Studijní materiály

Zpět

Hromadně přidat materiály

Polyno12

MB003 - Lineární algebra

Hodnocení materiálu:

Zjednodušená ukázka:

Stáhnout celý tento materiál

+++++++=
==⋅⋅=∈∀
−−−
=
−
=
−
=
− ∑∑∑
KK )

upravíme-li poslední vztah tím, že ze všech členů obsahujících vytkneme ,
ze všech členů s a vytkneme atd. až do , získáme rovnost
0
a
0
a
1 1
a
n
a
( ) ( )
()(
00011010231202
012110101100
cbacbcbacbcbcba
cbcbcbacbcbcbah
nnnnn
nnnnnnn
++++++++
++++++++=
−−−−
−−−−
KK
KK
.
1
Protože jsou n-té členy obou součinů stejné, platí, že násobení polynomů je
asociativní.
QED
Ad b)
Máme dokázat, že násobení polynomů je distributivní vzhledem ke sčítání
polynomů. Opět provedeme důkaz přímý.
Nechť KK ,,,,
10 n
aaa=a , KK ,,,,
10 n
bbb=b , KK ,,,,
10 n
ccc=c jsou tři
polynomy nad oborem integrity I , kde jsou dány operace sčítání a násobení
polynomů. Aby násobení polynomů bylo distributivní vzhledem ke sčítání a
násobení polynomů, musí platit
( )[ ] ( )
nn
cbbacba ⋅+⋅=+⋅ ,
tj. lze roznásobovat závorky.
Důkaz:
Zápis přepíšeme do sum a podle pravidel o počítání se sumami upravíme:
()[]() ()(
()()[]()
n
n
p
npnp
n
p
pnp
n
p
pnppnp
n
p
pnpnp
n
p
pnpn
cbbacbbacaba
cabacbacbacba
⋅+⋅=⋅+⋅=+=
=+=+=+=+⋅
∑∑
∑∑∑
=
−
=
−
=
−−
=
−−
=
−
00
000
)

Dokázali jsme požadovanou rovnost.
QED
2
Opakování:
Binární operace
4

(Binární) operací ☺ na množině M rozumíme každé zobrazení (celého)
kartézského součinu MM × do M. Není-li definičním oborem celá množina
MM × hovoříme o parciální nebo též částečné operaci.

Říkáme, že operace ☺ na množině M
• je komutativní, jestliže ( )Mba ∈∀ , ☺ba b= ☺ a
• je asociativní, jestliže ( )Mcba ∈∀ ,, ( ☺ )☺c = ☺ (b☺ ), a b a c
• má neutrální prvek n , jestliže ( )( )McMn ∈∀∈∃ ☺c ☺ n c= cn =
• má agresivní prvek , jestliže a ( )( )McMa ∈∀∈∃ ☺ ☺ a cc = aa =
• má inverzní prvek c ke každému prvku , jestliže existuje neutrální
prvek a platí
1−
()
c
n ( )Mcc ∈∃∀
−1
M∈ c☺c ☺
11−
=
−
c nc = .
Distributivní zákon
() ()(zyzxzyx ooo ∗=∗ ) (distributivita operace o vzhledem k operaci∗)
Polynom, mnohočlen
5

Polynom je algebraický výraz tvaru . Čísla
jsou konstanty, tzv. koeficienty mnohočlenu,
kk
kk
axaxaxa ++++
−
−
1
1
10
...
k
aaa ,...,,
10
x je proměnná. Je-li , nazývá
se číslo stupeň mnohočlenu. Mnohočlen lze považovat za funkci proměnné x.
Obdobně se definuje mnohočlen více proměnných; např. je
mnohočlen tří proměnných a čtvrtého stupně (nejvyšší součet exponentů u všech
proměnných).
0≠
2+yz
0
a
−z
k
4
2
xy
3
+x

4
www.matematika.webz.cz/algebra/algebra.doc
5
www.diderot.cz
3

Stáhnout celý tento materiál

Předchozí

1 2 3

Vloženo: 25.04.2009

Velikost: 294,24 kB

Stáhnout celý tento materiál

Komentáře

Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.