonov´ym sign´alem.
ˇReˇsen´ı:
P = lim
N→∞
1
2N + 1
∞summationdisplay
n=−∞
| s[n] |2 .
| s[n] | =
radicalbig
Re{s[n]}2 + Im{s[n]}2 =
=
radicalbig
(Acosω0n)2 + (A·sinω0n)2 = A.
Dosazen´ım dostaneme:
P = lim
N→∞
1
2N + 1
∞summationdisplay
n=−∞
A2 = lim
N→∞
A22N + 12N + 1 = A2.
Komplexn´ı harmonick´y sign´al je v´ykonov´ym sign´alem.
Periodick´e a neperiodick´e sign´aly
Periodick´y diskr´etn´ı sign´al, je takov´y sign´al, u nˇehoˇz lze naj´ıt pravidelnˇe se opakuj´ıc´ı
´usek hodnot o d´elce T1. Tuto skuteˇcnost je moˇzn´e vyj´adˇrit jako:
s[n+T1] = s[n] provˇsechna T1. (2.25)
Nejmenˇs´ı hodnota T1, pro kterou podm´ınka (2.25) plat´ı, se naz´yv´a z´akladn´ı perioda.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 17
Pˇr´ıklad 2.5 Zjistˇete, zda sign´al cos[n] je periodick´y.
ˇReˇsen´ı:
Tento sign´al nen´ı periodick´y, protoˇze nelze naj´ıt perioduT1 nenulovou pro n´ıˇz podm´ınka
(2.25) bude platit, tj.:
cos[n+T1] negationslash= cos[n].
Pˇr´ıklad 2.6 Zjistˇete zda sign´al cos[pin] je periodick´y.
ˇReˇsen´ı:
cos[pin+ 2pi] = cos[pi(n+ 2)] = cos[pin].
Zde lze naj´ıt koneˇcn´y ´usek T1 = 2, a proto tento sign´al je periodick´y s periodou T1.
Pˇr´ıklad 2.7 Urˇcete podm´ınky, za kter´ych je diskr´etn´ı sign´al s[n] = sin(2pif0n) periodick´y.
ˇReˇsen´ı:
Tento sign´al bude periodick´y pouze kdyˇz kmitoˇcet f0 bude racion´aln´ı ˇc´ıslo. To zna-
men´a, ˇze f0 = kT 1, kde k a T1 jsou cel´a ˇc´ısla, tj. plat´ı k,T1 ∈ Z.
Je-li f0 iracion´aln´ı ˇc´ıslo (jako je pi,e apod.) pak se jedn´a o kvaziperiodick´y sign´al, u
nˇehoˇz nelze naj´ıt periodu T1 < ∞ .
Energie periodick´eho sign´alu je v r´amci periody T1 koneˇcn´a, pokud jsou hodnoty v
r´amci periody T1 tak´e koneˇcn´e. Ovˇsem pro n ∈ (−∞,∞) je energie E nekoneˇcn´a, to
znamen´a, ˇze periodick´y sign´al nen´ı energetick´ym sign´alem.
Jestliˇze vˇsak jsou hodnoty periodick´eho sign´alu v r´amci jedn´e periody koneˇcn´e, pak
stˇredn´ı v´ykon v z´akladn´ı periodˇe
P = 1T
1
T1−1summationdisplay
n=0
| s[n] |2,
je koneˇcn´e ˇc´ıslo a je roven stˇredn´ımu v´ykonu pro n ∈ (−∞,∞) podle (2.21).
Z toho plyne, ˇze periodick´e sign´aly jsou v´ykonov´ymi sign´aly.
Symetrick´y a asymetrick´y sign´al.
Necht’ diskr´etn´ı sign´al s[n] je re´aln´y sign´al, to znamen´a, ˇze jeho hodnoty jsou re´aln´a
ˇc´ısla. Potom tento sign´al oznaˇcujeme jakosymetrick´y (sud´y) sign´alpokud plat´ı podm´ınka
(obr.2.9a):
s[−n] = s[n]. (2.26)
Podobnˇe re´aln´y diskr´etn´ı sign´al oznaˇcujeme za antisymetrick´y (lich´y) sign´al, kdyˇz
plat´ı podm´ınka (obr.2.9b).
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 18
Obr´azek 2.9: Pˇr´ıklady: a) symetrick´y re´aln´y diskr´etn´ı sign´al, b) antisymetrick´y re´aln´y
diskr´etn´ı sign´al.
s[−n] = −s[n] a s[0] = 0. (2.27)
Libovoln´y re´aln´y diskr´etn´ı sign´al je moˇzn´e reprezentovat pomoc´ı sud´e a lich´e ˇc´asti:
Sud´a sloˇzka:
se[n] = s[n] +s[−n]2 , (2.28)
pokud je splnˇena podm´ınka (2.26)
Lich´a sloˇzka:
so[n] = s[n]−s[−n]2 , (2.29)
pokud plat´ı podm´ınka (2.27). Potom v´ychoz´ı diskr´etn´ı sign´al m˚uˇze m´ıt tvar:
s[n] = se[n] +so[n] (2.30)
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 19
2.1.3 V´ıcerozmˇern´e diskr´etn´ı sign´aly
Pro zpracov´an´ı obrazu n´am nestaˇc´ı jednorozmˇern´e diskr´etn´ı sign´aly, ale mus´ıme pouˇz´ıt
dvojrozmˇern´e diskr´etn´ı sign´aly. Pro prostorov´e zobrazen´ı pouˇz´ıv´ame v´ıcerozmˇern´e sign´aly.
Zde si pouze struˇcnˇe pop´ıˇseme z´akladn´ı vlastnosti dvojrozmˇern´ych sign´al˚u. V´ıce podrob-
nost´ı lze pak hledat napˇr´ıklad v pramenu [10].
Z´akladn´ı dvojrozmˇern´e sign´aly jsou posloupnost´ı jednotkov´eho impulsu a jednot-
kov´eho skoku.
Dvojrozmˇern´y diskr´etn´ı sign´aljednotkov´ehoimpulsuje definov´an takto (obr.2.10b):
δ[m,n] = 1 prom = n = 0
δ[m,n] = 0 pro ostatn´ım a n, (2.31)
kdyˇz m a n jsou cel´a ˇc´ısla, tj. plat´ı m,n ∈ Z.
Dvojrozmˇern´y diskr´etn´ı sign´al jednotkov´eho skoku m´a tvar (obr.2.10c):
u[m,n] = 1 prom ≥ 0,n ≥ 0
u[m,n] = 0 pro ostatn´ı m a n. (2.32)
Libovoln´y dvojrozmˇern´y sign´al je moˇzn´e vyj´adˇrit pomoc´ı line´arn´ı kombinace v´aˇzen´ych
a posunut´ych jednotkov´ych impuls˚u:
s[m,n] =
∞summationdisplay
i=−∞
∞summationdisplay
j=−∞
s[i,j]δ[m−i,n−j]. (2.33)
Pˇr´ıklad obecn´eho sign´alu je vidˇet na obr´azku 2.10a. D´ale je d˚uleˇzit´e zjednoduˇsen´ı, po-
kud lze rozloˇzit dvojrozmˇern´y sign´al na souˇcin dvou jednorozmˇern´ych diskr´etn´ıch sign´al˚u:
s[m,n] = s1[m].s2[n]. (2.34)
Sign´al, pro nˇejˇz plat´ı podm´ınka (2.34), naz´yv´ameoddˇeliteln´y dvojrozmˇern´y sign´al.
Pˇr´ıklad oddˇeliteln´eho dvojrozmˇern´eho harmonick´eho sign´alu je:
s[m,n] = C.cos[ω1m+ϕ1]·cos[ω2n+ϕ2],
ω1 = 2piT
1
, ω2 = 2piT
2
, m,n ∈ Z. (2.35)
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 20
Obr´azek 2.10: Pˇr´ıklady dvojrozmˇern´ych diskr´etn´ıch sign´al˚u: a) obecn´y dvojrozmˇern´y
sign´al, b) jednotkov´y impuls, c) jednotkov´y skok, d) harmonick´y sign´al.
2.1.4 Korelace diskr´etn´ıch sign´al˚u
C´ılem v´ypoˇctu korelace je zjiˇstˇen´ı podobnosti dvou diskr´etn´ıch sign´al˚u a z´ısk´an´ı informac´ı
o vlastnostech t´eto podobnosti. Hlavnˇe se korelace pouˇz´ıv´a v radarov´e a sonarov´e technice,
v geologii a ˇc´ıslicov´ych komunikac´ıch.
Mˇejme dva diskr´etn´ı sign´aly x[n] a y[n], kter´e chceme porovnat. Necht’ napˇr. u radaru
je x[n] vzorkovan´y sign´al vys´ılaˇce a y[n] je vzorkovan´y pˇrij´ıman´y sign´al, kter´y je zpoˇzdˇen
odrazem od c´ıle a znehodnocen aditivn´ım ˇsumem, jak je vidˇet z obr´azku 2.11.
Napˇr´ıklad lze pˇrij´ıman´y sign´al vyj´adˇrit takto:
y[n] = αx[n−D] +w[n],
kde α je ´utlum sign´alu na trase, D je zpoˇzdˇen´ı sign´alu x[n] a w[n] je aditivn´ı ˇsum. Na
z´akladˇe zpoˇzdˇen´ı D se snaˇz´ıme urˇcit vzd´alenost c´ıle od radaru. Tento parametr m˚uˇzeme
napˇr. vypoˇc´ıtat pomoc´ı korelace.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 21
Obr´azek 2.11: Pˇr´ıklad aplikace korelace v radarov´e technice.
Vz´ajemn´a (kˇr´ıˇzov´a) korelace diskr´etn´ıch sign´al˚u x[n] a y[n] je definov´ana:
rxy[m] =
∞summationdisplay
n=−∞
x[n]y[n−m]
=
∞summationdisplay
n=−∞
x[n+m]y[n], m = 0, ±1, ±2,.... (2.36)
Promˇenn´a m vyjadˇruje ˇcasov´e posunut´ı a index xy oznaˇcuje sign´aly, mezi nimiˇz je
prov´adˇena korelace. Podobnˇe lze definovat:
ryx[m] =
∞summationdisplay
n=−∞
y[n]x[n−m]
=
∞summationdisplay
n=−∞
y[n+m]x[n], m = 0, ±1, ±2,.... (2.37)
Porovn´an´ım definic (2.36) a (2.37) vid´ıme, ˇze plat´ı:
rxy[m] = ryx[−m]. (2.38)
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 22
Pˇr´ıklad 2.8 Vypoˇc´ıtejte vz´ajemnou korelaci posloupnost´ı
x[n] = {0; 0; 2; −1; 3; 7;1
↑
; 2; −3; 0; 0;}
a
y[n] = {0; 0; 1; −1; 2; −2; 4
↑
; 1; −2; 5; 0; 0;}
ˇReˇsen´ı:
Nejprve vypoˇc´ıt´ame rxy[0] tak, ˇze provedeme souˇcin posloupnost´ı
x[n]y[n] = {0; 0; 2; 1; 6; −14; 4
↑
; 2; 6; 0; 0.}
Hodnotu korelace pro m = 0 z´ısk´ame souˇctem vˇsech souˇcin˚u
rxy[0] =
∞summationdisplay
n=−∞
x[n].y[n] = 7.
Pro m > 0 vypoˇc´ıt´ame souˇciny ve tvaru vm[n] = x[n].y[n−m]. Potom pro jednotliv´a
m provedeme opˇet souˇcty:
rxy[1] = 13, rxy[2] = −18 apod.
Stejn´y v´ypoˇcet provedeme pro m < 0.
V´ysledn´a vz´ajemn´a korelace je rovna:
rxy[m] = {10; −9; 19; 36; −14; 33; 0; 7
↑
;13; −18; 16; −7; 5; −3.}
Jestliˇze plat´ı, ˇze y[n] = x[n], pak dostaneme autokorelaci posloupnosti x[n], kter´a
je definov´ana:
rxx[m] =
∞summationdisplay
n=−∞
x[n]x[n−m]
=
∞summationdisplay
n=−∞
x[n+m] x[n], m = 0,±1,±2, (2.39)
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 23
Obr´azek 2.12: Pˇr´ıklad diskr´etn´ıho syst´emu.
2.2 Diskr´etn´ı syst´emy
V mnoha aplikac´ıch hled´ame obvod nebo algoritmus, kter´y provede pˇredepsan´e operace s
diskr´etn´ımi sign´aly. Vybran´y algoritmus m˚uˇze b´yt naprogramov´an v poˇc´ıtaˇci nebo imple-
mentov´an napˇr. v sign´alov´em procesoru. Tento algoritmus nebo elektrick´y obvod budeme
naz´yvat diskr´etn´ım syst´emem (obr. 2.12).
Vstupn´ı sign´al x[n] je diskr´etn´ım syst´emem zpracov´an (transformov´an) na sign´al
v´ystupn´ı y[n] na z´akladˇe transformace T1{} :
y[n] = T1{x[n]}. (2.40)
Tomuto popisu diskr´etn´ıho syst´emu se ˇr´ık´a vnˇejˇs´ı popis neboli popis vstup - v´ystup.
Vnitˇrn´ı struktura syst´emu je bud’ ignorov´ana nebo ji nezn´ame. Pokud zjist´ıme vnitˇrn´ı
strukturu diskr´etn´ıho syst´emu nebo vytvoˇr´ıme jej´ı model, pak m˚uˇzeme definovat vnitˇrn´ı
popis diskr´etn´ıho syst´emu:
y[n] = T2{vi[n],x[n]}. (2.41)
Tomuto popisu se tak´e ˇr´ık´a stavov´y popis, nebot’ promˇenn´e vi[n],i = 1,2,...N jsou
stavov´e vnitˇrn´ı promˇenn´e a jejich poˇcet je d´an ˇr´adem syst´emu N.
Pˇr´ıklad 2.9 Mˇejme vstupn´ı sign´al
x[n] = | n | pro−3 ≤ n ≤ 3
x[n] = 0 pro ostatn´ı n.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 24
Necht’ diskr´etn´ı syst´em akumuluje (sˇc´ıt´a) postupnˇe vstupn´ı vzorky podle rovnice
y[n] =
∞summationdisplay
i=−∞
x[i].
Vypoˇc´ıtejte v´ystupn´ı diskr´etn´ı sign´al y[n].
ˇReˇsen´ı:
Vstupn´ı sign´al je roven:
x[n] = {3; 2; 1; 0
↑
;1; 2; 3}
V´ystup diskr´etn´ıho syst´emu je poˇc´ıt´an jako postupn´y souˇcet nynˇejˇs´ıho a pˇredchoz´ıch
vzork˚u x[n] v z´avislosti na indexu n. napˇr. pro n = 0 plat´ı:
y[0] = x[−3] +x[−2] +x[−1] +x[0] = 6.
V´ysledn´a posloupnost bude:
y[n] = {3; 5; 6; 6
↑
;7; 9; 12; 12; 12....}
Protoˇze tento syst´em akumuluje vstupn´ı vzorky, nˇekdy je oznaˇcov´an jako diskr´etn´ı
syst´em typu akumul´ator.
2.2.1 Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky
Uvaˇzujme diskr´etn´ı syst´em, jehoˇz v´ystupn´ı sign´al y[n] v ˇcase n = n0 nez´avis´ı pouze na
hodnot´ach vstupn´ıho sign´alu x[n] v ˇcase n = n0 (tj. x[n0]), kde n0 je cel´e ˇc´ıslo, ale i na
hodnot´ach sign´alu x[n] a y[n] pˇred ˇcasem n = n0.
Uvaˇzujme diskr´etn´ı syst´em typu akumul´ator, jehoˇz vztah vstup - v´ystup je definov´an
diferenˇcn´ı rovnic´ı:
y[n] =
nsummationdisplay
i=−∞
x[i]. (2.42)
Dosad´ıme-li do rovnice (2.42) ˇcas n−1, tak obdrˇz´ıme:
y[n−1] =
n−1summationdisplay
i=−∞
x[i]. (2.43)
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 25
Nyn´ı rozep´ıˇseme rovnice (2.42) a dosad´ıme (2.43):
y[n] =
n−1summationdisplay
i=−∞
x[i] +x[n]
= y[n−1]bracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright
rekurze
+x[n]. (2.44)
V ˇcase n = n0 podle (2.44) plat´ı:
y[n0] = y[n0 −1] +x[n0]. (2.45)
Hodnotay[n0−1] pˇredstavuje poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku, kter´a sumarizuje vliv vˇsech pˇredchoz´ıch
vstupn´ıch vzork˚u na diskr´etn´ı syst´em. Pokud pˇred ˇcasem n = n0 nebyl diskr´etn´ı syst´em
vybuzen vstupn´ım sign´alem, je y[n0 −1] = 0 a ˇr´ık´ame, ˇze diskr´etn´ı syst´em m´a nulov´e
poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky.
Pˇr´ıklad 2.10 Mˇejme diferenˇcn´ı rovnice diskr´etn´ıho syst´emu typu akumul´ator, kter´a pˇredstavuje
vlastnˇe kmitoˇctov´y filtr typu doln´ı propusti 1. ˇr´adu:
y[n] =
nsummationdisplay
i=−∞
x[i] = y[n−1] +x[n]. (2.46)
Necht’ na vstup diskr´etn´ıho syst´emu pˇriloˇz´ıme rampov´y sign´al (2.19) ve tvaru x[n] =
n.u[n].
Vypoˇc´ıtejte odezvu y[n] pro n ≥ 0, kdyˇz a) y[−1] = 0, b) y[−1] = 1.
ˇReˇsen´ı:
Necht’ poˇc´atek v´ypoˇctu je nastaven na n0 = 0. Potom pro ˇcas n = n0 = 0 plat´ı
y[0] = y[−1] +x[0].
Hodnota
y[−1] =
−1summationdisplay
i=−∞
x[i]
pˇredstavuje poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku, kter´a zahrnuje vliv vˇsech pˇredchoz´ıch hodnot x[n] pˇred
n = 0.
Rozep´ıˇseme-li rovnice (2.42) takto
y[n] =
nsummationdisplay
i=−∞
x[i] =
−1summationdisplay
i=−∞
x[i] +
nsummationdisplay
i=0
x[i]
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 26
pak m˚uˇzeme ps´at:
y[n] = y[−1] +
nsummationdisplay
i=0
x[i]. (2.47)
Je-li vstupn´ım sign´alem rampov´y sign´al x[n] = n.u[n], potom plat´ı, ˇze:
nsummationdisplay
i=0
i.u[i] = 0 + 1 + 2 +...+n = n(n+ 1)2 .
V´ysledn´a diferenˇcn´ı rovnice je:
y[n] = y[−1] + n(n+ 1)2 . (2.48)
a) Je-li poˇc´ateˇcn´ı podm´ınka nulov´a, tj. y[−1] = 0, potom
y[n] = n(n+ 1)2 pro n ≥ 0.
b) Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınka je nenulov´a, napˇr´ıklad y[−1] = 1, pak
y[n] = y[−1] + n(n+ 1)2 = 1 + n(n+ 1)2 = n2 +n+ 22 pro n ≥ 0.
2.2.2 Reprezentace diskr´etn´ıch syst´em˚u pomoc´ı blokov´ych diagram˚u a graf˚u
sign´alov´ych tok˚u.
Jako pˇr´ıklad mˇejme diskr´etn´ı syst´em, kter´y je reprezentov´an rekurzivn´ı diferenˇcn´ı rovnic´ı:
y[n] = 14y[n−1] + 12x[n] + 12x[n−1]. (2.49)
Pojem rekurzivn´ı znamen´a, ˇze v´ystupn´ı vzorek nen´ı poˇc´ıt´an pouze z nynˇejˇs´ıho a
pˇredchoz´ıch vstupn´ıch vzork˚u, ale i ze zpoˇzdˇen´ych v´ystupn´ıch vzork˚u. Nyn´ı si chceme
graficky zobrazit tuto diferenˇcn´ı rovnici pro vˇetˇs´ı n´azornost. M˚uˇzeme pouˇz´ıt blokov´ych
diagram˚u (obr. 2.13a) nebo graf˚u sign´alov´ych tok˚u (obr.2.13b).
Pokud uprav´ıme rovnici (2.49) takto:
y[n] = 12x[n] +
parenleftbigg1
4y[n−1] +
1
2x[n−1]
parenrightbigg
, (2.50)
dostaneme graf sign´alov´ych tok˚u podle obr 2.14.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 27
Obr´azek 2.13: Grafick´a reprezentace diferenˇcn´ıch rovnic diskr´etn´ıho syst´emu: a) pomoc´ı
blokov´ych diagram˚u, b) pomoc´ı grafu sign´alov´ych tok˚u.
Rovnici (2.50) m˚uˇzeme rozepsat do dvou diferenˇcn´ıch rovnic:
y[n] = 12x[n] +v[n−1]
v[n] = 14y[n] + 12x[n]. (2.51)
Rovnice (2.51) vyjadˇruje vnitˇrn´ı stavov´y popis diskr´etn´ıho syst´emu, kdyˇz vnitˇrn´ı
promˇenn´a v[n] je oznaˇcov´ana jako stavov´a promˇenn´a. Tuto strukturu, kter´a modeluje
vlastnosti diskr´etn´ıho syst´emu, naz´yv´ame kanonickou strukturou nebot’ syst´em 1.
ˇr´adu obsahuje pouze jeden blok zpoˇzdˇen´ı s ˇclenem z−1. Kanonick´a struktura pro rea-
lizaci diskr´etn´ıho syst´emu je takov´a struktura, kter´a obsahuje pouze tolik blok˚u zpoˇzdˇen´ı
jak´y je ˇr´ad syst´emu. ˇSipky grafu sign´alov´ych tok˚u, kter´e nejsou oznaˇceny, maj´ı pˇrenos 1.
Obr´azek 2.14: Graf sign´alov´ych tok˚u kanonick´e struktury diskr´etn´ıho syst´emu 1. ˇr´adu.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 28
Reprezentace bloku zpoˇzdˇen´ı o jeden krok, oznaˇcen´a symbolem z−1, vznikla z analogie s
obrazem v transformaci Z (viz kap. 3). Jestliˇze obraz v transformaci Z posloupnosti x[n]
je X(z), pak obraz zpoˇzdˇen´e posloupnosti x[n−1] je X(z).z−1.
2.2.3 Klasifikace diskr´etn´ıch syst´em˚u
Statick´e a dynamick´e diskr´etn´ı syst´emy
Diskr´etn´ı syst´em je povaˇzov´an za statick´y (bez pamˇeti), pokud v´ystupn´ı sign´al y[n] je
z´avisl´y pouze na nynˇejˇs´ım vzorku vstupn´ıho sign´