logika

umový);
lat. : Definitio fit per Genus proximos et difedem
-Aristotelovo rozlišení na substanci a akcidenty vyvolalo otázku, ve které šlo zejm. o charakter tohoto rozlišení. je tato diferenciace logického nebo metafyzického charakteru? Většina interpretů je takového názoru, že metafyzické diferenci odpovídá diference logická => tedy pojmová struktura lidského jazyka odpovídá struktuře reality
- pro popsanou jazykovou strukturu se jak již víme název subjekt-predikátová struktura (po-př)
subjekt
predikát
příklad
obecné?
nutné?
(a)
1. substance
2. substance
Sokrates je člověk
ne
ano
(b)
1. substance
akcident
Sokrates je moudrý
ne
ne
(c)
2. substance
2. substance
člověk je živočich
ano
ano
(d)
2. substance
akcident
člověk je moudrý
ne
ne
-1. substance označuje singulární termín (termín vztahující se pouze k jedné věci – např. Sokrates)
-2. substance označuje obecný termín ( termín vztahující se k většímu počtu individuí)
Závěr: Aristoteles se domnívá, že věda pojednává o obecném a nutném; bude se zabývat v logice pou-
ze výrokem c, který platí obecně a nutně
O vyjadřování
-zabývá se tu větami (výroky)
-věta rozlišujeme tak, zda něco vyjadřuje či nikoli – oznamovací, neoznamovací
-větu, která něco označuje či neoznačuje, jsme nazvali výrokem (pravdivý, nepravdivý)
-výrok rozlišujeme podle jeho složení (buď jednoduchý nebo složený)
-jednoduchý výrok má subjekt-predikátovou strukturu a složený v. vzniká skládáním jednoduchých
vět ve vyšší celek
2 hlediska výroku: -kvantita (obecné a částečné výr.) - ob. v. platí obecně, tzn. v každém příp.
- část. v. platí v některých příp.
- kvalita (kladné a záporné výroky)- v kladných v. subjektu něco přisuzujeme
- v zápor. výrocích subj. něco popíráme
-pomocí těchto dvou hledisek (kvantity, kvality) můžeme klasifikovat jednoduché výroky, jejichž subjektem je obecný termín (o výrocích, jejichž subjektem je termín singulární, Aristoteles neuvažuje)
Z přehledu je patné, že Aristoteles rozlišuje 4 různé druhy výroků. Z hlediska formy výroku jsou důležité výrazy: každý, žádný, některý, je, není. Tyto výrazy jsou pro každou jednotlivou formu jednou provždy dané. Nazýváme je proto logické konstanty
AFFIRMO × NEGO
(tvrdím) (popírám)
affirmo:Každé S je P => S a P (obecný kladný)
Některé S je P => S i P (částečný kladný)
nego:Žádné S není P=> S e P (obecný záporný)
Někt. S není P => S o P(částečný záporný)
Mezi uvedenými 4 výrokovými formami existují určité logické vztahy. Ty se již od 2. stol. př. Kr. znázorňují do tzv. logického čtverce. S logickým čtvercem se scholastika seznámila díky Boethiovi (475-524)

----------- vyšší výroky
------------ nižší výroky
kontradikce – protimluv, spor, odporovat si
-prší x neprší
-Sokrates je moudrý x Sokrates není moudrý
-každý Čech je Slovan x ne každý Čech je Slovan
-každý kos je černý x některý kos není černý
-def.: Dvě věty jsou ve vztahu kontr. tehdy a jen tehdy, když právě jedna z nich je pravdivá
kontrár. vzt. -def.: Dvě věty jsou ve vztahu kontrár. tehdy a jen tehdy, když je maximálně jedna věta pravd.
subkontr. vz.- def.: ……………………………………………………, když max. jedna věta je nepravdivá
subalternač. - def.: když z pravdivosti jednoho (vyššího), vyplývá pravdivost druhého (nižšího) – opačně nejde
První analytiky
-zabývá se sylogismy – zvláštní druhy argumentu
Každý Čech M je Slovan P=>Každé M je P → M a P=praemissa maior (vyšší)
Každý Pražák S je Čech M=>Každé S je M → S a M=premisa minor (nižší)
------------------------------ ----------------------------
Každý PražákS je SlovanP=>Každé S je P → S a P= conclusio
P…vyšší pojem
S…nižší pojem
M.. střední pojem (terminus medius)
-druhy sylogismu:Sylogismy se liší různým umístěním středního termínu v premisách. Díky různé-
mu umisťování středního termínu v premisách vzniknou 4 sylogistické figury
123 4
M-P P-M M-P P-M
S-M S-M M-S M-S
------ ------ ----- -----
S-P S-P S-P S-P
Aristoteles se zabývá pouze prvními třemi figurami . Čtvrtou figurou se teprve začal systematicky zabývat lékař a logik Claudius Galénus (129-199) => někdy o čtvrté figuře mluvíme jako o figuře valonské. V argumentaci nezaujímá 4. figura žádnou podstatnou roli. Podle Aristotela 4. figuru používají jen lidé nerozumní) => proto se zaměříme pouze na první tři figury
Termíny v jednotlivých figurách můžeme spojovat pomocí malých písmen a, e, i , o. – písmena určují kvalitu a kvantitu jednotlivých výroků. Pro každou figuru existují různá postavení těchto písmen. Každé jednotlivé postavení budeme nazývat modus
Počet modů na 1 figuru je 64 (43 ) * 3 = 192 různých způsobů figur (správné, nesprávné)
1. FIGURA
2. FIGURA
3. FIGURA
aaa Barbara
eae Cesare
aai Darapti
eae Celarent
aee Camestres
eao Felapton
aii Darii
eio Festino
iai Disamis
eio Ferio
aoo Baroco
aii Datisi
(aai Barbari)
(eao Cesarop)
oao Bocardo
(eao Celaront)
(aeo Camestrop)
eio Ferison
Mody, uvedené v závorkách, se od ostatních modů liší tím, že místo závěru, který z premis skutečně plyne, obsahují závěr slabší ( jestliže např. vyplývá závěr SaP, pak na základě logického čtverce musí vyplývat i závěr slabší, totiž SiP). Jedná se o *vztah subalternační.
*) Barbara => Barbari
M a PM a P
S  a MS  a M
--------=> --------
S a PS i P
-Aristoteles říká, že první 4 figury v první figuře není nutno dokazovat, jedná se tedy o axiomy, Aristoteles je nazývá dokonalými mody
-samohlásky určují modus
počáteční souhláska určuje dokonalý modus, na který máme problematický modus převádět
příklady (dosaď do figur pojmy)
nedokonalý modus
1) Cesare (leží ve druhé figuře, je třeba ho dokázat a tudíž použiji vzorec na s. 7 dole pro 2. figuru); affirmo (a,i) × nego (e,o); viz s. 7 nahoře
P e M=> Žádný pes P není hlodavec M
S a M=>Každá myš S je hlodavec M
---------------------------------------
S e P=>Žádná myš S není pes P
dokonalé mody
2) Barbara (leží v první figuře, tudíž ho není třeba dokazovat)
M a P
S  a M
--------
S a P
3) Celarent (leží v první figuře, tudíž ho není třeba dokazovat)
M e P
S  a M
--------
S  e P
4) Darii (leží v první figuře, tudíž ho není třeba dokazovat)
M a P
S  i M
--------
S  i P
5) Ferio (leží v první figuře, tudíž ho není třeba dokazovat)
M e P
S  i M
--------
S i P
Správnost ostatních modů, které se nazývají nedokonalé, se dokazuje podle předem daných transformačních pravidel. Tato pravidla aplikujeme na problematický sylogismus a snažíme se jej převést na sylogismus dokonalý. Jsterliže je převod z nedok. na dokonalý, pak je sylogismus správný.
Pravidlo konverze (záměny) subjektu s predikátem; podle Aristotela lze konvertova pouze v těchto případech:
a) A e B B e A(jednoduchá konverze)
b)A i B B i A (jednoduchá konverze)
c)A a B =>B i A(akcidentální konverze) – nelze obráceně
-dodatečná podmínka, která musí být splněna je tato: Premisy nedokonalého modu nesmí být slabší a závěr silnější než premisy a závěr pařičného modu dokonalého
Pravidlo záměny premis; toto pravidlo nám umožňuje zaměnit pořadí premis (maior a minor); není problematické, protože nemění sílu premis
Pravidlo převodu per impossibile; zneguj závěr a umísti jej na místo 1 z premis, tuto premisu opět znegovanou umísti na místo závěru; negujeme pomocí logického čtverce (viz obr.)
Příklady na převod:
1) Cesare
P e M=> Žádný mlok P není ryba M
S a M=>Každý pstruh S je ryba M
---------------------------------------
S e P=>Žádný pstruh S není mlok P
? Je tento sylogismus správný ?
→ převádíme na Celarent
M e P1) zkontrolujeme malá písmena
S a M2) uspořádáme M
-------3) aplikujeme pravidlo 1a
S e P
P e M M e P
S a M S  a P
------- => (P1a) --------
S e P S e P
Sémantická metoda
-Vénovy diagramy
-pojem - má obsah a rozsah (intenzi a extenzi)
-tradiční logika pracuje s rozsahem
Wittgenstein (navazuje na Fregeho)
význam výroku = pravdivostní podmínky
A a BA e BA i O A o B
Barbara
M a P
S  a M
--------
S a P
Dle sémantické definice:1)vyjádříme pravdivostní podmínky
Ing. Mgr. Prokop Sousedík Ph.D.
Martin Žemlička

Test A)
Převeď na dokonalé mody + ke každému Vennovy diagramy, 1 z nich je nesprávný- u něj Vennův diagram+ protipříklad
P M
Každý člověk je živočich
S M
Žádný kámen není živočich
S P
Žádný kámen není člověk
P a M M e P
S e M S a M
S e P S e P
Camestres Celarent

P1a)
P a M P2 S e M → M e S  M e S
S e M → P a M P a M P1a) P a M
S e P S e P S e P → P e S  ok
M P
Každý filosof je moudrý
S M
Někteří lidé nejsou filosofové
S P
Někteří lidé nejsou moudří
M a P M a P
S o M S a M
S o P S a P
Baroco Barbara

M a P p3 M a P
S o M → S a M nemusím ani převádět, páč to stejně nejde..
S o P S a P
Nesprávný sylogismus !!
Protipříklad: Každý kuřák je člověk
Někteří Češi nejsou kuřáci
Někteří Češi nejsou lidé
Tady u Vennova diagramu nejsou dva křížky, nemam to tu dobře, není tam ten křížek dole!!(hned nad tím S) !!!

P M
Každý logik je filosof
S M
Někteří matematikové nejsou filosofové
S P
Někteří matematikové nejsou logikové
P a M M a P
S o M S a M
S o P S a P
Baroco Barbara
P a M P3 P a M
S o M → S a P
S o P S a M ok
Prokaž pomocí metod výrokové logiky správnost níže uvedené úvahy
tabulkovou metodou a definicí vyplývání
tabulková metoda a převedení výrazu na tautologii
metodu používanou stoiky
metodu sémantických stromů
metodu přirozené dedukce
Jestliže nezanedbávám studijní povinnosti, pak dosáhnu dobrého postavení
Jestliže zanedbávám studijní povinnosti, pak si užívám
Neužívám si
Dosáhnu dobrého postavení

ne p
q
Jestliže nezanedbávám studijní povinnosti,pak dosáhnu dobrého postavení
p

r
Jestliže zanedbávám studijní povinnosti, pak si užívám.
ne r
Neužívám si.
Tedy q
Dosáhnu dobrého postavení
takže : Jestliže ne p, pak q.
Jestliže p, pak r.
Ne r.
Tedy q.
( znak ~ znamená negace)
~ p → q
p → r
~ r
q
tabulka:
p
q
r
~p → q
p → r
~ r
q
~ p
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
zvýrazněné jedničky → taotologie, výrok je tedy dobře
2) c)
stoici
1
Jestliže ne A, pak B.
2
Jestliže A, pak C.
3
Avšak ne C.
4
Tedy B
za 1) do II. 1) A ; 2) C
2) do I. 1)ne A ; 2) B
Jestliže A, pak C.
Jestliže ne A, pak B
Avšak ne C
Avšak ne A.
Tedy ne A.
Tedy B
za 3) aplikuji II. Pravidlo na krok 1 a 2
takže:

Jestliže ne A, pak B.
Jestliže A, pak C.
Avšak ne C.
Tedy B
Zapiš výrazy pomocí predikátové logiky:
Sokrates je moudrý S ( M)
Petr je otec Jana P (O; J)
Někteří lidé nejsou moudří E x ( L(x) Λ ~ M (x) )
(To E u příkladu 3) má být zrcadlově, není tu totiž znak pro obrácené E)

Test B)
M P
1)a Někteří černoši jsou moudří
M S
Každý černoch je člověk
S P
Někteří lidé jsou moudří
M i P M a P
M a S  S i M
S i P S i P
Disamis Darií
M i P P2 M a S  P1b) M a S  M a S
M a S → M i P → P i M P1b) P i M
S i P S i P S i P → P i S  OK

M P
1)b Někteří Češi nejsou moudří
M S
Každý Čech je člověk
S P
Někteří lidé nejsou moudří
M o P M a P
M a S  S a M
S o P S a P
Bocardo Barbara
M o P P3 S a P
M a S → M a S OK
S o P M a P
1 c) M P
Žádný kuřák není zdravý
M S
Každý kuřák je člověk
S P
Někteří lidé jsou zdraví
M e P
M a S  nesprávný sylogismus , je to 3. figura, ale neodpovídá žádné z nich
S i P
Protipříklad : Žádný pes není pták
Každý pes je savec
Některý savec je pták
2)a )
pq
Je doma nebo odešel do kavárny
pr
Jestliže je doma, pak vás očekává
ne r
Neočekává vás
Tedy q
Odešel do kavárny
Buď p nebo q
Jestliže p, pak r
Ne r
Tedy q
p V q
p r
r
q
p
q
r
p V q
p r
r
q
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
2) c)
Př: Buď A nebo B 1. do II. 1\A,2\C 2. do IV.1\A,2\B 3. P2 A nebo B
Jestliže A pak C jestliže A pak C Buď A nebo B Jestliže A pak C
Avšak ne C avšak ne C Avšak ne B Avšak ne C
Tedy B tedy ne A tedy B Tedy B
3)
Žádný pták není savec A x ( P (x) → ~ S (x) )
Petr je kuřák P (K)
Anežka miluje Frantu M ( A; F )
(To A= (znak pro žádný) u tohoto posledního příkladu má být obrácené vzhůru nohama)- není tady pro to znak !!!!!!!!!!!!

Test A)
Převeď na dokonalé mody + ke každému Vennovy diagramy, 1 z nich je nesprávný- u něj Vennův diagram+ protipříklad
P M
Každý člověk je živočich
S M
Žádný kámen není živočich
S P
Žádný kámen není člověk
P a M M e P
S e M S a M
S e P S e P
Camestres Celarent

P1a)
P a M P2 S e M → M e S  M e S
S e M → P a M P a M P1a) P a M
S e P S e P S e P → P e S  ok
M P
Každý filosof je moudrý
S M
Někteří lidé nejsou filosofové
S P
Někteří lidé nejsou moudří
M a P M a P
S o M S a M
S o P S a P
Baroco Barbara

M a P p3 M a P
S o M → S a M nemusím ani převádět, páč to stejně nejde..
S o P S a P
Nesprávný sylogismus !!
Protipříklad: Každý kuřák je člověk
Někteří Češi nejsou kuřáci
Někteří Češi nejsou lidé
Tady u Vennova diagramu nejsou dva křížky, nemam to tu dobře, není tam ten křížek dole!!(hned nad tím S) !!!

P M
Každý logik je filosof
S M
Někteří matematikové nejsou filosofové
S P
Někteří matematikové nejsou logikové
P a M M a P
S o M S a M
S o P S a P
Baroco Barbara
P a M P3 P a M
S o M → S a P
S o P S a M ok
Prokaž pomocí metod výrokové logiky správnost níže uvedené úvahy
tabulkovou metodou a definicí vyplývání
tabulková metoda a převedení výrazu na tautologii
metodu používanou stoiky
metodu sémantických stromů
metodu přirozené dedukce
Jestliže nezanedbávám studijní povinnosti, pak dosáhnu dobrého postavení
Jestliže zanedbávám studijní povinnosti, pak si užívám
Neužívám si
Dosáhnu dobrého postavení

ne p
q
Jestliže nezanedbávám studijní povinnosti,pak dosáhnu dobrého postavení
p

r
Jestliže zanedbávám studijní povinnosti, pak si užívám.
ne r
Neužívám si.
Tedy q
Dosáhnu dobrého postavení
takže : Jestliže ne p, pak q.
Jestliže p, pak r.
Ne r.
Tedy q.
( znak ~ znamená negace)
~ p → q
p → r
~ r
q
tabulka:
p
q
r
~p → q
p → r
~ r
q
~ p
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
zvýrazněné jedničky → taotologie, výrok je tedy dobře
2) c)
stoici
1
Jestliže ne A, pak B.
2
Jestliže A, pak C.
3
Avšak ne C.
4
Tedy B
za 1) do II. 1) A ; 2) C
2) do I. 1)ne A ; 2) B
Jestliže A, pak C.
Jestliže ne A, pak B
Avšak ne C
Avšak ne A.
Tedy ne A.
Tedy B
za 3) aplikuji II. Pravidlo na krok 1 a 2
takže:

Jestliže ne A, pak B.
Jestliže A, pak C.
Avšak ne C.
Tedy B
Zapiš výrazy pomocí predikátové logiky:
Sokrates je moudrý S ( M)
Petr je otec Jana P (O; J)
Někteří lidé nejsou moudří E x ( L(x) Λ ~ M (x) )
(To E u příkladu 3) má být zrcadlově, není tu totiž znak pro obrácené E)

Test B)
M P
1)a Někteří černoši jsou moudří
M S
Každý černoch je člověk
S P
Někteří lidé jsou moudří
M i P M a P
M a S  S i M
S i P S i P
Disamis Darií
M i P P2 M a S  P1b) M a S  M a S
M a S → M i P → P i M P1b) P i M
S i P S i P S i P → P i S  OK

M P
1)b Někteří Češi nejsou moudří
M S
Každý Čech je člověk
S P
Někteří lidé nejsou moudří
M o P M a P
M a S  S a M
S o P S a P
Bocardo Barbara
M o P P3 S a P
M a S → M a S OK
S o P M a P
1 c) M P
Žádný kuřák není zdravý
M S
Každý kuřák je člověk
S P
Někteří lidé jsou zdraví
M e P
M a S  nesprávný sylogismus , je to 3. figura, ale neodpovídá žádné z nich
S i P
Protipříklad : Žádný pes není pták
Každý pes je savec
Některý savec je pták
2 a )
pq
Je doma nebo odešel do kavárny
pr
Jestliže je doma, pak vás očekává
ne r
Neočekává vás
Tedy q
Odešel do kavárny
Buď p nebo q
Jestliže p, pak r
Ne r
Tedy q
p V q
p r
r
q
p
q
r
p V q
p r
r
q
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
2) c)
Př: Buď A nebo B 1. do II. 1\A,2\C 2. do IV.1\A,2\B 3. P2 A nebo B
Jestliže A pak C jestliže A pak C Buď A nebo B Jestliže A pak C
Avšak ne C avšak ne C Avšak ne B Avšak ne C
Tedy B tedy ne A tedy B Tedy B
3)
Žádný pták není savec A x ( P (x) → ~ S (x) )
Petr je kuřák P (K)
Anežka miluje Frantu M ( A; F )
(To A= (znak pro žádný) u tohoto posledního příkladu má být obrácené vzhůru nohama)- není tady pro to znak !!!!!!!!!!!!

Logika
předmětem logiky je řeč
logika je formální disciplína nezajímá nás obsah
subjekt a predikát pochází od Platóna
proměnná pochází od Aristotela
Etymologie slova logika
etymologie = původ slova
řecké slovo
logos = sl