- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Základy lineární algebry
BA01 - Matematika I
Hodnocení materiálu:
Vyučující: doc. RNDr. Václav Tryhuk CSc.
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ
JIŘÍ NOVOTNÝ
MATEMATIKA I
ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY
STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY
S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Typeset by LATEX2ε, Podpořeno projektem FRVŠ 0032/2001
c©Jiří Novotný, Brno 2004
Obsah
ÚVOD 3
Cíle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Požadované znalosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Doba potřebná ke studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Klíčová slova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 VEKTORY 7
2 MATICE 11
2.1 Úvodní pojmy, některé speciální třídy matic . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Inverzní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Maticové rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 DETERMINANTY 41
3.1 Determinanty 2. a 3. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Vlastnosti determinantů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Determinanty n-tého řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Užití determinantů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 SYSTÉMY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC 61
4.1 Základní pojmy, Cramerovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Existence, počet a metody řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Řešení homogenních systémů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
ZÁVĚR 75
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Autotest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Studijní prameny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Rejstřík . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1
Lineární algebra
2
ÚVOD
Metody lineární algebry patří již po řadu let k základním matematickým po-
znatkům, se kterými se studenti vysokých škol technických seznamují v prvních
ročnících svého studia. Při řešení jakýchkoliv lineárních úloh, ať již v technických,
ekonomických nebo jiných aplikacích, je používání vektorů, matic, determinantů,
lineárních systémů apod. zcela běžné.
Například pro sestavení optimálního plánu výroby budeme analyzovat činnost
určité hospodářské jednotky (firmy, dílny, závodu apod.). Naším úkolem je sesta-
vit takový plán výroby, který v maximální možné míře zabezpečí zisk z prodeje
vyrobených výrobků.
Předpokládejme, že jsou známy technologické možnosti dané výrobní jednotky
a také množství surovin a jiných zdrojů, které můžeme čerpat. Nechť existuje m
druhů surovin, které jednotka využívá pro výrobu své produkce. Označme je pís-
meny R1,R2,...,Rm. Těmito surovinami mohou být kovy, uhlí, ruda, elektrická
energie, finance, ale i pracovní síla apod. Předpokládejme dále, že v naší vý-
robní jednotce můžeme vyrábět n druhů různých výrobků, které můžeme označit
analogicky G1,G2,...,Gn.
Technologií výroby výrobku Gj budeme nazývat soubor čísel (aij), i = 1,2,
...,m, který určuje, jaká množství suroviny Ri jsou nutná pro výrobu jednotky
výrobku Gj. Takovým způsobem můžeme výrobu chápat jako posloupnost, ve
které dodáváme postupně jednotlivé suroviny v množstvích a1j,a2j,...,amj a
na konci tohoto procesu vychází hotový výrobek. Na základě těchto informací
můžeme sestavit tzv. technologickou matici výroby.
G1 G2 ... Gj ... Gn
R1 a11 a12 ... a1j ... a1n
R2 a21 a22 ... a2j ... a2n
..................................
Ri ai1 ai2 ... aij ... ain
..................................
Rm am1 am2 ... amj ... amn
Zbývá předpokládat, že technologie výroby je lineární, to znamená, že spo-
třeba surovin je přímo úměrná objemu výroby. Pokud označíme A technologic-
kou matici výroby, dále b vektor omezení množství surovin R1,R2,...,Rm,
kterými výrobní jednotka disponuje, x plán výroby, tj. množství jednotek vý-
robků G1,G2,...,Gn a c vektor cen vyjadřující zisk z prodeje jednotek výrobků
G1,G2,...,Gn hotové produkce, pak matematický model této úlohy bude mít
3
Lineární algebra
tvar:
max (c·x)
A·x≤b, x≥o,
podle kterého hledáme maximum hodnoty zisku c1x1 +c2x2 +...+cnxn na mno-
žině ohraničené nerovnostmi summationtextnj=1 aijxj ≤ bi, i = 1,2,...,m popisujícími vý-
robní možnosti jednotky a nerovnostmi xj ≥ 0, j = 1,2,...,n vyjadřujícími
nezápornost množství hotové produkce.triangle
Uvedená úloha patří mezi základní úlohy tzv. lineárního programování.
Ze střední školy umíme řešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Tak např.
soustava
2x + y = 5
x − y = 4
má jediné řešení x = 3, y =−1. Toto řešení najdeme například tak, že z druhé
rovnice vypočteme x a dosadíme do první rovnice.
Soustava
2x + y = 5
4x + 2y = 7
nemá žádné řešení. Odečteme-li dvojnásobek první rovnice od druhé rovnice,
dostaneme 0 =−3, což není možné.
Soustava
2x + y = 5
4x + 2y = 10
má nekonečně mnoho řešení. Všimněme si, že druhá rovnice je dvojnásobkem
první rovnice. Stačí tedy soustavu řešit tím, že jednu neznámou volíme. Např.
řešením je x = 1, y = 3, nebo x = 0, y = 5, nebo x =−1, y = 7 atd.triangle
V právě uvedeném příkladě jsme o řešitelnosti daných soustav rozhodli snadno.
Jde-li však o soustavu s větším počtem neznámých, není otázka řešitelnosti tak
přehledná. A právě jedním z hlavních úkolů lineární algebry je najít jednak jed-
noduchá kriteria řešitelnosti takových soustav, jednak vhodné metody, jak tyto
soustavy řešit.
Úkolem tohoto modulu je seznámit čtenáře se základními pojmy a metodami
lineární algebry. Zatím bylo stručně pojednáno o významu lineární algebry. První
kapitola uvádí nejzákladnější poznatky o vektorech, které jsou potřebné pro vý-
klad v dalších kapitolách. Druhá kapitola je věnována maticím. Je zde zavedena
terminologie maticového počtu a podrobně popsány operace s maticemi. Třetí ka-
pitola pojednává o determinantech. Zejména jsou popsány metody jeho výpočtu
a aplikace především v maticovém počtu. Řešení soustav lineárních algebraických
rovnic je věnována kapitola čtvrtá.
Za každou kapitolou je pro potřeby samostatné práce student˚u připojen sou-
bor otázek a cvičení. Za poslední kapitolou je autotest, na kterém si posluchači
kombinovaného studia mohou ověřit zvládnutí problematiky celého modulu. Ve
studijních pramenech jsou v seznamu použité literatury uvedeny nejprve základní
učebnice, a pak skripta, v seznamu doplňkové studijní literatury sbírky příkladů
4
Úvod
a v odkazech na další studijní zdroje a prameny jsou internetové adresy strá-
nek souvisejících s tématem modulu. Pro snadnější orientaci je na konci zařazen
rejstřík pojmů.
Cíle
• znát pojem aritmetického vektoru, počítání s nimi a jejich vlastnosti
• znát pojem matice a některé jejich speciální třídy
• umět základní operace s maticemi
• znát pojem hodnost matice a umět ji stanovit
• umět definovat inverzní matici a prakticky ji vypočítat
• umět řešit maticové rovnice
• znát pojem determinantu, jeho vlastnosti a vyčíslení
• umět používat determinanty
• znát pojem systému lineárních algebraických rovnic a jeho maticový zápis
• umět rozhodnout o existenci a počtu řešení systému lineárních algebraických
rovnic
• znát základní přímé metody pro řešení systému lineárních algebraických
rovnic
Požadované znalosti
Základy lineární algebry jsou prvním modulem z řady studijních opor určených
pro posluchače 1. semestru kombinovaného studia na Stavební fakultě Vysokého
učení technického v Brně. Proto v tomto díle je použita co možná nejpřístupnější
forma výkladu, pro jehož pochopení stačí běžné znalosti středoškolské matema-
tiky. Při studiu vystačíte v podstatě pouze se znalostí sčítání a násobení reálných
čísel. Dále je potřebná píle a určitý stupeň logického myšlení, které je u studentů
technického zaměření samozřejmou nezbytností.
Doba potřebná ke studiu
Jak dlouho se budete zabývat studiem tohoto modulu, záleží na vašich možnostech
a schopnostech. V prezenčním studiu je problematika modulu probírána v prvních
dvou týdnech úvodního semestru v rozsahu 8 hodin přednášek a 8 hodin cvičení.
Odtud vychází, že by mělo být dostatečné věnovat studiu 24 hodin samostatné
práce završené samokontrolou nabytých vědomostí vyřešením autotestu.
5
Lineární algebra
Klíčová slova
lineární algebra, aritmetický vektor, matice, determinant, systém lineárních alge-
braických rovnic
6
Kapitola 1
VEKTORY
Motivace
Vektorem se většinou rozumí orientovaná úsečka, nebo jak se zejména ve fyzice
názorně říkává, veličina určená velikostí a směrem. Dvě takové úsečky představují
jeden a tentýž vektor, právě když jsou souhlasně rovnoběžné a mají stejnou délku.
Viz obr. 1.
Vektory lze sčítat (ve fyzice se také říká skládat), jak je vidět na obr. 2.
Obrázek 1.1: Souhlasné vektory
a17a17
a17a17
a17a17
a17a17
a17a51
a17a17
a17a17
a17a17
a17a17
a17a51
Obrázek 1.2: Sčítání vektorů
a17a17
a17a17
a17a17
a17a17
a17a17
a17a17
a17a51
a45a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2a2a14
vectoru
vectorv
vectoru +vectorv
Dále lze vektory násobit reálnými čísly. Je-li toto číslo kladné, je výsledný
vektor téhož směru jako původní. V případě záporného čísla, je opačného směru
a pro nulu nulový vektor, tj. úsečka nulové délky (její krajní body splývají). Viz
obr. 3.
a0
a0
a0
a0
a0a0a18
vectoru
a0
a0
a0
a0
a0
a0
a0
a0a0a18
kvectoru
(k>0) a0
a0
a0
a0a0a9
lvectoru
(l i , resp. pro i > j , i,j = 1,2,...,n.
Dolní resp. horní trojúhelníková matice má tedy tvar
a11 0 0 ··· 0
a21 a22 0 ··· 0
.......................
an1 an2 an3 ··· ann
resp.
a11 a12 ··· a1n
0 a22 ··· a2n
.................
0 0 ··· ann
.
Čtvercová matice řádu n se nazývá symetrická, jestliže aij = aji pro i,j =
1,2,...,n, tj. prvky symetricky položené vzhledem k hlavní diagonále jsou stejné.
Příklad 3.
Matice A =
1 −1 0−1 2 3
0 3 0
je symetrická.
Definice 5. Čtvercová matice řádu n se nazývá antisymetrická, jestliže aij =
−aji pro i,j = 1,2,...,n, tj. prvky symetricky položené vzhledem k hlavní dia-
gonále se liší znaménkem a všechny prvky v hlavní diagonále jsou nulové.
Příklad 4.
Matice A =
0 −1 21 0 9
−2 −9 0
je antisymetrická.
13
Lineární algebra
Definice 6. Matici typu (m,n) nazýváme nulová matice, jestliže všechny její
prvky jsou rovny 0, tj. aij = 0 pro i = 1,2,...,m; j = 1,2,...,n. Nulová matice
se značí O.
Tedy O =
0 0 ··· 0...........
0 0 ··· 0
.
2.2 Operace s maticemi
Podobně jako s čísly zavádíme i s maticemi početní operace s příslušnými pravidly.
Definice 7. (Rovnost matic) Dvě matice A = (aij), B = (bij) téhož typu (m,n)
jsou si rovny, píšeme A = B, právě když odpovídající prvky jsou stejné, tj.
aij = bij pro i = 1,2,...,m ; j = 1,2,...,n.
Poznámka 2. V této definici se znovu zdůrazňuje rozdíl mezi množinou a ma-
ticí. Množiny M = {1,2,3}, N = {3,1,2} jsou si rovny, píšeme M = N, po-
něvadž mají stejné prvky. Avšak matice (1 2 3), (3 1 2) typu (1,3), tj. řádkové
vektory, se nerovnají, poněvadž nejsou rovny odpovídající si prvky. Rovnost mezi
maticemi typu (m,n) tedy nahrazuje m·n rovností mezi odpovídajícími si prvky.
Definice 8. (Součet mat
Vloženo: 25.01.2010
Velikost: 425,04 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BA01 - Matematika I
Reference vyučujících předmětu BA01 - Matematika I
Reference vyučujícího doc. RNDr. Václav Tryhuk CSc.
Podobné materiály
- BV02 - Základy podnikové ekonomiky - Základy podnikové ekonomiky
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Základy stavební mechaniky
- BV01 - Ekonomie - základy ekonomie
- BL06 - Zděné konstrukce (S) - MS1-Základy navrhování
- BT02 - TZB III - M03-Základy mikroklimatu budov.pdf
- BT02 - TZB III - M04-Meteorologické základy
- BW01 - Technologie staveb I - Prezentace PP - základy
- BA01 - Matematika I - Skripta - Základy lineární algebry
- BA04 - Matematika III - Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika, Základy testování hypotéz
- BA04 - Matematika III - Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika - Základy teorie odhadu
- BS01 - Vodohospodářské stavby - Základy hydrauliky
- BH03 - Pozemní stavitelství II (S) - základy
- BU01 - Informatika - Základy Informatiky, je tam toho dost
- BU01 - Informatika - základy petrografie
- BF01 - Geologie - BF01-Geologie M02-Základy všeobecné a inženýrské geologie a hydrogeologie
- BF01 - Geologie - BF01-Geologie M03-Základy regionální geologie ČR
- 0A1 - Matematika (1) - BA01-Matematika_I--M01-Zaklady_linearni_algebry
- GA01 - Matematika I - GA01-Matematika_I--M01-Zaklady_linearni_algebry
- BF01 - Geologie - M01-Základy petrografie
- BF01 - Geologie - M02-Základy všeobecné a inženýrské geologie a hydrogeologie
- BF01 - Geologie - M03-Základy regionální geologie ČR
- BD01 - Základy savební mechaniky - BD01-Základy stavební mechaniky M01-Silové soustavy
- BD01 - Základy savební mechaniky - BD01-Základy stavební mechaniky M02-Průřezové charakteristiky
- BD01 - Základy savební mechaniky - BD01-Základy stavební mechaniky M03-Staticky určité prutové konstrukce - část I
- BD01 - Základy savební mechaniky - BD01-Základy stavební mechaniky M04-Staticky určité prutové konstrukce - část II
- BD01 - Základy savební mechaniky - BD01-Základy stavební mechaniky P01-Průvodce studiem předmětu BD01
- BS01 - Vodohospodářské stavby - BS01-Vodohospodářské stavby M01-Základy hydrauliky
- BV02 - Základy podnikové ekonomiky - BV02-Základy podnikové ekonomiky K01-Karta předmětu BV02
- BV02 - Základy podnikové ekonomiky - BV02-Základy podnikové ekonomiky P01-Průvodce studiem předmětu
- GZ02 - Základy práva - základy práva
- BC02 - Chemie stavebních látek - BC02-Chemie stavebních látek M01-Obecné základy
- GA03 - Pravděpodobnost a matematická statistika - GA03-Pravděpodobnost a matematická statistika M03-Základy teorie odhadu
- GA03 - Pravděpodobnost a matematická statistika - GA03-Pravděpodobnost a matematická statistika M04-Základy testování hypotéz
- GE05 - Microstation - GE05-Microstation M01-Prostředí a základy kresby
- GE09 - Počítačová grafika I - GE09-Počítačová grafika I M02-Technické prostředky, zpracování obrazu a základy 3D grafiky
- GZ02 - Základy práva - GZ02-Základy práva M01-Základy práva
- BT02 - TZB III - BT02-TZB III M03-Základy mikroklimatu budov
- BT02 - TZB III - BT02-TZB III M04-Meteorologické základy
- BL06 - Zděné konstrukce (S) - BL06-Zděné konstrukce (S) MS1-Základy navrhování
- BD01 - Základy savební mechaniky - zaklady stav. mechaniky - Skúška 3.5.2013
- BV002 - Základy podnikové ekonomiky - základy podnikavé ekonomiky
- BD001 - Základy stavební mechaniky - Základy stavební mechaniky
- BVA002 - Základy podnikové ekonomiky - Základy podnikové ekonomiky
- BA07 - Matematika I/2 - Řešení soustav lineárních algepbraických rovnic uřitím GEM
- BA01 - Matematika I - Lineární prostory a operátory
- BA01 - Matematika I - BA01-Matematika_I--M02-Linearni_prostory_a_operatory
Copyright 2024 unium.cz