GE13 - Příprava dat pro vyrovnání

ianční matici ( )Hcov vyrovnaných neznámých parametrů H •
()
Hapost
QmH
2
.0
cov = kde
1−
= N
H
Q (3.32)
- 22 (116) -
Interpretace výsledků při řešení úloh MNČ
Symbol
H
Q představuje matici váhových koeficientů vyrovnaných neznámých
parametrů a symbol
L
Q váhovou matici vyrovnaných měřených veličin.
Pokud byly měřené veličiny vstupující do vyrovnání korelované, pak vektoru
měřených veličin
mer
l obecně náležela kovarianční matice ( )
mer
lcov v nediago-
nální podobě. Matice vah P musí být v tomto případě nahrazena maticí in-
verzní k maticí váhových koeficientů vektoru měřených veličin – rovnice 3.33.
1
.
−
=
merl
QP kde
( )
2
.0
.
cov
aprior
mer
merl
m
l
=Q (3.33)
Vyrovnaní zprostředkujících měření metodou nejmenších čtverců bude základ-
ní metodou používanou v rámci tohoto studijního materiálu k řešení problema-
tiky geodetických sítí. Ve výše uvedených odstavcích je popsán matematický
aparát metody. Zbývající podkapitoly budou věnovány způsobům interpretace
výsledků vyrovnání a též metodám hodnocení provedeného vyrovnání.
Následující podkapitola bude věnovaná transformacím náhodných vektorů a
jim odpovídajících kovariančních matic.
3.3 Zákony hromadění středních chyb
V úvodu této kapitoly si připomeneme základní pojmy z matematické statisti-
ky, mezi které patří náhodná veličina a náhodný vektor a odhady a vlastnosti
charakteristik polohy a proměnlivosti náhodné veličiny a náhodného vektoru.

Náhodný vektor a kovarianční a korelační matice náhodného vektoru
Kovarianční matici náhodného vektoru ( )
T
k
XXX ,...,
1
= budeme označovat
( )Xcov - rovnice 3.34.
()










=
kkXkX
kXX
cc
cc
X
,1,
,11,1
...
.........
...
cov (3.34)
Kovarianční matice náhodného vektoru je symetrická podle diagonály. Prvky
na diagonále se nazývají variance a můžeme je použít k výpočtu odhadů
středních chyb náhodných veličin . Prvky mimo diagonálu matice se
nazývají kovariance a definují míru závislosti odpovídajících si veličin náhod-
ného vektoru tj. veličin a . V případě, že jsou veličiny náhodného vek-
toru nezávislé, kovarianční matice je diagonální. Kovariance jsou tedy rovné
nule.
iiX
c
,
i
X
jiX
c
,
i
X
j
X
Závislost mezi náhodnými veličinami je velmi dobře patrná v tzv. korelační
matici ( )Xcor náhodného vektoru X - rovnice 3.35.
- 23 (116) -
Geodetické sítě
.
Modul 01
()










=
1...
.........
...1
1,
,1
kX
kX
Xcor
ρ
ρ
(3.35)
Korelační matice náhodného vektoru je stejně jako matice kovarianční symet-
rická podle diagonály. Jediný rozdíl je v prvcích na diagonále, které jsou rovny
jedné. Prvky
jiX ,
ρ mimo diagonálu matice se nazývají korelační koeficienty a
v intervalu definují míru závislosti odpovídajících si veličin náhod-
ného vektoru tj. veličin a . V případě vzájemné nezávislosti veličin ná-
hodného vektoru je korelační matice jednotková. Korelační koeficienty
>< +− 1,1
i
X
j
X
jiX ,
ρ
jsou tedy rovné nule.
Míru závislosti lze objektivně hodnotit například statistickými testy korelační-
ho koeficientu.
Pro převod matice kovarianční na matici korelační lze použít vzorec 3.36.
jjXiiX
jiX
jiX
cc
c
,,
,
,
=ρ (3.36)

Transformace náhodného vektoru X na náhodnou veličinu L.
Tato úloha je zadána odhadem kovarinační matice ( )Xcov náhodného vektoru
X a transformační rovnicí 3.38 náhodného vektoru X na náhodnou veličinu
L .










=
k
X
X
X ...
1
, ()










=
kkXkX
kXX
cc
cc
X
,1,
,11,1
...
.........
...
cov (3.37)
( )
k
XXfL ,...,
11
= (3.38)
[
1
LL = ] , [ ]
1,1
)cov(
L
cL = (3.39)
Kovarianční matici ( )Lcov náhodné veličiny L vypočteme pomocí rovnice
3.40.
() ()
T
FXFL covcov = kde






∂
∂
∂
∂
=
k
x
f
x
f
F ,...,
1
(3.40)

Transformace náhodného vektoru X na náhodný vektor L.
Tato úloha je zadána odhadem kovarinační matice ( )Xcov náhodného vektoru
X a transformačními rovnicemi 3.42 náhodného vektoru X na náhodný vek-
tor L .
- 24 (116) -
Interpretace výsledků při řešení úloh MNČ










=
k
X
X
X ...
1
, ()










=
kkXkX
kXX
cc
cc
X
,1,
,11,1
...
.........
...
cov (3.41)
()
()
knn
k
XXfL
XXfL
,...,
...
,...,
1
111
=
=
(3.42)










=
n
L
L
L ...
1
,










=
nnLnL
nLL
cc
cc
L
,1,
,11,1
...
.........
...
)cov( (3.43)
Kovarianční matici ( )Lcov náhodné veličiny L vypočteme pomocí rovnice
3.44.
() ()
T
FXFL covcov = kde


















∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
k
nn
k
x
f
x
f
x
f
x
f
F
1
1
1
1
(3.44)
Tématem další kapitoly jsou definice různých typů charakteristik přesnosti
polohy bodu. Informace o přesnosti souřadnice bodu apriorně nacházíme
v kovariančních maticích náhodných vektorů.
3.4 Charakteristiky přesnosti souřadnic bodu
Náhodný vektor X je tvořen náhodnými veličinami , a . Tyto ná-
hodné veličiny představují souřadnice určovaného bodů P.
P
X
P
Y
P
Z
[]
T
PPP
ZYXX = (3.45)
U jednotlivých veličin obecně předpokládáme, že mají normální rozdělení
s parametry
i
η a – rovnice 3.46 a že budou vzájemně závislé.
2
i
σ
( )
(
()
2
2
2
,
,
,
zzP
yyP
xxP
NZ
NY
NX
ση
ση
ση
≈
≈
≈
) (3.46)
Náhodnému vektoru X tedy budeme moci přiřadit trojrozměrnou normální
rozdělovací funkci popsanou parametry jednotlivých náhodných veličin a pa-
rametry vyjadřující jejich vzájemnou závislost.
- 25 (116) -
Geodetické sítě
.
Modul 01
Odhady parametrů rozdělovacích funkcí náhodných vektorů se obecně zabývá
matematická statistika. Jednotlivé parametry získáváme na základě realizací ix
náhodného vektoru X .
Příkladem tří realizací náhodného vektoru X můžou být souřadnice bodu P
určené ze tří výpočetních kombinací – rovnice 3.47.
[]
[]
[]
T
PPP
T
PPP
T
PPP
zyxx
zyxx
zyxx
3,3,3,
3
2,2,2,
2
1,1,1,
1
=
=
=
(3.47)
Symboly
x
η ,
y
η a
z
η představují odhady parametrů
x
η ,
y
η a
z
η náhodných
veličin , a nebo též odhady jejích středních hodnot – ,
P
X
P
Y
P
Z ()
P
XE ( )
P
YE
a . V geodézii hovoříme o odhadu nejpravděpodobnějších hodnot sou-
řadnic bodu P.
(
P
ZE )
Ve smyslu uvažovaného příkladu můžeme použít výpočetních vzorců 3.48, kde
n je počet realizací náhodného vektoru nebo počet určujících výpočetních
kombinací. Ve zmíněném příkladě volíme n=3.
()
()
()
∑
∑
∑
=
=
=
===
===
===
n
i
iPPz
n
i
iPPy
n
i
iPPx
z
n
ZZE
y
n
YYE
x
n
XXE
1
1
1
1
1
1
η
η
η
(3.48)
Symboly
2
xσ ,
2
yσ a
2
zσ
P
představují odhady parametrů , a náhod-
ných veličin , a nebo též odhady hodnot jejich rozptylu – ,
a c . V geodézii hovoříme o odhadech čtverců středních empirických
chyb bodu P.
2
x
σ
2
y
σ
2
z
σ
P
X Y
P
Z
xxP
c
,
yyP
c
, zzP ,
( )
()
()
∑
∑
∑
=
=
=
−
−
===
−
−
===
−
−
===
n
i
izzPzzP
z
n
i
iyyPyyP
y
n
i
ixxPxxP
x
z
n
mc
y
n
mc
x
n
mc
1
2
2
,
2
1
2
2
,
2
1
2
2
,
2
1
1
1
1
1
1
ησ
ησ
ησ
(3.49)
Vzájemnou závislost jednotlivých veličin náhodného vektoru můžeme odhad-
nout výpočetními vzorci 3.50. Půjde o výpočet tzv. kovariancí náhodných veli-
čin.
( )( )
()()
()()
∑
∑
∑
=
=
=
−−
−
==
−−
−
==
−−
−
==
n
i
iyizzyPyzP
n
i
izixzxPxzP
n
i
iyixyxPxyP
yz
n
cc
zx
n
cc
yx
n
cc
1
,,
1
,,
1
,,
1
1
1
1
1
1
ηη
ηη
ηη
(3.50)
- 26 (116) -
Interpretace výsledků při řešení úloh MNČ
Normální rozdělovací funkci náhodného vektoru X můžeme maticově zapsat
pomocí tzv. vektoru středních hodnot ( )XE a tzv. kovarianční matice )cov(X
náhodného vektoru X – rovnice 3.51.

Definice
V matematické statistice a pravděpodobnosti označujeme vektor střed-
ních hodnot symbolem ()XE
V teorii chyb a vyrovnávacím počtu označujeme vektor středních hodnot
symbolem X . Ten je tedy identický s označováním náhodného vektoru.

U vyrovnání zprostředkujících měření získáme odhad vektorů středních hodnot
a kovariančních matic na základě výpočetních vzorců uvedených v předchozí
podkapitole – rovnice 3.17, 3.31 a 3.20, 3.32. Z vypočtených matic je nutné
separovat sub-vektor a sub-matici toho bodu, jehož charakteristiky polohy a
proměnlivosti budeme chtít určovat. Úplnou informaci o bodě P vyrovnávané-
ho v geodetické síti představuje rovnice 3.51.
()
()
()
()









=
P
P
P
ZE
YE
XE
XE , ()










=
zzPyzPxzP
zyPyyPxyP
zxPyxPxxP
ccc
ccc
ccc
X
,,,
,,,
,,,
cov (3.51)
Na základě kovarianční matice bodu lze vypočítat odhady středních chyb ve
směrech jednotlivých souřadnicových os – rovnice 3.52, 3.53 a 3.54.
xxx
cm
,
= (3.52)
yyy
cm
,
= (3.53)
zzz
cm
,
= (3.54)
Charakteristika proměnlivosti horizontální složky bodu se obvykle graficky
prezentuje prostřednictvím odhadu tzv. střední elipsy chyb. Hlavní parametry
této elipsy lze vypočítat pomocí vztahů 3.55, 3.56 a 3.57. Jedná se o stanovení
hlavní a vedlejší poloosy elipsy chyb a úhlu jejího stočení vzhledem k souřad-
nicové soustavě – obrázek 3-2.
Při výpočtu úhlu uvažujte znaménka výrazů c2σ
yx
c
,
2 a
yyxx
c
,,
− pro stano-
vení jeho hodnoty ve čtyřech kvadrantech tj. π0,22σ∈ . Aplikujte tedy stejný
postup jaký je v geodézii používaný pro výpočet směrníku.

- 27 (116) -
Geodetické sítě
.
Modul 01

Obr. 3-2 Střední elipsa chyb
()
()
2
,
2
,,,,2
max
42
yx
yyxxyyxx
c
cccc
m +
−
+
+
= (3.55)
()
()
2
,
2
,,,,2
min
42
yx
yyxxyyxx
c
cccc
m +
−
−
+
= (3.56)
yyxx
yx
cc
c
,,
,
2
tg2σ
−
= (3.57)
Výpočetní vzorec 3.58 poslouží k výpočtu přesnosti bodu v konkrétním směru
γ , který má opět charakter směrníku.
γγγγ
γ
cossin2sincos
,
2
,
2
, yxyyxx
cccm ++= (3.58)
Často používané charakteristiky proměnlivosti polohy bodu jsou tzv. střední
polohová chyba m a střední souřadnicová chyba . Vzájemný vztah těchto
charakteristik proměnlivosti je patrný z obrázku 3-3.
p xy
m

Obr. 3-3 Střední polohová a střední souřadnicová chyba
- 28 (116) -
Interpretace výsledků při řešení úloh MNČ
22
yxp
mmm += (3.59)
2
22
yx
xy
mm
m
+
= (3.60)
Charakteristiky pro vyjádření přesnosti polohy bodu 3.52, 3.53, 3.59 a 3.60
nemusí být v případě bodů s protáhlými elipsami chyb příliš věrohodné. Výpo-
četní vzorce je tedy vhodné upravit na tvar 3.61 a 3.62.
2
min
2
max.
mmm
elp
+= (3.61)
2
2
min
2
max
.
mm
m
elxy
+
= (3.62)
Přesnost vertikální složky polohy bodu obvykle vyjadřujeme pomocí odhadu
střední chyby souřadnice Z – vztah 3.54.
Mezi úplné charakteristiky horizontální přesnosti polohy patří prvky kovari-
anční matice , a , které můžeme použít k výpočtu parametrů
střední elipsy chyb – vztahy 3.55, 3.56 a 3.57.
xxP
c
, yyP
c
, yxP
c
,
Mezi neúplné charakteristiky přesnosti bodu zařazujeme střední chybu v
souřadnici X, střední chybu v souřadnici Y, střední polohovou chybu a
střední souřadnicovou chybu .
x
m
p
m
y
m
m
xy
Obrázek 3-4 je ukázkou grafické prezentace výsledku vyrovnání geodetické
sítě.

Obr. 3-4 Přesnost bodu měřické sítě
- 29 (116) -
Geodetické sítě
.
Modul 01
Následující podkapitola bude věnována intervalům spolehlivosti a jejich použi-
tí při interpretaci výsledků vyrovnání geodetických sítí. Bude také řešena otáz-
ka věrohodnosti intervalů spolehlivosti při různě rozsáhlých měřených výběro-
vých souborech.
3.5 Intervaly a křivky spolehlivosti
V této podkapitole si připomeneme pojmy interval a křivka spolehlivosti a sou-
činitel konfidence.

Normální náhodná veličina ( )=≈ xfX ( )
2
,σηN
U náhodných veličin definuje tzv. intervaly spolehlivosti – rovnice 6.63.
σηση ttI +−= , (3.63)
Symboly η a jsou parametry rozdělovací funkce náhodné veličiny
2
σ X .
Volbou parametru t určíme velikost intervalu spolehlivosti a tím na sebe záro-
veň vezmeme riziko α , že realizace náhodného veličiny
i
x X nepadne do
námi definovaného intervalu.

Obr. 3-5 Rozdělovací funkce f(x)
Parametr se nazývá koeficientem spolehlivosti nebo též koeficientem konfi-
dence.
t
()
∫
+
−
=−
σ
σ
α
t
t
dxxf1 (3.64)
Obrázek 3-6 je ukázkou rizik α , že měřená veličina nepadne do intervalu spo-
lehlivosti při různé volbě parametru t.
- 30 (116) -
Interpretace výsledků při řešení úloh MNČ

Obr. 3-6 Volba intervalu spolehlivosti u 1D náhodné veličiny

Normální náhodný vektor () ( )yxfYXX
T
,, ≈=
U náhodného vektoru X tvořeného náhodnými veličinami X a Y definujeme
tzv. křivku spolehlivosti – rovnice 3.65.
Ω∈I (3.65)
Volbou na sebe bereme riziko t α , že realizace ( )
T
ii
i yxx ,= náhodného vek-
toru X nepadne do oblasti dané křivkou spolehlivosti.

Obr. 3-7 Rozdělovací funkce f(x,y)
Parametr se stejně jako v předchozím případě nazývá koeficientem spolehli-
vosti nebo též koeficientem konfidence.
t
∫∫
Ω
=− dxdyyxf ),(1 α kde Ω uzavřená křivka (3.66)
Obrázek 3-8 je ukázkou rizik, že realizace náhodného vektoru nepadne do pro-
storu daného křivkou spolehlivosti při různé volbě parametru t. Ω

Obr. 3-8 Volba intervalu spolehlivosti u 2D náhodného vektoru
- 31 (116) -
Geodetické sítě
.
Modul 01
Věrohodnost intervalů spolehlivosti velmi úzce souvisí s rozsahem n výběro-
vých souborů. Na základě malých souborů získáme velmi nekvalitní odhady
parametrů rozdělení. Chyby těchto parametrů se pak následně přímo přenáší i
na vlastní intervaly a křivky spolehlivosti.
Obecně se uvádí, že výběrový soubor by měl mít rozsah alespoň 20. U menších
souborů nemá v podstatě smysl charakteristiky proměnlivosti počítat.
Existují však i přístupy objektivní volby intervalů a křivek spolehlivosti i pro
malé výběrové soubory – obrázek 3-9.

Obr. 3-9) Součinitel konfidence pro
i
t 05.0=α
Symbol i značí rozměr náhodného vektoru a symbol n rozsah výběrového sou-
boru náhodného vektoru.
Například hodnotu parametru t můžeme vypočítat jako 100(
1
)α−1 procentní
kvantil studentova rozdělení s n stupni volnosti.
Následující podkapitola je věnována statistickým testům používaným pro tes-
tování středních jednotkových chyb z vyrovnání.
3.6
•
•
Testování střední jednotkové chyby
Pro potřebu testování středních jednotkových chyb z vyrovnání lze principiálně
využít dvou typů statistických testů:
testy parametrů rozdělení náhodné veličiny
testy parametrů dvou výběrových souborů

Statistický test
Statistické testy slouží k ověřování hypotéz ohledně parametrů a tvarů rozděle-
ní náhodných veličin nebo náhodných vektorů.
Statistický test T je formulován definicí tzv. nulové hypotézy H
0
,

proti které
klademe alternativní hypotézu H – vztah 3.67.
T: H
0
↑ H (3.67)
O zamítnutí nebo nezamítnutí hypotézy H
0
rozhodujeme na základě tzv. testo-
vacího kritéria R.
- 32 (116) -
Interpretace výsledků při řešení úloh MNČ
Leží-li hodnota testovacího kriteria R v tzv. kritickém oboru testu W
i
- rovnice
3.68, pak zamítáme nulovou hypotézu H
0
a přijímáme alternativní hypotézu H
s rizikem omylu maximálně 100 α procent. Parametr 1,0∈α .
i
WR∈ (3.68)
Neleží-li hodnota testovacího kritéria R

v kritickém oboru testu W
i
– rovnice
3.69, pak nulovou hypotézu nezamítáme. Nulovou hypotézu však ani nepři-
jmeme, protože nemáme žádnou informaci o chybě jejího mylného přijetí. Ne-
známe totiž tzv. sílu testu β . Parametr 1,0∈β
Závěr testu tedy je, že nulovou hypotézu H
0
se nepodařilo zamítnout.
i
WR∉ (3.69)
Testování střední chyby σ výběrového souboru za předpokladu znalosti
střední hodnoty η tohoto výběrového souboru.
Definice
Buď náhodný výběr z rozdělení (
n
XX ,...,
1
) ( )
2
,σηNX ≈ s neznámým
rozptylem a známou střední hodnotou
2
σ
0
ηη = . Buď ,
2
0
σ
0
η a α jsou
předem daná čísla, kde ()1,0∈α .
Potom pro statistické testy
:
1
T hypotézy H : proti hypotéze
0
2
0
2
σσ ≤ H : ; (3.70)
2
0
2
σσ >
:
2
T hypotézy : proti hypotéze
0
H
2
0
2
σσ ≥ H : ; (3.71)
2
0
2
σσ <
:
3
T hypotézy : proti hypotéze
0
H
2
0
2
σσ = H : ; (3.72)
2
0
2
σσ ≠
lze za testovací kritérium volit stejnou statistiku
2
0
2
0
σ
nS
R =
(3.73)
kde
()
n
x
S
n
i
i∑
=
−
=
1
2
02
0
η
tj. odhad náhodné veličiny X (3.74)
2
σ
Zvolená statistika 3.73 má za podmínky rozdělení
2
0
2
σσ = ( ).
2
nχ
Za kritické obory W pro testy T na hladině významnosti
j j
α lze postup-
ně volit množiny
(){ }αχ −>= 1,,
2
1
nrrW (3.75)
(){ }αχ ,,
2
2
nrrW ∨







:
2
T hypotézy : proti hypotéze
0
H
2
0
2
σσ ≥ H : ; (3.79)
2
0
2
σσ <
:
3
T hypotézy : proti hypotéze
0
H
2
0
2
σσ = H : ; (3.80)
2
0
2
σσ ≠
lze za testovací kritérium volit stejnou statistiku
( )
2
0
2
1
σ
Sn
R
−
=
(3.81)
kde
()
1
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
x
S
n
i
i
η
tj. odhad náhodné veličiny X (3.82)
2
σ
a
n
x
n
i
i∑
=
=
1
η
tj. odhad η náhodné veličiny X (3.83)
Zvolená statistika 3.81 má za podmínky rozdělení
2
0
2
σσ = ().1
2
−nχ
Za kritické obory W pro testy T na hladině významnosti
j j
α
lze postup-
ně volit množiny
(){ }αχ −−>= 1,1,
2
1
nrrW (3.84)
(){ }αχ ,1,
2
2
−∨






−

Potom pro statistický test
:
1
T hypotézy H : proti hypotéze
0
22
yx
σσ = H : (3.87)
22
yx
σσ ≠
lze za testovací kritérium volit statistiku
2
2
y
x
S
S
F =
(3.8)
kde
()
1
1
2
2
−
−
=
∑
=
x
n
i
ix
x
n
x
S
x
η
,
( )
1
1
2
2
−
−
=
∑
=
y
n
i
iy
y
n
y
S
y
η
(3.89)
tj. odhad rozptylů a náhodných veličin
2
x
σ
2
y
σ X a Y
a
n
x
x
n
i
i
x
∑
=
=
1
η
,
n
y
y
n
i
i
y
∑
=
=
1
η
(3.90)
tj. odhad střední hodnoty
x
η a
y
η náhodného vektoru X a Y
Zvolená statistika 3.88 má rozdělení Fišer-Snedecorovo s n a 1−
x
1−
y
n
stupni volnosti – F( 1−
x
n,1−
y
n).
Za kritický obor W pro test T na hladině významnosti
1 1
α lze zvolit
množinu












−−−>= 1,1,
2
1,
1 yx
nnFrrW
α
(3.91)

Pro uvedený statisticky test jsou podstatné kvantity Fišer-Snedecorova rozdě-
lení. Hodnoty kvantilů bývají obvykle tabelovány pro různé hodnoty α a růz-
ný počet stupňů volnosti a – obrázek 3-12.
*
x
n
*
y
n
V uvažovaném testu počet stupňů volnosti u náhodné veličiny X a Y vypočteme
podle vzorce a . 1
*
−=
xx
nn 1
*
−=
yy
nn

Obr. 3-12 Kvantil ( )
**
,,1
yx
nnF α− pro 05.0=α
- 36 (116) -
Interpretace výsledků při řešení úloh MNČ
Odhady , , a v případě vyrovnání zprostředkujícího vypočteme na
základě výpočetních vzorců pro odhad střední jednotkové chyby po vyrovnání
. V testech o parametrech rozdělení testujeme například hypotézu :
proti hypotéze
2
S
m
.0
2
0
S
apri
2
x
S
2
y
S
2
.0 apost
m
apost
m
.0
0
H
= H : . Počet stupňů volnosti
zde bude odpovídat počtu nadbytečných měření
apriapost
mm
.0.0
≠
n
*
n
k− .
Test o porovnání dvou středních jednotkových chyb po vyr