M02

­vajĂ­ p
i projektování. Znalost tohoto postupu a jeho pochopení je však
velmi dležité, protože dává p
edstavu, jaký výpoet je možný a jaký ne. Ne-
budete pak od SW žádat nemožné, což mže skonit obtížn odhalitelnou chy-
bou. Pomocí výše uvedeného postupu byly spoítány „Klotoidické tabulky“,
které lze rovnž použít p
i projektování. Jejich nevýhodou ve srovnání se SW
je samoz
ejm vtší pracnost a chybjící interaktivita vzhledem k výkresu, ale
výhodou je jejich názornost a p
ehlednost.
Odvote výše uvedené vztahy pro výpoet vytyovacích hodnot xS, xM, st ,
R, z. P
epokládejte, že pravoúhlé sou
adnice x, y koncového bodu znáte.
3.5 Výpoet podrobných bod klotoidy
Osa se krom hlavních bod vytyuje rovnž v podrobných bodech, ty jsou
standardn popsány svým staniením (nejastji v celých násobcích 20 m).
Vytyit podrobný bod na klotoid tedy znamená vytyit bod na klotoid, který
je daný svou vzdáleností od zaátku klotoidy (po výpotu staniení).
Pro vytyování se používá polární nebo ortogonální metoda. Za poátek sou-

adnicové soustavy (polární nebo ortogonální) pro vytyení podrobných bod
na klotoid se volí nejastji zaátek klotoidy a orientace je dána tenou kloto-
idy v zaátku. Výpoet vytyení podrobného bodu je pak výpoet totožný
s výpotem sou
adnic x, y, jak je výše uvedeno pro hlavní vytyovací hodnoty.
Jen je zapot
ebí stanovit vzdálenost vytyovaného bodu od zaátku klotoidy.
Vtšinou se požaduje vytyení podrobných bod v celých násobcích dvaceti
metr staniení, odtud tedy vyplyne požadavek na polohu vytyovaného bodu.
Z ortogonálního vytyení (sou
adnice x,y) snadno p
epoítáme vytyení polár-
nĂ­, pokud je t
eba.
Lze použít i starobylé vytyovací tabulky. Pro snadné vytyení podrobných
bod je urena ást II. Klotoidických tabulek (auto
i Veselý, Kašpárek). Ta
obsahuje spoítané x-ové a y-ové sou
adnice pro ortogonální vytyení
v konkrétních vzdálenostech l od zaátku klotoidy. Tyto výpoty jsou tam na-
chystány pro širokou škálu klotoid s okrouhlými parametry. Mezi délkami lze
interpretovat. Mezi parametry rovnĹľ, ale dvojĂ­ interpolace by uĹľ znamenala
naprostou ztrátu výhody rychlého a snadného vytyení. Proto se parametry
klotoid bžn volí (pokud je to možné) takové, které se vyskytují
v tabulkách II.
Pro polární vytyení lze pot
ebné hodnoty p
epoítat z ortogonálních nebo po-
užít tabulku III. Ta je opt spoítaná pro jednotkovou klotoidu s parametrem
100, takĹľe je zapot
ebĂ­ p
epoítávat skutenou vytyovanou délku a poté inter-
Pozemní komunikace I. · Modul BM01-M02
- 24 (40) -
polovat mezi tabulkovými hodnotami, což je pracné a zdlouhavé. Tabulky III.
jsou se
azeny (na rozdíl od tab. I.) podle délky.
Spoítejte nebo najdte v tabulkách pro klotoidu vhodn zvoleného rozmru
aspo 6 podrobných bod a vyneste od hlavní (poátení) teny pravoúhlý-
mi sou
adnicemi na milimetrovĂ˝ papĂ­r nebo v prost
edí grafického editoru.
DĂ©lka p
echodnice
- 25 (40) -
4 DĂ©lka pechodnice
Požadavky na délku p
echodnice jsou tyto:
1) p
echodnice má být tak dlouhá, aby p
Ă­rstek odst
edivého zrychlení za
jednotku asu byl v mezĂ­ch zaruujĂ­cĂ­ch p
im
enĂ˝ komfort jĂ­zdy
P
Ă­rstek odst
edivého zrychlení k by se ml držet v doporuených mezích, což
je k=0,3 až 0,6 m/s3 (Chochol, Lehovec, Pošvá
, Rondoš: Cesty a dianice 1,
str. 287)
tR
v
t
ak 12 ==

Z toho:
kR
vt
=
2

a protože pro konstantní rychlost na délce p
echodnice platĂ­:
t
Lv =
,
pro délku L lze psát:
Rk
v
kR
vvtvL
= = =
32

Pokud chceme do vztahu rychlost vkládat v km/h místo v m/s (a silniá
i to tak
vtšinou chtjí), ve vztahu se objeví p
epotovĂ˝ koeficient:
Rk
v
Rk
vL
@ = 476,3
3
3
3

KdyĹľ za R dosadĂ­me podle SN 73 6101 (pro vn80 km/h)
%
3,0 2
min p
vR n =
,
dostaneme závislost délky p
echodnice L na návrhové rychlosti vn:
3,047
%
%
3,047 2
3

=
= k
pv
p
vk
vL
n
n

Pak pro k=0,3 a pro p
Ă­nĂ˝ sklon v hodnot (nap
íklad) 3% vychází délka L asi
0,7 * vn, pro k=0,3 a pro p
Ă­nĂ˝ sklon v hodnot (nap
íklad) 6% vychází délka
L asi 1,4 * vn.

Pro parametr A klotoidy definované základní rovnicí LRA =2 lze pak psát
závislost parametru na rychlosti:
k
v
Rk
vRA
= = 4747
33
2
a potom k
vA
= 47
3

Práv parametr klotoidy udává rychlost zmny k
ivosti, které odpovídá rych-
lost zmny dost
edivého zrychlení.
Pozemní komunikace I. · Modul BM01-M02
- 26 (40) -
2) p
echodnice má být tak dlouhá, aby as pot
ebnĂ˝ na zmnu polomru
trajektorie z p
Ă­mky na hodnotu na konci p
echodnice odpovĂ­dal moĹľ-
nostem vozidla a
idie
Doba pot
ebná ke zmn k
ivosti trajektorie (natoenĂ­ volantu do polohy odpo-
vídající polomru oblouku) závisí na hodnot polomru, rychlosti vozidla, typu
vozidla a jeho konstrukci (nákladní – osobní, s nebo bez posilovae
Ă­zenĂ­, sta-
bilita vozidla), na reaknĂ­ch asech
idie aj. Tato doba se uvádí v hodnotách
p
ibližn 3 až 5 sekund (Chochol, Lehovec, Pošvá
, Rondoš: Cesty a dianice
1, str. 288). Potom délka p
echodnice je:
vaĹľvL = 53
pro rychlost v m/s
nn vaĹľvL = 4,18,0
pro návrhovou rychlost v km/h
3) p
echodnice má být tak dlouhá, aby zmna p
íného sklonu provádná
na délce p
echodnice odpovídala požadavkm a délku a sklon vzestup-
nice (poĹľadavky na vzestupnice a sestupnice specifikuje SN 73 6101
v l. 8.12 a l. 8.13)
P
edpokládá se, že vzestupnice (zmna p
íného sklonu) se provede na délku
p
echodnice. Pak je limitem délky p
echodnice minimální a maximální sklon
vzestupnice.
4) délka p
echodnice má vyhovt estetickým a jízdn-psychologickým po-
Ĺľadavkm
Tyto požadavky nelze definovat jednoznan. Jejich uplatnní závisí na zkuše-
nostech projektanta. Obecn lze
íci, že pro velké polomry oblouk je vhodné
používat dlouhé p
echodnice, což znamená, že parametr p
echodnic pro velké
polomry bude mnohem vtší.
5) minimální délka p
echodnice podle SN 73 6101
6) doporuená délka p
echodnice podle SN 73 6101
Požadavky SN jsou na následujícím obrázku. Mezi uvedenými pravidly je
samoz
ejm nejdležitjší závazné minimum normy (bod 5) – v norm l.
8.8.3, jist stojí zato je ješt jednou opsat. Minimální délka klotoidy závisí na
zpsobu klopenĂ­ a je
nvl = 0,1min
pro klopení „kolem osy jízdního pásu“
nvl = 5,1min
pro klopení „kolem vnjší hrany vodicího proužku“. Délka p
echodnice
z tohoto vztahu je v metrech, návrhová rychlost po silniá
sku v km/h. Projek-
tanti se asto p
iklánjí k p
echodnicím o délce blízké minimální. Rozumným
dvodem pro výbr spíše kratších p
echodnic je spolehlivé odvodnní vozov-
ky. Zmna p
íného sklonu se totiž vtšinou provádí na celou délku p
echodni-
ce a krátká p
echodnice pak znamená minimalizaci úseku s p
íným sklonem
blízkým nule.
DĂ©lka p
echodnice
- 27 (40) -


Porovnejte délky p
echodnic podle bod 1) aĹľ 6).
Pozemní komunikace I. · Modul BM01-M02
- 28 (40) -
5 Pechodnice ve smrových obloucích
Pro správný návrh smrového
ešení je nutné používat p
echodnice. Jejich dél-
ka musí být delší než minimální (podle p
edcházejícího textu), shora délka
omezena není. Polomr oblouku R musí být vtší než minimální (podle textu
v p
edcházející p
ednášce). Oblouk je limitován úhlem aS, který spolu svírají
teny, respektive strany smrového (tenového) polygonu. Nejbžnjší
ešení
smrového oblouku je takové, že kružnicová ást oblouku je napojena na teny
krajovými p
echodnicemi. Ty mohou být symetrické – parametry i délka kloto-
id v oblouku jsou shodné - (graf k
ivosti takového motivu jsme již vidli výše)
nebo mohou být nesymetrické – zvolíme pro klotoidy rzné parametry a kloto-
idy jsou pak rzn dlouhé – (graf k
ivosti takového motivu následuje).

V grafu k
ivostí je ješt p
edstaven jeden reprezentant tzv. „složených oblou-
k“ – je to svtle modrý graf. O složeném oblouku se hovo
Ă­, pokud se v nm
vyskytuje více než jeden kružnicový oblouk. I takové
ešení je možné, jeho
výpoet ale nebude popsán v tomto textu.
Oblouky se složené z jednotlivých prvk (kružnicových oblouk a klotoid) se
navrhují jako plynulé a hladké oblouky. Tím je mínno p
edevším, že v kaž-
dém bod oblouku existuje práv jedna tena. Jinými slovy, jednotlivé prvky
na sebe navazujeme tak, aby mly spolenou tenu. To musí být splnno vždy
Další podmínka je mén silná, jde o to, aby na sebe jednotlivé na sebe navazu-
jĂ­cĂ­ prvky mly v bod napojenĂ­ stejnou k
ivost. Prakticky nejsou malé odchyl-
ky na závadu a norma dokonce p
ipouští výjimen napojení dvou stejnosmr-
ných oblouk, jejichž polomry jsou v pomru až 2:1.
Uvažte, jaký je vliv parametru klotoidy na délku klotoidy a na délku celého
oblouku.
Výpoet symetrických oblouk
- 29 (40) -
6 Výpoet symetrických oblouk
Za symetrické oblouky se oznaují všechny ty, které jsou symetrické kolem
osy, která plí úhel doplkový ke st
edovému úhlu aS. Takové oblouky mají
dv dležité vlastnosti: 1) staí poítat pouze polovinu oblouku (aspo pro
hlavní body, pro podrobné nebývají umístny symetricky), 2) délka hlavní te-
ny je totožná pro ob sousedící strany tenového polygonu. To znamená, že
symetrické oblouky úspšn užijeme tam, kde se nám poda
Ă­ navrhnout teno-
vĂ˝ polygon s p
ibližn stejn dlouhými stranami, nebo tam, kde rezignujeme na
inflexnĂ­
ešení a jsme ochotní vkládat mezi nkteré oblouky mezip
ímé.
6.1 Volba parametru a úhlová podmínka pro symet-
rickĂ˝ oblouk
1) Parametr blížící se nule znamená délku klotoidy blížící se nule a
ešení
blízké prostému kružnicovému oblouku. Koncový úhel klotoidy t je
velmi malý, blíží se nule.
2) Pro minimální délku p
echodnice Lmin dostáváme ze základní rovnice
klotoidy min2 LRA = parametr rozumn použitelné klotoidy. Koncový
úhel klotoidy t nabývá hodnot v rozmezí Sat < < 20 Smrový motiv
se nazývá kružnicový oblouk se symetrickými p
echodnicemi.
3) DĂ©lku klotoidy, parametr klotoidy a koncovĂ˝ Ăşhel klotoidy t nemĹľeme
zvtšovat libovoln. Jsme limitováni st
edovým úhlem aS tak, že
Sat £ 2 . Smrový motiv, kde Sat = 2 nazýváme symetrický ist
p
echodnicový oblouk (symetrická biklotoida). K
ivost 1/R je dosaĹľena
práv jen v koncovém bod klotoidy v tzv. vrcholu oblouku. Celková
délka oblouku L+L je dvojnásobná proti délce o ist kružnicového ob-
louku o stejném polomru. Odpovídajícím zpsobem se prodlouží délka
hlavní teny t takového motivu.
ist p
echodnicový oblouk budeme používat tam, kde pot
ebujeme dosáhnout
maximální délky teny p
i daném polomru a v p
Ă­padech, kdy poĹľadujeme co
nejpomalejší nárst k
ivosti.
Jaká je souvislost mezi vrcholovým úhlem tenového polygonu a délkou
p
echodnic?.
6.2 Postup výpotu
Oblouk je zadán jednou z vytyovacích hodnot klotoidy (v tomto p
Ă­kladu kon-
covým polomrem R) a st
edovým (vrcholovým) úhlem
S, kterĂ˝ spolu svĂ­rajĂ­
teny smrového polygonu. Je to úhel, který máme k dispozici pro navrhovaný
oblouk. MusĂ­me p
i volb parametru klotoid dodrĹľet podmĂ­nku 3)
z p
edcházejícího odstavce. Nemžeme tedy libovoln zvtšovat délku klotoi-
dy (tzn. nemžeme libovoln zvtšovat parametr), protože koncový úhel kloto-
idy se zvtšuje. Parametr klotoidy tedy musíme zvolit rozumn, aby vyhovl
norm a jiným požadavkm a abychom nep
ekroili zmiovanou podmĂ­nku 3).
Pozemní komunikace I. · Modul BM01-M02
- 30 (40) -
Pro zadanĂ˝ polomr zvolĂ­me vhodnou p
echodnici. S využitím základních
vztah:
RlA =2
R
l
= 2t
dopoítáme pot
ebné hodnoty úhlu, délky, parametru a ov
íme návrh podle
úhlové podmínky.
Uríme hlavní vytyovací hodnoty klotoidy, jak bylo ukázáno výše v kapitole
„Výpoet hlavních vytyovacích hodnot klotoidy“.
Cílem dalšího výpotu je umožnit vytyení celého motivu do tenového (sm-
rového) polygonu. Výpoet tedy musí dospt až k urení délky hlavní teny T,
která udává vzdálenost zaátku klotoidy od vrcholu tenového polygonu. Až se
nám poda
í vytyit zaátek klotoidy (oblouku), budeme umt vytyit všechny
další pot
ebné hodnoty – vytyovací hodnoty jsou totiž vztaženy k zaátku
klotoidy.
Po bližším prozkoumání schématu vidíme, že pro výpoet délky hlavní teny T
mžeme použít hlavní vytyovací hodnoty klotoidy. V obrázku vidíme, že dél-
ka hlavnĂ­ teny
SS txT +=
xS je jednou ze spoítaných vytyovacích hodnot. tS se snadno dopoítáme.
KdyĹľ si p
edstavĂ­me kruĹľnici soust
ednou s kružnicovou ástí oblouku. Tato
pomocná kružnice má polomr r+r a dotká se hlavních teen. tS je pak délka
teny této pomocné kružnice. Tu umíme velmi snadno spoítat
( )




D+=
2.
S
S tgrrt
a

Výpoet symetrických oblouk
- 31 (40) -
Dále musíme spoítat vytyovací hodnoty pro kružnicovou ást. Úhel
0 jsme
vlastn uĹľ poĂ­tali p
i ov
ování úhlové podmínky.
taa -= 20 S
Je to úhel, který spolu svírají teny kružnicové ásti oblouku. Hlavní vytyova-
cí hodnoty kružnice a její vytyení zvládáme z d
ívjšího studia:
2
StgRt a =
2sin
SRx a =

 - = 2cos1 SRy a














- = 1
2cos
1
S
Rz a
S
Ro ap =
400
2
Pak už T dopoítáme a úloha je vy
ešená a motiv lze vytyit.
Dkladn prozkoumejte výpoetní a vytyovací schéma. Uvdomte si vzá-
jemnou polohu oskulanĂ­ kruĹľnice, jejĂ­ho st
edu, teen oblouku. Rozmyslete
a vyzkoušejte, jaký vliv bude mít zmna parametru klotoid na délku klotoidy,
na délku oblouku, na velikost odsunu oskulaní kružnice a na délku kružni-
ce.
6.3 Tabulky I. – geometrická podobnost klotoid
Pro praktické použití (v dob, kdy výpoetní technika nebyla bžn dostupná)
byly spoítány Klotoidické tabulky (auto
i Veselý, Kašpárek), které lze
s úspchem a úinn používat. Jejich pochopení je dležité pro pochopení
vlastností klotoidy. Jejich ást I. má univerzální platnost.
ást I. obsahuje vypoítané vytyovací hodnoty pro jednu konkrétní klotoidu o
parametru 100=A (tzv. jednotkový parametr) v rozsahu koncového úhlu klo-
toidy t od 0g do 135g. Spoítané hodnoty jsou se
azeny podle t, úhly se liší o
malou hodnotu. Pro konkrétní hodnoty t tedy máme výpoet hotový (pro jed-
notkovou klotoidu) a hodnoty mžeme rovnou opsat. Pro mezilehlé hodnoty
použijeme lineární interpolaci mezi dvma nejbližšími hodnotami. Mezi tabul-
kovými hodnotami se vyskytuje i koncový polomr R , ten ale bude odlišný od
našeho požadovaného polomru.
V dalším postupu využijeme geometrické podobnosti klotoid. Každá jednotlivá
klotoida (nekonen dlouhá k
ivka) je definovaná rychlostí zmny k
ivosti a je
jednoznan popsaná svým parametrem A. Všechny takové klotoidy jsou si
geometricky podobné. To platí i pro ásti rzných klotoid (s rzným paramet-
rem A). Pokud se zabýváme dvma rznými klotoidami se stejným koncovým
úhlem klotoidy t, platí pro n geometrická podobnost. Pro všechny rozmry,
Pozemní komunikace I. · Modul BM01-M02
- 32 (40) -
které lze na klotoidách o stejném koncovém úhlu t urit, platí, že pomr všech
rozmr je shodnĂ˝ s pomrem parametr tchto klotoid:
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
y
y
x
x
t
t
z
z
s
s
x
x
x
x
R
R

l
A
A
t
t
M
M
S
S =======
D
D==
P
itom, nutno zdraznit a opakovat:
21 tt =
Jednoduchým p
epotem lze tedy urit pro požadovaný polomr správný pa-
rametr a dopoítat všechny vytyovací hodnoty.
Takto lze i urit vytyovací hodnoty pro klotoidu danou jiným požadavkem,
t
eba , parametrem klotoidy, délkou klotoidy, délkou teny, odsunem oskulaní
kružnice,… Koncový úhel klotoidy t je pevn daný jako polovina úhlu sev
e-
ného tenami oblouku.
Ov
te geometrickou podobnost klotoid na adrese
http://www.fce.vutbr.cz/PKO/0M2/PREDN2/klotoid/klo.htm.

Výpoet a vytyení nesymetrických oblouk
- 33 (40) -
7 Výpoet a vytyení nesymetrických oblouk
Protože vtšinou usilujeme o inflexní
ešení a teny, které jsou k dispozici pro
smrový oblouk nebývají stejné délky na obou stranách, nevystaíme vždy se
symetrickými oblouky. Rozdíly v délce stran polygonu mžeme ásten kom-
penzovat nesymetrickým
ešením oblouku. Nesymetrie se dociluje použitím
p
echodnic s rozdílným parametrem, tedy s rznou délkou a rozdílným konco-
vým úhlem. Typickým takovým motivem je kružnicový oblouk
s nesymetrickými p
echodnicemi.
7.1 Volba parametru a úhlová podmínka pro nesyme-
trickĂ˝ oblouk
DĂ©lku (a parametr) oblouku, jak jsem se jiĹľ d
Ă­ve dovdli, nemĹľeme volit
libovoln. Úhlová podmínka má pro nesymetrické oblouky tuto podobu:

P
ípustné je ješt
ešení za podmínky
Satt =+ 21
kdy se jedná o ist p
echodnicový oblouk – nesymetrickou biklotoidu.
7.2 Postup výpotu
Zadání mže být rzné, ale musí umožnit zjištní délek klotoid a koncových
úhl ze známých základních vztah. Musí tedy být zadány nebo zvoleny v sou-
ladu s požadavky normovými a jinými dva „defininí parametry“.


Satt 200g)vychází délka teny
záporná, což znamená, že se prseík teen dostane na „opanou stranu“
vzhledem ke smrové ose.
Pozemní komunikace I. · Modul BM01-M02
- 36 (40) -
8 Složené oblouky
Složené oblouky jsou ty oblouky, které se skládají z více prvk. Víme
z d
ívjška, že za geometrické prvky smrového
ešení se používají p
Ă­mka (ta
se v oblouku samoz
ejm neužívá), kružnice a p
echodnice (vĂ­me, Ĺľe se bĹľn
používá klotoida). D
íve probrané smrové motivy (kružnicový oblouk, kruž-
nicový oblouk se symetrickými nebo nesymetrickými p
echodnicemi, ist
p
echodnicový oblouk symetrický nebo nesymetrický) se v bžné mluv za
složené neoznaují. Za složené se oznaují ty, které jsou složitjší než výše
uvedené. Je to nap
. už i kružnicový oblouk s více než jedním polomrem. Dále
to jsou p
echodnicové oblouky s kružnicemi, ve kterých je použit více než je-
den kružnicový oblouk. A dále ist p
echodnicovĂ˝ oblouk s vĂ­ce neĹľ dvma
p
echodnicemi. PoslednĂ­ dva p
Ă­pady se vyznaujĂ­ tĂ­m, Ĺľe se v nich vyskytuje
mezilehlá p
echodnice.
Úvodní tvrzení tedy opravíme. Složené oblouky jsou:
• složené kružnicové oblouky (p
i moderním trasování se prakticky neužívají)
• p
echodnicové oblouky, ve kterých se vyskytuje mezilehlá p
echodnice (na-
víc ke krajovým p
echodnicĂ­m)
• složené oblouky mají více než jeden kružnicový oblouk (