Neurčitý integrál

VYSOK´E UˇCEN´I TECHNICK´E V BRNˇE
FAKULTA STAVEBN´I
MATEMATIKA I
MODUL 7
NEURˇCIT´Y INTEGR´AL
STUDIJN´I OPORY
PRO STUDIJN´I PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Typeset by LATEX2ε
c© Josef Danˇeˇcek, Oldˇrich Dlouh´y, Oto Pˇribyl 2004
Obsah
1 ´Uvod 4
1.1 C´ıle modulu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Poˇzadovan´e znalosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Doba potˇrebn´a ke studiu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Kl´ıˇcov´a slova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Z´akladn´ı pojmy. 6
3 Z´akladn´ı integraˇcn´ı metody. 11
4 Integrace racion´aln´ıch funkc´ı. 15
5 Integrace goniometrick´ych funkc´ı. 20
5.1 Prvn´ı typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2 Druh´y typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3 Tˇret´ı typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6 Integrace iracion´aln´ıch funkc´ı. 23
6.1 Prvn´ı typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2 Druh´y typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7 Kontroln´ı ot´azky. 31
8 Autotest. 32
9 V´ysledky cviˇcen´ı a autotestu. 32
10 Studijn´ı prameny. 36
A Vzorov´a zad´an´ı kontroln´ıch test˚u. 37
3
1 ´Uvod
1.1 C´ıle modulu.
Odstavec 2. Porozumˇet pojm˚um primitivn´ı funkce a neurˇcit´y integr´al, uvˇedomit
si,ˇze primitivn´ı funkce byly definov´any na otevˇren´ych intervalech. Zn´at z´akladn´ı
vlastnosti neurˇcit´eho integr´alu. Po prostudov´an´ı byste mˇeli b´yt schopni nal´ezt
po ´uprav´ach primitivn´ı funkce k r˚uzn´ym jednoduch´ym funkc´ım, urˇcit obory
platnosti a zkontrolovat si derivov´an´ım spr´avnost v´ysledku integrov´an´ı.
Odstavec 3. Dobr´a znalost tabulky primitivn´ıch funkc´ı a obor˚u platnosti je nezbyt-
nou podm´ınkou pro zvl´ad´an´ı dalˇs´ıho textu. Po prostudov´an´ı byste mˇeli umˇet
rozpoznat, kdy je vhodn´e pro v´ypoˇcet integr´alu pouˇz´ıt metodu per partes,
kdy a jakou substituˇcn´ı metodu a spr´avnou volbou sloˇzek nebo substituce jej
vyˇreˇsit. K z´ısk´an´ı t´eto schopnosti je nezbytn´e si vyˇreˇsit dostateˇcn´e mnoˇzstv´ı
pˇr´ıklad˚u, coˇz ostatnˇe plat´ı pro vˇsechny odstavce tohoto modulu.
Odstavec 4. Po prostudov´an´ı byste mˇeli umˇet zintegrovat parci´aln´ı zlomky, kter´e
odpov´ıdaj´ı jednon´asobn´ym nebo v´ıcen´asobn´ym re´aln´ym koˇren˚um jmenovatele
racion´aln´ı funkce a dvojic´ım jednon´asobn´ych komplexnˇe sdruˇzen´ych koˇren˚u.
Sezn´am´ıte se tak´e s rekurentn´ım vzorcem a s v´ypoˇctem integr´al˚u parci´aln´ıch
zlomk˚u, odpov´ıdaj´ıc´ıch dvojici v´ıcen´asobn´ych komplexnˇe sdruˇzen´ych koˇren˚u.
Odstavec 5. Nauˇc´ıte se, jak volit substituce, abyste pˇrevedli integr´aly nˇekter´ych
goniometrick´ych funkc´ı na racion´aln´ı funkce. Mˇeli byste umˇet pouˇz´ıt tyto jed-
notliv´e goniometrick´e substituce. Na z´akladˇe znalost´ı vztah˚u mezi goniomet-
rick´ymi funkcemi umˇet vypoˇc´ıtat integr´aly ze souˇcin˚u funkc´ı sinus a kosinus
r˚uzn´ych argument˚u.
Odstavec 6. Sezn´am´ıte se s t´ım, jak m˚uˇzete racionalizovat nˇekter´e integr´aly ob-
sahuj´ıc´ı odmocniny. Je zapotˇreb´ı umˇet tyto substituce spr´avnˇe urˇcit a je-
jich pouˇzit´ım pˇrev´est integrand na racion´aln´ı funkci. Pˇripomeneme si, ˇze pro
v´ypoˇcet nˇekter´ych typ˚u integr´al˚u obsahuj´ıc´ıch odmocniny m˚uˇzete pouˇz´ıt 1.
substituˇcn´ı metodu nebo metodu per partes. Tak´e tyto poˇcetn´ı postupy mus´ıte
zvl´adnout.
1.2 Poˇzadovan´e znalosti.
Dobˇre ovl´adat derivov´an´ı funkc´ı, rozklady racion´aln´ıch funkc´ı na parci´aln´ı zlomky,
zn´at z´akladn´ı vztahy mezi goniometrick´ymi funkcemi.
1.3 Doba potˇrebn´a ke studiu.
Pˇribliˇznˇe lze odhadnout potˇrebnou dobu ke studiu jednorozmˇern´eho integr´alu na 15
hodin. Pro z´ısk´an´ı zkuˇsenost´ı a zruˇcnosti ve v´ypoˇctu primitivn´ıch funkc´ı bude jeˇstˇe
zˇrejmˇe zapotˇreb´ı dalˇs´ı ˇcas z´avisl´y na dosavadn´ı poˇcetn´ı praxi studenta.
4
1.4 Kl´ıˇcov´a slova.
Primitivn´ı funkce, neurˇcit´y integr´al, vlastnosti neurˇcit´eho integr´alu, metoda per
partes, prvn´ı a druh´a substituˇcn´ı metoda, integrace racion´aln´ı funkce, integrace go-
niometrick´ych funkc´ı, integrace iracion´aln´ıch funkc´ı.
5
2 Z´akladn´ı pojmy.
Definice 2.1. ˇRekneme, ˇze funkce F je primitivn´ı funkc´ı k funkci f
na otevˇren´em intervalu I ⊂ R, jestliˇze pro kaˇzd´e x ∈ I plat´ı
Fprime (x) = f (x).
Pozn´amka 2.1.
(a) Necht’ F je primitivn´ı funkc´ı k funkci f na otevˇren´em intervalu I. Potom funkce
Fc (x) = F (x) +c, x ∈ I, kde c ∈ R je libovoln´a konstanta, je tak´e primitivn´ı
funkc´ı k funkci f na intervalu I.
Obr´azek 1: Nejednoznaˇcnost existence primitivn´ı funkce.
(b) Pro libovoln´y bod x0 ∈ I a kaˇzd´e y0 ∈ R existuje jedna primitivn´ı funkce F
k funkci f na I, pro kterou plat´ı F(x0) = y0 (graf funkce F proch´az´ı bodem
[x0,y0]).
(c) Funkce F je spojit´a na intervalu I.
Pozn´amka 2.2. Jsou-li F, G primitivn´ı funkce k funkci f na otevˇren´em intervalu
I, pak existuje takov´e ˇc´ıslo c ∈ R, ˇze plat´ı G(x) = F (x) + c na I. Mnoˇzinu vˇsech
tˇechto primitivn´ıch funkc´ı obvykle naz´yv´ame neurˇcit´ym integr´alem funkce f na I a
znaˇc´ıme jej integraltext f (x)dx.
6
Pozn´amka 2.3. V literatuˇre je moˇzn´e se tak´e setkat s definic´ı primitivn´ıch funkc´ı
na obecnˇejˇs´ıch mnoˇzin´ach, neˇzli jsou intervaly (napˇr. sjednocen´ı interval˚u). Tato
obecnˇejˇs´ı definice vˇsak m´a nˇekter´e nev´yhody (napˇr. primitivn´ı funkce se nemus´ı liˇsit
o konstantu).
V dalˇs´ım textu se sezn´am´ıme s r˚uzn´ymi metodami v´ypoˇctu primitivn´ıch funkc´ı. Je
vhodn´e si ale uvˇedomit, ˇze i kdyˇz n´am n´asleduj´ıc´ı Vˇeta 2.1 zaruˇcuje existenci prim-
itivn´ı funkce ke kaˇzd´e spojit´e funkci na otevˇren´em intervalu, pˇresto se v aplikaˇcn´ıch
´uloh´ach vyskytuj´ı takov´e spojit´e funkce na intervalu, k nimˇz neexistuj´ı primitivn´ı
funkce, kter´e se daj´ı vyj´adˇrit jako koneˇcn´e line´arn´ı kombinace funkc´ı sloˇzen´ych z
element´arn´ıch funkc´ı. Patˇr´ı k nim napˇr.
integraldisplay ex
x dx,
integraldisplay
e−x2 dx,
integraldisplay
sinx2 dx,
integraldisplay cosx
x dx,
integraldisplay 1
√1−k2 sin2 x dx,
kde 0 < k < 1, apod. ˇR´ık´ame pak ˇcasto, ˇze tyto integr´aly jsou tzv. neelement´arn´ı.
Vˇeta 2.1. Kaˇzd´a funkce spojit´a na otevˇren´em intervalu I m´a na tomto intervalu
primitivn´ı funkci.
Pˇr´ıklad 2.1. Uk´aˇzeme pˇr´ıklad konstrukce primitivn´ı funkce F k funkci f v inter-
valu (0,2). Funkce f je d´ana takto:
f(x) =


x, x ∈ (0,1],
1, x ∈ (1,2).
Podle Vˇety 2.1 primitivn´ı funkce existuje. Zvolme primitivn´ı funkce v jednotliv´ych
intervalech takto:
F1(x) = 12x2, x ∈ (0,1), F2(x) = x + d, x ∈ (1,2),
kde d je konstanta. Protoˇze funkce F mus´ı b´yt spojit´a, zvol´ıme konstantu d tak, aby
limx→1+F2(x) = limx→1−F1(x) = 12.
Odtud d = −1/2. Tedy celkem
F(x) =



1
2x
2, x ∈ (0,1],
x− 12, x ∈ (1,2).
Pˇritom
Fprime+(1) = limx→1+ x−
1
2 −
1
2
x−1 = 1, F
prime
−(1) = limx→1−
x2
2 −
1
2
x−1 =
1
2 limx→1−(x + 1) = 1.
Vid´ıme tedy, ˇze funkce F je spojit´a v bodˇe 1 a Fprime(x) = f(x) pro kaˇzd´e x ∈ (0,2).
Je tedy funkce F primitivn´ı k funkci f na (0,2).
Grafy funkc´ı f a F jsou zn´azornˇeny na obr´azku 2.
7
Pozn´amka 2.4. Funkce g definovan´a na intervalu (0,2) takto
g(x) =


x, x ∈ (0,1],
2, x ∈ (1,2),
nem´a na tomto intervalu primitivn´ı funkci ve smyslu naˇs´ı definice.
Pozn´amka 2.5. Existuj´ı vˇsak i nespojit´e funkce, k nimˇz je moˇzno nal´ezt primitivn´ı
funkce.
Vˇeta 2.2. Jestliˇze existuj´ı primitivn´ı funkce k funkc´ım f a g na otevˇren´em inter-
valu I, pak plat´ı
integraldisplay
cf (x)dx = c
integraldisplay
f (x)dx,
integraldisplay
(f (x) + g(x))dx =
integraldisplay
f (x)dx +
integraldisplay
g(x)dx,
kde c negationslash= 0 je libovoln´a re´aln´a konstanta.
Obr´azek 2: Pˇr´ıklad 2.1.
8
Pozn´amka 2.6. Zobrazen´ı A f → integraltext f dx je line´arn´ı zobrazen´ı line´arn´ıho prostoru
C0(I) do line´arn´ıho prostoru C1 (I). Toto tvrzen´ı plyne z Vˇety 2.2.
Tabulkov´e integr´aly.
Z tabulky derivac´ı dost´av´ame okamˇzitˇe tabulku primitivn´ıch funkc´ı. V n´asleduj´ıc´ıch
vzorc´ıch je c ∈ R libovoln´a konstanta:
integraldisplay
xn dx = x
n+1
n + 1 + c, x ∈ R, multicloseleft ∈ N∪{notturnstile},integraldisplay
xα dx = x
α+1
α + 1 + c, x ∈ (0,∞), α ∈ R, α negationslash= −notforces,integraldisplay
1
x dx = ln|x|+ c, x ∈ (0,∞) nebo x ∈ (−∞,0),integraldisplay
ax dx = a
x
lna + c, x ∈ R, Gmir > notturnstile, Gmir negationslash= notforces je konstanta,integraldisplay
sinxdx = −cosx + c, x ∈ R,
integraldisplay
cosxdx = sinx + c, x ∈ R,
integraldisplay 1
sin2 x dx = −cotx + c, x ∈ (kpi,(k + 1)pi), k ∈ Z,integraldisplay
1
cos2 x dx = tgx + c, x ∈ ((2k −1)pi/2,(2k + 1)pi/2), k ∈ Z,integraldisplay
1√
1−x2 dx = arcsinx + c, x ∈ (−1,1),integraldisplay
1
1 + x2 dx = arctgx + c, x ∈ R,integraldisplay
sinhxdx = coshx + c, x ∈ R,
integraldisplay
coshxdx = sinhx + c, x ∈ R,
integraldisplay 1
cosh2 x dx = tanhx + c, x ∈ R,integraldisplay
1
sinh2 x dx = −cothx + c, x ∈ (0,∞) nebo x ∈ (−∞,0).
Pozn´amka 2.7. (k druh´emu vzorci v pˇredeˇsl´e tabulce - moˇznost rozˇs´ıˇren´ı inte-
graˇcn´ıch obor˚u)
Je-li α = p/q ∈ Q, α negationslash= −1, p, q nesoudˇeln´a, pak
9
(a)
je-li α > 0 a


q sud´e, pak x ∈ (0,∞),
q lich´e, pak x ∈ R,
(b)
je-li α < 0 a


q sud´e, pak x ∈ (0,∞),
q lich´e, pak x ∈ (−∞,0) nebo x ∈ (0,∞),
Pˇr´ıklad 2.2. Hmotn´y bod kon´a pˇr´ımoˇcar´y pohyb takov´y, ˇze jeho zrychlen´ı roste
rovnomˇernˇe s ˇcasem a za prvn´ıch 10s pohybu naroste z nulov´e hodnoty na 5m·s−2.
Jak´a je rychlost pohybu hmotn´eho bodu v ˇcase t = 10s a jakou dr´ahu hmotn´y bod
vykonal, jestliˇze v ˇcase t = 0 byl v klidu?
ˇReˇsen´ı. Zˇrejmˇe pro zrychlen´ı a plat´ı a = kt, kde k = a10/t10 = 1/2m·s−3. Odtud
v(t) =
integraldisplay
a(t)dt =
integraldisplay
ktdt = 12kt2 + c.
Protoˇze v(0) = 0 dost´av´ame, ˇze c = 0. Odtud v(10) = 25m···−1. Pro dr´ahu s m´ame
s(t) =
integraldisplay
v(t)dt = k2
integraldisplay
t2 dt = 16kt3 + d.
Vzhledem k tomu, ˇze s(0) = 0 dost´av´ame, ˇze d = 0 a tedy s(10) = 83.33m.
Cviˇcen´ı 2.1. Uˇzit´ım z´akladn´ıch vztah˚u spoˇctˇete dan´e integr´aly na dan´ych oborech:
a)
integraldisplay parenleftBigg
x3 − 1x +
4√x
2 +
6
3√x2
parenrightBigg
dx na (0,∞);
b)
integraldisplay x4 −3x2 −1
√x dx na (0,∞);
c)
integraldisplay x−1
1 +√x dx na (0,∞);
d)
integraldisplay cos2 x
1 + sinx dx na
parenleftbigg
−pi2, 3pi2
parenrightbigg
;
e)
integraldisplay
sin2 x2 dx na R;
f)
integraldisplay
tg2 x dx na
parenleftbigg
−pi2, pi2
parenrightbigg
.
10
3 Z´akladn´ı integraˇcn´ı metody.
Vˇeta 3.1. (Prvn´ı substituˇcn´ı metoda.) Necht’ funkce f m´a primitivn´ı funkci F na
otevˇren´em intervalu J. Necht’ funkce ϕ zobrazuje otevˇren´y interval I do J a m´a na
intervalu I koneˇcnou derivaci. Potom F ◦ϕ je primitivn´ı funkc´ı k funkci (f ◦ϕ)ϕprime
na intervalu I a plat´ı
integraldisplay
f (ϕ(t))ϕprime (t)dt = F (ϕ(t)) + c, c ∈ R.
D˚ukaz. Plyne pˇr´ımo z vˇety o derivaci sloˇzen´e funkce.
Pˇr´ıklad 3.1. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k dan´e funkci g(t) na dan´em intervalu:
a) g(t) = tcos(t2 + 1) na R.
ˇReˇsen´ı. Dan´a funkce je spojit´a na R a podle Vˇety 2.1 existuje primitivn´ı
funkce.
integraldisplay
tcos
parenleftBig
t2 + 1
parenrightBig
dt =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
t2 + 1 = x
2tdt = dx
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle =
1
2
integraldisplay
cosxdx
= 12 sinx + c = 12 sin
parenleftBig
t2 + 1
parenrightBig
+ c.
b) g(t) = t3 + 2t4 na R.
ˇReˇsen´ı.
integraldisplay t
3 + 2t4 dt =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
t2 = u
2tdt = du
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle =
1
2
integraldisplay 1
3 + 2u2 du
= 16
integraldisplay 1
1 +
parenleftBig√2u
√3
parenrightBig2 du =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
√2
√3u = x
√2
√3du = dx
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
= 12√6
integraldisplay 1
1 + x2 dx =
1
2√6 arctgx + c
=
√6
12 arctg
t2√6
3 + c.
Vˇeta 3.2. (Druh´a substituˇcn´ı metoda.) Necht’ funkce ϕ zobrazuje otevˇren´y interval
I na interval J a necht’ m´a koneˇcnou derivaci ϕprime negationslash= 0 na I. Je-li G primitivn´ı funkc´ı
k funkci (f ◦ϕ)ϕprime na I, pak funkce G◦ϕ−1 je primitivn´ı k f na J a plat´ı
integraldisplay
f (x)dx =
integraldisplay
f (ϕ(t))ϕprime(t)dt = G(t) + c = G
parenleftBig
ϕ−1(x)
parenrightBig
+ c.
11
D˚ukaz. Z pˇredpokladu, ˇze ϕprime negationslash= 0 plyne, ˇze funkce ϕ je spojit´a a ϕprime > 0 nebo
ϕprime < 0. Z tohoto dost´av´ame, ˇze funce ϕ je ryze monotonn´ı a existuje tedy inverzn´ı
funkce ϕ−1, kter´a je spojit´a a m´a koneˇcnou derivaci. Pro libovoln´e x ∈ J tedy plat´ı
parenleftBig
G
parenleftBig
ϕ−1(x)
parenrightBigparenrightBigprime
= Gprime
parenleftBig
ϕ−1(x)
parenrightBigparenleftBig
ϕ−1(x)
parenrightBigprime
= Gprime(t) 1ϕprime(t)
= f (ϕ(t))ϕprime(t) 1ϕprime(t) = f (ϕ(t)) = f(x).
Pˇr´ıklad 3.2. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci√1−x2 na intervalu J = (−1,1).
ˇReˇsen´ı. Poloˇzme ϕ(t) = sint, I = (−pi/2,pi/2), ϕ : (−pi/2,pi/2) → (−1,1), ϕprime negationslash= 0
na J.
integraldisplay √
1−x2 dx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
x = sint = ϕ(t)
t = arcsinx = ϕ−1 (t)
dx = costdt
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
=
integraldisplay radicalBig
1−sin2 tcostdt
=
integraldisplay
|cost|costdt =
integraldisplay
cos2 tdt
=
integraldisplay 1 + cos2t
2 dt =
1
2
parenleftbigg
t + 12 sin2t
parenrightbigg
= 12 (t + sintcost) = 12
parenleftbigg
t + sint
radicalBig
1−sin2 t
parenrightbigg
= 12
parenleftBig
arcsinx + x√1−x2
parenrightBig
+ c.
Vˇeta 3.3. (Metoda per partes.) Necht’ funkce u, v maj´ı spojit´e derivace na otevˇren´em
intervalu I. Potom na I plat´ı
integraldisplay
u(x)vprime (x)dx +
integraldisplay
uprime (x)v(x)dx = u(x)v(x).
D˚ukaz. Plyne z vˇety o derivaci souˇcinu funkc´ı a definice primitivn´ı funkce.
Pˇr´ıklad 3.3. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k dan´e funkci na dan´em intervalu:
(a) f (x) = xex na R.
ˇReˇsen´ı.
integraldisplay
xex dx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
u(x) = x vprime (x) = ex
uprime (x) = 1 v(x) = ex
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle = xex −
integraldisplay
ex dx = (x−1)ex + c.
12
(b) f (x) = lnx na (0,∞).
ˇReˇsen´ı.
integraldisplay
ln xdx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
u(x) = lnx vprime (x) = 1
uprime (x) = 1/x v(x) = x
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle = xln x−
integraldisplay
dx = x(ln x−1) + c.
(c) f (x) = ln
2 x
x2 na (0,∞).
ˇReˇsen´ı.
integraldisplay ln2 x
x2 dx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
u(x) = ln2 x, vprime(x) = 1x2
uprime(x) = 2lnxx , v(x) = −1x
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle = −
ln2 x
x + 2I,
kde
I =
integraldisplay lnx
x2 dx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
u(x) = lnx, vprime(x) = 1x2
uprime(x) = 1x, v(x) = −1x
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
= −lnxx +
integraldisplay 1
x2 dx = −
lnx
x −
1
x = −
lnx + 1
x + c.
Celkem tedy
integraldisplay ln2 x
x2 dx = −
ln2 x + 2lnx + 2
x + c, x ∈ R
+.
(d) f (x) = x3 arctgx na R.
ˇReˇsen´ı.
integraldisplay
x3 arctgxdx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
u(x) = arc