- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Základy hydrauliky
BS01 - Vodohospodářské stavby
Hodnocení materiálu:
Vyučující: doc. Ing. Jan Jandora Ph.D.
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ
JAN JANDORA
VODOHOSPODÁŘSKÉ STAVBY
MODUL 01
ZÁKLADY HYDRAULIKY
STUDIJNÍ OPORY
PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Vodohospodářské stavby • Modul 01 • Základy hydrauliky
- 2 (64) -
© Jan Jandora, 2004
Obsah
OBSAH
1 Úvod ...............................................................................................................5
1.1 Cíle ........................................................................................................5
1.2 Požadované znalosti..............................................................................5
1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5
1.4 Klíčová slova.........................................................................................5
2 Fyzikální vlastnosti kapalin.........................................................................6
2.1 Hustota a měrná tíha kapaliny...............................................................6
2.2 Viskozita kapalin...................................................................................6
2.3 Stlačitelnost kapalin ..............................................................................7
2.4 Ideální kapalina .....................................................................................7
3 Hydrostatika .................................................................................................9
3.1 Tlak v kapalině za klidu........................................................................9
3.2 Rovňové a hladinové plochy, spojité nádoby a Pascalův teorém .......10
3.3 Tlaková síla kapaliny na vodorovné plochy........................................11
3.4 Tlaková síla kapaliny na rovinné plochy ............................................12
3.5 Plování těles ........................................................................................15
4 Hydrodynamika..........................................................................................18
4.1 Rovnice kontinuity v 1D .....................................................................20
4.2 Bernoulliho rovnice.............................................................................21
5 Ustálený výtok kapaliny otvorem z nádob ...............................................24
5.1 Volný výtok malým otvorem ve dně...................................................25
5.2 Součinitelé výtoku, zúžení, výtokové rychlosti a ztrát...............................26
5.3 Volný výtok otvorem ve svislé stěně..................................................26
5.4 Volný výtok hydraulicky malým otvorem ve svislé stěně..................27
5.5 Výtok ponořeným otvorem ve svislé stěně.........................................27
6 Přepady........................................................................................................28
6.1 Ostrohranné přelivy.............................................................................29
6.2 Jezové přelivy .....................................................................................32
6.3 Přepad přes širokou korunu bez bočního zúžení.................................35
7 Ustálené tlakové proudění vody v potrubí ...............................................38
7.1 Hydraulické odpory.............................................................................38
7.2 Laminární a turbulentní proudění .......................................................39
7.3 Ztráty třením .......................................................................................40
7.4 Místní ztráty ........................................................................................44
7.5 Hydraulicky krátká potrubí .................................................................46
7.6 Hydraulicky dlouhé potrubí a potrubí s odběrem po délce.................47
8 Rovnoměrné proudění vody v otevřených korytech ...............................49
8.1 Výpočet průřezové rychlosti ...............................................................50
8.2 Hydraulický výpočet rovnoměrného proudění v otevřených korytech...51
8.3 Profily o různých drsnostech jednotlivých částí .................................52
8.4 Složené profily ....................................................................................53
8.5 Uzavřené profily s volnou hladinou....................................................53
8.6 Proudění kritické, říční a bystřinné .....................................................54
- 3 (64) -
Vodohospodářské stavby • Modul 01 • Základy hydrauliky
9 Proudění podzemní vody........................................................................... 57
9.1 Darcyho vztah..................................................................................... 58
9.2 Jímání podzemní vody........................................................................ 59
9.3 Úplná studna s volnou hladinou ......................................................... 60
9.4 Úplná tlaková studna .......................................................................... 61
9.5 Sběrná štola ........................................................................................ 61
9.6 Soustava studní................................................................................... 62
10 Závěr ........................................................................................................... 64
10.1 Shrnutí ................................................................................................ 64
11 Studijní prameny ....................................................................................... 64
11.1 Seznam použité literatury................................................................... 64
11.2 Seznam doplňkové studijní literatury................................................ 64
12 Autotest ....................................................................................................... 64
13 Klíč .............................................................................................................. 64
- 4 (64) -
Úvod
1
1.1
1.2
1.3
1.4
Úvod
Cíle
Studijní text „Základy hydrauliky“ pro „Vodohospodářské stavby“, který máte
před sebou, je studijní oporou předmětu Vodohospodářské stavby
v kombinovaném studiu bakalářského studijního programu Inženýrské
stavitelství na Fakultě stavební Vysokého učení technického v Brně. Snahou
autora bylo, aby obsah textu byl srozumitelný a zároveň stručný. Teoretické
odvození nalezne čtenář v studijních pramenech (Kap. 11).
Hromadný výskyt vody na Zemi a její nezastupitelnost pro veškerý život
a činnost člověka, byl příčinnou toho, že se postupně vyvinula řada vědních
oborů zabývajících se výskytem vody, jejím oběhem, mechanickými
vlastnostmi, vodní biologií, chemií, atd. V dalším se budeme zabývat jednou
z nich, a to hydraulikou, která tvoří společně s hydrologií teoretické základy
vodního stavitelství.
Hydraulika by se podle svého názvu (hydor = voda, aulos = potrubí, žlab)
měla zabývat pouze pohybem vody v potrubí nebo ve žlabu. Ve skutečnosti je
její náplň mnohem širší. Hydraulika je věda o zákonitostech rovnováhy
a pohybu tekutin a vzájemném působení tekutin a tuhých těles.
Její fyzikálně matematický základ tvoří hydromechanika, která je částí klasické
teoretické mechaniky. Pro úlohy technické praxe, pro které nemá
hydromechanika teoretického řešení, používá hydraulika vztahů empirických,
odvozených z pozorování a měření v přírodě in situ nebo na modelech.
Požadované znalosti
Mezi požadované znalosti patří zejména základy fyziky a matematiky.
Doba potřebná ke studiu
Doba potřebná ke studiu této základní části hydrauliky je cca 8 hodin a dalších
cca 6 hodin na propočítání příkladů.
Klíčová slova
hydraulika, hydrostatika, Bernoulliova rovnice, proudění vody v potrubí, ztráty
v potrubí, proudění vody v kanálech s volnou hladinou, přelivy, proudění
podzemní vody.
- 5 (64) -
Vodohospodářské stavby • Modul 01 • Základy hydrauliky
2
2.1
Fyzikální vlastnosti kapalin
Hustota a měrná tíha kapaliny
Hustota kapaliny ρ (měrná hmotnost) je hmotnost kapaliny vztažená na
jednotku objemu.
Kapaliny jsou málo stlačitelné a jejich hustota se mění nepatrně s tlakem.
Teplem se kapaliny roztahují, přičemž se jejich hustota zmenšuje se stoupající
teplotou. Výjimku tvoří pouze voda, která se od 0°C do 4°C smršťuje a dalším
vzrůstem teploty se roztahuje (anomálie vody). Tyto změny platí při
konstantním tlaku. Změna hustoty vlivem změny vnějšího tlaku se projevuje
stlačitelností (Kap. 2.3). Vliv teploty na hustotu vody při tlaku 10
5
Pa
ukazuje Tab. 2.1. Pro praktické výpočty ve stavební praxi obyčejně
uvažujeme ρ = 1 000 kg/m
3
.
Tab. 2.1 Hustota a kinematická viskozita vody v závislosti na teplotě
při tlaku 1,01 10
5
Pa
T [°C] ρ [kg/m
3
] υ [m
2
/s] T [°C] ρ [kg/m
3
] υ [m
2
/s]
0 999,84 1,7938 10
-6
50 988,24 0,515 10
-6
4 999,97 1,5671 10
-6
60 983,38 0,478 10
-6
10 999,70 1,3101 10
-6
70 977,99 0,415 10
-6
20 998,20 1,0105 10
-6
80 972,01 0,367 10
-6
30 995,65 0,804 10
-6
90 965,30 0,327 10
-6
40 992,36 0,661 10
-6
100 959,69 0,294 10
-6
Měrná tíha kapaliny γ je tíha kapaliny vztažená na jednotku objemu:
γ = ρ g, (2.1)
kde g je tíhové zrychlení (g = 9,806 65 m/s
2
=
&
9,81 m/s
2
).
2.2 Viskozita kapalin
V reálných kapalinách vznikají při vzájemném pohybu částic důsledkem
vnitřního tření (viskozity) smyková (tangenciální) napětí τ. Newton zjistil, že
vnitřní tření v kapalinách:
- nezávisí na tlaku v kapalině,
- závisí na druhu kapaliny,
- závisí na gradientu rychlosti čili na rychlostním spádu mezi dvěma
vrstvami kapaliny (je-li rychlost dvou sousedních částic kapaliny
stejná, nepůsobí mezi nimi tření).
Jsou-li dvě sousední vrstvičky vzdálené od sebe o dy a pohybuje-li se jedna
vrstvička rychlostí u a druhá rychlostí u + du, lze podle Newtona smykové
napětí vyjádřit vztahem:
y
u
d
d
= µτ − , (2.2)
- 6 (64) -
Fyzikální vlastnosti kapalin
kde µ je součinitel dynamické viskozity (charakterizuje viskozitu kapaliny)
a
d
d
u
y
gradient rychlosti. Kapaliny, u kterých můžeme smykové napětí τ
vyjádřit podle (2.2), nazýváme newtonovské kapaliny (kapaliny, pro něž
platí přímá úměrnost mezi smykovým napětím a gradientem rychlosti).
V hydraulice často používáme pro charakteristiku viskozity kapaliny součinitel
kinematické viskozity υ, který je definován jako podíl dynamické viskozity
a hustoty kapaliny:
ρ
µ
υ = . (2.3)
Kinematická viskozita ν závisí na druhu kapaliny a na její teplotě. Vliv tlaku se
projeví jen při jeho velkých hodnotách. V Tab. 2.1 jsou uvedeny hodnoty
kinematické viskozity vody v závislosti na její teplotě.
2.3 Stlačitelnost kapalin
Stlačitelností rozumíme vlastnost kapaliny změnit svůj objem při změně tlaku.
Stlačitelnost je charakterizována objemovou stlačitelností χ , která vyjadřuje
o kolik se zmenší jednotka objemu kapaliny při zvětšení tlaku o ∆ p = 1 Pa
při T = konst.
p
V
V d
d1
=χ ,
χ
1
=K . (2.4)
Převrácená hodnota stlačitelnosti definuje modul objemové pružnosti
(stlačitelnosti) K. Hodnota K pro vodu je ovlivněna množstvím pohlcených
plynů a rozpuštěných solí ve vodě. Uvážíme-li, že modul pružnosti v tlaku je
u oceli přibližně 210 GPa, tedy oproti vodě při běžných podmínkách
(K = 2,03 GPa) přibližně stonásobný, je zřejmé, že pojem nestlačitelnosti vody
je opodstatněný ve srovnání s plyny a nikoliv s pevnými látkami. Přesto ve
většině hydraulických úloh předpokládáme, že voda je prakticky nestlačitelná.
Objem kapaliny V po stlačení přírůstkem tlaku ∆ p je:
∆
K
p
VV +1=
0
. (2.5)
kde V
0
je původní objem.
2.4 Ideální kapalina
Při odvození některých hydraulických jevů vycházíme ze zjednodušení,
kdy zanedbáváme některé fyzikální vlastnosti kapalin. Proto často
při matematické analýze pohybu kapalin vycházíme z pojmu ideální kapalina.
Ideální kapalina je:
null nestlačitelná;
null objemově stálá při změnách teploty;
null neviskozní, takže v ní nepůsobí smyková napětí.
- 7 (64) -
Vodohospodářské stavby • Modul 01 • Základy hydrauliky
Př. 2.1
Barel o objemu V = 500 l, naplněný vodou, byl uzavřen při teplotě t
1
= 20
o
C. Jaký
tlak nastane v barelu, pokud se voda v něm ohřeje na teplotu t
2
= 90
o
C za
předpokladu, že nedojde k odčerpávání vody (barel je neprodyšně uzavřen).
V
20°C
= 0,5 m
3
; ⇒
°
°
C20
C20
=
V
m
ρ
C20C20
=
°°
Vm ρ = (998,20 * 0,5) kg;
ρ
20°C
= 998,20 kg/m
3
(Tab. 2.1); m = 499,10 kg.
ρ
80°C
= 972,01 kg/m
3
(Tab. 2.1);
K
20°C
= 2,03 GPa (Odst. 2.3);
3
C80
C80
m
01,972
10,499
==
°
°
ρ
m
V ;
∆ p = ? Pa. ;
3
C80
m0,5135=
°
V
∆ V = V
80°C
- V
20°C
= 0,0135 m
3
.
Řešení:
Podle rovnice (2.5) platí:
⇒
∆
C20
C20C100
o
oo
+1=
K
p
VV
∆
=∆
C20
o
+1
K
p
V ;
Pa1003,2
5,0
0135,0
==
9
C20
C20
°
°
∆
∆ K
V
V
p ;
MPa,8145=p∆ .
V barelu po ohřátí vody bude tlak o 54,81 MPa větší.
Př. 2.2
Při zkoušce tlakového potrubí o délce L = 500 m a průměru D = 1,0 m klesl po
12 hodinách tlak v potrubí z 5,5 MPa na 5,0 MPa. Zjistěte kolik vody uniklo z potrubí.
L = 500 m;
3
2
0
m500
44
ππ
== L
D
V ;
D = 1,0 m; V
0
= 392,699 m
3
.
∆ p = -0,5 MPa;
K
20°C
= 2,03 GPa (Odst. 2.3).
Řešení:
Podle rovnice (2.5) platí:
3
9
6
C20
0
m
1003,2
105,0
1699,392=+1=
−
+
∆
°
K
p
VV ;
V = 392,602 m
3
;
∆V = V
0
- V = 392,699 - 392,602 m
3
= 0,097 m
3
.
Z potrubí vyteklo 97 l vody.
Kontrolní otázka
Jmenujte základní fyzikální vlastnosti kapalin.
- 8 (64) -
Hydrostatika
3
3.1
Hydrostatika
Hydraulika je oddíl technické mechaniky, která studuje zákony klidu
a pohybu kapalin. Dělí se na dvě základní části:
null hydrostatiku, která se zabývá kapalinami, které se nepohybují
(jsou v klidu) a jejich účinkem na tuhá tělesa;
null hydrodynamiku, která se zabývá pohybem kapalin a jejich působením
na tuhá tělesa při jejich vzájemném relativním pohybu.
Tlak v kapalině za klidu
V kapalině v klidu uvažujme libovolnou plochu A. Kapalina působí na každý
element této plochy dA silou dF. Tyto elementární tlaky jsou kolmé na
příslušné plošné elementy, a to protože v kapalině v klidu nepůsobí smykové
napětí (viz Odst. 2.2, při u = 0 m/s). Tlak v daném bodě kapaliny za klidu je
dán poměrem normálové síly F a elementární plochy A:
A
F
p
d
d
= . (3.1)
Průměrný tlak je definován:
A
F
p = . (3.2)
Z rovnováhy sil působících na vymezený čtyřstěn lze odvodit, že
v určitém bodě kapaliny, která je v klidu, je tlak ve všech směrech stejný.
x
y
z
A
h
B
z
A
z
B
p = p
vB
p
A
Obr. 3.1 Tlak v kapalině na níž působí jen tíže
Z Eulerovy diferenciální rovnice rovnováhy v kapalině g. Tlak v bodě A
(Obr. 3.1) je dán rovnicí:
BA
phgp +=ρ (3.3)
kde h = z
B
– z
A
a p
v
= p
B
je vnější tlak působící na povrch kapaliny. Pro
celkový statický tlak p
s
v kapalině, která je v klidu platí:
vhs
ppp += , kde hgp
h
ρ= . (3.4)
- 9 (64) -
Vodohospodářské stavby • Modul 01 • Základy hydrauliky
Rovnice (3.4) vyjadřuje hydrostatické rozložení tlaku v kapalině. Statický tlak
p
s
v libovolném bodě kapaliny, který působí vlastní tíha, se rovná
hydrostatickému tlaku p
h
zvětšenému o vnější tlak na povrch kapaliny p
v
.
Vnější tlak se přenáší do všech bodů kapaliny nezměněnou hodnotou. Naproti
tomu hydrostatický tlak p
h
roste úměrně s hloubkou h. Je-li ρ = konst.,
pak hydrostatický tlak roste s hloubku podle lineární závislosti. Vnější tlak
je ve většině případů tlak atmosférický p
a
. Je to tlak plynného obalu Země,
který nemá stálou hodnotu a uvádí se průměrnou hodnotou p
a
= 101,325 kPa.
3.2 Rovňové a hladinové plochy, spojité nádoby
a Pascalův teorém
Rovňové plochy jsou plochy, na kterých je statický tlak konstantní.
Rovňová plocha musí být kolmá ke směru výsledného zrychlení.
Hladinová plocha je rovňová plocha tvořící povrch kapaliny. Na Zemi mají
hladinové plochy přibližně kulový tvar (např. hladiny moří). Ve většině úvah
však můžeme malou část takové plochy v okolí určitého bodu nahradit
vodorovnou rovinou.
Ve dvou otevřených a navzájem spojených nádobách jsou dvě různé nemísící
se kapaliny, které jsou v rovnováze (Obr. 3.2). Rovina, která rozděluje obě
nemísící se kapaliny, je plochou rovňovou. Proto tlaky na této ploše musí být
všude stejné, jinak by byla porušena rovnováha. Platí:
222111
ρρ hgphgp
vv
+=+ . (3.5)
AB
h
1
h
2
ρ
2
1
ρ
p
v
p
v
1
2
F
1
F
2
p
A
2
1
A
G
p
p
Obr. 3.2 Spojité nádoby Obr. 3.3 Hydraulický lis
Pascalův teorém: Tlak kapaliny uzavřené v malé nádobě a vystavené velkému
vnějšímu tlaku je stálý v celém rozsahu kapaliny. Síla F
1
působí na píst
o plošném obsahu A
1
tlakem
1
1
A
F
p = (Obr. 3.2). Tento tlak se šíří rovnoměrně
v celé kapalině všemi směry a druhý píst bude tedy vytlačován silou F
2
= p A
2
.
Abychom udrželi píst v rovnováze, musíme na druhý píst působit stejně velkou
silou opačného směru G = F
2
:
11
ApF = ,
22
ApFG == ,
2
1
2
1
A
A
F
F
= .
Síly, které působí na písty, jsou úměrné příslušným plochám. Pascalův teorém
se uplatní v technické praxi, např. při výpočtu hydraulického lisu.
- 10 (64) -
Hydrostatika
3.3 Tlaková síla kapaliny na vodorovné plochy
Na kapalinu, která je v klidu a na kterou působí jen tíže, působí ve všech
bodech libovolné vodorovné roviny stejný tlak. A to proto, že každý bod
takové roviny je ve stejné hloubce pod volnou hladinou. Vodorovné roviny
jsou tedy plochy rovňové. Obecně je výslednice tlaku dána integrálem:
∫
=
A
ApF d , p = ρ g h + p
v
. (3.6)
kde A je velikost zatěžované plochy. Jelikož se uvažuje vodorovná plocha, na
které je stejný tlak (p = konst.), můžeme rovnici (3.6) upravit na tvar:
ApApApF
AA
===
∫∫
dd .
h
A
p
v
v
p
F
s
F
v
Obr. 3.4 Tlaková síla na vodorovné dno nádoby
Výsledná síla F
s
, která působí na celou uvažovanou vodorovnou plochu A, se rovná
součinu této plochy a statického tlaku v libovolném bodě plochy A (Obr. 3.4):
AhgpAppF
vhvs
)()( ρ+=+= ,
F
s
= F
v
+ F.
Jestliže ze vzdušní (druhé) strany plochy A působí vnější tlak p
v
a tlaková síla
od tohoto tlaku má velikost:
F
v
= p
v
A,
pak síla od hydrostatického tlaku - hydrostatická síla F:
AhgF ρ= (3.7)
je způsobena pouze tíhou kapaliny. Tato hydrostatická síla F se rovná tíze
sloupce kapaliny, jejíž základnou je plocha dna a výškou je jeho hloubka
pod hladinou h. Tato věta platí pro nádobu jakéhokoliv tvaru. Na dno nádob
podle Obr. 3.5 působí stejná hydrostatická síla podle vztahu (3.7). Nezáleží tedy
na tíze kapaliny obsažené v nádobě, která může být i menší než hydrostatická
síla kapaliny na dno. Tento poznatek nazýváme hydrostatické paradoxon.
h
A AAA A
Obr. 3.5 Hydrostatické paradoxon
- 11 (64) -
Vodohospodářské stavby • Modul 01 • Základy hydrauliky
3.4 Tlaková síla kapaliny na rovinné plochy
Libovolně nakloněnou rovinnou plochu v kapalině si představujeme jako
plochu složenou z nekonečného počtu malých plošek dA. Obecně můžeme říci,
že na každou plošku působí tlak p, který se mění spojitě s hloubkou h plošky
dA pod hladinou. Přičemž tlak p = f(x , y, z) je kolm
Vloženo: 22.01.2010
Velikost: 2,34 MB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BS01 - Vodohospodářské stavby
Reference vyučujících předmětu BS01 - Vodohospodářské stavby
Reference vyučujícího doc. Ing. Jan Jandora Ph.D.
Podobné materiály
- BV02 - Základy podnikové ekonomiky - Základy podnikové ekonomiky
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Základy stavební mechaniky
- BV01 - Ekonomie - základy ekonomie
- BL06 - Zděné konstrukce (S) - MS1-Základy navrhování
- BT02 - TZB III - M03-Základy mikroklimatu budov.pdf
- BT02 - TZB III - M04-Meteorologické základy
- BW01 - Technologie staveb I - Prezentace PP - základy
- BA01 - Matematika I - Skripta - Základy lineární algebry
- BA04 - Matematika III - Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika, Základy testování hypotéz
- BA04 - Matematika III - Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika - Základy teorie odhadu
- BA01 - Matematika I - Základy lineární algebry
- BH03 - Pozemní stavitelství II (S) - základy
- BU01 - Informatika - Základy Informatiky, je tam toho dost
- BU01 - Informatika - základy petrografie
- BF01 - Geologie - BF01-Geologie M02-Základy všeobecné a inženýrské geologie a hydrogeologie
- BF01 - Geologie - BF01-Geologie M03-Základy regionální geologie ČR
- 0A1 - Matematika (1) - BA01-Matematika_I--M01-Zaklady_linearni_algebry
- GA01 - Matematika I - GA01-Matematika_I--M01-Zaklady_linearni_algebry
- BF01 - Geologie - M01-Základy petrografie
- BF01 - Geologie - M02-Základy všeobecné a inženýrské geologie a hydrogeologie
- BF01 - Geologie - M03-Základy regionální geologie ČR
- BD01 - Základy savební mechaniky - BD01-Základy stavební mechaniky M01-Silové soustavy
- BD01 - Základy savební mechaniky - BD01-Základy stavební mechaniky M02-Průřezové charakteristiky
- BD01 - Základy savební mechaniky - BD01-Základy stavební mechaniky M03-Staticky určité prutové konstrukce - část I
- BD01 - Základy savební mechaniky - BD01-Základy stavební mechaniky M04-Staticky určité prutové konstrukce - část II
- BD01 - Základy savební mechaniky - BD01-Základy stavební mechaniky P01-Průvodce studiem předmětu BD01
- BS01 - Vodohospodářské stavby - BS01-Vodohospodářské stavby M01-Základy hydrauliky
- BV02 - Základy podnikové ekonomiky - BV02-Základy podnikové ekonomiky K01-Karta předmětu BV02
- BV02 - Základy podnikové ekonomiky - BV02-Základy podnikové ekonomiky P01-Průvodce studiem předmětu
- GZ02 - Základy práva - základy práva
- BC02 - Chemie stavebních látek - BC02-Chemie stavebních látek M01-Obecné základy
- GA03 - Pravděpodobnost a matematická statistika - GA03-Pravděpodobnost a matematická statistika M03-Základy teorie odhadu
- GA03 - Pravděpodobnost a matematická statistika - GA03-Pravděpodobnost a matematická statistika M04-Základy testování hypotéz
- GE05 - Microstation - GE05-Microstation M01-Prostředí a základy kresby
- GE09 - Počítačová grafika I - GE09-Počítačová grafika I M02-Technické prostředky, zpracování obrazu a základy 3D grafiky
- GZ02 - Základy práva - GZ02-Základy práva M01-Základy práva
- BT02 - TZB III - BT02-TZB III M03-Základy mikroklimatu budov
- BT02 - TZB III - BT02-TZB III M04-Meteorologické základy
- BL06 - Zděné konstrukce (S) - BL06-Zděné konstrukce (S) MS1-Základy navrhování
- BD01 - Základy savební mechaniky - zaklady stav. mechaniky - Skúška 3.5.2013
- BV002 - Základy podnikové ekonomiky - základy podnikavé ekonomiky
- BD001 - Základy stavební mechaniky - Základy stavební mechaniky
- BVA002 - Základy podnikové ekonomiky - Základy podnikové ekonomiky
- BR005 - Hydraulika a hydrologie - BR051, BR05, BR005 hydrauliky a hydrologie
Copyright 2024 unium.cz