Studijní materiály

Zpět

Hromadně přidat materiály

Pisemka-zaver-31-05-05

MB003 - Lineární algebra

Hodnocení materiálu:

Zjednodušená ukázka:

Stáhnout celý tento materiál

jiné chápání nám nebudou sedět rozměry matic. Pokud si tedy transpozice odstraníme, vyjde nám ((1,2,3) = ((3,2,1) = (1,1), ((1,0,1) = (0,1). Pro zobrazení ( platí (1,2,3) . Am(n = (1,1), kde A je matice zobrazení ( vzhledem ke kanonickým bázím ((3), ((2). Porovnáním rozměrů zjistíme, že A je typu 3(2. Dostáváme tedy vztah (1,2,3). = (1,1), odtud máme rovnice:
a+2c+3e = 1
b+2d+3f = 1, dosazením vektorů (3,2,1) a (1,0,1) dostáváme další 4 rovnice
3a+2c+e = 1
3b+2d+f = 1
a+e = 0
b+f = 1
Máme 6 rovnic o 6 neznámých, vyřešíme-li tuto soustavu dostáváme (a,b,c,d,e,f) = (0,˝,˝,-˝,0,˝)
Řešením je tedy matice A s danými koeficienty.
Hodnost h(() by měla být z definice hodnost h(Im (). Pokud se podíváme, jaký je obraz lineárního zobrazení ( pro libovolný vektor (x,y,z) dostáváme, že ((x,y,z) = (y/2,x/2-y/2+z/2). Odtud by mělo jít vidět, že obraz je podprostor dimenze 2 s bázemi (1,-1) a (0,1), protože pro libovolná čísla y,x+z můžeme vektor (y/2,x/2-y/2+z/2) vyjádřit jako y.(1,-1)+(x+z).(0,1).
Dimenzi jádra Ker ( zjistíme tak, že si jádro nejprve vypočteme. Z definice je Ker ( = {(x,y,z) | ((x,y,z) = (0,0)}. Přenásobením maticí A dostáváme (y/2,x/2-y/2+z/2) = (0,0) odtud vidíme, že toto nastává pouze pro vektory (x,0,-x). Ker ( je tedy podprostor generovaný jediným bázovým vektorem (1,0,-1), proto je dim Ker ( = 1.
Tento příklad se dá řešit složitě a lehce, buď si napíšeme rovnici pro lineární kombinaci vektorů u1, u2, u3, tedy a. u1 + b. u2 + c. u3 = v, a řešíme ji s tím, že parametr b musí být takový aby měla vždy nějaké řešení (rozšířená matice se sloupci u1, u2, u3, v musí mít po úpravě 3 nenulové řádky), nebo si všimneme, že součet u1 + u2 = u3 pro b = 12, což by znamenalo, že u3 je lineární kombinací dvou předchozích a tedy x se dá napsat jako lineární kombinace pouze u1 a u2, což se nedá (lehce ověříme).
Výsledek je tedy b ( ( – {12}.
Zadání a řešení zkouškové písemky z Lineární algebry a geometrie, 31.5.2005 Strana /
3
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
3
2
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
000-100001-211113

2-100011113010000001-2000-10

Stáhnout celý tento materiál

Předchozí

1 2 3

Vloženo: 28.05.2009

Velikost: 137,43 kB

Stáhnout celý tento materiál

Komentáře

Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.