Seminare

kalkulaci úplných nákladů na jednotku každého typu výrobků.
Řešení:
výrobek A B C
přímý materiál 5 8 30
přímá práce 20 8 30
přímá energie 10 4 30
výrobní režie 10 4 15
zásobovací režie 10 16 60
správní režie 25 16 60
odbytová režie 17.5 10 45
celkem 97.5 66 270
ABSORBČNÍ METODY 22
Metoda ABC
Metoda ABC (Activity Based Costing) je v technickém smyslu vlastně konkrétní aplikací
metody poměrných čísel. Náklady jsou spojeny s konkrétními aktivitami, které je přináší
a poměrná čísla jsou potom dána počtem úkonů dané aktivity na výrobu jednoho výrobku.
Cvičení 28. Číselný příklad: Firma vyrábí dva typy výrobků – A a B v objemech 500 a
2000 ks. Oba výrobky potřebují 2 hodiny přímé práce. Náklady přímé práce
jsou 200 Kč na hodinu. Přímý materiál na jeden kus výrobku typu A je za 600
Kč, na kus B za 400. Výrobní režie činila 2 200 000 Kč. Tržní cena výrobku
A je 2 500 Kč, B 1 500 Kč. Režie se rozpočítává podle přímého materiálu.
Jaké jsou náklady na jednotku každého typu výrobku? Jaké doporučení by
jste dali managementu?
Řešení:
výrobek A B
přímý materiál 600 400
přímá práce 400 400
výrobní režie 1200 800
celkem 2200 1600
Cvičení 29. Pokračování předešlého číselného příkladu: Ukázalo se ale, že výrobek A má
rafinovanější design a je tedy pro jeho výrobu potřeba více nastavování strojů.
Navíc se vyrábí v menších sériích a vyžaduje si tak relativně větší počet
objednávek. Proto se firma rozhodla zanalyzovat své operace a určila 5 aktivit
přinášejících náklady.
Aktivita Příslušné náklady Počet událostí
A B
nastavování strojů 600 000 20 000 10 000
kontrola kvality 300 000 30 000 20 000
výrobní objednávky 200 000 400 600
strojové hodiny 1 000 000 20 000 30 000
příjem materiálu 100 000 100 900
2 200 000
Proveďte kalkulaci celkových nákladů na jeden kus výrobku obou typů me-
todou ABC a zrevidujte své doporučení managementu.
Řešení:
Sazba pro rozpočet režie
nastavování strojů 20
kontrola kvality 6
výrobní objednávky 200
strojové hodiny 20
příjem materiálu 100
Kalkulace celkových jednotkových nákladů:
23 ZÁKLADY FIREMNÍCH FINANCÍ
A B
přímý materiál 600 400
přímá práce 400 400
nastavování strojů 800 100
kontrola kvality 360 60
výrobní objednávky 160 60
strojové hodiny 800 300
příjem materiálu 20 45
3 140 1 365
Cvičení 30. Která metoda přiřazení režie je přesnější? Co když se například u přede-
šlého číselného příkladu zjistí, že nastavování i provoz stroje jsou dvou typů
– snadné, a komplikované vyžadující přítomnost drahého odborného perso-
nálu, a dále se ukáže, že toto výrazně nákladnější používání stroje je přítomno
zejména při výrobě výrobku B? Nemůže to znamenat opětovnou změnu do-
poručení managementu?
VI. Marginální přístup
Pokud volíme mezi dvěma variantami pouze na základě ziskového kritéria, jediné co nás
zajímá je která varianta přináší větší zisk. Nepotřebujeme znát úroveň zisku obou variant,
stačí pouze vědět který z těchto zisků je větší. K rozhodnutí mezi dvěma variantami tedy
úplně postačuje znalost rozdílu jejich zisků, rozdílový (diferenciální) zisk.
Pokud si vybíráme z variant, nemůžeme naše rozhodování založit na skutečnostech, které
jsou u všech variant stejné a které se tudíž nedají naší volbou ovlivnit. Různé varianty
jsou definovány právě tím, čím se navzájem liší, to je to, o čem se rozhodujeme. Pokud
jsou různé varianty zadefinovány pouze prostřednictvím výnosů a nákladů, rozhodujeme
se podle diferenciálních nákladů a výnosů - těch nákladů a výnosů, v nichž se varianty
liší. Rozdíl diferenciálních výnosů a diferenciálních nákladů dává diferenciální zisk a tedy
přímo kritérium pro rozhodnutí.
Cvičení 31. Číselný příklad: Firma vyrábí čtyři typy výrobků - A, B, C a D. Variabilní
náklady na jeden kus, tržní ceny a objem, který firma dokáže uplatnit na
trhu, jsou uvedeny v následující tabulce:
typ A B C D
MVC 7 8 10 9
P 10 10 9 10
ks 100 100 200 500
a) Má firma některý výrobek vyřadit z výrobního programu? O kolik se
změní zisk?
b) Firma se zařídila podle předchozího doporučení. Nyní může navíc náhra-
dou za zrušení výroby některého dalšího výrobku zavést výrobu výrobku E
s charakteristikou:
typ E
MVC 3
P 5
ks 200
Má výrobu některého výrobku nahradit výrobou výrobku E? Kterého? O ko-
lik se změní zisk?
25 ZÁKLADY FIREMNÍCH FINANCÍ
c) Při alokaci režie se došlo ke zjištění že celkové náklady na výrobu jednoho
výrobku D jsou 11. Má firma přijmout dodatečnou zakázku na výrobu 50 ks
výrobku D? O kolik se změní zisk?
d) Změní se odpověď na předchozí otázku, pokud by musela firma z důvodu
výroby dodatečného množství 50 ks výrobku D zvýšit fixní náklady o 150?
O kolik se změní zisk?
e) Předpokládejme nyní, že by firma mohla vyrábět všechny výše popsané
typy výrobků A, B, C, D a E za příslušné mezní náklady a prodávat je
za uvedenou cenu až do tržního omezení množství. Všechny výrobky se
zpracovávají na stejném stroji, výroba jednoho kusu trvá následující počet
strojových hodin:
typ A B C D E
hodin 4 4 1 5 2
Kapacita stroje je 1000 strojových hodin. Kolik kusů kterého výrobku má
firma vyrábět? Jaký zisk je generovaný provozem stroje?
Řešení: a) vyřadit C, 200 b) E nahradit za B, 200 c) ano, 50 (celkové náklady jsou
pro rozhodování irelevantní, podstatné jsou dodatečné příjmy a náklady a tedy dodatečný
zisk) d) změní, -100 e) 200ks E, 100ks A a 50ks B, 800 (vzácným zdrojem je stroj a je
třeba jej zatěžovat uvážlivě, tak aby se jeho čas využil pro tvorbu maximálního zisku, klíč
je v určení zisku na hodinu provozu stroje v závislosti na tom který typ výrobku se na
něm právě vyrábí)
VII. Čistá současná hodnota
Základní pojmy
Finančním projektem nazveme posloupnost plateb (příjmů či výdajů) o známých obje-
mech ve známých termínech. V bezprostředně následujícím textu budeme pracovat s fi-
nančními projekty, které mají platby ve stejných obdobích, a můžeme je proto zapisovat
zjednodušeně ve tvaru vektoru:
FP = (CF0,CF1,···,CFn,···)
kde CF0 je cash-flow v tento moment, CF1 je cash-flow na konci prvního období, ...,
CFn je cash-flow na konci n-tého období.
Číselná ilustrace: termínovaný vklad o objemu 10 000 na 4 roky s úrokovou sazbou 10%:
(-10 000, 1 000, 1 000, 1 000, 11 000)
Umět rozhodnout, zda je výhodné určitý finanční projekt přijmout či nikoliv a nebo
být schopen rozhodnout se mezi dvěma finančními projekty není triviální záležitostí.
Samozřejmě, že pokud má finanční projekt všechny peněžní toky kladné, je vhodné jej
přijmout. Stejně tak pokud má jeden finanční projekt vyšší peněžní tok v každém období
než druhý finanční projekt, je první projekt výhodnější. Obě předešlé možnosti jsou však
v realitě spíše výjimkou. Běžně je třeba rozhodovat se o projektech, které mají některé
peněžní toky kladné a jiné záporné a rovněž je potřeba porovnávat finanční projekty,
které mají různý vztah peněžních toků v různých obdobích.
Veličina čistá současná hodnota, Net Present Value (NPV) finančního projektu je de-
finovaná jako součet diskontovaných hodnot finančních toků tohoto projektu za známé
úrokové sazby i.
NPVi(CF0,CF1,...,CFn,...) = CF0 + CF11 +i + CF2(1 +i)2 +...+ CFn(1 +i)n +...
NPVi(CF0,CF1,...,CFn,...) =
∞summationdisplay
k=0
CFk
(1 +i)k
27 ZÁKLADY FIREMNÍCH FINANCÍ
Předpokládejme, že existuje volný přístup na úvěrový trh, kde si lze vypůjčit a kde lze i
zapůjčit bez dalších nákladů libovolnou částku na libovolné období, vždy při stejné dané
úrokové sazbě i. Za těchto dodatečných podmínek je vždy projekt s vyšší NPV lepší
než projekt s nižší NPV. Projekt s kladnou NPV se vždy vyplatí přijmout, projekt
se zápornou NPV se přijmout nevyplatí, k přijetí projektu s nulovou NPV je subjekt
lhostejný.
Důvodem proč můžeme finanční projekty takto srovnávat je, že pomocí volného vstupu
na úvěrový trh můžeme každý finanční projekt modifikovat na okamžitou platbu částky
právě rovné jeho čisté současné hodnotě. (Úplné odvození je uvedeno v dodatku)
Řešené příklady
Cvičení 32. Jako perpetuita (konzola) se označuje nekonečný proud plateb na konci kaž-
dého období počínaje prvním ve stále stejné výši C: (0, C, C, ... ). Vyjádřete
NPV perpetuity.
Řešení: Perpetuita je jedním ze speciálních (přesto ale prakticky významných) tvarů
finančních projektů, kde lze NPV snadno vyjádřit. Klíčem je využití vzorce pro součet
geometrické posloupnosti, respektive řady. Připomeňme si tyto vzorce:
1 + q + q2 + q3 + ...+ qn = q
n+1 −1
q −1
1 + q + q2 + q3 + ... = 11 −q
Kde podmínkou konvergence nekonečné řady řady je −1 < q < 1.3
NPV perpetuity s využitím vzorce pro součet nekonečné geometrické řady snadno vyjád-
říme jako:
NPVi(0,C,C,...) = C1 + i + C(1 + i)2 + C(1 + i)3 + ...
NPVi(0,C,C,...) = C1 + i ·
parenleftbigg
1 + 11 + i + 1(1 + i)2 + 1(1 + i)3 + ...
parenrightbigg
NPVi(0,C,C,...) = C1 + i · 11 − 1
1+i
= C1 + i · 11+i−1
1+i
= C1 + i · 1i
1+i
= C1 + i · 1 + ii
3 Pokud do známého vzorce (an+1 −bn+1) = (a−b)·(an +an−1 ·b+an−2 ·b2 +...+a·bn−1 +bn),
platnost kterého si lze snadno ověřit roznásobením, dosadíme q a 1 za proměnné a a b, získáme první
rovnost. Součet nekonečné řady je definován jako limita posloupnosti částečných součtů, tedy v našem
případě jako lim
n→∞
qn+1−1
q−1 . Tato limita je konečná pouze pokud se hodnota qn+1 s rostoucím n zmenšuje,
tedy pokud je q v absolutní hodnotě menší než jedna. Potom ale limituje qn+1 k nule a celý výraz tedy
k 11−q.
ČISTÁ SOUČASNÁ HODNOTA 28
NPVi(0,C,C,...) = Ci
Cvičení 33. Jako anuita se označuje konečná obdoba parpetuity – proud konstantních pla-
teb o výši C po konečný počet období, počínaje koncem prvního. Vyjádřete
NPV anuity.
Řešení: NPV anuity lze vyjádřit dvěma způsoby – buď přímo použitím vzorce pro součet
konečné geometrické posloupnosti, a nebo s pomocí drobného triku – rozepsáním anuity
jako rozdílu pepetuity a násobku perpetuity. Použijme druhého postupu, který je o něco
elegantnější. Zmíněnou úpravu provedeme pro n-člennou anuitu:
NPVi(0,C,C,...,C) = C1 + i + C(1 + i)2 + C(1 + i)3 + ...+ C(1 + i)n
NPVi(0,C,C,...,C) = C1 + i + C(1 + i)2 + ...−
parenleftbigg C
(1 + i)n+1 +
C
(1 + i)n+2 + ...
parenrightbigg
NPVi(0,C,C,...,C) = C1 + i + C(1 + i)2 + ...− 1(1 + i)n ·
parenleftbigg C
1 + i +
C
(1 + i)2 + ...
parenrightbigg
NPVi(0,C,C,...,C) =
∞summationdisplay
k=1
C
(1 + i)k −
1
(1 + i)n
∞summationdisplay
k=1
C
(1 + i)k
NPVi(0,C,C,...,C) = Ci − 1(1 + i)n · Ci
NPVi(0,C,C,...,C) =
bracketleftbigg1
i −
1
i·(1 + i)n
bracketrightbigg
·C
Cvičení 34. Jako rostoucí perpetuita (rostoucí konzola) se označuje nekonečný proud
plateb na konci každého období počínaje prvním v geometricky rostoucí výši:
(0,C,C ·(1 +g),C ·(1 +g)2...). Vyjádřete NPV rostoucí perpetuity.
Řešení: NPV rostoucí perpetuity s využitím vzorce pro součet nekonečné geometrické
řady snadno vyjádříme jako:
NPVi(0,C,C ·(1 + g),C ·(1 + g)2...) = C1 + i + C ·(1 + g)(1 + i)2 + C ·(1 + g)
2
(1 + i)3 + ...
NPVi(0,C,C·(1+g),C·(1+g)2...) = C1 + i·
parenleftBigg
1 +
parenleftbigg1 + g
1 + i
parenrightbigg
+
parenleftbigg1 + g
1 + i
parenrightbigg2
+
parenleftbigg1 + g
1 + i
parenrightbigg3
...
parenrightBigg
NPVi(0,C,C,...) = C1 + i · 11 − 1+g
1+i
= C1 + i · 11+i−1−g
1+i
= C1 + i · 1i−g
1+i
= C1 + i · 1 + ii−g
29 ZÁKLADY FIREMNÍCH FINANCÍ
NPVi(0,C,C,...) = Ci−g
Podmínkou provedených úprav je možnost sečíst geometrickou řadu, a tedy požadavekparenleftBig
1+g
1+i
parenrightBig
< 1, nebo-li g < i. Uvedený vztah se používá často k ohodnocování akcií s divi-
dendou rostoucí stálým tempem, tento přístup se nazývá Gordonův model.
Příklady k procvičování
Cvičení 35. Naskytla se vám možnost čerpat úvěr o objemu 695 000 na 50 let. Splácí
se pevnou splátkou 70 000 každý rok (50 splátek). Běžná úroveň úrokových
sazeb je 10%. Přijmete tento úvěr? Proč?
Cvičení 36. Při jakých úrokových sazbách by jste investovali raději do akcie za 10 000 Kč,
která slibuje každoroční dividendu 1 000 Kč, než do akcie za 10 000 Kč, která
slibuje první rok dividendu 600 Kč a stálý meziroční růst dividend o 3%?
Řešení: i od 7,5%
VIII. Vnitřní výnosové procento
Základní pojmy
Hodnota vnitřní výnosové procento, internal rate of return (IRR) určitého projektu je
taková velikost úrokové sazby i, při které je NPV projektu rovno nule. IRR nám říká, při
jaké výši úrokové sazby by byl finanční projekt běžným projektem nepřinášejícím žádný
zisk ani ztrátu proti projektům volně dostupným z úvěrového trhu. (Více viz. dodatek)
Počítat IRR daného projektu znamená řešit rovnici:
0 = CF0 + CF11 +IRR + CF2(1 +IRR)2 +...+ CFn(1 +IRR)n
Pokud ovšem provedeme příslušná roznásobení, zjistíme že se jedná o problém hledání
kořenů polynomu n-tého řádu. To lze snadno pro polynomy do řádu dva, ale pro obecné
polynomy vyššího řádu než 4 vzorec pro nalezení jejich kořenů neexistuje.4 Možnost jak
hledat obecně IRR je tedy jedině použití numerických metod a vyjádření IRR pouze
přibližně s předem určenou přesností.
Graf NPV určitého projektu v závislosti na i je spojitou funkcí, která protíná osu y ve
výšce summationtextnk=0 CFk(1+0)k =summationtextnk=0CFk, a osu x v bodě IRR.
Pokud nalezneme dvě hodnoty úrokové sazby takové, že hodnota NPV daného projektu
má v nich odlišné znaménko, je díky spojitosti funkce NPV zaručeno, že IRR leží mezi
těmito dvěma hodnotami. Chceme-li najít IRR s předem danou přesností, stačí počítat
další hodnoty NPV uvnitř daného intervalu, a interval s rozdílnými znaménku NPV na
jeho krajích zužovat, až na požadovanou toleranci. Jednou z možností jak to dělat je
takzvaná metoda půlení intervalů – pokud začínáme s intervalem s rozdílnými znaménky
NPV na krajích, spočítáme NPV v půlce tohoto intervalu a jeden z polovičních inter-
valů bude mít zřejmě opět různá znaménka NPV na krajích, a takto pokračujeme dále.
V každém kroku tak snížíme nepřesnost na polovinu. Volit intervaly můžeme samozřejmě
4 Kořeny polynomů vyšších řádů budou obecně transcendentní čísla podobného typu jako pi, které
neumíme vyjádřit jinak než pomocí jejich cifer, které se neopakují, a tedy každé jejich vyjádření je
nutně pouze přibližné, s přesností na počet použitých míst. O historii řešení algebraických rovnic růz-
ných řádů a roli kterou v ní sehráli mimo jiných Cardano, Abel a Galois viz. např. Krawcewicz,
Wieslaw (2001). „Dramatic Story of Algebraic Equationscsquotedblright, pi in the Sky, Issue 3, June, 2001, pp. 12-14,
http://www.pims.math.ca/pi/issue3/page12-14.pdf .
31 ZÁKLADY FIREMNÍCH FINANCÍ
i jinak, podstatné je skončit s intervalem požadované šířky s různými znaménky NPV
na okrajích. Pokud chceme například hledat IRR s přesností na celá procenta a známe
hodnoty NPV s různými znaménky ve dvou celočíselných úrokových sazbách, postupu-
jeme dál dovnitř intervalu a snažíme se nalézt dvě sousední procenta vykazující rozdílná
znamínka NPV. Výsledkem pak bude, že IRR leží právě mezi těmito dvěma procenty.
Pro vyjádření NPV finančního projektu je zapotřebí mít představu o úrokové sazbě, se
kterou ho budeme srovnávat. K výpočtu IRR žádný takový údaj nepotřebujeme, zde
úrokovou sazbu odpovídající projektu počítáme. Rozhodování podle NPV je snadné
– přijímáme projekty s kladnou čistou současnou hodnotou, čím je větší, tím lépe. S
interpetací IRR už to tak snadné není, rozhodování o finančních projektech totiž stále
podléhá stejné logice uspořádání podle NPV a proto je závislé na existující úrokové
sazbě. Proto je například nesprávné tvrdit, že lepší je finanční projet, který dosahuje
větší IRR, to je pravda pouze za přísně omezených podmínek. To, že má jeden finanční
projekt větší IRR než druhý neznamená, že první je za každých podmínek výhodnější,
to totiž závisí to na úrokové sazbě, při některých sazbách může být výhodnější jeden, při
jiných druhý. Například jinak se chovají úvěrové a jinak investiční projekty
Řešené příklady
Cvičení 37. U finančního projektu FP = (−1000,100,0,1100) určete IRR s přesností na
celá procenta, víte-li: NPV10%(FP) = −82.6, NPV5%(FP) = 45.4.
Řešení: NPV7%(FP) = −9, NPV6%(FP) = 18, proto 6% ≤ IRR ≤ 7%
Cvičení 38. Pokud chceme vyjádřit IRR rychle, ale bez předem známé přesnosti, můžeme
vyjádřit NPV ve dvou libovolných hodnotách úrokové sazby i1, i2 a průběh
NPV potom nahradit přímkou, procházející dvěma takto získanými body
(NPVi1,i1) a (NPVi2,i2). Průsečík této přímky s osou x je potom velice
přibližné vyjádření IRR. Jakou má hodnotu? Postupu použijte pro přibližné
vyjádření NPV finančního projektu FP = (−1000,100,0,1100) s použitím
i1 = 5%, i2 = 10%.
Řešení: Označme průsečík uvedené přímky s osou x jako i. Mají-li body (NPVi1,i1),
(NPVi2,i2) a (0,i) ležet na jedné přímce, musí mít trojúhelníky (NPVi1,i1), (0,i1),
(0,i) a (NPVi2,i2), (0,i2), (0,i) u vrcholu (0,i) stejný úhel. Z vyjádření tangenty
těchto úhlů pak dostáváme rovnici:
(i−i1)
NPVi1 =
(i−i2)
NPVi2
a proto
i = i1 ·NPVi2 + i2 ·NPVi1NPV
i2 −NPVi1
nebo-li
IRR .= i1 ·NPVi2 + i2 ·NPVi1NPV
i2 −NPVi1
VNITŘNÍ VÝNOSOVÉ PROCENTO 32
Výsledek číselného příkladu: 6.7%
Cvičení 39. Mějme dva alternativní, vylučující se finanční projekty A = (−100,112)
a B = (−110,123). V závislosti na výši běžné úrokové sazby (neznámé
nezáporné číslo) rozhodněte jestli některý z těchto projektů příjmete a který
to bude.
Řešení: Rozhodování mezi dvěma finančními projekty je závislé na parametru úrokové
sazby. Jeden projekt může být lepší při některých úrokových sazbách, druhý při jiných. Po-
kud je průběh NPV projektů A a B takový jak ukazuje ilustrace, je projekt B výhodnější
nalevo od bodu iA−B a méně výhodný napravo. Tento bod srovnání NPV obou projektů
je mimochodem vnitřním výnosovým procentem jejich rozdílového projektu A−B, tedy
iA−B = IRR(A−B). Pokud nemusíme nutně jeden z projektů zvolit, budeme projekt A
přijímat pouze po hodnotu iA = IRR(A), při vyšších úrokových sazbách již nepříjmeme
žádný projekt. Celá odpověď tedy zní: do bodu iA−B přijmout B, pak až do bodu iA
přijmout A, a dále již nepřijmout žádný z projektů.
Tak jsme vybrali z trojice projektů A, B a nulového projektu vždy ten, který měl při
dané úrokové sazbě nejvyšší NPV. Graficky se jedná o horní obal grafů tvořený nejvýše
položenými částmi grafů NPV.
NPV
iiA−B iB iA
NPV (A)
NPV (B)
Obrázek 12. Srovnání alternativních finančních projektů
Pro naše číselné zadání si situaci můžeme ilustrovat tabulkou:
9% 10% 11% 11,8% 12% 13%
NPV(A) 2,75 1,82 0,90 0,18 0 -0,88
NPV(B) 2,84 1,82 0,81 0 -0,18 -1,15
Záhlaví tabulky je zvoleno tak, že ukazuje klíčové sazby IRR(A) = 12%, IRR(B) =
11,8%, IRR(A−B) = 10%, takže již nyní tušíme odpověď. Vhodný systematický postup
je následující:
Srovnejme oba projekty – kdy je lepší první? Tedy, pro která i platí že má první projekt
vyšší NPV?
33 ZÁKLADY FIREMNÍCH FINANCÍ
NPVi(A) > NPVi(B)
−100 + 1121 + i > −110 + 1231 + i
a po drobné úpravě:
i > 10%
Tedy projekt A je lepší než B pro úrokové sazby nad 10%. Ještě se ale musíme ptát, kdy
jsou projekty přijatelné, kdy mají kladnou NPV. Snadno zjistíme, že je to pro úrokové
sazby menší než jsou jejich IRR, která jsou uvedených 12 a 11,8%. Odpověď proto zní:
Pro i ∈ (0,10%) volíme B, pro i ∈ (10%,12%) volíme A, a pro i ∈ (12%,∞) nepříjmeme
žádný z projektů.
Příklady k procvičování
Cvičení 40∗. Uvažme finanční projekt „Těžba vápence v Českém krasucsquotedblright o tvaru: počáteční
investice 1000, tržba po prvním roce 1595, dva roky soudní proces a na konci
třetího roku platba pokuty za těžbu v chráněné oblasti 600 (tedy celkem
(-1000, 1595, 0, -600)). Jakou má tento projekt hodnotu IRR?
Řešení: Tento projekt má dvě vnitřní výnosová procenta: 3.5% a 9%.
IX. Finanční analýza
Základní pojmy