GE13 - Příprava dat pro vyrovnání

ploše popisujeme souřadni-
cemi ϕ , λ a H. Symbol H představuje tzv. elipsoidickou / kulovou výšku de-
finovanou jako jeho vzdálenost po normále k uvažované referenční ploše. Dru-
hou variantou prostorových souřadnic je ortogonální souřadnicový systém X,
Y a Z. Počátek systému je umístěn do středu referenční plochy, osa Z je vlože-
na do kladné větve osy rotace, osa X je definována jako průnik roviny nultého
poledníku s rovinou rovníku a osa Y systém doplňuje na pravotočivý. V 3D
prostorových ortogonálních systémech bývají vyjádřena měření družicová.
- 10 (116) -
Úvod do geodetických sítí
Obdobně lze 3D systém vytvořit i ze systému daného rovinou kartografického
zobrazení. Výška bude měřena po normále a půjde obvykle o výšku nadmoř-
skou s označením h.

Přístup k řešení geodetických sítí v ČR
Náplní tohoto modulu je řešení geodetických sítí, kde za výpočetní plochu ho-
rizontální složky sítě zvolíme rovinu kartografického zobrazení. Vertikální
složku sítě budeme řešit samostatně v jednorozměrném euklidovském prostoru.
Použité kartografické zobrazení bude S-JTSK. Vertikální složka sítě bude vyjá-
dřena v B
PV
. Oba uvedené systémy jsou na území ČR povinné. Jedinou dovole-
nou alternativou těchto závazných systémů pro výpočty souřadnicové jsou tzv.
souřadnicové systémy místní.
Observačními technikami naměřené veličiny před vlastním řešením geodetic-
kých sítí převedeme na výpočetní plochu.
Převod veličin obnáší několik druhů korekcí:
•
•
2.3
•
•
fyzikální
přiřazení fyzikálního rozměru observovaným datům
matematické
převod na referenční plochu – korekce z tíhového pole Země
převod do kartografického zobrazení – korekce ze zkreslení
Rozpory v nadbytečnosti v observovaných datech odstraníme vyrovnávacími
postupy založenými na metodě nejmenších čtverců – MNČ.

V následující podkapitole se budeme zabývat grafickým znázorněním měřené
geodetické sítě. Přehledná situace o geodetické síti bude obsahovat rozlišení
daných a určovaných bodů a zákres observovaných veličin s vyjádřením jejích
druhu.
Schématický zákres geodetické sítě
Tato kapitola se bude věnovat grafické prezentaci horizontální a vertikální
složky sítě.

Grafická prezentace sítě by měla obsahovat:
zákres bodů sítě
vhodnou mapovou značkou rozlišení výchozích a určovaných bodů
číselné označení bodů
zákres observovaných veličin
vhodným grafickým vyjádřením rozlišení druhů veličin
vyznačení počtu opakování měření
- 11 (116) -
Geodetické sítě
.
Modul 01
Přehledná situace geodetické sítě bude dále vyhotovena v přehledném měřítku
a opatřena vhodnou vysvětlující legendou.
Prezentace geodetických sítí se vyhotovují v různých stádiích jejich budovaní.
Prezentaci sítě ve stadiu jejího navrhovaní nazýváme tzv. observačním plánem.
Ten je následovně využit při měřických pracích v terénu. Obecně informuje
měřiče jaké veličiny má měřit. Můžeme získat i informace o požadavcích na
technologii měření (typ přístroje, způsoby centrace, počty opakovaní měření,
mezní odchylky atd.).
Prezentaci geodetické sítě po provedení vlastního měření doplníme na aktuální
stav tj. zákres sítě aktualizujeme o nově doplněné body a observace.


Obr. 2-1 Observační plán – horizontální složka sítě

Ve fázi zpracovaní dat před vlastním vyrovnáním sítě může prezentace sítě
sloužit k přehlednému zápisu odchylek dosažených při měření. Může jít o vy-
značení rozdílu protisměrně měřených délek, rozdílů oboustranně měřených
- 12 (116) -
Úvod do geodetických sítí
převýšení nebo hodnoty úhlových odchylek vypočtených pro uzavřené obrazce
sítě. Tyto informace pak mohou posloužit pro objektivní posouzení dodržení
použitých technologických postupů při měření.
Finální prezentace sítě je doplněna grafickým zákresem dosažené přesnosti
vyrovnaných bodů sítě.
Horizontální přesnost obvykle vyjadřujeme pomocí tzv. elips chyb, případně
tzv. křivek spolehlivosti.
Vertikální přesnost můžeme vyjádřit pomocí vektorů středních chyb výšky
bodů nebo opět intervaly spolehlivosti.

Horizontální složka sítě
Prezentace horizontální složky sítě je patrná z obrázku 2-1. Jde o síť budova-
nou čistě terestrickým měřením. Observované veličiny jsou osnovy směru mě-
řené na jednotlivých bodech a měřené délky. Hlavní důraz je kladen na vyjád-
ření protisměrně a jednosměrně měřených veličin. V síti je též dobře patrné
rozlišení bodů daných a určovaných.
Informace o geodetické síti musí být také doplněna o seznam souřadnic daných
bodů, které obvykle získáme z geodetických údajů o výchozím bodovém poli.
Vytvořený seznam může být dále doplněn údaji o způsobu stabilizací bodů a
též údaji o jejich vzniku a přesnosti.


Obr. 2-2 Seznam souřadnic daných bodů horizontální složky sítě

Vertikální složka sítě
Způsob prezentace vertikální složky sítě je patrný z obrázku 2-4. Jedná se opět
o síť terestrickou. V tomto případě je síť složena pouze z jednoho typu obser-
vačních dat. Jde o nivelační převýšení realizovaná nivelačními pořady vede-
nými mezi jednotlivými body sítě. U nivelovaných převýšení bývá zvykem
vyznačovaní směru stoupání. Tato informace může pomoci při odhalování
omylů vyplývajících ze záměny znamének převýšení.
Informace o geodetické síti musí být z geodetických údajů doplněna o seznam
výšek bodů výchozích. Poloha nivelačních bodů je zde pouze informativní údaj
a v geodetických údajích bývá obvykle uvedena pouze s přesností na desítky
metrů. Souřadnice jsou totiž získány jejích odsunutím z map.
- 13 (116) -
Geodetické sítě
.
Modul 01

Obr. 2-3 Seznam výšek nivelačních bodů


Obr. 2-4 Observační plán – vertikální složka sítě

Závěr
Grafická prezentace sítě bývá obvykle doplněna i seznamem přibližných sou-
řadnic bodů určovaných. Tyto souřadnice můžou být získány odměřením od-
hadované polohy bodů z mapy nebo na základě observovaných dat pomocí
jednoduchých souřadnicových výpočtů.
- 14 (116) -
Úvod do geodetických sítí

Obr. 2-5 Přibližné souřadnice určovaných bodů
Závěr této kapitoly bude věnován procvičení probrané látky.
2.4 Shrnutí
Budování geodetických sítí je ve své podstatě úkon, při kterém účelově zahuš-
ťujeme stávající bodová pole. Geodetické sítě se stávají základem pro další
geodetické činnosti prováděné v daných lokalitách. Jde především o účel ma-
povací. Geodetické sítě budované za účelem realizace určitého inženýrského
projektu se nazývají sítěmi vytyčovacími.

Úkol 2.1
Ve souvisejících studijních materiálech vyhledejte informace o rozdělení zá-
kladních a podrobných polohových bodových polí.
Pozn.: Najděte též informace o číslování, kvalitě a hustotě jednotlivých bo-
dových polí.
Úkol 2.2
Ve souvisejících studijních materiálech vyhledejte informace o rozdělení zá-
kladních a podrobných výškových bodových polí.
Pozn.: Najděte též informace o číslování, kvalitě a hustotě jednotlivých bo-
dových polí.
Úkol 2.3
Zjistěte jakými způsoby se dají získat informace o základních polohových a
výškových polích.
Pozn.: Jaké informace najdete v geodetických údajích o bodech ?
Pozn.: Jakým způsobem jsou bodová pole graficky prezentována ?
Úkol 2.4
Získejte informace o bodovém poli na území o rozloze 1.5 x 1.5 km. Vyho-
tovte observační plán na zahuštění místního bodového pole.
Pozn.: Vyhotovte samostatně pro horizontální a vertikální složku sítě.

Kontrolní otázky
Jakými metodami jsou v současnosti budovány geodetické základy ?
Jakou máte představu o polohové přesnosti našich geodetických základů ?
Jakou máte představu o výškové přesnosti našich geodetických základů ?
Jaké výpočetní plochy lze využít pro řešení geodetických sítí.
- 15 (116) -
Geodetické sítě
.
Modul 01
Proč je nutné observované veličiny před souřadnicovými výpočty převádět
na výpočetní plochy ?
Vyjmenujte závazné souřadnicové systémy pro souřadnicové výpočty na
území ČR.
Jaký je rozdíl mezi daty terestrickými a družicovými ?
Co je to observační plán ?

Řešení
Odpovědi na kontrolní otázky jsou obsaženy v této kapitole.

Informace
Následující kapitola bude věnována opakovaní důležitých pasáží teoretických
předmětů podstatných pro správné pochopení dále probírané látky.
Další kapitoly budou řešit přípravu jednotlivých typů měřených veličin pro
závěrečné sestavení úlohy geodetické sítě a její následné vyrovnání užitím
MNČ.
Konkrétní postupy a řešení geodetických síti naleznete v navazujícím studijním
materiálu.

- 16 (116) -
Interpretace výsledků při řešení úloh MNČ
3
3.1
Interpretace výsledků při řešení úloh MNČ
Toto kapitola bude věnována vybraným tématickým pasážím teoretických
předmětů, na které problematika řešení geodetických sítí přímo navazuje. Pů-
jde o připomenutí kapitol z oblasti teorie chyb, vyrovnávacího počtu, pravdě-
podobnosti a matematické statistiky. Cílem bude připravit matematický aparát,
který následně aplikujeme při řešení látky probírané v rámci tohoto studijního
materiálu. Důraz bude kladen také na odbornou terminologii a na symboliku
užitou v matematických výrazech a rovnicích.
Linearizace funkčních vztahů
Řešení výpočetních úloh v geodézii obecně vede na soustavy nelineárních rov-
nic. Takové systémy lze řešit za předpokladu znalosti přibližného řešení úlohy
jejich převodem na systémy lineární.
Linearizace funkčních vztahů je úloha řešící převod obecně nelineární funkce
na funkci lineární. Vlastní převod je realizován pomoci rozvoje původní funkce
v řadu. Funkce linearizovaná se nejlépe přimyká funkci původní v tzv. bodě
rozvoje. Za tento bod obvykle dosazujeme přibližné řešení systému rovnic. Po
převodu systému nelineárních rovnic na lineární již počítáme pouze diferenci-
ální změny neznámých parametrů.
Princip metody řešení systému nelineárních rovnic a princip linearizace funkč-
ních vztahů je nejnázornější na ukázce řešení soustavy jedné nelineární rovnice
o jedné neznáme – rovnice 3.1.
()xfl = (3.1)
Linearizaci funkčního vztahu 3.1 provedeme v hodnotě přibližného řešení sys-
tému .
0
x
()
()
(
00
0
xx
x
xf
xfl
xx
−
∂
∂
+=
=
) (3.2)
Rovnici 3.2 můžeme přepsat na tvar 3.3.
bdxal += (3.3)
Řešením systému jedné lineární rovnice o jedné neznáme získáme diferenciální
přírůstek neznámého parametru 3.4.
b
al
dx
−
= (3.4)
Výsledné řešení systému je dáno rovnici 3.5.
dxxx +=
0
(3.5)
Geometrický význam linearizace funkce o jedné proměnné vystihuje obrázek
3-1. Původní funkce je označena symbolem f(x) a funkce linearizovaná symbo-
lem g(x). Z obrázku je zřejmé, že chyba z linearizace f(x)-g(x) roste s velikostí
- 17 (116) -
Geodetické sítě
.
Modul 01
přírůstku neznámých dx. Obrázek tedy demonstruje nutnost velmi kvalitního
odhadu řešení systému.

Obr. 3-1 Linearizace funkce f(x)
V případě méně kvalitních odhadů přibližných řešení počítáme systémy rovnic
iteračním způsobem. Za nové přibližné řešení systému volíme vždy řešení sys-
tému získané v předchozím kroku výpočtu.
Obecně však řešíme systémy složitější tj. systémy rovnic o k neznámých para-
metrech. Provádíme tedy linearizace funkcí o k proměnných – rovnice 3.6.
(
kii
xxfl ,...,
1
= ) (3.6)
Označíme-li přibližné řešení , pak linearizovaná funkce bude mít
tvar daný rovnicí 3.7.
k
xx
,01,0
,...,
()
()
()
( )
(
kk
XXXXk
ki
XXXX
ki
kii
xx
x
xxf
xx
x
xxf
xxfl
kkkk
,0
,...,
1
1,01
,...,1
1
,01,0
,01,01,01,01
,...,
...
,...,
,..., −
∂
)
∂
++−
∂
∂
+=
====
(3.7)
Rovnici 3.7 můžeme přepsat symbolickým zápisem na rovnici 3.8.
k
k
ii
ii
dx
x
f
dx
x
f
fl
∂
∂
++
∂
∂
+= ...
1
1
,0
(3.8)
Další podkapitola bude věnovaná řešení systému n nelineárních rovnic s k ne-
známými parametry, kde n>k. Jednoznačné řešení takových systémů získáme
použitím metody nejmenších čtverců – MNČ.
3.2 Vyrovnání zprostředkujících měření
Vyrovnání zprostředkujících veličin ve své podstatě představuje řešení úlohy n
nelineárních rovnic o k neznámých parametrech tj. systému 3.9. Tento systém
má n-k nadbytečných měření. Počet nadbytečných měření je obecně větší jak 0
a úloha tedy není jednoznačně řešitelná. Řešení systému rovnic získáme užitím
základní podmínky MNČ dané vztahem 3.10, kde je váha veličiny a v je
oprava veličiny l z vyrovnání.
i
p
i
l
i
i
- 18 (116) -
Interpretace výsledků při řešení úloh MNČ
()
(
()
kin
kii
k
xxfl
xxfl
xxfl
,...,
...
,...,
...
,...,
1
1
111
=
=
=
) (3.9)
∑
=
=
n
i
iii
vvp
1
min (3.10)
Řešení systému hledáme v okolí tzv. výchozího, počátečního nebo přibližného
řešení úlohy
0
H - vztah 3.11.
(
T
k
xxH
,01,00
,...,= ) (3.11)
Rovnice systému 3.9 budeme nazývat rovnicemi zprostředkujícími. Veličiny na
levé straně rovnic budou veličiny měřené nebo měření a proměnné ve funkč-
ních vztazích na pravé straně rovnic budou neznámé parametry v procesu vy-
rovnání. Systém 3.9 přepíšeme v symbolice zprostředkujícího vyrovnání užitím
MNČ na systém 3.12.
()
()
(),,...,
...
,,...,
...
,,...,
1
1
11111
knn
mer
nn
kii
mer
ii
k
mer
XXfvlL
XXfvlL
XXfvlL
=+=
=+=
=+=

∑
(3.12)
n
i
m
m
m
...
,
...
1
=
=
n
i
iii
vvp
1
min
Systém dále přepíšeme do podoby rovnic 3.13.
()
(),,...,
...
,,...,
...
,,...,
,011,0
,011,0
,011,01111
kknn
mer
nn
kkii
mer
ii
kk
mer
dxXdxXfvlL
dxXdxXfvlL
dxXdxXfvlL
++=+=
++=+=
++=+=

n
i
m
m
m
...
,
...
1
∑
=
=
n
i
iii
vvp
1
min (3.13)
Symbol je i-tá vyrovnaná měřená veličina, symbol l je hodnota i-té mě-
řené veličiny, je oprava i-té měřené veličiny z vyrovnání a symbol m
i
L
mer
i
i
v
i
před-
stavuje přesnost i-té měřené veličiny.
Vztahy 3.14, 3.15 a 3.16 definují vektor vyrovnaných měřených veličin L ,
vektor měřených veličin
mer
l a vektor oprav měřených veličin z vyrovnání v .
(
T
n
LLL ,...,
1
= ) (3.14)
(
T
mer
n
mer
mer
lll ,...,
1
= ) (3.15)
(
T
n
vvv ,...,
1
= ) (3.16)
- 19 (116) -
Geodetické sítě
.
Modul 01
Vztah mezi měřenými veličinami a jejich vyrovnanými hodnotami vektorově
udává rovnice 3.17.
vlL
mer
+= (3.17)
Vztahy 3.18 a 3.19 definují vektor vyrovnaných neznámých parametrů H a
vektor přírůstků neznámých parametrů dh .
(
T
k
XXH ,...,
1
= ) (3.18)
(
T
k
dxdxdh ,...,
1
= ) (3.19)
Vztah mezi přibližným řešením úlohy a řešením finálním vektorově udává rov-
nice 3.20.
dhHH +=
0
(3.20)
Každé měřené veličině je obecně přiřazena také její přesnost udávaná pro-
střednictvím střední chyby měření m
mer
i
l
i
. Pro řešení úlohy vyrovnání se pro kaž-
dou měřenou veličinu spočítá její váha – vzorec 3.21.
2
2
.0
i
apri
i
m
m
p = (3.21)
Symbol představuje střední jednotkovou chybu apriorní. Její hodnotu
volíme před vyrovnáním tak, aby se váhy měřených veličin pohybovaly okolo
jedné.
apri
m
.0
()
(),,...,
...
,,...,
...
,,...,
,011,0
,011,0
1,011,011
mer
nkknn
mer
ikkii
mer
kk
ldxXdxXfv
ldxXdxXfv
ldxXdxXfv
−++=
−++=
−++=

n
i
p
p
p
...
,
...
1
∑
=
=
n
i
iii
vvp
1
min (3.22)

Definice
Úloha zprostředkujícího vyrovnání užitím MNČ je v nelineární podobě
jednoznačně definována tzv. soustavou původních rovnic oprav 3.22

Systém 3.22 linearizujeme podle přibližného řešení 3.11. Výsledný systém
rovnic označíme 3.23.
- 20 (116) -
Interpretace výsledků při řešení úloh MNČ
()
()
(),...
...
,...
...
,...
,01
1
,01
1
11,0
1
1
1
1
1
mer
nnk
k
nn
n
mer
iik
k
ii
i
mer
k
k
lfdx
x
f
dx
x
f
v
lfdx
x
f
dx
x
f
v
lfdx
x
f
dx
x
f
v
−+
∂
∂
++
∂
∂
=
−+
∂
∂
++
∂
∂
=
−+
∂
∂
++
∂
∂
=

n
i
p
p
p
...
,
...
1
∑
=
=
n
i
iii
vvp
1
min (3.23)

Definice
Úloha zprostředkujícího vyrovnání užitím MNČ je v lineární podobě jed-
noznačně definována tzv. soustavou přetvořených rovnic oprav 3.23

Finální sestavení úlohy vyrovnání získáme zápisem přetvořených rovnic oprav
3.23 v maticové podobě 3.24.










−
−
+




















=










mer
nn
mer
kknn
k
n
lf
lf
dx
dx
aa
aa
v
v
,0
11,01
,1,
,11,11
......
...
.........
...
...
, ,










n
p
p
00
0...0
00
1
∑
=
=
n
i
iii
vvp
1
min
(3.24)
Systém 3.24 lze obecně zapsat rovnicí 3.25.
*
ldhAv += , P , (3.25)
∑
=
=
n
i
iii
vvp
1
min
Systém přetvořených rovnice oprav v maticové podobě 3.25 na základě teorie
MNČ převádíme na systém tzv. normálních rovnic 3.26.










=










+




















∑
∑
∑∑
∑∑
=
=
==
==
0
...
0
......
...
.........
...
*
,1
*
1,11
,,11,,1
,1,11,1,1
ikii
n
i
iii
n
i
kkikii
n
iikii
n
i
kiii
n
iiii
n
i
lap
lap
dx
dx
aapaap
aapaap
(3.26)
Systém 3.26 lze obecně zapsat rovnicí 3.27.
0=+ rdhN , kde APAN
T
= a
*
lPAr
T
= (3.27)
Systém normálních rovnic je již systémem k lineárních rovnic o k neznámých a
má tedy za podmínky regularity matice soustavy N jednoznačné řešení 3.28.
rNdh
1−
−= (3.28)
Výsledkem výpočtu je vektor přírůstků neznámých parametrů z vyrovnání dh ,
který použijeme pro výpočet vyrovnaných hodnot neznámých parametrů H
podle rovnice 3.20.
- 21 (116) -
Geodetické sítě
.
Modul 01
V tomto okamžiku je doporučen dvojí výpočet vektoru oprav v a to dosazením
vektoru dh do systému přetvořených rovnic oprav 3.23 a dosazením vektoru
H do systému rovnic oprav původních 3.22.
Pokud je vektor oprav podle rovnice 3.23 totožný s vektorem 3.22 máme spo-
lehlivou kontrolu sestavení úlohy vyrovnání a navíc výsledek řešení úlohy není
ovlivněn chybami z linearizace zprostředkujících rovnic.
Pokud vektory oprav podle rovnic 3.23 a 3.22 totožné nejsou, je to obecně způ-
sobeno zadáním přibližného řešení úlohy
0
H s velmi nízkou přesností. Takový
výsledek je též charakterizován velkými přírůstky neznámých parametrů dh
z vyrovnání.
V tomto případě řešíme úlohu vyrovnání iteračním způsoben, kdy za nové při-
bližné řešení úlohy použijeme výsledné řešení úlohy z předcházejícího kroku
výpočtu. Konvergence úlohy k řešení je charakterizována klesajícím rozdílem
mezi vektory dvojího výpočtu oprav a též zmenšováním přírůstku neznámých
parametrů ve vektoru dh . Při chybném zadání počátečního řešení není konver-
gence úlohy k výsledku u nelineárních soustav obecně zaručena.
Výpočet charakteristik polohy zakončíme výpočtem vyrovnaných měřených
veličin L podle rovnice 3.17.
Závěr kapitoly bude věnován výpočtům charakteristik proměnlivosti, kterými
je potřeba doplnit hodnoty vyrovnávaných veličin.
Vzorec 3.29 slouží pro výpočet tzv. střední jednotkové chyby aposteriorní, kte-
rou počítáme z oprav měřených veličin. Tato charakteristika slouží pro základ-
ní hodnocení prováděného vyrovnání a jsou z ní dále odvozovány další charak-
teristiky proměnlivosti.
kn
vvp
m
i
ii
n
i
apost
−
=
∑ =1
.0
(3.29)
Na základě střední jednotkové chyby po vyrovnání můžeme definovat následu-
jící charakteristiky přesnosti:
střední chybu m měřených veličin l po vyrovnání
aposti.
mer
i
•
i
apost
aposti
p
m
m
2
.02
.
= (3.30)
kovarianční matici ( )Lcov vyrovnaných měřených veličin L •
()
Lapost
QmL
2
.0
cov = kde
T
L
ANA
1−
=Q (3.31)
kovar