Příklady

y±
1.Určete aritmetický průměr a modus výšky děvčat ve vaší třídě.Výsledek: 1675
2.Vypočtěte průměrný počet žáků, který připadá na jednu třídu ve vaší škole. Určete odchylky počtu žáků v jednotlivých třídách od vypočítaného průměru. Určete modus.Výsledek: 1680
3.Určete aritmetický průměr a modus známek na svém závěrečném vysvědčení v předcházejícícm pololetí.Výsledek: 1676
4.Měřte teplotu vzduchu jeden den vždy po dvou hodinách od 6:00 do 20:00 hodin večer a určete průměrnou teplotu tohoto dne z vašich naměřených hodnot.Výsledek: 1678
5.Pan Novák jel 3 hodiny autobusem (průměrná rychlost 40 km/h). Z konečné stanice autobusu šel dále 5 hodin pěšky (průměrná rychlost 4 km/h) do cíle své cesty. Jaká byla průměrná rychlost pana Nováka na celé cestě?18 km/h
Výsledek:
1679
6.Určete průměrnou výšku a modus měsíčního kapesného, které dostávají spolužáci ve vaší třídě.Výsledek: 1677
Medián±Aritmetický průměr je často nereálná hodnota. Mají-li například dva kamarádi dohromady průměrně 50 Kč, mohli jsme tuto hodnotu získat také tak, že jeden z nich má 100 Kč a druhý 0 Kč.Jestliže je ve statistice uvedeno, že během roku sní každý občan naší republiky jednu husu, může sníst někdo pět hus a někdo jiný žádnou!!!Proto se určují ještě další hodnoty, které charakterizují daný soubor. Jednou z nich je modus, se kterým jsme se již seznámili, je medián.Příklad 1:Na jedné 15-ti třídní škole mají tyto počty žáků ve třídách:
TřídaPočet žáků1A181B17228
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)31.3.2007 20:21:02 7 z 20
M - Statistika 133345A285B296A316B337A327B8A268B288C935Sestavte tabulku seřazenou od nejmenšího počtu žáků ve třídě k největšímu. Ve druhém sloupci této tabulky uveďte označení třídy odpovídající danému žáků. Určete modus a vypočtěte aritmetický průměr počtu
žáků ve třídě.Řešení:Modus (nejvyšší četnost) je 33 žáků.Průměr počtu žáků v jednotlivých třídách označíme xp. Platí:141321 1.35.33.32.31.29.28.26.18.17+++=pxp = 430 : 15 = 29 (po zaokrouhlení)Počet žákůTřída171B181A268A8C
2825A8B295B316A327A33346B7B359Další charakteristikou souboru je údaj, který leží uprostřed tabulky počtu žáků v jednotlivých třídách dané školy sestavené od nejmenšího počtu k nejvyššímu.Je to třída s počtem žáků 29. (Před tímto údajem je uveden počet sedmi tříd a za ním je uveden rovněž počet žáků sedmi tříd.)
Hodnota ležící ve středu tabulky uspořádané od nejmenší do nejvyšší hodnoty šetřeného znaku, se nazývá medián.Tabulku počtu žáků třídě a označení příslušné třídy uspořádáme ještě tak, že ke každému počtu žáků ve třídě přířadíme místo označení třídy četnost tříd, které mají tyto počty žáků.Počet žáků ve tříděČetnost takových tříd1711826228329131
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)31.3.2007 20:21:02 8 z 20
M - Statistika 132133435I z této tabulky snadno určíme medián. Tabulku rozdělíme na tři části tak, aby v prvé i ve třetí části tabulky byl stejný počet tříd (prvků daného statistického souboru). Při lichém počtu prvků statistického souboru leží ve druhé části jediná hodnota - medián.Závěr:Zjistili jsme, že průměrný počet žáků ve třídě je 29, medián též 29 a modus 33.Příklad 2:Na 1. stupni základní školy mají tyto počty žáků ve třídách:
Určete medián tohoto statistického souboru.Řešení:Tabulku uspořádáme podle počtu od nejmenšího k největšímu.Na rozdíl od předchozího příkladu vidíme, že zde máme sudý počet prvků. V případě sudého počtu prvků statistického souboru určíme medián tak, sečteme poslední hodnotu horní části tabulky a první hodnotu
dolní části tabulky (uspořádané od nejmenší do největší hodnoty znaku) a tento součet dělíme dvěma.V našem případě:192382018=+Medián daného statistického souboru je 19.
Medián - procvičovací příklady±
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)31.3.2007 20:21:02 9 z 20
M - Statistika 11.Určete medián počtu žáků jednotlivých tříd vaší školy.
Výsledek: 1711
2.Určete medián výšky děvčat ve vaší třídě.Výsledek: 1706
3.25 žáků třídy 9B psalo písemnou práci z matematiky, za kterou mohl každý žák dostat nejvýše 20 bodů. Získali tyto výsledky:14171514201615181817171817151518201916191919Sestavte tabulku četností jednotlivých výsledků od nejnižšího počtu dosažených bodů k nejvyššímu. Určete průměr, medián a modus tohoto souboru.17,2; 17; 18
Výsledek:
1701
4.Škola má celkem 12 tříd. Průměrný počet žáků na třídu je 29. Medián je 29,5. Modus je 36. Nejvyšší počet žáků ve třídě je 36, nejnižší 19. S počtem 36 žáků jsou ve škole dvě třídy. Určete celkový počet žáků ve škole a charakterizujte tento statistický soubor podrobněji podle zadaných údajů.348 žáků; podmínky splňuje např. tato tabulka:1234567891011121920252728293031333436
Výsledek:
1700
5.Měřte teplotu vzduchu jeden den vždy po dvou hodinách od 6:00 do 20:00 hodin večer a určete medián tohoto dne z vašich naměřených hodnot.Výsledek: 1709
6.Milan se zúčastnil dálkového pochodu. Šel však velmi nerovnoměrně. Za první hodinu ušel 7 km, za druhou hodinu 5,5 km; za třetí a čtvrtou hodinu 0 km; za pátou 4,5 km; šestou 4 sedmou hodinu 3 km a za osmou hodinu ušel pouze 1 km. Určete rychlost za odpovídající mediánu.3,5 km/h
Výsledek:
1703
7.Určete medián měsíčního kapesného, které dostávají spolužačky ve vaší třídě.Výsledek: 1708
8.Sestavte tabulku pro soubor vaší třídy a znak číslo bot, které jednotliví žáci nosí. Určete medián souboru.Výsledek: 1705
9.Určete medián známek na svém závěrečném vysvědčení v předcházejícícm pololetí.Výsledek: 1707
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)31.3.2007 20:21:02 10 z 20
M - Statistika 110.Při měření výšky sedmnácti dětí ve sportovním oddílu byly zjištěny tyto hodnoty (v metrech):Pořadové čísloVýška [m]1 1,302 1,353 1,324 1,505 1,4067 1,328 1,549 1,50101,32
111,40121,42131,3214151,42161,35171,48Určete medián daného statistického souboru.1,40 m
Výsledek:
1704
11.V šetřeném souboru je 7 jablek o hmotnostech 120 g, 100 g, 200 g, 80 g, 130 g, 160 g, 140 g. Určete jablko, které reprezentuje medián tohoto souboru.130 gVýsledek: 1702
12.Pan Novák jel 3 hodiny autobusem (průměrná rychlost 40 km/h). Z konečné stanice autobusu šel dále 5 hodin pěšky (průměrná rychlost 4 km/h) do cíle své cesty. Jaký byl medián průměrných rychlostí pana Nováka na celé cestě?4 km/h
Výsledek:
1710
Rozptyl±Pozor na průměrné hodnoty!"Ne nadarmo koluje o statisticích tento vtip: Kdyby někdo stál jednou nohou ve sněhu a druhou na rozžhaveném uhlí, statistik řekne, že je mu průměrně teplo."Rozptyl je statistická veličina, která charakterizuje rozložení četností kolem aritmetického průměru.Jako statistická veličina je rozptyl definován jako součet druhých mocnin odchylek jednotlivých hodnot znaku od průměru dělený počtem hodnot.Rozptyl značíme s (řecké písmeno sigma).
x1, 2... , xn jsou jednotlivé hodnoty,p je jejich průměr,n počet prvků daného souboruPříklad 1:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)31.3.2007 20:21:02 11 z 20
M - Statistika 1Během jednoho deštivého dne byla naměřena teplota vzduchu v Praze ráno (v 6:00 hodin) 8°C, v poledne (ve 12:00 hodin) 12°C a večer (v 19:00 hodin) 10°C. Během slunečního jarního dne (s ranním ostrým chladem) byla naměřena teplota vzduchu ráno (v 6:00 hodin) 3°C, poledne (ve 12:00 18°C a večer (v 19:00 9°C. Vypočítejte aritmetický průměr teplot v uvedených dnech a odchylky naměřených teplot od tohoto aritmetického průměru.Řešení:Tabulka - 1. denTeplota [°C]Odchylka od průměru naměřených teplot8 -212 +2
10 0Aritmetický průměr teploty (ve stupních Celsia):38=+ptTabulka - 2. denTeplota [°C]Odchylka od průměru naměřených teplot3 -718 +89 -1Aritmetický průměr teploty (ve stupních Celsia):103=+
ptV obou sledovaných dnech je aritmetický průměr naměřených hodnot teplot stejný, a to 10°C.Odchylky od průměrné teploty v prvním a ve druhém dni nám však ukazují, že jde o dva velmi rozdílné statistické soubory. V prvním případě jsou odchylky