Algebra

4 Fce dvou proměnných
Def.: Nechť máme danou množinu bodů [x,y] ∈ M . Předpis, který každému bodu [x,y] ∈ M přiřadí číslo z
nazýváme reálnou fcí dvou proměnných.
M je definiční obor.
Def.: Říkáme, že fce z = f(x,y) má v bodě [x,y] parciální derivace podle x existuje-li vlastní (=konečná) limita:
fprimex = limh→0 f(x0+h,y0)−f(x0,y0)h
Podobně se definuje parciální derivace podle y.
2.4.1 Geometrický význam
Řezem plochy z = f(x,y) rovinou x = x0 je křivka z = f(x0,y) (z je při konstatním x0 fcí jen jedné proměnné).
∂f
∂y(x0,y0) je směrnice tečny této křivky v bodě [x0,y0] .
Příklad: spočtěte ∂3z∂x2∂y kde z = y2 sinx
Věta:
∂2f
∂x∂y =
∂2f
∂y∂x
Def.:
Říkáme, že fce z = f(x,y) nabývá v bodě [x0,y0] lokálního minima (maxima), jestliže existuje okolí bodu [x0,y0] a
pro všechny body z okolí platí:
9
f(x,y)≥f(x0,y0) (f(x,y)≤f(x0,y0))
Věta:
Má-li fce v nějaké oblasti parciální derivace prvního řádu, pak může nabývat lokálního extrému pouze v bodě [x0,y0]
v němž platí:
∂f
∂x = 0 a
∂f
∂y = 0
2.5 Vyšetřování průběhu fce
1) Určíme definiční obor
2) vyšetříme zda je fce lichá, sudá či periodická
3) vyšetříme limity v krajních bodech definičního oboru
4) stanovíme nulové body
5) určíme intervaly v nichž je fce rostoucí, klesající a určíme lokální extrémy
6) stanovíme inflexní body a urcime intervaly, kde je kovexni a kde konkávní
Příklad: Vyšetřete průběh fce y = 15(4x3−x4)
Řešení:
D(f) = (−∞,∞)
Funkce není ani sudá, ani lichá, ani periodická.
Funkce protíná osu x v bodech x = 0 a x = 4. Tím dělí průběh funce do tří intervalů. V intervalu x∈ (−∞,0)
nabývá funkce záporných hodnot, v intervalu x∈(0,4) kladných a v intervalu x∈(4,∞) opět záporných.
První derivace funkce má tvar
fprime(x) = 45x2(3−x).
Nulové hodnoty nabývá první derivace pro x = 0 a x = 3. První derivace je kladná (čili funkce je rostoucí) na
intervalu x∈(−∞,0)uniontext(0,3); na intervalu x∈(3,∞) je funkce klesající.
Druhá derivace funkce má tvar
fprimeprime(x) = 125 x(2−x).
Nulové hodnoty nabývá pro x = 0 a x = 2, což jsou inflexní body (na základě výpočtu fprimeprimeprime). V intervalu x ∈
(−∞,0)uniontext(2,∞) je fprimeprimeprime < 0, funkce je zde tedy konkávní. V intervalu x ∈ (0,2) je fprimeprime > 0, funkce je zde tedy
konvexní.
Nyní můžeme nakreslit graf funkce, viz obrázek 3
10
x
y
y = 15(4x3−x4)
2
16/5
3
27/5
40
Obrázek 3: Průběh funkce
2.6 Příklady pro domácí cvičení
Příklad: Derivujte
a)f(x) = 3x26x
b)f(x) = lnx2
c) f(x) = 3x
d) f(x) = (sinx)ex
Výsledky: a)[12] b)[ 2x] c)[3x ln 3] d) [ex cosx+ex sinx]
Příklad: Určete lokální extrémy
a) y = x3 + 3x2−9x+ 5
b) y = x+ cos 2x na (0,pi)
c)y = xx2+2x+9
Výsledky:
a) max. v −3 , min v 1
b) max v pi12 , min v 5pi12
c) min v −3 , max v 3
11
x
y y
1
1 1.8393
Obrázek 4: Graf funkce y = x4−2x3 + 1
Příklad: Vyšetřete průběh fce
y = x4−2x3 + 1
Výsledek viz obrázek 4
Příklad: Určete parciální derivace fce
a) z = 2xy
b) z = x2 lny
c) z = ysinx
Výsledky: a) [∂z∂x = 2y, ∂z∂y = 2x]
b) [∂z∂x = 2xlny, ∂z∂y = x2y ]
c) [∂z∂x = ycosx, ∂z∂y = sinx]
12
3 Formulace úlohy lineárního programování
Obecný tvar úlohy lineárního programování je tvořen účelovou funkcí a systémem omezení. Účelová (kriteriální)
funkce udává základní veličinu, kterou chceme maximalizovat nebo minimalizovat (např. zisk podniku, náklady
atd.). Systém omezení je soustava rovnic nebo nerovnic, která určuje, jaká řešení jsou přípustná. V úlohál lineárního
programování jsou jak účelová funkce, tak i omezení lineární. Řešení úlohy lineární optimalizace znamená najít
takové přípustné řešení (řešení, které splňuje všechny rovnice a nerovnice omezení), které má nejlepší hodnotu
účelové funkce.
3.1 Formulace úlohy lineárního programování
3.1.1 Obecná formulace
Obecná formulace předpokládá, že se omezující podmínky vyskytují jak ve formě rovnic, tak ve formě nerovnic.
Podmínky tvoří množinu I ={1,2,...,m}. Podmínky nezápornosti množinu J ={1,2,...,n}.
nsummationdisplay
j=1
cjxj → max/min (1)
nsummationdisplay
j=1
aijxj ≤ bi (i∈I1) (2)
nsummationdisplay
j=1
aijxj = bi (i∈I2) (3)
xj ≥ 0 (j∈J1) (4)
Symboly aij, bi a cj (i = 1,2,...,m; j = 1,2,...,n) jsou daná reálná čísla, xj (j = 1,2,...,n) zastupují neznámé.
Rovnice (1) je účelová funkce, rovnice (2) a (3) představují omezující podmínky plynoucí z formulace úlohy. Rovnice
(4) představuje tzv. podmínku nezápornosti. Pro velkou část proměnných je smysluplné uvažovat pouze nezáporné
hodnoty (např. pro výrobu).
Pokud je aspoň některá podmínka ve tvaru rovnice a jiná ve tvaru nerovnice (tj. I1 negationslash= I, I2 negationslash= I), nazýváme úlohu
úlohou lineárního programování ve smíšeném tvaru.
Pokud jsou všechny omezující podmínky ve tvaru rovnic a všechny proměnné musejí být nezáporné (tj. I2 = I,
J1 = J), pak úlohu nazýváme úlohou lineráního programování v rovnicovém tvaru.
Pokud jsou všechny omezující podmínky ve tvaru nerovnic a všechny proměnné musejí být nezáporné (tj. I1 = I,
J1 = J), pak úlohu nazýváme úlohou lineráního programování v nerovnicovém tvaru.
3.1.2 Kanonický tvar
Kanonický tvar je zvláštním případem rovnicového tvaru maximalizační úlohy
z = c1x1 +c2x2 +...+cnxn→max,
kde matice soustavy obsahuje jedničkovou submatici (libovolně umístěnou v matici). Tedy
x1 +a1,m+1xm+1 +...+a1,nxn = b1,
x2 +a2,m+1xm+1 +...+a2,nxn = b2,
... ... ...
xm +am,m+1xm+1 +...+am,nxn = bm
13
při splnění podmínek nezápornosti
∀i = 1,2,...,n : xi≥0.
3.2 Převody mezi alternativními tvary
Úlohy lineárního programování lze mechanicky převádět mezi jednotlivými výše uvedenými tvary. Ekvivalentní
převod znamená, že původní i převedená úloha mají extrém účelové funkce v témže bodě.
3.2.1 Účelová funkce
Maximalizační účelovou funkci lze snadno převést na ekvivalentní minimalizační a opačně vynásobením funkce−1.
Platí
max
M
f(x) =−min
M
f(−x).
3.2.2 Podmínky nezápornosti
Podmínky nezápornosti jsou velmi důležité pro řešení. Pokud proměnná xe nemusí být nezáporná, je třeba ji
substituovat
xe = x+e −x−e ,
kde x+e = max(xe,0) a x−e = max(−xe,0). Nové proměnné x+e a x−e jsou nezáporné a určené jednoznačně.
3.2.3 Změna tvaru nerovnice podmínky
Podmínku tvaru summationdisplay
∀j
aijxj≥bi
lze převést na tvar
−
summationdisplay
∀j
aijxj≤−bi.
3.2.4 Převod rovnice podmínky na nerovnice
Podmínku ve tvaru rovnice summationdisplay
∀j
aijxj = bi
lze převést na ekvivalentní soustavu nerovnic
summationdisplay
∀j
aijxj≤bi∧
summationdisplay
∀j
aijxj≥bi.
14
3.2.5 Převod nerovnice podmínky na rovnici
Každou nerovnici lze převést na rovnici zavedením doplňkové proměnné xd≥0. Nerovnici ve tvaru
summationdisplay
∀j
aijxj≤bi
převedeme na rovnici summationdisplay
∀j
aijxj +xd = bi
a nerovnici ve tvaru summationdisplay
∀j
aijxj≥bi
na tvar summationdisplay
∀j
aijxj−xd = bi.
3.3 Typické úlohy lineárního programování
Většinu úloh lineárního programování je možné převést na některý ze základních problémů nebo jejich kombinaci.
Při formulaci úlohy je výhodné postupovat v následujících krocích:
1. slovní zadání
2. sestavení tabulky (pokud je to účelné)
3. stanovení proměnných
4. matematická formulace
5. (převod na kanonický tvar)
3.3.1 Výrobní problém
Sledovaná firma může vyrábět šest druhů oblečení, A, B, C, D, E a F. Rozsah produkce je omezen dvěma surovinami:
modrou a zelenou látkou. První může podnik získat maximálně v rozsahu 24 000 bm ročně, druhé maximálně
32 000 bm ročně. Jednotková spotřeba látek a jednotkový příspěvek na krytí je uveden v tabulce 1. Některé výrobky
mají i omezený odbyt.
Výrobek A B C D E F Disp. množství
Modrá látka 2,2 2,4 2,6 1,1 0,8 0 24 000
Zelená látka 0,5 0,5 0 1,6 1,9 2,7 32 000
Přísp. na krytí 225 251 206 290 300 195
Max. odbyt 5000 9000 — 8000 5000 —
Tabulka 1: Výrobní problém – podklady
Rozhodněte, kolik kterého výrobku výrábět. Formulujte úlohu.
15
Řešení: Za neznámé x1,x2,...,x6 zvolíme počet kusů jednotlivých výrobků, které podnik vyrábí. Chceme maxi-
malizovat příspěvek na krytí, odtud plyne účelová funkce. Podmínky musí zajistit, aby se nespotřebovalo víc látky,
než je jí k dispozici, a aby nebyla překročena odbytová omezení. Tedy
225x1 + 251x2 + 206x3 + 290x4 + 300x5 + 195x6 → max
2,2x1 + 2,4x2 + 2,6x3 + 1,1x4 + 0,8x5 ≤ 24 000
0,5x1 + 0,5x2 + 1,6x4 + 1,9x5 + 2,7x6 ≤ 32 000
x1 ≤ 5 000
x2 ≤ 9 000
x4 ≤ 8 000
x5 ≤ 5 000
x1,x2,...,x6 ≥ 0
3.3.2 Dopravní problém
Tři mlýny mají dodat mouku čtyřem pekárnám. První mlýn je schopen dodat 1000t denně, druhý 800t a třetí 700t.
První pekárna potřebuje 320t denně, druhá 540t, třetí 480t a čtvrtá 280t. Kolik má který mlýn dodat které pekárně,
pokud chceme minimalizovat náklady na dopravy, vyjádřené v tkm? Vzdálenosti jednotlivých mlýnů a pekáren jsou
uvedeny v tabulce 2. Formulujte úlohu.
Pekárna 1 Pekárna 2 Pekárna 3 Pekárna 4
Mlýn 1 3 12 5 4
Mlýn 2 20 7 12 10
Mlýn 3 8 14 15 6
Tabulka 2: Dopravní úloha – podklady
Řešení: Za neznáme si zvolíme množství mouky, které dodá mlýn i do pekárny j. Z důvodu přehlednosti si
označíme proměnné dvěma indexy, tedy xij. Účelová funkce minimalizující náklady má pak tvar
z =