Statistika k ekonometrii

ěpodobnosti). Po provedení pokusu můžeme stanovit pravděpodobnost P(Bi/A) (tzv. aposteriorní pravděpodobnosti), že jev A nastal ve spojení s některým z jevů Bi. Tuto pravděpodobnost vyjadřuje Bayesova věta. - P(Bi/A) = (P(Bi)* P(A/Bi))/P(A)
Co vyjadřuje centrální limitní věta?
Zabývá se normálním rozdělením jako limitním rozdělením, k němuž se za určitých podmínek blíží řada jiných pravděpodobnostních rozdělení
Co znamená hladina významnosti?Je to pravděpodobnost chyby I. druhu, která spočívá v chybném zamítnutí pravdivé testované hypotézy H0
Příklady:
skripta str.47 příklad 3.8. zadání stejné akorát se navíc musí spočíst střední hodnota viz str. 50 příklad 3.9.
je dána střední hodnota 1. Určete pravděpodobnost, že se v jednom roce (toto je chyták na nic) přepálí a) dvě elektronky b) nejméně dvě c) alespoň dvěřešení: Poissonovo rozdělení pro dané hodnoty, kdy lambda=1. Tabulky ve scriptech + obdobný příklad strana 54.a) P(X=2) 12*e-1/1! = 0,1839b) P(X>=2)c) P(X>=2)1 – [P(0) + P(1)] = 1 – (0,3679 + 0,3679) = 0,2642
podobný příklad jako na straně 76 pouze s tím rozdílem, že zadání se dotazuje na minimální podíl. Řešení: spočítat pouze levostranný interval
příklad na úvahu:
student ví, že se musí denně v průměru naučit 20stran textu. První polovinu doby se učí 10 stránek denně. Naučí se celou látku, když se bude druhou polovinu učit 30 stránek denně?
Řešení: zadání bylo na první pohled v říši nekonečna: ale na druhý pohled je nutno si uvědomit, že se jedná o harmonický průměr, kdy známe dopředu výsledek. Tedy „x s pruhem“ se rovná 20
Vzorec je pak n = 2 (dvě poloviny doby)
1/X1 = 1/10
1/X2 = 1/30
2
X = = 15 Ne, neboť by se učil pouze 15 stran denně místo 20
1 1
+
10 30
3. Pravděpodobnost, že elektronka není jakostní je 0,05. Jaká je pravděpodobnost, že v dodávce 80 elektronek budou a) 4 vadné, b) aspoň 4 vadné
VÝPOČET:
P=0,05
π=0,05
n = 80
X= zmetci Xa = 4; Xb>=4 (bude pravd. stejné)
Dle Moivreovy- Laplaceovy věty:
Ua = X – nπ 4 – 80*0,054 - 4
Odmocnina z nπ(1 – π)odm. 80*0,05(1-0,05)1,9
Výsledek je 0 což je ф=0 a to se v tabulce nalezne a výsledek je 0,5 =>
Tzn., že 50% je pravděpodobnost, že 4 elektronek ze 80 bude vadných.
4. Máme 25 ks toal. papírů s prům. délkou 160,5 m, interval spolehlivosti je 95%, s´ je 0,012 m. Odhadněte střední délku, jedná-li se normální rozdělení.
n = 25
X s pruhem = 160,5s´ = 0,012
P= 1 – alfa = 0,95
Tvořivé odpovědi:
1. Jaké jsou techniky náhodného výběru?
Přímý výběr
Losování
Generátor náhodných čísel
Systematický výběr
2. Co je kritický obor?
obsahuje hodnoty svědčící ve prospěch H1 (opakem je obor přijetí ve prospěch H0).
3. Co je vydatnost?
Zvolení takové výběrové charakteristiky, která má nejmenší rozptyl.
Vybrat ze 3 variant:
1. Jaká je pravděpodobnost 2 nezávislých jevů ( vybrat ze vzorečkového vyjádření)
2. Co nepatří mezi spojitá rozdělení?
Jak se spočítá prům. koeficient růstu?- jako geometrický průměr
Pravděpodobnost průniku dvou libovolných náhodných veličin
– 3 vzorce – (správně vzorec průniku 2 závislých)
Šikmost – pokud je záporná, jaká je koncentrace hodnot?
- velkých hodnot
Dovozní a vývozní indexy
- měříme indexem proměnlivého složení
Může být 30 % kvantil záporný a proč?
- může
Jaká je chyba prvního druhu?
- zamítnutí správnou hypotézu H0
Jaké je symetrické a nesymetrické rozdělení?
Rozptyl a směrodatná odchylka (teorie)
Příklady:
Cenový index - tržby za určitě období
Pravděpodobnost podmiňovací
Střední hodnota a směrodatná odchylka
Test hypotézy (rozptyly a střední hodnota)
Distribuční funkce
Teorie:
1) Když se variačnímu koef. přičte konstanta, změní se variační koeficient? Sníží se
2) Jaké jsou shodné vlastnosti odhad spolehlivosti a přesnost odhadu?
Čím vyšší odhad (99%), tím je odhad širší a méně přesný. Čím je menší (90%), tím je odhad přesnější.
3) U jakého rozdělení je modus a medián u pravděp. rozdělení stejné?
Normální rozdělení, normované-normální rozdělení, studentovo rozdělení
4) Když zamítneme H0 jednostranného interv., zamítneme hypotézu dvoustranné hypotézy? Když se zamítne H0 v jednostranném intervalu, tak ji nezamítáme v dvoustranném intervalu. Protože zamítneme při 99% v jednostranném a spadne do druhého intervalu 90% do oboru přijetí
5) Může nastat situace, že index ceny hovězího masa stoupne, když ve všech prodejnách cena poklesla? Zdůvodněte svůj názor.
1. Součet odchylek všech měřených hodnot od aritmet. průměru
a) je závislý na vahách jednotlivých měřených hodnot
b) rovná se vždy průměru
c) je závislý na extremních hodnotách v měřeném souboru
2. Nulová hypotéza byla zamítnuta na 5% hladině významnosti. Potom
a) lze Ho automaticky zamítnout při 10% hladině významnosti
b) lze Ho automaticky zamítnout při 1% hladině významnosti
c) nelze Ho automaticky zamítnout při 20% hladině významnosti
3. Jako charakteristiku relativní změny ceny při stálém objemu produkce ze základního období použijeme
a) Fisher. index množství
b) Lasp. cen index
c) Paasheův cen. index
4. Je-li X spojitá náhodná veličina, pak rozdíl hodnot distrib. funkce
F(B) - F(A) pro B > A znamená
a) pravděpodobnost, že X bude v intervalu (A,B)
b) střední hodnotu hustoty pravděpodobnosti v intervalu (A,B)
c) střední hodnotu pravděpod. funkce v intervalu (A,B)
5. Je možné, aby existovaly náhodné jevy takové, že pravděpodobnost průniku je > než pravděpodobnost sjednocení?Ne, P(A(B)( sjednocení) = P(A) + P(B) - P(A(B)(průnik)
6. Rozdíl náhod. a záměr. výběru. Přednosti náhod. VýběruAby závěry o základním souboru byly spolehlivé, musí být náhodný výběr representativní částí základního souboru (toho nedocílíme, pokud vybere část záměrně). Náhodný výběr je takový výběr jednotek ze základního souboru, při němž o tom, které jednotky budou zařazeny do výběrového souboru rozhoduje náhoda a ne záměr nebo úsudek vybírajícího.V náhodném výběru mají všechny jednotky stejnou pravděpodobnost výběru. Výběr z netříděného souboru nebo souboru utříděného dle kritérií, které nesouvisí se sledovaným znakem.
Výběr ze základního souboru nebo pomocí tzv. opory výběru.
7. Je oboustran. interval spolehlivosti pro odhad parametrů vždy symetrický? Pokud ne, kdy? Při růstu ( tj. hladinou významnosti ????
8. Jak postupovat, chcete-li zjistit, jak se na změně průměr. dovoz. ceny výrobku podílely změny cen z jednotlivých dovoz. zemí a jak změna struktury dovozu podle dovoz. zemí.
Pomocí rozkladu indexu proměnlivého složení (vzoreček v papírech). Index proměnlivého složení je součinem indexu stálého složení a indexu struktury.
1/ Vzroste-li rozptyl proměnné o 100% a aritm. průměr o 10%, potom var.
koeficient
a) vzroste o 28,6%
b) nezmění se
c) vzroste 3,16krát
2/ Distribuční fce
a) může nabývat lib. hodnotu z intervalu uzavřeného (-1,+1)
b) je pravděpodobností, že náhodná veličina nepřekročí danou hodnotu v bodě x
c) se asymptoticky blíží k nule pro xšipka nekonečno
3/ Šířka oboustranného intervalu spolehlivosti pro střed. hodnotu zákl.
souboru
a) je menší pro spolehlivost 99% než 95%
b) je nezávislá na velikosti výběrového souboru
c) klesá s rostoucím rozsahem výběru
4/ Binomické rozdělení je vhodným modelem
a) pro spojitou náhodnou veličinu
b) pro nespojitou náhodnou veličinu na základě nezávislého pokusu
c) dtto
závislého pokusu
5/ Co vyjadřuje index proměnlivého složení
Index proměnlivého složení je součinem indexu stálého složení a indexu struktury. Vyjadřuje změnu průměrné ceny za dvě období.
6/ Je možné, aby existovaly 2 náhodné jevy, že pravděpodobnost jejich průniku je větší než pravděpodobnost jejich sjednocení
Ne, P(A(B)( sjednocení) = P(A) + P(B) - P(A(B)(průnik)
7/ Druhy náhodného výběru
Prostý, oblastní a vícestupňový
8/ Vysvětli pojem "síla testu"
Vyjadřuje s jakou pravděpodobností zamítneme nulovou hypotézu H0
1/ Student má nastudovat 20 stran denně. První polovinu knihy nastudoval rychlostí 10 stran/den. Stihne probrat vše v termínu, jestliže bude studovat druhou polovinu rychlostí 30 str./den?
Je nutno si uvědomit, že se jedná o harmonický průměr, kdy známe dopředu výsledek. Tedy „x s pruhem“ se rovná 20
Vzorec je pak n = 2 (dvě poloviny doby)
1/X1 = 1/10
1/X2 = 1/30
2
X = = 15 Ne, neboť by se učil pouze 15 stran denně místo 20
1 1
+
10 30
2/ Pravděpodobnost vyrobení vadného výrobku je 0,1. Určete mezi 6 výrobky budou:
A: právě dva vadné B: alespoň dva vadné
VÝPOČET:
P=0,1
π=0,1
n = 6
X= zmetci Xa = 2; Xb>=2 (bude pravd. stejné)
Dle Moivreovy- Laplaceovy věty:
Ua = X – nπ 2 – 6*0,1-1,94
Odmocnina z nπ(1 – π)odm. 6*0,1(1-0,1)0,54
Výsledek je -3,5925 což je ф=-3,5925 a to se v tabulce nalezne a výsledek je 1(protože je zápor)-0,99984=0,00016 =>
Tzn., že 0,016% je pravděpodobnost, že 2 elektronek ze 6 bude vadných.
3/ V jakých mezích lze s 95% spolehlivostí očekávat průměrný počet bodů z testu, jestliže z výběru 30 studentů jsme vypočítali průměrný počet bodů 62 a rozptyl 50?
X s pruhem = 62
Rozptyl = 50
n = 30
1 – alfa = 95
P(x s pruhem – U1-alfa/2 rozptyl/odm.n = s pruhem + U1-alfa/2 rozptyl/odm.n) = 1 – alfa
U1-alfa/2 = 0,995 = 2,576
P(62 – 2,576(50/odm30)=