BCZA2_filtry_FIR

ní charakteristiky
3. Mc Clelan a optimalizační metody
Poznámka o diskretní Fourierově transformaci (DFT)
(opakování ze signálů a systémů – dop. učebnice kap. 3.1 a 3.3.1)
signál (vyjádřený pomocí DFT
-1
)
diskretní spektrum - koeficienty DFT
()
∑
−
=
Ω−
=
1
0
N
n
nTkj
k
enTfF
()
∑
−
=
Ω
=
1
0
1
N
k
nTjk
k
eF
N
nTf
6
{} {}
k
DFT
n
Fh ↔
NT
ehF
N
n
nTkj
nk
π2
,
1
0
=Ω=
∑
−
=
Ω−
1,..0),( −=Ω= NkkGF
k
Ω−
s
ω,0
{} { }
kn
Fh IDFT=
,
Základní metody návrhu FIR filtrů
které jsou rovny vzorkům frekvenční
charakteristiky (viz dříve)
z int.
a následně tedy impulsní charakteristika je
1. Metoda vzorkování frekvenční charakteristiky
DFT impulsní charakteristiky
POSTUP NÁVRHU,
je-li zadána požadovaná frekvenční charakteristika v intervalu :
–rozdělíme tento interval na zvolený počet N subintervalů a odečteme N (obecně
komplexních) hodnot frekvenční charakteristiky v uzlových bodech dělení,
– pomocí zpětné DFT získáme posloupnost , která udává složky vektoru
h (obecně nekauzální a komplexní),
– kauzalizace posunem h doprava (→ nenulová lineární fáze) – získány realizační
koefeicienty
poznámky:
1. pokud je zadaná frekvenční charakteristika G(ω) symetrická vůči Nyquistovu
kmitočtu, jsou hodnoty h reálné
2. fázová charakteristika G(ω) se obvykle volí nulová, proto nutná kauzalizalizace
0,ω
s
{ }h
n
7
Hz hz F z
N
FW z W e
n
n
n
N
k
n
n
N
kN
nk
k
N
n
n
N
j
N
() { } ,== =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
∑∑ ∑∑
0
1
0
1
0
1
0
1 2
1
IDFT
π
Získaná frekvenční charakteristika prochází přesně zadanými body,
průběh frekvenční charakteristiky mezi vzorky:
přenosová funkce
() ()Hz
N
FWz
N
F
zW
Wz
k
k
n
n
N
k
N
k
NkN
k
k
N
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−
−
=
−−
=
−
=
− −−
−−
=
−
∑∑∑
111
1
1
0
1
0
1
1
0
1
∑
−
=
−−
−
−
−
1
0
1
1
1
N
k
k
k
N
zW
F
N
z
odtud frekvenční charakteristika (bez podrobného odvození)
interpretace –průběh mezi vzorky (náčrt)
GFTk
N
k
k
N
()ωω
π
=−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
−
∑
Φ
2
0
1
()
Φ()
sin
sin
/
ω
ω
ω
ω
π
T
N
T
N
T
ee
jT
N
jk N
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
−
−
1 2
2
1
2
11
Příklad a: Návrh FIR filtru (DP) metodou vzorkování G(ω) s N =16
zadané vzorky frekv. charakteristiky odvozená impulsní charakteristika
výsledná frekv. charakteristika (lin.stup.) výsledná frekv.char. (logar.stupnice – dB)
8
Příklad b: Návrh téhož FIR filtru metodou vzorkování G(ω) s N =32
zadané vzorky frekv. charakteristiky odvozená impulsní charakteristika
výsledná frekv. charakteristika (lin.stup.) výsledná frekv.char. (logar.stupnice – dB)
2. Metoda váhování impulsní charakteristiky
Frekvenční charakteristika filtru obecně
(nezkrácená - nekonečná, popř. nekauzální, dána Four. řadou)
GHe hne
dd
jT
d
jnT
n
() ( ) ()ω
ωω
==
−
=−∞
∞
∑
hodnoty (obecně nekonečné) impulsní charakteristiky přesně (jako koeficienty Four.řady)
()hn
T
Ged
dd
jnT
T
T
=
−
∫
2π
ωω
ω
π
π
()
/
/
zkrácení (a váhování) impulsní odezvy váhovacím oknem
∑
−+
=
−=
1
0
0
)()(
Nn
nn
n
nTtwtw δ
na součin )}(.)({)}({}{ nwnhnhh
dn
==
tomu odpovídá (konvolucí zkreslená) frekvenční charakteristika
důsledek konvoluce spekter: prosakování, ovlivnění přechodů
Pozn.: Váhování umožňuje – kromě zkrácení charakteristiky na konečnou délku - dosáhnout
vhodného kompromisu mezi zhoršením strmosti přechodů a prosakováním.
000
d)()(
2
1
)( ωωωWωGωG
d
−=
∫
∞
∞−
π
Základní metody návrhu FIR filtrů
9
POSTUP NÁVRHU FIR filtru metodou váhování impulsní charakteristiky:
a. vyjádření žádoucí frekvenční charakteristiky jako integrabilní funkce frekvence
b. výpočet přesných hodnot h integrací (pouze potřebného počtu)
c. volba váhovacího okna
d. váhování prvků imp. charakteristiky →výsledná impulsní charakteristika h
e. kontrola výsledné frekvenční charakter