M02

psobĂ­cĂ­m kolmo
k povrchu a koeficientu t
enĂ­ f). V p
ípad nenulového dost
edného p
íného
sklonu p
ispívá ke t
enĂ­ i sloĹľka odst
edivé síly kolmá k povrchu a složka tího-
vé síly rovnobžná s povrchem. Rovnice silové rovnováhy vypadá takto:
( ) aaaa sincossincos - = + QCfCQ
Rovnici upravĂ­me vydlenĂ­m cosa a zmnĂ­me ji na nerovnici:
( )
( ) ( )aa
aa
tgfCtgCfQ
CtgQftgCQ
- ‡ +
‡ + +
1
po dosazenĂ­ R
v
g
QC 2 =

Pozemní komunikace I. · Modul BM01-M02
- 12 (40) -
( ) ( )
( )
( )a
a
aa
tgf
tgf
g
vR
tgfRvgQtgfQ
+
- ‡
- ‡+
1
1
2
2

zjistíme, že minimální polomr závisí na rychlosti, na úhlu (resp. na p
íném
sklonu) a na koeficientu t
ení. Bezpenost proti usmyknutí není nijak závislá na
geometrických charakteristikách vozidla – nezávisí ani na ší
ce vozidla ani na
výšce tžišt.
Protože hodnota f*tga je relativn malá (asi do 0,05), v dalších úvahách ji za-
nedbáme a v itateli bude 1 místo ( )atgf -1 . Pak vypadá použitelný vzorec
následovn (po dosazení p
evodu jednotek u návrhové rychlosti – protože ná-
vrhová rychlost se bžn udává v km/h a do vzorce pot
ebujeme m/s):
( )
( )%01,0127
1
2
2
pf
vR
tgfg
vR
n
n
– ‡
+ ‡ a

Minimální polomr je závislý na návrhové rychlosti vn a na p
íném sklonu
p%. Záporné znaménko se použije v p
Ă­pad, Ĺľe sklon nenĂ­ dost
ednĂ˝, ale sm-

uje ven z oblouku.
Po dosazení reálných hodnot rozmr a reálných koeficient t
enĂ­ (uvaĹľuje se
pomrn nĂ­zkĂ˝ koeficient t
ení f pro špatné adhezní podmínky o hodnot p
i-
bližn 0,2) se prokáže, že podmínka pro usmyknutí je p
ísnjší. Potvrzuje to i
bžná zkušenost, dostat vozidlo do smyku je snazší a bžnjší než p
evrátit
vozidlo.
Spoítejte polomry bezpené proti usmyknutí pro koeficient t
enĂ­ f=0,2%
p
i p
íných sklonech 0 %, 2,5% (základní p
Ă­nĂ˝ sklon) a 6%. Porovnejte
s polomry bezpenými proti p
eklopení, které jste spoítali výše.
2.5 Minimální polomr smrového oblouku – bezpe-
nost podle
SN 73 6101
SN 73 6101 vychází ze vztahu pro bezpenost proti usmyknutí, kde je polo-
mr oblouku p
ímo úmrný druhé mocnin rychlosti, ale nezávisí nijak na ge-
ometrických charakteristikách vozidla. Vztah je zjednodušen do následující po
podoby:
%
. 2
min p
vconstR n =

P
ípadné zmny názoru na míru bezpenosti lze pak snadno zavést do normy
zmnou velikosti koeficientu. V souasnosti se používají dva rzné koeficienty
- const.=0,3 pro rychlosti vn80 km/h a const.=0,36 pro rychlosti vn>80 km/h,
viz SN 73 6101, p
Ă­loha C, str. 100.
Polomry smrových oblouk
- 13 (40) -
Pro projeknĂ­ pot
eby jsou p
íslušné minimální polomry v norm tabelovány
v podob, jak je dále uvedeno.

Porovnejte d
íve spoítané polomry bezpené proti p
eklopenĂ­ a proti
usmyknutí s normovými hodnotami.
2.6 Bezpenost smrových polomr navržených
podle normy
Nutno dodat, Ĺľe koeficient t
ení nabývá hodnot ve velikém rozsahu a pro ex-
trémní hodnoty není zajištno, že k usmyknutí nedojde. V takových p
Ă­padech
platĂ­ ustanovenĂ­ silninĂ­ch p
edpis o p
izpsobení jízdy podmínkám. Naopak
za dobrých podmínek dokážou auta projíždt smrovým obloukem vtší rych-
lostí, než je uvažovaná rychlost návrhová nebo smrodatná. Pojem bezpenosti
tak, jak ho používá norma, nelze brát jako absolutní bezpenost, ale statisticky
jako p
ijatelnou míru bezpenosti, ne které se shodli normotvrci a spolenost
a která je podložena empiricky.
Další nutným upozornním je, že takto navržené polomry nezaruují automa-
ticky dostatené bezpené rozhledové vzdálenosti ve smrovém oblouku
v ší
ce silninĂ­ koruny. V tabulce je upozornnĂ­, Ĺľe polomry vpravo od p
eru-
šované áry je t
eba rozhledové vzdálenosti ov
it, p
Ă­padn zaruit Ăşpravami
v blĂ­zkosti komunikace.
Pozemní komunikace I. · Modul BM01-M02
- 14 (40) -
Další v norm uvedené upozornní se týká nutnosti prov
it výsledný sklon
(pro polomry vpravo od plné áry). Norma totiž na jiném míst omezuje veli-
kost výsledného sklonu a jeho p
ekroenĂ­ hrozĂ­ p
i soubhu velkého p
íného
s velkým podélným sklonem.
Naopak norma umožuje pro velké polomry smrových oblouk nepoužít
dost
edný sklon. To mže být v nkterých p
ípadech výhodné a používá se dost
asto na dálnicích, kde se takto velké polomry vyskytují. Lze se takto vyhnout
nutnosti „oklápní“ (zmny p
íného sklonu) mezi protismrnými oblouky (je
to výhodné pro odvodnní komunikace, protože na ní pak nejsou místa s nulo-
vým p
íným sklonem). Na dálnicích lze s „nedost
edným“ p
íným sklonem
odvodovat povrch vozovky k p
Ă­kopm, nemusĂ­ se budovat odvodnnĂ­ u st
e-
dového pásu. Tyto úpravy jsou ale možné pouze pro velké polomry – viz pra-
vĂ˝ sloupec tabulky.
Spoítejte pro normové polomry a p
íné sklony rychlost bezpenou proti
usmyknutĂ­ pro koeficient t
ení f=0,05 (náledí, namrzající déš) a porovnejte
s návrhovou rychlostí. P
i jízd na náledí pak vhodn aplikujte bezpenou
rychlost.
P
echodnice a její výpoet
- 15 (40) -
3 Pechodnice a její výpoet
Doposud jsme se zabývali polomrem smrového oblouku s jakýmsi automa-
tickým p
edpokladem, že oblouk znamená kružnici. Je to pravda, ale ne úplná.
Podstatnou ástí (tém
) každého oblouku je p
echodnice. SN ist kruĹľnico-
vĂ˝ oblouk p
ipouští, ale jen v p
ípad, že odsun oskulaní kružnice použité
p
echodnice (bude vysvtleno dále) je menší, než 0,25 m. Rozhodn ale takové
smrové
ešení norma nedoporuuje.
P
echodnice je pro pot
eby smrových oblouk „k
ivka, která plynule mní
svou k
ivost a v míst napojení na jiné smrové prvky (kružnice nebo p
Ă­mky)
má k
ivost stejnou jako napojované prvky.“
Nejastji se používá p
echodnice zvaná klotoida, která je popsána níže. Kro-
m klotoidy se jako p
echodnice mohou používat následující k
ivky:
• lemniskáta
• kubická parabola (používá se asto v železniním stavitelství
• kvadratická parabola (je použitelná pro vytyení oblouku pouhým pás-
mem nebo primitivnĂ­m m
ítkem v podob provazu, není to však ob-
louk normovĂ˝ a p
echodnice nemá v míst dotyku nulovou k
ivost
• parabola tvrtého stupn
• sinusoida (nulová k
ivost je v inflexnĂ­m bod sinusoidy
• Schrammova k
ivka
Odhadnte, jakĂ˝ je prbh k
ivosti tzv. volantové k
ivky, coĹľ je trajektorie
vykreslená p
i reálném prjezdu vozidla obloukem. Navrhnte vhodný mo-
del volantové k
ivky a porovnejte ho s klotoidickým obloukem, který je po-
psán v dalším textu.
3.1 Kivost a její prbh ve smrovém oblouku
K
ivost je definovaná jako inverzní hodnota k polomru.
R
1=r

Pro kružnici má tedy k
ivost konstantnĂ­ hodnotu (polomr je konstantnĂ­) po
celé délce kružnice. Na p
ímce má k
ivost nulovou hodnotu
0=r
platĂ­ tedy, Ĺľe:
ÂĄfiR
protoĹľe
r
1=R

Graf k
ivosti smrového motivu tena – kružnice – tena, který je uvedený
v následujícím obrázku, dokazuje, že tento motiv je nevýhodný pro jízdu vozi-
dla.
Pozemní komunikace I. · Modul BM01-M02
- 16 (40) -

V bod dotyku vzniká tzv. „p
íný ráz“, za p
edpokladu, Ĺľe vozidlo je pevn
vedeno (proto vzniká p
íný ráz u kolejových vozidel, pokud je oblouk bez
p
echodnice nebo je špatn provedený). Jako p
íný ráz je vnímána neplynulá,
skoková zmna zrychlení. Graf k
ivosti je totoĹľnĂ˝ s grafem dost
edivého
zrychlení. Silniní vozidla nejsou pevn vedená, p
íný ráz u nich nevzniká, ale
je to za tu cenu, že se mohou odchylovat od dráhy urené vytyenou naprojek-
tovanou k
ivkou.
Pokud by vozidlo mlo dodržet trajektorii tena – kružnice – tena, musel by

idi p
i konstantní nenulové rychlosti nastavit polomr dráhy na požadovanou
kružnici (otoit volantem do konené polohy) za nulový as v míst skokové
zmny k
ivosti. To není možné. Jinou možností je zmnit v bod dotyku rych-
lost na nulovou, nastavit polomr a pokraovat v jĂ­zd. To zase nenĂ­ moc prak-
tické, rozumné a užitené.
BĹľnĂ˝ zpsob
ešení tohoto rozporu je odchýlit se trajektorií od vytyené
dráhy. P
i malých odchylkách to neznamená nic nebezpeného, p
i velikých
(v závislosti na polomru, rychlosti, rychlosti zmny k
ivosti, ší
ce jĂ­zdnĂ­ho
pruhu) to mže vést ke kolizi s vozidly v jiném pruhu nebo k vyjetí mimo vo-
zovku). Zásadní zpsob, jak se vypo
ádat s tímto problémem je použít oblouk
s p
echodnicĂ­.
Pokuste se s libovolným vozidlem nakreslit „volantovou k
ivku“ ve tvaru
p
Ă­mka, kruĹľnice, p
Ă­mka a vysvtlete, pro nenĂ­ toto
ešení vhodné pro bž-
nĂ˝ provoz.
P
echodnice a její výpoet
- 17 (40) -
3.2 Klotoidická pechodnice
PouĹľitĂ­ p
echodnice umožní prjezd kolejového vozidla obloukem bez p
íné-
ho rázu a pro silniní vozidla umožní návrh smrového
ešení blízkého realis-
tické trajektorii.
V silniním stavitelství se bžn používá jako p
echodnice klotoida. PlatĂ­ pro
ni to, co je uvedeno v obecné definici p
echodnice, ale navĂ­c je jednoznan
up
esnná závislost k
ivosti na délce klotoidy (p
esnji na vzdálenosti od za-
átku klotoidy, tj. od bodu s nulovou k
ivostĂ­.
Má lineární závislost k
ivosti na délce (na vzdálenosti od zaátku klotoidy).
Zde je uvedenĂ˝ graf k
ivosti oblouku kružnicového s klotoidickými p
echodni-
cemi (ervená tenká ára) v porovnání s prbhem k
ivosti ist kružnicového
oblouku (tlustá fialová ára). Svtle zelená tenká ára imituje volantovou k
iv-
ku, což je název pro skutenou p
irozenou trajektorii, která není matematicky
definovaná a každý
idi ji p
i každém prjezdu vykreslí po svém.

Proti ist kružnicovému oblouku má oblouk s klotoidickými p
echodnicemi
p
íznivjší prbh a trajektorie se s ním mže shodovat s dostatenou p
esnostĂ­.
Slovní definice klotoidy je následující: Klotoida je k
ivka, která mní svou k
i-
vost v lineární závislosti na délce.
Za délku se považuje vzdálenost od zaátku klotoidy ke zkoumanému bodu a
k
ivostĂ­ je mĂ­nna p
íslušná k
ivost klotoidy ve zkoumaném bod. Zaátek
klotoidy má nulovou k
ivost.
Defininí popis (lineární závislost k
ivosti na délce) lze zapsat vztahem:
.1.,1., constkonstRlrespkonstlRrespkonstl == = =r
Pozemní komunikace I. · Modul BM01-M02
- 18 (40) -
Ten poslední výraz je používaný jako základní rovnice klotoidy.
Klotoida je tedy definovaná základní rovnicí klotoidy:
.constRl =
Tato rovnice vyjad
uje skutenost, Ĺľe k
ivost klotoidy R
1=r
v bod vzdále-
ném od zaátku klotoidy o l je p
ímo úmrná práv délce l (tedy k
ivost je line-
árn závislá na délce). Jako konstanta se volí druhá mocnina parametru klotoi-
dy A. Základní rovnice klotoidy se nejastji píše ve tvaru:
RlA =2
Tímto zpsobem je pro každou hodnotu parametru A definována jednoznan
k
ivka, která je nekonen dlouhá a má tvar „spirály“, která se zavíjí sama do
sebe s rostoucĂ­ k
ivostí (klesajícím polomrem oskulaní kružnice) pro vzdále-
njší body). Klotoidy s rzným parametrem A jsou si geometricky podobné a
liší se svými rozmry v pomru parametr.
Parametr klotoidy A udává „velikost klotoidy“. V nekonené délce l se klotoida
blíží bodu o sou
adnicĂ­ch:
p == 2
Ayx

V tomto vztahu je názorn vidt, že pro rostoucí parametr se zvtšuje „veli-
kost“ klotoidy v p
ímé úm
e k velikosti parametru A.

Zde uvedený obrázek je p
evzatĂ˝ z
http://www.fce.vutbr.cz/PKO/0M2/PREDN2/klotoid/klo.htm, kde si mĹľete
vyzkoušet libovolné výpoty klotoid (ve skutenosti ale neumíme poítat pr-
bh klotoidy nekonen dlouhé, p
estože je definovaná, v tomto p
Ă­pad je
omezení spoitatelné délky úhlem zhruba 34 rad, což je asi 2160 grad). Zp-
sobem, který je zde použitý, mžeme tedy vypoítat klotoidu, která se do sebe
zavine 5,41 krát.
Je jasné, že tak dlouhou klotoidu pro praktické pot
eby nepot
ebujeme, bĹľn
vystaíme s klotoidami v úhlovém rozsahu 2 až 50 grad. V následujícím ob-
P
echodnice a její výpoet
- 19 (40) -
rázku je ve stejném prost
edí spoítaná tatáž klotoida o stejném parametru ale s
desetkrát menší délkou s prakticky použitelným koncovým úhlem 20,37 grad.
Ješt jednou zdrazuji, jde o stejnou klotoidu, pouze z ní použijeme kratší
ást. Nutno dodat, že nejastjší koncové úhly klotoid jsou ješt menší - do 10
grad.

Na tomto p
íkladu vidíme, že klotoida je jednoznan definovaná svým para-
metrem A jako nekonen dlouhá k
ivka s lineárním nárstem k
ivosti. Para-
metr A uruje „rychlost“ nárstu k
ivosti a tím „velikost“ klotoidy. Z takto de-
finované klotoidy o nekonené délce si vybíráme vhodnou použitelnou ást.
Nejastji pot
ebujeme tu ást, která má na zaátku nulovou k
ivost a na konci
definovanĂ˝ polomr k
ivosti. V základní rovnici klotoidy, která platí pro libo-
volný bod na délce klotoidy a tedy i pro koncový bod klotoidy,
RlA =2
vidíme, že pro jednoznaný popis klotoidy (ve smyslu – klotoida o požadova-
ném parametru A a požadované délce nebo koncovém polomru) pot
ebujeme
dva parametry. Nap
íklad parametr A a délku l. Jak uvidíme dále, je možné
zadat klotoidu i jinými zpsoby.
V dalším obrázku grafu k
ivosti uvažujeme o nulové k
ivosti na zaátku ob-
louku a o k
ivosti 1/R uprost
ed oblouku. Vidíme, že mžeme mnit „rychlost“
zmny k
ivosti, tedy navrhovat pro daný koncový polomr klotoidy s rzným
parametrem A. Velmi rychlá zmna znamená malou délku klotoidy (malý pa-
rametr A) a limitem je ist kružnicový oblouk, kde délka klotoidy l 0.
Nejdelší možná klotoida je omezená délkou kružnicové ásti oblouku, která
zbývá, o 0. Jak uvidíme dále, z geometrických vlastností klotoidy plyne, že
tuto podmĂ­nku mĹľeme p
ehledn zformulovat jako úhlovou podmínku. Všim-
nte si rovnž dležité skutenosti, že klotoidy zvtšují celkovou délku oblou-
ku. P
ibližn platí, že polovina délky klotoidy je na úkor pvodního ist kruž-
nicového oblouku a polovina prodlužuje celkovou délku oblouku. Strmjší
klotoidy (menší parametr A) prodlužují oblouk mén, pozvolnjší klotoidy
(vtší parametr A) znamenají delší oblouk.
Pozemní komunikace I. · Modul BM01-M02
- 20 (40) -

Na adrese http://www.fce.vutbr.cz/PKO/0M2/PREDN2/klotoid/klo.htm si
vyzkoušejte vliv parametru klotoidy a délky klotoidy na koncový polomr a
na koncovĂ˝ Ăşhel. Na Ăšstavu pozemnĂ­ch komunikacĂ­ nebo v knihovn FAST
si vypjete klotoidické tabulky (Veselý, Kašpárek: Klotoida) a rovnž si
ov
te praktický vztah koncového úhlu, délky klotoidy, koncového polomru
a parametru.
3.3 VytyovacĂ­ hodnoty klotoidy
Zatím známe ke klotoid t
i charakteristiky – parametr A, délku klotoidy l a R
polomr oskulaní kružnice v koncovém bod klotoidy. Tyto hodnoty jsou
provázány vztahem, který jsme nazvali základní rovnice klotoidy. Z ní vidíme,
že k jednoznanému urení pot
ebn ásti klotoidy staí dva ze t
í výše uvede-
ných údaj, t
etí dopoítáme.
RlA =2
Význam parametru byl vysvtlený již výše. Význam délky je snad z
ejmĂ˝, pro
up
esnní lze uvést, že se jedná o délku m
enou po klotoidické k
ivce! od za-
átku klotoidy až do koncového bodu, pro který provádíme výpoet. Polomr R
je polomr oskulaní kružnice této klotoidy v tomto bod. Základní rovnice
platĂ­ pro libovolnĂ˝ zkoumanĂ˝ bod klotoidy.
Další základní charakteristikou klotoidy je koncový úhel klotoidy
. Ten je de-
finovaný jako úhel, který spolu svírají teny klotoidy v poátením a v konco-
vém bod, jak je vidt z obrázku. Dležitý je vztah koncového úhlu
(jedná se
úhel v obloukových jednotkách – radiánech) k délce klotoidy a koncovému
polomru:
R
l
= 2t
P
echodnice a její výpoet
- 21 (40) -
Dozvídáme se, že úhel oblouku klotoidického je p
i stejné délce oblouku polo-
viní, než u kružnicového oblouku. Užitenjší je pro nás p
evrácená informa-
ce, že pro stejný úhel je klotoida dvakrát delší, než kružnice o stejném polom-
ru jako je koncovĂ˝ polomr klotoidy. Hlavn tento vztah umoĹľuje p
evést
zadané hodnoty na koncový úhel, se kterým pak pracuje výpoetní algoritmus.
Doposud uvedené charakteristiky klotoidy umožují p
ímý výpoet (postup
bude dále vysvtlen) celého souboru „hlavních vytyovacích hodnot“. Násle-
dujĂ­cĂ­ charakteristiky taky mohou jednoznan klotoidu definovat, ale neu-
moĹľujĂ­ p
ímý výpoet.
Dalšími hlavními vytyovacími hodnotami tedy jsou (viz obrázek):
• x,y pravoúhlé sou
adnice koncového bodu
• xS poloha paty kolmice spuštné ze st
edu oskulanĂ­ kruĹľnice na hlavnĂ­
tenu
• xM poloha prseíku koncové teny s hlavní tenou
• st délka koncové teny
• R odsun oskulaní kružnice od hlavní teny
• z vzeptí, vrcholová vzdálenost, vzdálenost prseíku teen od vrcholu
oblouku (tato hodnota má rozumný význam jen pro ist p
echodnicovĂ˝
symetrický oblouk bez kružnicové ásti)


Pozemní komunikace I. · Modul BM01-M02
- 22 (40) -
3.4 Výpoet hlavních vytyovacích hodnot klotoidy
Podstatou výpotu a hlavním problémem je výpoet sou
adnic koncového bodu
x, y. Vstupními hodnotami jsou libovolné dv ze ty
základních charakteristik
umoĹľujĂ­cĂ­ch p
ímý výpoet (A, l, R,
). Pro výpoet podle níže uvedeného
algoritmu pot
ebujeme délku l a koncový úhel
. V p
Ă­pad pot
eby dopoítáme
pomocí výše uvedených základních vztah. Sou
adnice koncového bodu m-
Ĺľeme s p
edem zvolenou p
esnostĂ­ (neexistuje p
esnĂ˝ analytickĂ˝ vztah) jako
souet rozumného potu len nekonen dlouhé matematické
ady:
( ) ( ) ( )ÂĄ
=
-
+
- - - = 1
22
1
!22341n
n
n
nnlx
t

( ) ( ) ( )ÂĄ
=
-
+
- - - = 1
12
1
!12141n
n
n
nnly
t

Úhel t se dosazuje v radiánech.
ada velmi rychle konverguje, staí porovná-
vat absolutní velikost každého lenu
ady se stanovenou p
esnostĂ­ bĹľn
0,001m). Pro bžné výpoty staí asto první t
i leny.
Ze sou
adnic koncového bodu se další vytyovací hodnoty snadno dopoítají
pomocí goniometrických vztah, které lze snadno odvodit z pravoúhlých trojú-
helník ve výpoetním schématu.

Dále jsou uvedené p
íslušné vztahy pro jejich výpoet z x a y. Vytyení je vzta-
žené k zaátku klotoidy.
( )tsin -= RxxS
( )tgyxxM cot -=
P
echodnice a její výpoet
- 23 (40) -
( )tsin
1 = ys
t
( )( )tcos1- -=D RyR
( )tcos
1 = yz

Výše uvedené výpoty vtšinou nebudete sami opakovan provádt, ale jsou
základem specializovaných výpoetních a grafických softwar, které se bžn
pouĹľĂ