Pravděpodobnost a matematická statistika

zy o st redn hodnot e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4.2 Test hypot ezy o rozptylu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.4.3 Testy hypot ezy o pod lu p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.5 Testy hypot ez o shod e dvou st redn ch hodnot . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.5.1 Testy hypot ezy o shod e dvou st redn ch hodnot pro nez avisl e v yb ery . 109
7.5.2 Testy hypot ezy pro dv e st redn hodnoty u zit m p arov ych v yb er u . . . 112
7.6 Test hypot ezy o shod e dvou pod l u p ri nez avisl ych v yb erech . . . . . . . . . 113
7.7 Ch -kvadr at test dobr e shody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.8 Ch -kvadr at test nez avislosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8 Regresn a korela cn anal yza 120
8.1 Line arn rovnice s jednou nez avislou prom ennou . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.2 Regresn rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.2.1 Extrapolace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.2.2 Odlehl a a vlivn a pozorov an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.3 Koe cient determinace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.4 Line arn korelace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.5 Line arn regresn model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.5.1 Bodov y odhad rozptylu 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.5.2 Testy hypot ez a intervaly spolehlivosti pro parametr 1 . . . . . . . . 134
8.5.3 Odhad a predikce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.6 Testy hypot ez o korela cn m koe cientu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.7 Obecn y regresn model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.7.1 Maticov e vyj ad ren modelu line arn regrese . . . . . . . . . . . . . . . 144
Statistisk e tabulky 146
P r loha i
5
6
Kapitola 4
N ahodn a veli cina
Dosud jsme se zab yvali v podstat e jen ot azkou, zda uva zovan e n ahodn e jevy nastanou nebo
nenastanou. V mnoha p r padech je v sak takov y kvalitativn v yrok neposta cuj c , a je nutn e
i kvantitativn vy set ren . Jin ymi slovy, k popisu hromadn ych n ahodn ych jev u budeme obecn e
pot rebovat tak e c seln e udaje; p ritom tyto c seln e udaje nejsou konstantn , ale vykazuj
n ahodn e v ychylky. Takovou n ahodnou c selnou hodnotou je nap r klad po cet aut, kter e vlastn
n ahodn e vybran a pra zsk a dom acnost, zrovna tak jako mno zstv spot rebovan e elekt riny za
m es c ve vybran e dom acnosti. Ob e tyto veli ciny jsou numerick e a jejich hodnota z avis na
tom, kter a dom acnost byla vybran a.
M u zeme r ci, ze v ysledek n ahodn eho pokusu, dan y re aln ym c slem, je hodnotou veli ciny,
kterou nazveme n ahodn a veli cina. Jinak re ceno, n ahodn a veli cina je veli cina, jej z hodnota
je jednozna cn e ur cena v ysledkem n ahodn eho pokusu.
Rozli sujeme dva z akladn typy n ahodn ych veli cin: diskr etn a spojit e. Diskr etn ( cili
nespojit a) n ahodn a veli cina m u ze nab yvat pouze kone cn e nebo spo cetn e nekone cn e mnoha
hodnot. Po cet aut, kter e vlastn dom acnost, je p r klad diskr etn veli ciny. Spojit a n ahodn a
veli cina m u ze nab yvat v sech hodnot z n ejak eho kone cn eho nebo nekone cn eho intervalu.
Mno zstv elekt riny spot rebovan e za m es c je p r klad spojit e n ahodn e veli ciny.
4.1 N ahodn a veli cina a jej rozd elen
Nyn uvedeme matematickou de nici n ahodn e veli ciny.
De nice 4.1 N ´AHODN ´A VELI ˇCINA
N´ahodn´a veliˇcina je ka zd e zobrazen X: !a82 takov e, ze pro ka zd e x2a82 je
A =f!jX(!) xg2A:
Jestli ze A je syst em v sech podmno zin , pak ka zd a re aln a funkce X de novan a na je
n ahodn a veli cina.
N ahodn e veli ciny budeme ozna covat velk ymi p smeny z konce abecedy, nap r. X;Y;Z nebo
X1;X2; : Jejich konkr etn hodnoty pak mal ymi p smeny x;y;z nebo x1;x2; : Po cet
clen u dom acnosti v souboru pra zsk ych dom acnost je n ahodn a veli cina nap r. X, zat mco
v ur cit e n ahodn e vybran e t reba cty r clenn e dom acnosti jde u z o konkr etn hodnotu t eto
n ahodn e veli ciny, o konkr etn po cet clen u t eto dom acnosti, tud z X = 4: Ozna cen [X = 4]
44
4.1 N ´AHODN ´A VELI ˇCINA A JEJ´I ROZD ˇELEN´I
Obsah Index Tabulky: N t chi Back Forward Next Goto Previous
bude vyjad rovat jev, ze vybran a dom acnost m a 4 cleny, zat mco ozna cen P(X = 4) je
zjednodu sen e ozna cen pro pravd epodobnost tohoto jevu.
N ahodnou veli cinu pova zujeme za danou, zn ame-li v sechny jej mo zn e hodnoty a pra-
vd epodobnosti v yskytu ka zd e z nich. Pravidlo, kter e ka zd e hodnot e nebo mno zin e hodnot
z ka zd eho intervalu p ri razuje pravd epodobnost, ze n ahodn a veli cina nabude t eto hodnoty
nebo hodnoty z ur cit eho intervalu, se naz yv a z akon rozd elen n ahodn e veli ciny nebo
kr atce rozd elen n ahodn e veli ciny.
4.1.1 Distribu cn funkce a hustota
Z akladn formou popisu z akona rozd elen je distribu cn funkce. Distribu cn funkce n ahodn e
veli ciny ud av a pravd epodobnost, ze n ahodn a veli cina X nabude hodnoty men s nebo rovn e
ne z zvolen e x. Zna c me ji F(x):
De nice 4.2 DISTRIBU ˇCN´I FUNKCE
Distribuˇcn´ı funkce n ahodn e veli ciny X je funkce F : a82!h0;1i de novan a vztahem
F(x) = P(X x):
Z akladn vlastnosti distribu cn ch funkc
1. F(x) je neklesaj c funkce, tj. pro ka zdou dvojici x1 >
>:
X
x
(x x)kP(x) pro diskr etn rozd elen
Z 1
1
(x x)kf(x) dx pro spojit e rozd elen .
Rozptyl lze po c tat podle vzorce
D(X) = E(X E(X))2 = E(X2 2XE(X) + (E(X))2) = E(X2) [E(X)]2: (4.11)
Pozn amka: V dal s m textu budeme ozna covat rozptyl n ahodn e veli ciny X tak e symbolem x.
M ern e jednotky, ve kter ych je vyj ad ren rozptyl D(X) jsou ctverce jednotek n ahodn e
veli ciny X. V p uvodn ch jednotk ach m e r variabilitu odmocnina rozptylu, kterou naz yv ame
sm erodatnou odchylkou a zna c me x =
q
D(X):
Z akladn vlastnosti rozptylu
1. Rozptyl konstanty je rovna nule, D(c) = 0:
2. Rozptyl sou cinu konstanty a n ahodn e veli ciny je roven sou cinu ctverce t eto konstanty
a rozptylu dan e veli ciny, D(cX) = c2D(X):
3. Rozptyl sou ctu nez avisl ych n ahodn ych veli cin je roven sou ctu rozptyl u t echto
n ahodn ych veli cin,
D(
nX
i=1
Xi) =
nX
i=1
D(Xi):
4.2.3 Kvantily
Vedle uveden ych charakteristik n ahodn e veli ciny se p ri popisu spojit e n ahodn e veli ciny velmi
casto pou z vaj kvantily. S t mto pojmem jsme se ji z sezn amili v popisn e statistice v c asti
??. Nyn tuto charakteristiku uvedeme do souvislosti se spojitou n ahodnou veli cinou.
53
KAPITOLA 4 N ´AHODN ´A VELI ˇCINA
Obsah Index Tabulky: N t chi Back Forward Next Goto Previous
De nice 4.6 KVANTIL
Necht’ X je n ahodn a veli cina s distribu cn funkc F(x) a hustotou pravd epodobnosti f(x).
p-kvantilem n´ahodn´e veliˇciny X nebo 100p procentn´ım kvantilem je c slo Qp, pro kter e plat
P(X Qp) = F(Qp) =
Z Qp
1
f(x) dx = p; 0 >>>
<
>>>>
:
X
x;y
xyP(X = x;Y = y) pro diskr etn rozd elen
Z 1
1
Z 1
1
xyf(x;y) dxdy pro spojit a rozd elen :
(4.12)
54
4.2 CHARAKTERISTIKY N ´AHODN ´YCH VELI ˇCIN
Obsah Index Tabulky: N t chi Back Forward Next Goto Previous
Z de nice ?? a z (??) plyne, ze
xy = E(XY) x y: (4.13)
Z de nice nez avisl ych n ahodn ych veli cin a ze vztahu (??) plyne, ze pro nez avisl e n ahodn e
veli ciny plat E(XY) = E(X)E(Y). Kovariance dvou nez avisl ych n ahodn ych veli cin je tud z
rovna nule.
Pomoc kovariance m u zeme v yj ad rit rozptyl sou ctu dvou n ahodn ych veli cin X a Y. Je
roven sou ctu rozptyl u obou n ahodn ych veli cin a dvojn asobku kovariance obou veli cin.
D(X +Y) = E(X +Y x y)2 = E(X x)2 +E(Y y)