Pravděpodobnost a matematická statistika

2 + 2E(X x)(Y y)
= D(X) +D(Y) + 2 xy: (4.14)
Korela cn koe cient d av a ur citou informaci o stupni z avislosti dvou n ahodn ych veli cin. Je
de nov an jako pom er kovariance k sou cinu sm erodatn ych odchylek obou n ahodn ych veli cin.
De nice 4.8 KORELA ˇCN´I KOEFICIENT
Korelaˇcn´ı koeficient xy dvou n ahodn ych veli cin X a Y s rozptyly 2x > 0 a 2y > 0 je
de nov an vztahem
xy = xy
x y
:
Je-li 2x = 0 nebo 2y = 0 pokl ad ame xy = 0.
Pro korela cn koe cient plat :
1. Hodnota korela cn ho koe cientu je c slo z intervalu h 1;1i, tj. 1 xy 1:
2. Jsou-li X a Y nez avisl e, je xy = 0.
Pozn amka: Opa cn e tvrzen neplat . Ze vztahu xy = 0 obecn e nevypl yv a, ze veli ciny X
aY jsou nez avisl e. Je-li xy = 0; r k ame, ze n ahodn e veli cinyX aY jsou nekorelovan e.
3. j xyj = 1 pr av e tehdy, kdy z s pravd epodobnost 1 plat Y = a + bX; kde a;b, b6= 0
jsou re aln e konstanty. P ritom je xy = 1 nebo 1 podle toho, je-li b> 0 nebo b< 0.
S interpretac a v ypo ctem korela cn ho koe cientu se podrobn eji sezn am me v kapitole
o regresi a korelaci.
4.2.5 Vektor st redn ch hodnot, kovarian cn matice
Z charakteristik n-rozm ern eho n ahodn eho vektoru X = (X1;X2; ;Xn) jsou nejd ule zit ej s
st redn hodnoty jednotliv ych veli cin Xi
i = E(Xi); i = 1;2; ;n;
d ale jejich rozptyly
2i = D(Xi); i = 1;2; ;n
a kone cn e kovariance dvojic veli cin
ij = E(Xi i)(Xj j); i = 1;2; ;n; i6= j:
55
KAPITOLA 4 N ´AHODN ´A VELI ˇCINA
Obsah Index Tabulky: N t chi Back Forward Next Goto Previous
St redn hodnoty zapisujeme casto ve form e vektoru st redn ch hodnot
= ( 1; 2; ; n)T
a kovariance spolu s rozptyly ve form e kovarian cn matice
=
0
BB
@
21 ::: 1n
... ... ...
n1 ::: 2n
1
CC
A:
Kovarian cn matice je symetrick a a positivn e de nitn .
4.3 N ekter a rozd elen pravd epodobnost
Rozd elen jednorozm ern ych i v cerozm ern ych n ahodn ych veli cin se pou z vaj jako
pravd epodobnostn modely p ri popisu konkr etn ch praktick ych probl em u. V t eto c asti se
sezn am me s nej cast eji pou z van ymi pravd epodobnostn mi rozd elen mi.
4.3.1 Diskr etn rozd elen
Alternativn rozd elen A(p)
Rozd elen pravd epodobnost na =f0;1g s pravd epodobnostn funkc
P(x) = px(1 p)1 x; (4.15)
kde p2(0;1) se naz yv a alternativn rozd elen s parametrem p:
St redn hodnota tohoto rozd elen je E(X) = p a rozptyl D(X) = p(1 p).
Interpretace: Uva zujme n ahodn y pokus. Nastane-li sledovan y n ahodn y jev A, nabude
n ahodn a veli cina X hodnoty x = 1, nenastane-li tento jev A, nabude n ahodn a veli cina
X hodnoty x = 0: N ahodn a veli cina X tedy vyjad ruje, kolikr at jev A v pokusu nastane.
Binomick e rozd elen B(n;p)
Rozd elen pravd epodobnost na =f0;1;:::;ng s pravd epodobnostn funkc
P(x) =
n
x
!
px(1 p)n x (4.16)
pro p2(0;1) a n2a78+ se naz yv a binomick e rozd elen s parametry n a p:
St redn hodnota je E(X) = np a rozptyl D(X) = np(1 p):
Binomick e rozd elen je obecn e nesymetrick e. S r ustem n (n !1) nebo p ribli zov an m p
k hodnot e 0.5 se st av a postupn e symetri ct ej s m. Pro p = 0:5 je symetrick e. Pro n = 1
dostaneme A(p)-rozd elen .
Interpretace: P redpokl adejme, ze prov ad me n nez avisl ych pokus u, p ri nich z m u ze nastat jev
A s pravd epodobnost p a nenastat s pravd epodobnost q = 1 p. Pravd epodobnost, ze se
v takov e s erii pokus u objev jev A pr av e x-kr at, je d ana v yrazem (??).
56
4.3 N ˇEKTER ´A ROZD ˇELEN´I PRAVD ˇEPODOBNOST´I
Obsah Index Tabulky: N t chi Back Forward Next Goto Previous
Pravd epodobnosti jednotliv ych hodnot n ahodn e veli ciny s binomick ym rozd elen m jsou
obecn ym clenem binomick eho rozvoje
(p+q)n =
nX
x=1
n
x
!
px(1 p)n x:
Hypergeometrick e rozd elen Hg(N;M;n)
Rozd elen pravd epodobnost s =f0;1;:::;minfM;ngg a pravd epodobnostn funkc
P(x) =
M
x
! N M
n x
!
N
n
! ; max(n N +M; 0) x min(M; n) (4.17)
se naz yv a hypergeometrick e rozd elen s parametry N;M;n:
St redn hodnota je E(X) = nMN , a rozptyl D(X) = nMN

1 MN
N n
N 1

:
Interpretace: Uva zujme situaci, kdy v souboru N prvk u je jich M (N M) s ur citou
vlastnost a zbyl ych N M tuto vlastnost nem a. Postupn e vybereme ze souboru n prvk u,
z nich z z adn y nevrac me zp et. Po cet prvk u se sledovanou vlastnost mezi n vybran ymi prvky
je n ahodn a veli cina X maj c hypergeometrick e rozd elen .
Jestli ze N je velk e a n a MN se nem en , bl z se hypergeometrick e rozd elen binomick emu. To
znamen a, ze m u zeme pro velk a N zanedbat rozd l mezi v yb erem bez vracen a s vracen m.
Prakticky postupujeme tak, ze vypo c t ame pom er nN a je-li tento pom er v et s ne z 0.05, lze
hypergeometrick e rozd elen nahradit rozd elen m binomick ym s parametry n a MN .
Aplikace: Hypergeometrick e rozd elen se vyskytuje nap r klad ve statistick e kontrole jakosti
v p r padech, kdy zkoum ame jakost mal eho po ctu v yrobk u nebo kdy z kontrola m a charakter
destruk cn zkou sky, tj. v yrobek je p ri zkou sce zni cen. D ale jako pravd epodobnostn model
n ekter ych her jako Sportky.
Geometrick e rozd elen G(p)
Rozd elen pravd epodobnost na a78+ s pravd epodobnostn funkc
P(x) = p(1 p)x 1 = pqx 1 (4.18)
pro p2(0;1) se naz yv a geometrick e rozd elen s parametrem p.
St redn hodnotu vypo c t ame:
E(X) =
1X
x=1
xpqx 1 = p
1X
x=1
xqx 1 = p
1X
x=1
dqx
dq = p
d
dq
1X
x=0
qx = p ddq 11 q = p(1 q)2 = pp2 = 1p:
Rozptyl tohoto rozd elen je D(X) = 1 pp : Medi an le z mezi 0 a 1 pro p< 0:5 a je roven nule
pro p 0:5.
Interpretace: Prov ad ejme pokus se dv ema mo zn ymi v ysledky, kter e nazveme " usp ech\
a "ne usp ech\. Pravd epodobnost usp echu necht’ je p. Po cet nez avisl ych opakov an pokus u
do prvn ho usp echu je n ahodn a veli cina, kter a m a geometrick e rozd elen . P(x) ud av a
pravd epodobnost, ze prvn ch x pokus u bude ne usp e sn ych a ze k usp echu dojde teprve
v (x+ 1)-n m pokusu.
57
KAPITOLA 4 N ´AHODN ´A VELI ˇCINA
Obsah Index Tabulky: N t chi Back Forward Next Goto Previous
P r klad 4.5 Geometrick´e rozdˇelen´ı
Mezi N v´yrobky je M vadn´ych. Prov´ad´ıme v´ybˇer s vracen´ım. Necht’ X znaˇc´ı n´ahodnou
veliˇcinu, ˇze prvn´ıch x v´yrobk ˚u bude dobr´ych a v (x + 1)-n´ım tahu jsme vyt´ahli vadn´y
v´yrobek. Pak m´a n´ahodn´a veliˇcina X geometrick´e rozdˇelen´ı s parametrem p = MN:
Poissonovo rozd elen P( )
Rozd elen pravd epodobnost na a78 s pravd epodobnostn funkc
p(x) = e
x
x!; (4.19)
kde > 0 je konstanta, se naz yv a Poissonovo rozd elen s parametrem :
St redn hodnotu vypo c t ame n asleduj c m zp usobem:
E(X) =
1X
x=0
xe
x
x! = e

1X
x=1
x
x
(x 1)! = e
e =
Rozptyl D(X) = :
Jestli ze je po cet pokus u n dosti velk y (prakticky sta c n> 30) a p!0 (prakticky p 0:01),
pak lze binomick e rozd elen aproximovat Poissonov ym rozd elen m s parametrem = np.
Aplikace: Toto rozd elen pravd epodobnost se casto u z v a k modelov an cetnost s jakou
ur cit a ud alost nastane b ehem ur cit eho casov eho useku. Na p r klad po cet telefonn ch vol an
v ur cit em casov em intervalu, po cet z akazn k u obslou zen ych za jednotku casu u pokladny
v obchod e, po cet poruch n ejak eho za r zen za casovou jednotku, po cet vad na v yrobku.
P r klad 4.6 Poissonovo rozdˇelen´ı
Pˇredpokl´adejte, ˇze poˇcet telefonick´ych hovor ˚u doˇsl´ych bˇehem 1 hodiny na ´ustˇrednu v jedn´e mal´e
firmˇe, m´a Poissonovo rozdˇelen´ı s parametrem = 5:2. Vypoˇc´ıtejte pravdˇepodobnost, ˇze bˇehem
jedn´e hodiny pˇrijdou na ´ustˇrednu a) pr´avˇe dva hovory; b) nejv´yˇse ˇsest a nejm´enˇe 4 hovory;
c) aspoˇn jeden hovor. d) Jak´y je pr ˚umˇern´y poˇcet hovor ˚u za jednu hodinu?
ˇReˇsen´ı:
a) Protoˇze = 5:2 je podle (??) P(X = 2) = e 5:2 (5:2)22! = 0:0746:
b) P(4
<
>:
0 pro x< 1
x
m pro 1 x