olsak_vycuc skript

Petr Olsˇa´k
Vy´cuc
z textu Linea´rnı´ algebra
urcˇeno pro promı´ta´nı´ na prˇedna´sˇce „U´ vod do algebry“
http://www.olsak.net/linal.html
ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
2 U´vodnı´ pozna´mky
Upozorneˇnı´ 1. Nedoporucˇuji tento text prˇı´mo tisknout. K tisku je
vhodne´ pouzˇı´t text Linea´rnı´ algebra a nikoli jeho vy´cuc. Pokud prˇesto
chcete tisknout vy´cuc, doporucˇuji pouzˇı´t na´sledujı´cı´ verzi, kde jsou
jednotlive´ obrazovky usporˇa´da´ny po cˇtyrˇech na stra´nce, tj. redukujete
spotrˇebu kancela´rˇsky´ch technologiı´ na cˇtvrtinu.
Upozorneˇnı´ 2. Tento vy´cuc nenı´ urcˇen k samostatne´mu studiu. Je pouze
podporou prˇedna´sˇky. Jenom absolutnı´ mimonˇ je schopen procˇı´tat zde uve-
dene´ veˇty a definice bez ilustracı´, bez vysveˇtlenı´ vy´znamu veˇt, bez jejich
pouzˇitı´ v du˚kazech dalsˇı´ch veˇt a bez podpu˚rny´ch prˇı´kladu˚. Tyto definice
a veˇty jsou sice ja´drem vy´uky prˇedmeˇtu U´ vod do algebry, ale na prˇedna´sˇ-
ka´ch a cvicˇenı´ch se budeme snazˇit, aby bylo toto ja´dro co nejprˇı´stupneˇjsˇı´.
Proto na nich zaznı´ mnozˇstvı´ ilustracˇnı´ch prˇı´kladu˚, komenta´rˇu˚ a vysveˇt-
lenı´, ktere´ ovsˇem nejsou ja´drem vy´uky tohoto prˇedmeˇtu, ale pomohou
va´m to ja´dro le´pe pochopit.
3 U´vodnı´ pozna´mky
Doporucˇenı´ 1. Jak jste si asi vsˇimli, zeleny´ text je aktivnı´ a mu˚zˇete
na neˇj kliknout k dosazˇenı´ dalsˇı´ch informacı´. Aby byly vsˇechny odkazy
funkcˇnı´, je potrˇeba mı´t kromeˇ tohoto vy´cucu ve stejne´m adresa´rˇi i plny´
text Linea´rnı´ algebra ve forma´tu PDF. Cˇ ı´sla po strana´ch definic a veˇt se
shodujı´ se stejny´mi cˇı´sly v plne´m textu a pokud na neˇ kliknete, objevı´ se
prˇı´slusˇna´ pasa´zˇ plne´ho textu (tedy naprˇı´klad veˇta vcˇetneˇ du˚kazu).
Doporucˇenı´ 2. Pokud si vytisknete tento vy´cuc (prˇedpokla´da´m, zˇe
v u´sporne´ varianteˇ), pak si naprˇı´klad mu˚zˇete na svu˚j vy´tisk vpisovat
vysveˇtlujı´cı´ komenta´rˇe a du˚kazy veˇt, ktere´ uslysˇı´te na prˇedna´sˇce. Ne-
musı´te se tam pak zdrzˇovat prˇepisova´nı´m definic a veˇt, ale mu˚zˇete se
le´pe soustrˇedit na jejich pochopenı´.
4 Linea´rnı´ prostor
1.6 Definice. Linea´rnı´m prostorem nazy´va´me kazˇdou nepra´zdnou mno-
zˇinu L, na ktere´ je definova´no scˇı´ta´nı´ + : L × L → L a na´sobenı´
rea´lny´m cˇı´slem ⋅ : R × L → L a tyto operace splnˇujı´ pro kazˇde´
x ∈ L, y ∈ L, z ∈ L, α ∈ R, β ∈ R vlastnosti:
(1) x + y = y + x (komutativnı´ za´kon scˇı´ta´nı´)
(2) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativnı´ za´kon scˇı´ta´nı´)
(3) α ⋅ (β ⋅ x) = (αβ) ⋅ x (asociativnı´ za´kon na´sobenı´)
(4) α ⋅ (x + y) = α ⋅ x + α ⋅ y (distributivnı´ za´k. pro scˇı´ta´nı´ vektoru˚)
(5) (α + β) ⋅ x = α ⋅ x + β ⋅ x (distributivnı´ za´kon pro scˇı´ta´nı´ cˇı´sel)
(6) 1 ⋅ x = x (vlastnost rea´lne´ho cˇı´sla 1)
(7) existuje o ∈ L, zˇe pro kazˇde´ x ∈ L je 0 ⋅ x = o
(existence nulove´ho prvku).
Prvky linea´rnı´ho prostoru nazy´va´me vektory. Rea´lne´mu cˇı´slu v kontextu
na´sobenı´ ⋅ : R × L → L rˇı´ka´me skala´r. Prvku o ∈ L z vlastnosti (7) rˇı´ka´me
nulovy´ prvek nebo nulovy´ vektor.
5 Linea´rnı´ prostor
1.7 Veˇta. Pro nulovy´ prvek o linea´rnı´ho prostoru L platı´ vlastnosti:
(1) x + o = x ∀ x ∈ L
(2) α ⋅ o = o ∀ α ∈ R
(3) Necht’ x ∈ L. Je-li α ⋅ x = o a α ≠ 0, pak x = o.
6 Linea´rnı´ prostor
1.17 Definice. Necht’ L je linea´rnı´ prostor s operacemi „+“ a „⋅“. Nepra´zdnou
mnozˇinu M ⊆ L nazy´va´me linea´rnı´m podprostorem prostoru L, pokud
pro vsˇechna x ∈ M, y ∈ M a α ∈ R platı´:
(1) x + y ∈ M,
(2) α ⋅ x ∈ M,
7 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.3 Definice. Necht’x1, x2, . . . , xn jsou vektory (tj. prvky neˇjake´ho linea´rnı´ho
prostoru). Linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ x1, x2, . . . , xn rozumı´me vektor
α1 ⋅ x1 + α2 ⋅ x2 + ¢¢¢ + αn ⋅ xn,
kde α1, α2, . . . , αn jsou neˇjaka´ rea´lna´ cˇı´sla. Teˇmto cˇı´slu˚m rˇı´ka´me koefici-
enty linea´rnı´ kombinace.
8 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.5 Definice. Trivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace vektoru˚ x1, x2, . . . , xn je takova´
linea´rnı´ kombinace, ktera´ ma´ vsˇechny koeficienty nulove´, tj.
0x1 + 0x2 + ¢¢¢ + 0xn.
Netrivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace je takova´ linea´rnı´ kombinace, ktera´ nenı´
trivia´lnı´, tj. asponˇ jeden jejı´ koeficient je nenulovy´.
9 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.7 Definice. Skupinu vektoru˚ x1, x2, . . . , xn nazy´va´me linea´rneˇ za´vislou, po-
kud existuje netrivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace vektoru˚ x1, x2, . . . , xn, ktera´
je rovna nulove´mu vektoru. Strucˇneˇ rˇı´ka´me, zˇe vektory x1, x2, . . . , xn jsou
linea´rneˇ za´visle´.
Pozna´mka. Vektory x1, x2, . . . , xn jsou linea´rneˇ za´visle´, pokud existujı´
rea´lna´ cˇı´sla α1, α2, . . . , αn tak, zˇe asponˇ jedno z nich je nenulove´, a prˇitom
platı´
α1 ⋅ x1 + α2 ⋅ x2 + ¢¢¢ + αn ⋅ xn = o.
10 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.9 Definice. Skupinu vektoru˚ x1, x2, . . . , xn nazy´va´me linea´rneˇ neza´vislou,
pokud nenı´ linea´rneˇ za´visla´. Strucˇneˇ rˇı´ka´me, zˇe vektory x1, x2, . . . , xn jsou
linea´rneˇ neza´visle´.
Pozna´mka. Vektory jsou linea´rneˇ neza´visle´, pokud neexistuje netrivia´lnı´
linea´rnı´ kombinace teˇchto vektoru˚, ktera´ je rovna nulove´mu vektoru.
Jinak: Vektory jsou linea´rneˇ neza´visle´, pokud jedineˇ trivia´lnı´ linea´rnı´
kombinace je rovna nulove´mu vektoru.
Jinak: Vektory x1, x2, . . . , xn jsou linea´rneˇ neza´visle´, pokud z prˇedpokladu
α1 ⋅ x1 + α2 ⋅ x2 + ¢¢¢ + αn ⋅ xn = o.
nutneˇ plyne, zˇe α1 = α2 = ¢¢¢ = αn = 0.
11 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.17 Veˇta. Necht’x1, x2, . . . , xn jsou prvky neˇjake´ho linea´rnı´ho prostoru L. Pak
platı´:
(1) Linea´rnı´ za´vislost cˇi neza´vislost vektoru˚ x1, x2, . . . , xn se nezmeˇnı´ prˇi
zmeˇneˇ porˇadı´ teˇchto vektoru˚.
(2) Jestlizˇe se mezi x1, x2, . . . , xn vyskytuje nulovy´ vektor, pak jsou tyto
vektory linea´rneˇ za´visle´.
(3) Jestlizˇe se ve skupineˇ vektoru˚ x1, x2, . . . , xn neˇktery´ vektor vyskytuje
asponˇ dvakra´t, je tato skupina vektoru˚ linea´rneˇ za´visla´.
(4) Jestlizˇe jsou vektory x1, x2, . . . , xn linea´rneˇ za´visle´ a xn+1 ∈ L, pak jsou
i vektory x1, x2, . . . , xn, xn+1 linea´rneˇ za´visle´.
(5) Jestlizˇe jsou vektory x1, x2, . . . , xn linea´rneˇ neza´visle´, pak jsou i vek-
tory x1, x2, . . . , xn−1 linea´rneˇ neza´visle´.
(6) Samotny´ vektor x1 je linea´rneˇ neza´visly´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ je nenulovy´.
12 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.21 Veˇta. Necht’n ≥ 2. Vektory x1, x2, . . . , xn jsou linea´rneˇ za´visle´ pra´veˇ tehdy,
kdyzˇ existuje index r ∈ {1, . . . , n} takovy´, zˇe vektor xr je roven linea´rnı´
kombinaci ostatnı´ch vektoru˚.
13 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.26 Definice. Necht’ L je linea´rnı´ prostor. Nepra´zdna´ konecˇna´ mnozˇina vek-
toru˚ K ⊆ L, K = {x1, x2, . . . , xn} se nazy´va´ linea´rneˇ za´visla´, pokud jsou
vektory x1, x2, . . . , xn linea´rneˇ za´visle´.
Nekonecˇna´ mnozˇina vektoru˚ M ⊆ L se nazy´va´ linea´rneˇ za´visla´, pokud
existuje konecˇna´ K ⊆ M, ktera´ je linea´rneˇ za´visla´.
Mnozˇina M ⊆ L se nazy´va´ linea´rneˇ neza´visla´, pokud nenı´ linea´rneˇ za´-
visla´.
Pra´zdnou mnozˇinu povazˇujeme vzˇdy za linea´rneˇ neza´vislou.
Pozna´mka. Nepra´zdna´ konecˇna´ mnozˇina vektoru˚ K = {x1, x2, . . . , xn}
se nazy´va´ linea´rneˇ neza´visla´, pokud jsou vektory x1, x2, . . . , xn linea´rneˇ
neza´visle´.
Nekonecˇna´ mnozˇina vektoru˚ M ⊆ L se nazy´va´ linea´rneˇ neza´visla´, pokud
vsˇechny konecˇne´ podmnozˇiny K ⊆ M jsou linea´rneˇ neza´visle´.
14 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.29 Definice. Necht’ L je linea´rnı´ prostor. Linea´rnı´ obal skupiny vek-
toru˚ x1, x2, . . . , xn je mnozˇina vsˇech linea´rnı´ch kombinacı´ vektoru˚
x1, x2, . . . , xn.
Linea´rnı´ obal konecˇne´ mnozˇiny K ⊆ L, K = {x1, x2, . . . , xn} ztotozˇnˇujeme
s linea´rnı´m obalem skupiny vektoru˚ x1, x2, . . . , xn.
Linea´rnı´ obal nekonecˇne´ mnozˇiny M ⊆ L je sjednocenı´ linea´rnı´ch obalu˚
vsˇech konecˇny´ch podmnozˇin mnozˇiny M.
Linea´rnı´ obal skupiny vektoru˚ x1, x2, . . . , xn znacˇı´me 〈x1, x2, . . . , xn〉. Li-
nea´rnı´ obal mnozˇiny M znacˇı´me symbolem 〈M〉.
15 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.34 Veˇta. Necht’ L je linea´rnı´ prostor, M ⊆ L, N ⊆ L. Pokud je M ⊆ N, pak
platı´ 〈M〉 ⊆ 〈N〉.
16 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.35 Veˇta. Necht’ L je linea´rnı´ prostor a M ⊆ L. Pak platı´:
(1) M ⊆ 〈M〉
(2) 〈M〉 = 〈〈M〉〉
17 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.37 Veˇta. Necht’ L je linea´rnı´ prostor, M ⊆ L. Mnozˇina M je linea´rnı´m pod-
prostorem linea´rnı´ho prostoru L pra´veˇ tehdy, kdyzˇ 〈M〉 = M.
18 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.38 Veˇta. Necht’ L je linea´rnı´ prostor a M ⊆ L je libovolna´ mnozˇina. Pak
P = 〈M〉 je nejmensˇı´ linea´rnı´ podprostor, pro ktery´ platı´ M ⊆ P.
19 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.39 Veˇta. Necht’ L je linea´rnı´ prostor, M ⊆ L je linea´rneˇ neza´visla´ mnozˇina a
z 6∈ 〈M〉. Pak te´zˇ M ∪ {z} je linea´rneˇ neza´visla´ mnozˇina.
20 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.40 Veˇta. Necht’ L je linea´rnı´ prostor. Mnozˇina N ⊆ L je linea´rneˇ neza´visla´
pra´veˇ tehdy, kdyzˇ pro vsˇechny vlastnı´ podmnozˇiny M ⊂ N, M 6= N platı´
〈M〉 ⊂ 〈N〉, 〈M〉 6= 〈N〉.
21 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.42 Definice. Ba´ze linea´rnı´ho prostoru L je takova´ podmnozˇina B ⊆ L, pro
kterou platı´
(1) B je linea´rneˇ neza´visla´
(2) 〈B〉 = L
22 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.51 Veˇta. Necht’ L je netrivia´lnı´ linea´rnı´ prostor. Pro kazˇdou linea´rneˇ neza´-
vislou mnozˇinu N ⊆ L existuje ba´ze B linea´rnı´ho prostoru L takova´, zˇe
N ⊆ B. Pro kazˇdou mnozˇinu M ⊆ L takovou, zˇe 〈M〉 = L, existuje ba´ze B
linea´rnı´ho prostoru L takova´, zˇe B ⊆ M.
23 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.55 Veˇta. Necht’ B1 a B2 jsou dveˇ ba´ze stejne´ho linea´rnı´ho prostoru L. Pak
jsou bud’ obeˇ nekonecˇne´, nebo majı´ obeˇ stejny´ pocˇet prvku˚.
24 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.56 Definice. Dimenze linea´rnı´ho prostoru L je pocˇet prvku˚ ba´ze. Tuto hod-
notu oznacˇujeme symbolem dim L. Dimenzi jednobodove´ho linea´rnı´ho
prostoru L = {o} pokla´da´me rovnu nule.
25 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.59 Veˇta. Necht’ L je linea´rnı´ prostor a M ⊆ L je linea´rnı´ podprostor linea´r-
nı´ho prostoru L. Pak dim M ≤ dim L.
26 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, linea´rnı´ obal, ba´ze, dimenze
2.60 Veˇta. Necht’ L je linea´rnı´ prostor, dim L = n a M = {x1, x2, . . . , xm}. Pak
platı´:
(1) Je-li M linea´rneˇ neza´visla´, pak m ≤ n.
(2) Je-li m > n, pak M je linea´rneˇ za´visla´.
(3) Necht’ m = n. Pak M je linea´rneˇ neza´visla´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ 〈M〉 = L.
27 Matice
3.1 Definice. Matice typu (m, n) je usporˇa´dana´ m-tice prvku˚ z Rn. Jednotlive´
slozˇky te´to m-tice nazy´va´me rˇa´dky matice. Necht’ ar = (ar,1, ar,2, . . . , ar,n)
je r-ty´ rˇa´dek matice typu (m, n). s-ta´ slozˇka tohoto rˇa´dku ar,s ∈ R se
nazy´va´ (r, s)-ty´ prvek matice. Rˇ a´dky matice A zapisujeme jako skutecˇne´
rˇa´dky pod sebe takto:
A =
0
B@
a1,1, a1,2, . . . , a1,n
a2,1, a2,2, . . . , a2,n.
..
am,1, am,2, . . . , am,n
1
CA
nebo zapı´sˇeme jen strucˇneˇ prvky matice A takto:
A = (ar,s), r ∈ {1, 2, . . . , m}, s ∈ {1, 2, . . . , n}.
Necht’ A = (ar,s), r ∈ {1, . . . , m}, s ∈ {1, . . . , n}. Usporˇa´danou m-tici rea´l-
ny´ch cˇı´sel (a1,s, a2,s, . . . , am,s) nazy´va´me s-ty´m sloupcem matice A.
Matici typu (m, n), ktera´ ma´ vsˇechny prvky nulove´, nazy´va´me nulovou
maticı´.
Matici typu (m, n) nazy´va´me cˇtvercovou maticı´, pokud m = n.
28 Matice
3.3 Definice. Necht’A = (ar,s), B = (br,s) jsou matice typu (m, n). Matici C typu
(m, n) nazy´va´me soucˇtem matic A, B (znacˇı´me C = A+B), pokud pro prvky
matice C = (cr,s) platı´ cr,s = ar,s + br,s, r ∈ {1, 2, . . . , m}, s ∈ {1, 2, . . . , n}.
Necht’ α ∈ R. α-na´sobek matice A je matice α ⋅ A = (α ar,s). Na´zorneˇ:
A + B =
0
B@
a1,1 + b1,1, a1,2 + b1,2, . . . , a1,n + b1,n
a2,1 + b2,1, a2,2 + b2,2, . . . , a2,n + b2,n.
..
am,1 + bm,1, am,2 + bm,2, . . . , am,n + bm,n
1
CA,
α ⋅ A =
0
B@
α a1,1, α a1,2, . . . , α a1,n
α a2,1, α a2,2, . . . , α a2,n.
..
α am,1, α am,2, . . . , α am,n
1
CA.
29 Matice
3.4 Veˇta. Mnozˇina vsˇech matic stejne´ho typu (m, n) tvorˇı´ se scˇı´ta´nı´m matic a
na´sobenı´m matice rea´lny´m cˇı´slem linea´rnı´ prostor. Nulovy´ vektor tohoto
linea´rnı´ho prostoru je nulova´ matice.
30 Matice
3.9 Definice. Symbolem A ∼ B oznacˇujeme skutecˇnost, zˇe matice B vznikla
z matice A konecˇny´m pocˇtem kroku˚ podle Gaussovy eliminacˇnı´ metody.
31 Matice
3.10 Veˇta. Relace „∼“ je symetricka´, tj. A ∼ B pra´veˇ tehdy, kdyzˇ B ∼ A.
32 Matice
3.12 Definice. Linea´rnı´ obal mnozˇiny vsˇech rˇa´dku˚ matice A znacˇı´me 〈A〉.
33 Matice
3.13 Veˇta. Je-li A ∼ B, pak 〈A〉 = 〈B〉.
34 Matice
3.15 Definice. Hodnost matice A znacˇı´me hod(A) a definujeme hod(A) =
dim〈A〉.
35 Matice
3.17 Veˇta. Je-li A ∼ B, pak hod(A) = hod(B). Jiny´mi slovy, Gaussova elimi-
nacˇnı´ metoda nemeˇnı´ hodnost matice.
36 Matice
3.18 Veˇta. Hodnost matice je maxima´lnı´ pocˇet linea´rneˇ neza´visly´ch rˇa´dku˚
matice. Prˇesneˇji rˇecˇeno, jedna´ se o pocˇet prvku˚ takove´ mnozˇiny rˇa´dku˚,
ktera´ je nejpocˇetneˇjsˇı´, a prˇitom linea´rneˇ neza´visla´.
37 Matice
3.21 Definice. Necht’ matice A ma´ rˇa´dky a1, a2, . . . , an, zˇa´dny´ z nich nenı´
nulovy´. Necht’ pro kazˇde´ dva po sobeˇ jdoucı´ rˇa´dky ai, ai+1 platı´: ma´-li
rˇa´dek ai prvnı´ch k slozˇek nulovy´ch, musı´ mı´t rˇa´dek ai+1 asponˇ prvnı´ch
k + 1 slozˇek nulovy´ch. Pak matici A nazy´va´me hornı´ troju´helnı´kovou
maticı´.
38 Matice
3.22 Veˇta. Hornı´ troju´helnı´kova´ matice ma´ vzˇdy linea´rneˇ neza´visle´ rˇa´dky.
39 Matice
3.23 Veˇta. Kazˇdou matici lze prˇeve´st konecˇny´m pocˇtem kroku˚ Gaussovy eli-
minacˇnı´ metody na hornı´ troju´hlenı´kovou matici.
40 Matice
3.28 Definice. Necht’ A = (ai,j) je matice typu (m, n). Matici AT = (aj,i), ktera´
je typu (n, m), nazy´va´me transponovanou maticı´ k matici A. Matice AT
tedy vznikne z matice A prˇepsa´nı´m rˇa´dku˚ matice A do sloupcu˚ matice
AT, respektive prˇepsa´nı´m sloupcu˚ matice A do rˇa´dku˚ matice AT.
41 Matice
3.30 Veˇta. Pro kazˇdou matici A platı´: (AT)T = A
42 Matice
3.31 Veˇta. Pro kazˇdou matici A platı´: hod(AT) = hod(A).
43 Matice
3.33 Veˇta. Necht’ A je matice typu (m, n). Pak hod(A) ≤ min(m, n).
44 Matice
3.34 Definice. Necht’ A = (ai,j) je matice typu (m, n) a B = (bj,k) je matice typu
(n, p). Pak je definova´n soucˇin matic A ⋅ B (v tomto porˇadı´) jako matice
typu (m, p) takto: kazˇdy´ prvek ci,k matice A ⋅ B je da´n vzorcem
ci,k = ai,1 b1,k + ai,2 b2,k + ¢¢¢ + ai,n bn,k
=
n∑
j=1
ai,j bj,k, i ∈ {1, . . . , m}, k ∈ {1, . . . , p}
45 Matice
3.38 Veˇta. Necht’ α ∈ R a matice A, B, C jsou odpovı´dajı´cı´ch typu˚ tak, aby
nı´zˇe uvedene´ soucˇiny byly definova´ny. Pak platı´
(1) (A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C),
(2) (A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C,
(3) C ⋅ (A + B) = C ⋅ A + C ⋅ B,
(4) α(A ⋅ B) = (α A) ⋅ B = A ⋅ (α B).
46 Matice
3.44 Veˇta. Necht’ B1 a B2 jsou dveˇ ba´ze stejne´ho linea´rnı´ho prostoru L. Pak
jsou bud’ obeˇ nekonecˇne´, nebo majı´ obeˇ stejny´ pocˇet prvku˚.
47 Matice
3.46 Definice. Cˇ tvercovou matici E typu (n, n) nazy´va´me jednotkovou maticı´,
pokud pro jejı´ prvky ei,j platı´: ei,j = 0 pro i 6= j a ei,j = 1 pro i = j. Na´zorneˇ:
E =
0
B@
1 0 0 ¢¢¢ 0
0 1 0 ¢¢¢ 0
¢¢¢
0 0 0 ¢¢¢ 1
1
CA
48 Matice
3.50 Definice. Necht’A je cˇtvercova´ matice typu (n, n) a E je jednotkova´ matice
stejne´ho typu. Matici B typu (n, n), ktera´ splnˇuje vlastnost
A ⋅ B = E = B ⋅ A
nazy´va´me inverznı´ maticı´ k matici A. Inverznı´ matici k matici A oznacˇu-
jeme symbolem A−1.
49 Matice
3.51 Veˇta. Pokud k matici A existuje inverznı´ matice, pak je tato inverznı´
matice jednoznacˇneˇ urcˇena.
50 Matice
3.52 Veˇta. Ke cˇtvercove´ matici typu (n, n) existuje inverznı´ matice pra´veˇ tehdy,
kdyzˇ hod(A) = n.
51 Matice
3.53 Definice. Cˇ tvercova´ matice A typu (n, n) se nazy´va´ regula´rnı´, pokud
hod(A) = n. Cˇ tvercova´ matice se nazy´va´ singula´rnı´, pokud nenı´ regula´rnı´,
tj. hod(A) < n.
52 Matice
3.54 Veˇta. Necht’A a B jsou regula´rnı´ cˇtvercove´ matice typu (n, n). Pak matice
A ⋅ B je rovneˇzˇ regula´rnı´ matice typu (n, n).
53 Matice
3.57 Veˇta. Necht’ A ∼ B jsou dveˇ matice, prˇicˇemzˇ v eliminaci oznacˇene´ zde
symbolem „∼“ nebyl pouzˇit krok vynecha´nı´ nebo prˇida´nı´ nulove´ho rˇa´dku.
Pak existuje regula´rnı´ cˇtvercova´ matice P takova´, zˇe B = P ⋅ A.
54 Matice
3.58 Veˇta. Necht’ A je regula´rnı´ a (A|E) ∼ (E|B), kde „∼“ oznacˇuje konecˇny´
pocˇet rˇa´dkovy´ch u´prav podle eliminacˇnı´ metody a E jednotkovou matici.
Pak B = A−1.
55 Determinant
4.1 Definice. Necht’ M je konecˇna´ mnozˇina o n prvcı´ch. Permutace prvku˚
mnozˇiny M je usporˇa´dana´ n-tice prvku˚ mnozˇiny M takova´, zˇe zˇa´dny´
prvek z mnozˇiny M se v nı´ neopakuje. Permutaci prvku˚ mnozˇiny M =
{1, 2, . . . , n} nazy´va´me strucˇneˇ permutacı´ n prvku˚.
56 Determinant
4.3 Veˇta. Pocˇet ru˚zny´ch permutacı´ n prvku˚ je roven cˇı´slu n! .
57 Determinant
4.5 Definice. Necht’ (i1, i2, . . .