Skkripta Lineární algebra Olšák

pro nově definované operace, protože
podle typu operandů nemůže dojít k nedorozumění. Také znak násobení „·csquotedblright budeme někdy vynechávat,
jako jsme zvyklí jej vynechávat při zápisu násobení reálných čísel.
Definice
lineárního
prostoru
1.6. Definice. Lineárním prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu L, na které je definováno
sčítání +: L×L → L a násobení reálným číslem ·: R×L → L a tyto operace splňují pro každé
x∈L,y∈L,z∈L,α∈R,β∈R vlastnosti:
(1) x+y = y +x (komutativní zákon sčítání),
(2) (x+y) +z = x+ (y +z) (asociativní zákon sčítání),
(3) α·(β·x) = (αβ)·x (asociativní zákon násobení),
(4) α·(x+y) = α·x+α·y (distributivní zákon pro sčítání prvků z L),
(5) (α+β)·x = α·x+β·x (distributivní zákon pro sčítání čísel),
(6) 1·x = x (vlastnost reálného čísla 1),
(7) existuje o∈L, že pro každé x∈L je 0·x = o (existence nulového prvku).
6
Lineární algebra 1. Lineární prostor, grupa, těleso
Prvky lineárního prostoru nazýváme vektory. Reálnému číslu v kontextu násobení·: R×L→L říkáme
skalár. Prvku o∈L z vlastnosti (7) říkáme nulový prvek nebo nulový vektor.
1.7. Věta. Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
(1) x+o = x ∀x∈L,
(2) α·o = o ∀α∈R,
(3) Nechť x∈L. Je-li α·x = o a αnegationslash= 0, pak x = o.
Důkaz. Použijeme vlastnosti z definice 1.6. Pro přehlednost píšeme nad rovnítka číslo použité vlastnosti.
(1) x+o (7)= x+ 0·x (6)= 1·x+ 0·x (5)= (1 + 0)·x = 1·x (6)= x.
(2) α·o (7)= α·(0·x) (3)= (α·0)·x = 0·x (7)= o.
(3) x (6)= 1·x =
parenleftbigg1
α α
parenrightbigg
·x (3)= 1α·(α·x) (z předpokladu)= 1α·o (vlastnost (2) věty 1.7)= o.
1.8. Poznámka. Ve vlastnostech (1) až (7) v definici 1.6 se pracuje se znaky „+csquotedblright a „·csquotedblright v souladu
s poznámkou 1.5 ve dvojím významu. Buď to jsou operace s prvky množiny L nebo operace s reálnými
čísly. Například ve vlastnosti (5) je první symbol „+csquotedblright použit ve významu sčítání na množině reálných
čísel, zatímco druhý symbol „+csquotedblright je použit ve významu sčítání na množině L. Jako cvičení zkuste o každé
použité operaci ve vzorcích (1) až (7) rozhodnout, jakého je druhu.
Prostor R21.9. Příklad. Ukážeme, že množina R2 z příkladu 1.3 se sčítáním a násobením skalárem podle defi-
nic (1.1) a (1.2) tvoří lineární prostor. Místo znaků „⊕csquotedblright a „circledotcsquotedblright budeme nadále používat znaky„+csquotedblright a „·csquotedblright.
Nejprve je třeba zjistit, zda operace „+csquotedblright a „·csquotedblright jsou skutečně definovány způsobem, jak požaduje
definice 1.6, tj. zda platí +: R2×R2 →R2 a·: R×R2 →R2. To jsme ale už ověřili dříve, viz (1.3).
Dále zjistíme platnost vlastností (1) až (7) z definice 1.6. Vlastnost (1) jsme podrobně ověřovali
v příkladu 1.3. Pokračujeme tedy vlastností (2). Pro každé a,b,c,d,e,f ∈R platí:
parenleftbig(a,b) + (c,d)parenrightbig+ (e,f) = (a+c,b+d) + (e,f) =parenleftbig(a+c) +e,(b+d) +fparenrightbig=
=parenleftbiga+ (c+e),b+ (d+f)parenrightbig= (a,b) + (c+e,d+f) = (a,b) +parenleftbig(c,d) + (e,f)parenrightbig.
Při úpravách jsme nejprve dvakrát použili definici (1.1), pak jsme v jednotlivých složkách využili toho,
že pro sčítání reálných čísel platí asociativní zákon a konečně jsme zase dvakrát použili definici (1.1).
Nyní dokážeme další vlastnosti. Pro každé a,b,c,d,α,β∈R platí:
(3) α·parenleftbigβ·(a,b)parenrightbig= α·parenleftbigβa,βbparenrightbig=parenleftbigα(βa),α(βb)parenrightbig=parenleftbig(αβ)a,(αβ)bparenrightbig= (αβ)(a,b),
(4) α·parenleftbig(a,b) + (c,d)parenrightbig= α·(a+c,b+d) =parenleftbigα(a+c),α(b+d)parenrightbig= (αa+αc,αb+αd) =
= (αa,αb) + (αc,αd) = α(a,b) +α(c,d),
(5) (α+β)·(a,b) =parenleftbig(α+β)a,(α+β)bparenrightbig= (αa+βa,αb+βb) = (αa,αb) + (βa,βb) =
= α(a,b) +β(a,b),
(6) 1·(a,b) = (1a,1b) = (a,b),
(7) dvojice (0,0) splňuje: (0,0) = 0·(a,b),protože 0·(a,b) = (0a,0b) = (0,0).
Použili jsme nejprve definice (1.1) a (1.2), pak jsme využili vlastnosti reálných čísel v jednotlivých složkách
dvojice. Nakonec jsme znovu použili definice (1.1) a (1.2).
Vidíme, že nulovým vektorem lineárního prostoru R2 je dvojice (0,0). Podle konvence ze závěru
definice 1.6 jsme oprávněni uspořádaným dvojicím se sčítáním a násobením podle definic (1.1) a (1.2)
říkat vektory.
1.10. Příklad. Množina R2 se sčítáním⊕podle definice (1.4) a násobenímcircledotpodle (1.2) netvoří lineární
prostor. Není totiž splněna například vlastnost (1) z definice 1.6.
7
Lineární algebra 1. Lineární prostor, grupa, těleso
Prostor Rn1.11. Příklad. Znakem Rn označíme množinu všech uspořádaných n-tic reálných čísel, (n je nějaké
přirozené číslo, n≥1). Jinými slovy:
Rn ={(a1,a2,...,an); a1 ∈R, a2 ∈R,..., an∈R}.
Definujme +: Rn×Rn→Rn,·: R×Rn→Rn takto: pro každé (a1,...,an)∈Rn, (b1,...,bn)∈Rn,
α∈R je
(a1,...,an) + (b1,...,bn) df= (a1 +b1,...,an +bn),
α·(a1,...,an) df= (αa1,...,αan).
Množina Rn s takto definovanými operacemi tvoří lineární prostor.
Důkaz bychom provedli analogicky jako v příkladu 1.9, ale pro úsporu místa to již nebudeme opa-
kovat. Vidíme tedy, že uspořádané n-tice s takto definovaným sčítáním a násobením skalárem můžeme
nazývat vektory. Speciálně v případě uspořádaných n-tic mluvíme o aritmetických vektorech. Číslo ai
nazýváme i-tou složkou vektoru a = (a1,a2,...,an).
1.12. Příklad. Množina R s obvyklým sčítáním reálných čísel a násobení reálného čísla reálným číslem
tvoří lineární prostor. To je zřejmé. Sčítání a násobení reálných čísel totiž splňuje vlastnosti (1) až (7)
z definice 1.6. Tento poznatek si jistě přinášíte ze střední školy. V tomto textu jsme jej už použili, když
jsme ověřovali, že R2 nebo Rn je lineární prostor.
Nulovým prvkem lineárního prostoru R je číslo 0. V kontextu sčítání a násobení můžeme tedy říkat
reálným číslům vektory, ale obvykle to neděláme.
Prostor
funkcí
1.13. Příklad. Uvažujme množinu FD všech reálných funkcí reálné proměnné definovaných na nějaké
množině D⊆R, tj. FD ={f; f : D→R}. Pro libovolné funkce f ∈FD, g∈FD a pro libovolné reálné
číslo α definujme součet f +g a násobek skalárem α·f takto:
(f +g)(x) df= f(x) +g(x) ∀x∈D (1.6),
(α·f)(x) df= αf(x) ∀x∈D (1.7)
(srovnejte s definicí ⊕ a circledot v příkladu 1.4). Ukážeme, že množina FD s takto definovaným sčítáním a
násobením skalárem tvoří lineární prostor.
Potřebujeme ověřit, zda součet funkcí z množiny FD je opět funkce z množiny FD a skalární násobek
je také funkce z FD. To ale platí, protože sčítáním funkcí ani násobením funkce konstantou podle naší
definice se nemění definiční obor a výsledkem operací je znovu reálná funkce reálné proměnné.
Dále potřebujeme ověřit vlastnosti (1) až (7) z definice 1.6. Pro libovolné f ∈FD,g∈FD,h∈FD,
α∈R,β∈R a pro všechna x∈D platí:
(1) (f +g)(x) = f(x) +g(x) = g(x) +f(x) = (g +f)(x),
(2) parenleftbig(f +g) +hparenrightbig(x) = (f +g)(x) +h(x) =parenleftbigf(x) +g(x)parenrightbig+h(x) = f(x) +parenleftbigg(x) +h(x)parenrightbig=
= f(x) + (g +h)(x) =parenleftbigf + (g +h)parenrightbig(x),
(3) parenleftbigα·(β·f)parenrightbig(x) = αparenleftbig(β·f)(x)parenrightbig= αparenleftbigβf(x)parenrightbig= (αβ)f(x) =parenleftbig(αβ)·f)(x),
(4) parenleftbigα·(f +g)parenrightbig(x) = αparenleftbig(f +g)(x)parenrightbig= α(f(x) +g(x)) = αf(x) +αg(x) =
= (α·f)(x) + (α·g)(x) = (α·f +α·g)(x),
(5) parenleftbig(α+β)·fparenrightbig(x) = (α+β)f(x) = αf(x) +βf(x) = (α·f)(x) + (β·f)(x) = (α·f +β·f)(x),
(6) (1·f)(x) = 1·f(x) = f(x),
(7) (0·f)(x) = 0·f(x) = o(x), kde funkce o má pro všechna x∈D hodnotu 0.
Ačkoli tyto vzorce vypadají na první pohled jen jako „hraní se závorkamicsquotedblright, musíme si uvědomit, že
rovnost funkcí zde dokazujeme na základě rovnosti jejich hodnot v každém bodě x∈D a že při důkazu
používáme nejprve rozepsání operací podle definic (1.6) a (1.7). Tím problém převádíme na sčítání a
násobení reálných čísel, kde jsou vlastnosti (1) až (7) zaručeny. Jako cvičení si zkuste přepsat tyto vzorce
tak, že odlišíte operace sčítání funkcí a násobení funkce skalárem od běžných operací „+csquotedblright a „·csquotedblright pro reálná
čísla. Použijte například symbolů⊕acircledot, jako v příkladu 1.4.
Vidíme, že množina FD s definicí sčítání a násobení skalárem podle (1.6) a (1.7) je lineárním prosto-
rem. Funkce z FD jsme tedy podle definice 1.6 oprávněni nazývat vektory. Nulovým vektorem je v tomto
případě funkce, která má pro všechna x∈D nulovou hodnotu.
8
Lineární algebra 1. Lineární prostor, grupa, těleso
Prostor
polynomů
1.14. Příklad. Ukážeme, že množina P všech polynomů s definicemi sčítání a násobení skalárem podle
příkladu 1.4 tvoří lineární prostor.
Především součet dvou polynomů je polynom a skalární násobek polynomu je polynom, takže platí,
že +: P×P →P a·: R×P →P. To je ale vše, co potřebujeme dokázat. Ověřováním vlastností (1) až
(7) se nemusíme zdržovat, protože jsme definice sčítání a násobení polynomů převzali z prostoru funkcí
FD, o němž jsme dokázali v příkladu 1.13, že se jedná o lineární prostor (volíme D = R). Při ověřování
vlastností (1) až (7) bychom dělali vlastně to samé jako v příkladu 1.13, jen na podmnožině P ⊆FD.
1.15. Příklad. Nechť n ∈ N, n ≥ 0 (symbolem N značíme množinu přirozených čísel). Množina Pn
všech polynomů právě n-tého stupně s definicemi sčítání a násobení skalárem podle příkladu 1.4 netvoří
lineární prostor. Připomeneme, že stupeň polynomu se definuje jako největší k ∈N takové, že ak je ve
vzorci (1.5) nenulové. Jsou-li všechna ak nulová, definujeme stupeň takového polynomu jako−1.
Proč není množina Pn lineárním prostorem? Sečteme-li totiž dva polynomy n-tého stupně, například
xn + 2 a −xn−2, dostáváme nulový polynom, což je polynom stupně −1. Tento protipříklad ukazuje,
že neplatí vlastnost +: Pn×Pn →Pn. Dokonce neplatí ani ·: R×Pn →Pn (zkuste násobit polynom
n-tého stupně nulou).
1.16. Poznámka. Příklady 1.14 a 1.15 ukazují, že můžeme vymezit podmnožinu M ⊆ L lineárního
prostoru L a převzít pro ni operace sčítání a násobení konstantou z L. Za jistých okolností množina
M s převzatými operacemi může být lineárním prostorem, ale nemusí být vždy. Z příkladu 1.14 navíc
vidíme, že stačí ověřit vlastnosti +: M×M →M a·: R×M →M, abychom mohli prohlásit, že M je
lineární prostor. Vlastnosti (1) až (7) není třeba znovu ověřovat. Podmožinu lineárního prostoru, která
je sama lineárním prostorem při použití stejných operací, nazýváme lineárním podprostorem. Přesněji
viz následující definice.
Lineární
podprostor
1.17. Definice. Nechť L je lineární prostor s operacemi „+csquotedblright a „·csquotedblright. Neprázdnou množinu M ⊆ L
nazýváme lineárním podprostorem prostoru L, pokud pro všechna x∈M,y∈M a α∈R platí:
(1) x+y∈M,
(2) α·x∈M.
1.18. Příklad. Množina všech polynomů P z příkladu 1.14 je lineárním podprostorem množiny všech
funkcí FD z příkladu 1.13, kde volíme D = R. Množina Pn všech polynomů právě n-tého stupně z pří-
kladu 1.15 není lineárním podprostorem lineárního prostoru FD ani lineárního prostoru P.
1.19. Příklad. Množina P≤n všech polynomů nejvýše n-tého stupně je lineárním podprostorem line-
árního prostoru všech polynomů P i lineárního prostoru všech reálných funkcí FD. Je to dáno tím, že
(1) součtem polynomů nejvýše n-tého stupně dostáváme polynom nejvýše n-tého stupně a (2) vynáso-
bením polynomu nejvýše n-tého stupně reálným číslem dostaneme zase polynom nejvýše n-tého stupně.
1.20. Příklad. Uvažujme M ⊆ Rn, M = {(a,a,...,a); a ∈ R}. Předpokládáme tedy, že množina
M obsahuje takové n-tice, ve kterých se všechny složky vzájemně rovnají. Ukážeme, že M je lineární
podprostor lineárního prostoru Rn.
Stačí pro množinu M dokázat vlastnosti (1) a (2) z definice 1.17. Platí (1) součet dvou uspořádaných
n-tic, ve kterých se složky rovnají, je uspořádaná n-tice, ve kterých se složky rovnají. (2) vynásobením
uspořádané n-tice, ve které se složky rovnají, reálným číslem, dostáváme zase uspořádanou n-tici, ve
které se složky rovnají.
1.21. Příklad. Uvažujme množiny M ⊆R3, N ⊆R3 a S⊆R3, které jsou definovány takto:
M ={(x,y,z); x+ 2y = 0, z libovolné},
N ={(x,y,z); 2x+y−z = 0},
S ={(x,y,z); 2x+y−z = 3}.
Ukážeme, že M a N jsou lineárními podprostory lineárního prostoru R3, zatímco S není lineárním
podprostorem lineárního prostoru R3.
Ověříme vlastnost (1) z definice 1.17: Nechť (x1,y1,z1)∈M a (x2,y2,z2)∈M. Pak platí x1+2y1 = 0
a x2 + 2y2 = 0. Pro součet (x1 + x2,y1 + y2,z1 + z2) platí x1 + 2y1 + x2 + 2y2 = 0 (sečetli jsme
9
Lineární algebra 1. Lineární prostor, grupa, těleso
předchozí rovnice), tj. (x1 + x2) + 2(y1 + y2) = 0, takže i součet leží v množině M. Nyní vlastnost (2):
Jestliže (x,y,z) ∈ M, α ∈ R, pak platí x + 2y = 0. Vynásobením rovnice číslem α dostáváme, že též
αx + 2αy = 0, což ale znamená, že i trojice α·(x,y,z) leží v množině M. Ověření, že množina N je
lineárním podprostorem, lze provést podobně.
Množina S není lineárním podprostorem, protože například 0·(x,y,z) = (0,0,0), což je ale prvek,
který neleží v S. Neplatí totiž 2·0 + 0−0 = 3.
Průnik
prostorů
1.22. Věta. Nechť M ⊆L a N ⊆L jsou lineární podprostory lineárního prostoru L. Pak platí:
(1) M∩N je lineární podprostor lineárního prostoru L.
(2) M∪N nemusí být lineární podprostor lineárního prostoru L.
Důkaz. (1) Z předpokladů věty a definice 1.17 víme, že pro x ∈ M, y ∈ M, α ∈ R je x + y ∈ M a
α·x∈M. Totéž platí pro množinu N. Pokud nyní x∈M∩N, y ∈M∩N, pak x i y leží současně
v M i N, takže platí, že x + y∈M, α·x∈M a současně x + y∈N, α·x∈N. Prvky x + y a α·x
leží v obou množinách M a N současně a to není jinak možné, než že leží v průniku těchto množin.
(2) Abychom ukázali, že sjednocení M∪N nemusí být lineárním podprostorem, stačí najít vhodný
příklad. Nechť M = {(a,0); a ∈ R}, N = {(0,b); b ∈ R}. Je zřejmé, že M a N jsou lineárními
podprostory lineárního prostoru R2. Sjednocením těchto množin je množina uspořádaných dvojic, pro
které je první nebo druhá složka nulová. Vezmeme nyní (1,0) ∈ M ∪N a (0,1) ∈ M ∪N. Součet
(1,0) + (0,1) = (1,1) je uspořádaná dvojice, která neleží ve sjednocení M∪N.
1.23. Příklad. Uvažujme podprostory M a N z příkladu 1.21. Podle věty 1.22 je také M∩N lineárním
podprostorem lineárního prostoru R3.
Prostor ori-
entovaných
úseček
1.24. Příklad.Zvolme jeden bod v prostoru, který nás obklopuje, a označme jej písmenem O. Uděláme to
třeba tak, že nakreslíme na papír křížek a prohlasíme jej za bod O. Dále s papírem nehýbáme. Uvažujme
všechny orientované úsečky, které začínají v bodě O a končí v nějakém jiném bodě v prostoru. Přidejme
k tomu „degenerovanoucsquotedblright úsečku, která začíná i končí v bodě O a označme množinu všech těchto úseček
znakem UO.
Definujme nyní sčítání +: UO ×UO → UO ryze konstruktivně takto: Úsečky u ∈ UO, v ∈ UO
doplníme na rovnoběžník. Úhlopříčku, která začíná v bodě O a končí v protějším bodě rovnoběžníka,
prohlásíme za součet úseček u a v, tedy u+v. Dále definujme násobení skalárem·: R×UO →UO takto:
změříme nějakým měřítkem (pracujeme pořád se stejným měřítkem, jedno jakým) velikost úsečky u.
Tím dostáváme nezáporné reálné číslo. Toto číslo vynásobíme skalárem α a výsledek násobení označme
písmenem c∈R. Je-li c > 0, naneseme výslednou úsečku α·u na stejnou polopřímku, na které leží u
a velikost má c. Je-li c < 0, naneseme výslednou úsečku α·u na opačnou polopřímku a velikost bude
rovna|c|. Je-li c = 0 položme α·u rovnu degenerované úsečce, která začíná i končí v bodě O.
Množina UO s takto konstruktivně definovaným sčítáním a násobením reálným číslem tvoří lineární
prostor. Abychom toto tvrzení obhájili, musíme dokázat vlastnosti (1) až (7) z definice 1.6. (1) u+v =
v+u, protože v obou případech doplňujeme na stejný rovnoběžník. (2) (u+v)+w = u+(v+w), protože
postupné doplnění úhlopříčky rovnoběžníku u,v a úsečky w na rovnoběžník vede ke stejnému výsledku,
jako když nejprve sestavíme úhlopříčku rovnoběžníku v,w a tu doplníme na rovnoběžník s úsečkou u
(udělejte si náčtrek). (3) α·(βu) = (αβ)·u, protože velikost těchto úseček je stejná (pro získání velikosti
násobíme mezi sebou jen reálná čísla) a úsečky mají stejnou orientaci. (4) α·(u + v) = α·u + α·v,
protože příslušné rovnoběžníky pro sčítání jsou podobné a druhý je α krát větší než první. Proto též jeho
úhlopříčka bude α krát větší. (5) (α + β)·u = α·u + β·u, protože obě úsečky mají stejnou velikost
a orientaci (pro získání velikosti násobíme a sčítáme reálná čísla). (6) 1·u = u, protože obě úsečky
mají stejnou velikost a orientaci. (7) 0·u je vždy úsečka s nulovou velikostí, což je degenerovaná úsečka
začínající i končící v bodě O. Ta je tedy nulovým prvkem našeho lineárního prostoru.
Vidíme, že orientované úsečky s výše definovaným geometrickým sčítáním a násobením skalárem
můžeme v souladu s definicí 1.6 nazývat vektory. V kapitole deváté jim budeme říkat vázané vektory
(vázané bodem O).
1.25. Příklad. Nechť M ⊂UO jsou jen takové úsečky, které leží ve stejné rovině, jako leží náš papír,
na který jsme v příkladu 1.24 nakreslili křížek. Vidíme, že M negationslash= UO, protože například úsečka nenu-
lové velikosti kolmá na náš papír neleží v M. Ukážeme, že množina M je lineární podprostor lineárního
10
Lineární algebra 1. Lineární prostor, grupa, těleso
prostoru UO. Skutečně, součet libovolných dvou úseček leží ve stejné rovině (protože tam leží celý rov-
noběžník) a násobek úsečky leží dokonce na stejné přímce, jako původní úsečka, takže nutně zůstává ve
stejné rovině.
Každá rovina, která prochází bodem O, obsahuje podmnožinu úseček z UO, které tvoří lineární
podprostor lineárního prostoru UO.
Uvažujme nyní dvě roviny, které mají společný bod O, ale nejsou totožné. Jejich průnik je nějaká
přímka, procházející bodem O. Všechny orientované úsečky z UO, které leží v této přímce, tvoří podle
věty 1.22 rovněž lineární podprostor lineárního prostoru UO.
Triviální
prostor
1.26. Poznámka. Zamysleme se, jak může vypadat lineární prostor s nejmenším počtem prvků. Podle
definice 1.6 je lineární prostor vždy neprázdná množina, takže musí obsahovat aspoň jeden prvek. Ukazuje
se, že jednobodová množina L ={o} je skutečně nejmenší možný lineární prostor. Přitom o je nulový
prvek z vlastnosti (7). Sčítání je definováno předpisem o + o df= o a násobení skalárem α předpisem
α·o df= o. Takový lineární prostor nazýváme triviální.
1.27. Poznámka. Ukážeme, že konečná množina obsahující aspoň dva prvky nemůže být lineárním
prostorem. Znamená to, že se nám pro takovou množinu L nepovede najít operace +: L×L → L a
·: R×L→L takové, aby současně splňovaly vlastnosti (1) až (7) z definice 1.6.
Jeden z prvků množiny L musí být nulový prvek (označme jej o) a jiný prvek označme třeba x. Další
prvky označovat nemusíme. Uvažujme množinu K = {α·x; α ∈R}. Protože K ⊆ L, je i K konečná
množina. Protože reálných čísel je nekonečně mnoho, a přitom K je konečná, musejí existovat dvě různá
reálná čísla βnegationslash= γ taková, že β·x = γ·x. Z definice lineárního prostoru 1.6 dostáváme:
o = 0·x = (β−β)·x = β·x+ (−β)·x = γ·x+ (−β)·x = (γ−β)·x.
Nyní máme splněny předpoklady vlastnosti (3) věty 1.7 (volíme α = γ−β). Dostáváme tedy x = o. To
je ale spor s předpokladem, že jsme vybrali prvek x jiný než nulový. Konečná množina obsahující aspoň
dva prvky tedy nemůže být lineárním prostorem.
Existuje tedy jednobodový lineární prostor a pak dlouho nic ... a všechny ostatní lineární prostory
musejí mít nekonečné množství prvků.
1.28. Příklad. Ukážeme si jeden příklad poněkud exotického lineárního prostoru. Jedná se o množinu
kladných reálných čísel R+, na které je definováno „sčítánícsquotedblright⊕: R+×R+ →R+ a „násobenícsquotedblright reálným
číslemcircledot: R×R+ →R+ takto: pro x∈R+, y∈R+, α∈R je
x⊕y df= x·y, αcircledotx df= xα,
kde znakem „·csquotedblright je míněno běžné násobení reálných čísel a xα je reálná mocnina o kladném základu.
V tomto přík