semestralka

- -1 - -1 -
s2 - -0,707107 -0,5 -0,3826834 -0,309017 -0,258819
s3 - ±j0,707107 ±j0,866025 ±j0,923880 ±j0,951057 ±j0,965926
s4 - - - -0,9238795 -0,809017 -0,707107
s5 - - - ±j0,382683 ±j0,587785 ±j0,707107
s6 - - - - - -0,9659258
s7 - - - - - ±j0,258819

Tabulka k určení koeficientů Butterworthových polynomů nnn sbbsb ++= ...)( 0 :
n b0 b1 b2 b3 b4 b5 b6
1 1 1 - - - - -
2 1 1,4142136 1 - - - -
3 1 2 2 1 - - -
4 1 2,6131259 3,4142131 2,6131259 1 - -
5 1 3,236068 5,236068 5,236068 3,236068 1 -
6 1 3,8637033 7,4641016 9,1416202 7,4641016 3,8637033 1

Z první tabulky můžeme přímo odečíst nulové body pro námi vypočtený stupeň
aproximace (n=4), nesmíme však zapomenout, že hodnoty v tabulce jsou pro ε=1 a naše
ε=0,5088, proto všechny odečtené údaje musíme vynásobit hodnotou 184,11/1 == nr ε .
094,1453,03,2 js ±−=
453,0094,15,4 js ±−=

Z druhé tabulky odečteme koeficienty Butterworthových polynomů (pro n=4) a musíme
udělat úpravu (pomocí α0) kvůli tomu, že se ε nerovná 1, ale 0,5088.
( ) 965,1337,4786,4094,3 9654,11613,2414,3613,2 9654,1 2344
0
4
0
2
0
21
0
30
0
4 ++++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= sssssssssH ααααα
Charakteristická funkce
45088,0 ssn == εϕ



- 5 -
Přehledové tabulky:
nuly póly
-0,453+j1,094
-1,094+j0,453
-1,094-j0,453
-0,453-j1,094

Koeficienty přenosové funkce:
čitatel jmenovatel
s0 1,9654 1,9654
s1 4,337
s2 4,786
s3 3,094
s4 1


4. Čebyševova aproximace
Výpočet stupně aproximace:
353,2
14643,0 14643,0 1ln
10575,0 10575,0 1ln
111ln
111ln
2
2
2
2
11 ⇒=



 −+



 −+
=



 −+



 −+
≥
kk
kkn

Přepočet sekundárních parametrů pro stupeň aproximace n=3:
0298,0
4643,0
1cosharg3cosh
1
1coshargcosh
1
1 =



 



⋅=



 



⋅=
kn
k
dBk 66,240298,0 5088,01log101log10 2
2
2
1
2
=



 +=



 += ε
sa
nebo
5603,0
0575,0
1cosharg
3
1cosh
1
1cosharg1cosh
1
1
=



 




=










=
kn
k
785,15603,0 11 ===Ω ks

Výpočet pomocných parametrů - hlavní a vedlejší poloosa elipsy:
4942,05088,0 15088,0 115088,0 15088,0 1121
111111
2
1
3
1
2
3
1
2
1
2
1
2
=













 −+−



 ++=
=













 −+−



 ++= nna
εεεε


- 6 -
1154,15088,0 15088,0 115088,0 15088,0 1121
111111
2
1
3
1
2
3
1
2
1
2
1
2
=













 −++



 ++=
=













 −++



 ++= nnb
εεεε


Tyto parametry dosadíme do rovnice a vypočteme póly přenosové funkce: ( ) ( )
njbnajs 2
12cos
2
12sin piµpiµβα
µµµ
−+−−=+= , kde µ = 1, 2, 3 a n = 3
Po dosazení: ( ) ( )
9660,02471,0612cos1154,1612sin4942,01 jjs +−=−+−−= pipi
( ) ( ) 04942,0
6
14cos1154,1
6
14sin4942,0
2 jjs +−=
−+−−= pipi
( ) ( ) 9660,02471,0
6
16cos1154,1
6
16sin4942,0
3 jjs −−=
−+−−= pipi
Z těchto kořenů polynomů sestavím přenosovou funkci:
pro liché n platí 12 132 1 =−=−= nm
( )
n2
12cos
0
piµ
µ
−=Ω
konstanta 4914,025088,0 121 220 =⋅=⋅= mH ε
( )
( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) 4913,02834,19884,0 4914,09942,04942,04942,0 4914,0
6
12cos
6
12sin
6
12sin2
4914,0
2
232
1
1
22
2
1
222
0
+++=+++=
=




 −+ −−+−−−+
=
=
++−+
=
∏
∏
=
=
ssssss
baassas
ssas
HsH
m
µ
µ
µµµ
piµpiµpiµ
βαα


Charakteristická funkce
( ) ( ) ( ) ( ) sssssssss
m
m 3475,04
6
12cos22 321
1
2
22
1
2
0
22 +=+=




 −+=Ω+= ∏∏
== µµ
µ
piϕ







- 7 -
5. Transformace Butterworthova polynomu
Z tabulky odečteme koeficienty Butterworthova polynomu (pro n=4):
n b0 b1 b2 b3 b4 b5 b6
1 1 1 - - - - -
2 1 1,4142136 1 - - - -
3 1 2 2 1 - - -
4 1 2,6131259 3,4142131 2,6131259 1 - -
5 1 3,236068 5,236068 5,236068 3,236068 1 -
6 1 3,8637033 7,4641016 9,1416202 7,4641016 3,8637033 1

( ) ( ) 16131,24142,36131,2 23414 ++++== − sssssHsb
( ) 4ss =ϕ
5088,0=ε
zpětná kmitočtová transformace:
sss n ˆˆ 4 εε ==
dosazení do Butterworthova polynomu: ( )
16131,24142,36131,2