- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Texty k přednáškám statistiky od Nagyho a Kratochvílové
BA04 - Matematika III
Hodnocení materiálu:
Popisek: Texty k přednáškám statistiky od Nagyho a Kratochvílové (pravděpodobně jiná vysoká škola)
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálTexty k p•redn¶a•sk¶am
Matematick¶a Statistika
Ivan Nagy, Jitka Kratochv¶‡lov¶a
Obsah
1 N¶ahodn¶y v¶yb•er 3
1.1 Pojem n¶ahodn¶eho v¶yb•eru (Skripta str. 68) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Charakteristiky v¶yb•eru (Skripta str. 69) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 V¶yb•erov¶y pr”um•er (Skripta str. 70) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Charakteristiky v¶yb•erov¶eho pr”um•eru (Skripta str. 70) . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Rozd•elen¶‡ v¶yb•erov¶eho pr”um•eru (Skripta str. 66,70) . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 V¶yb•erov¶y rozptyl (Skripta str. 71) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 V¶yb•erov¶y pod¶‡l (Skripta str. 72) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 V¶yb•erov¶e charakteristiky 6
2.1 V¶yb•erov¶y pr”um•er p•ri zn¶am¶em rozptylu souboru (Skripta str. 70) . . . . . . . 6
2.2 V¶yb•erov¶y pr”um•er p•ri nezn¶am¶em rozptylu souboru (Skripta str. 72) . . . . . . 6
2.3 V¶yb•erov¶y rozptyl (Skripta str. 71) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 V¶yb•erov¶y pod¶‡l (Skripta str. 72) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Dva v¶yb•erov¶e pr”um•ery 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Dva v¶yb•erov¶e rozptyly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.7 Dva v¶yb•erov¶e pod¶‡ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Bodov¶e odhady a jejich vlastnosti 9
3.1 Statistika (Skripta str. 77) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Bodov¶y odhad parametru rozd•elen¶‡ (Skripta str. 77) . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Vlastnosti bodov¶ych odhad”u (Skripta str. 78) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4 Konstrukce bodov¶ych odhad”u (Skripta str. 82) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Intervalov¶e odhady 15
4.1 Pojem intervalu spolehlivosti (Skripta str. 85) . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Druhy interval”u spolehlivosti pro jednu n¶ahodnou veli•cinu (Skripta str. 86-94) 16
5 Parametrick¶e testy hypot¶ez 19
5.1 Pojem parametrick¶eho testu (Skripta str. 95-96) . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2 Z¶akladn¶‡ pojmy (Skripta str. 97) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.3 P-hodnota (Skripta str. 101-103) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.4 Obecn¶e sch¶ema testu hypot¶ezy (Skripta str. 101) . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5 Vybran¶e parametrick¶e testy (Skripta str. 103-115) . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2
6 Chi2 testy hypot¶ez 25
6.1 Test dobr¶e shody (Skripta str. 115-117) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.2 Test nez¶avislosti (Skripta str. 118-119) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7 Dal•s¶‡ neparametrick¶e testy hypot¶ez 29
7.1 Test medi¶anu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Test nez¶avislosti prvk”u v¶yb•eru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.3 Test nez¶avislosti v¶yb•er”u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.4 Test typu rozd•elen¶‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Regresn¶‡ anal¶yza 33
8.1 Line¶arn¶‡ regrese (Skripta str. 121-126) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.2 Neline¶arn¶‡ regrese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9 Korela•cn¶‡ anal¶yza (Skripta str. 127-141) 37
9.1 Intervaly spolehlivosti (Skripta str. 136,138-139) . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.2 Testy hypot¶ez (Skripta str. 134-135,140) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
10 Anal¶yza rozptylu (ANOVA) 40
10.1 ANOVA p•ri jednoduch¶em t•r¶‡d•en¶‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
10.2 ANOVA p•ri dvojn¶em t•r¶‡d•en¶‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11 Anal¶yza hlavn¶‡ch komponet 44
11.1 Rozklad kovarian•cn¶‡ matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
11.2 Rozklad datov¶e matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
1 N¶ahodn¶y v¶yb•er
Hlavn¶‡m ¶ukolem statistiky je rozbor dat, kter¶a vykazuj¶‡ n¶ahodn¶e kol¶‡s¶an¶‡. Jedn¶a se
v•et•sinou o data m•e•ren¶a na ur•cit¶em procesu za ¶u•celem (lep•s¶‡ho) pozn¶an¶‡ tohoto procesu.
Nap•r¶‡klad: m•e•r¶‡me hustoty a intenzity dopravn¶‡ho proudu na n•ekolika m¶‡stech ur•cit¶e dopravn¶‡ oblasti,
abychom byli schopni (l¶epe) •r¶‡dit dopravu v t¶eto oblasti.
1.1 Pojem n¶ahodn¶eho v¶yb•eru (Skripta str. 68)
Zkouman¶y proces ch¶apeme jako n¶ahodnou veli•cinu s ur•cit¶ym, n¶am nezn¶am¶ym (nebo ne
¶upln•e zn¶am¶ym), rozd•elen¶‡m a m•e•ren¶a data jako realizace t¶eto n¶ahodn¶e veli•ciny. Pro jednodu-
chost a lep•s¶‡ p•redstavu se p•ri v¶ykladu omez¶‡me na nejb•e•zn•ej•s¶‡ druh procesu, kter¶y nazveme
z¶akladn¶‡m statistick¶ym pokusem a kter¶y spo•c¶‡v¶a v dotazu vybran¶e jednotky z dan¶e mno•ziny
jednotek na ur•citou v•ec. Mno•zinu v•sech odpov•ed¶‡ nazveme soubor a podmno•zinu z¶‡skan¶ych
odpov•ed¶‡ nazveme v¶yb•er.
Nap•r¶‡klad: Sledov¶an¶‡ spot•reby automobil”u ur•cit¶eho typu, vyroben¶e v dan¶em roce a p•ri najet¶‡ 5000
km. Souborem jsou spot•reby automobil”u vyroben¶ych v dan¶em roce. V¶yb•erem jsou spot•reby sledovan¶ych
automobil”u. Dotaz je symbolick¶y n¶azev pro zm•e•ren¶‡ spot•reby automobilu. Jednotka je automobil, vy-
roben¶y v dan¶em roce (prvek souboru). Mno•zina spot•reb v•sech automobil”u z dan¶eho roku je soubor a
podmno•zina spot•reb sledovan¶ych automobil”u) je v¶yb•er.
Abychom z¶‡skali objektivn¶‡ informace o zkouman¶em procesu, je t•reba, aby v¶yb•er dotazo-
van¶ych jednotek byl nez¶avisl¶y.
Nap•r¶‡klad: Zji•st’ujeme-li pr”um•ern¶e st¶a•r¶‡ automobil”u, je nesmysln¶e omezit se na autobazary.
Jestli•ze v¶yb•er, tj. s¶erii dotaz”u, opakujeme, dostaneme jin¶e odpov•edi. Je t¶‡m, •ze dotazy
p•ri dal•s¶‡m v¶yb•eru zahrnou jin¶e jednotky. Abstraktn•e lze deflnovat n¶ahodn¶y v¶yb•er jako
uspo•r¶adanou mno•zinu (vektor) n¶ahodn¶ych veli•cin, jej¶‡•z realizac¶‡ dostaneme jednu konkr¶etn¶‡
realizaci v¶yb•eru { •c¶‡seln¶y vektor.
Definice 1.1 (N¶ahodn¶y v¶yb•er)
N¶ahodn¶y v¶yb•er X = [X1; X2;:::;Xn] je vektor nez¶avisl¶ych a stejn•e rozd•elen¶ych
n¶ahodn¶ych veli•cin. •C¶‡slo n se naz¶yv¶a rozsah v¶yb•eru. Vektor realizac¶‡ n¶ahodn¶ych veli•cin
x = [x1; x2;:::;xn] nazveme realizac¶‡ n¶ahodn¶eho v¶yb•eru.
Jedna z typick¶ych ¶uloh statistiky je odhad st•redn¶‡ hodnoty souboru, p•ri•cem•z
p•redpokl¶ad¶ame, •ze typ rozd•elen¶‡ souboru je zn¶am¶y. Odhadujeme jeden z jeho parametr”u
{ st•redn¶‡ hodnotu. O t¶e vypov¶‡daj¶‡ v•sechna data n¶ahodn¶eho v¶yb•eru. Je proto u•zite•cn¶e zn¶at
rozd•elen¶‡ cel¶eho n¶ahodn¶eho v¶yb•eru.
Tvrzen¶‡ 1.1 (Distribu•cn¶‡ funkce n¶ahodn¶eho v¶yb•eru)
X = [X1; X2;:::;Xn] je n¶ahodn¶y v¶yb•er a F(xi); i = 1;2;:::;n je distribu•cn¶‡ funkce, ur•cuj¶‡c¶‡
rozd•elen¶‡ jeho slo•zek. Pak distribu•cn¶‡ funkce n¶ahodn¶eho v¶yb•eru H(x) je rovna sou•cinu dis-
tribu•cn¶‡ch funkc¶‡ jeho slo•zek
H(x) = H(x1;x2;:::;xn) = F(x1)F(x2):::F(xn):
4
Ov•e•ren¶‡: Plyne p•r¶‡mo ze skute•cnosti, •ze slo•zky n¶ahodn¶eho v¶yb•eru jsou nez¶avisl¶e a distribu•cn¶‡
funkce nez¶avisl¶ych n¶ahodn¶ych veli•cin je rovna sou•cinu jejich distribu•cn¶‡ch funkc¶‡.
1.2 Charakteristiky v¶yb•eru (Skripta str. 69)
Realizace n¶ahodn¶eho v¶yb•eru je datov¶y soubor. Ten lze popsat pomoc¶‡ charakteristik
popisn¶e statistiky. T•emito charakteristikami lze popsat i n¶ahodn¶y v¶yb•er, s jednou d”ule•zitou
odli•snost¶‡. Charakteristiky datov¶eho souboru jsou konstanty (nap•r. pro st•redn¶‡ hodnotu
plat¶‡: se•ctu-li dan¶a •c¶‡sla odp•redu nebo odzadu, dostanu v•zdy tot¶e•z). Charakteristiky
n¶ahodn¶eho v¶yb•eru jsou n¶ahodn¶e veli•ciny. N¶ahodnost zde vznik¶a vzhledem k opakovan¶ym
v¶yb•er”um. Provedeme-li prvn¶‡ v¶yb•er a spo•cteme charakteristiku (nap•r. pr”um•er) t¶eto real-
izace, dostaneme •c¶‡slo. Dal•s¶‡ v¶yb•er poskytne novou realizaci a proto•ze je n¶ahodn¶y, budou v
n¶‡ jin¶a •c¶‡sla. Proto i charakteristika (pr”um•er) bude m¶‡t jinou hodnotu. Tedy: ka•zd¶y v¶yb•er d¶a
jinou realizaci a jinou hodnotu charakteristiky { realizaci charakteristiky n¶ahodn¶eho v¶yb•eru,
kter¶a je n¶ahodnou veli•cinou.
R”uzn¶e charakteristiky n¶ahodn¶eho v¶yb•eru budou d¶ale velmi d”ule•zit¶e. Ka•zd¶a zkouman¶a
vlastnost bude m¶‡t svou charakteristiku, kter¶e budeme •r¶‡kat statistika. Proto•ze statistika je
n¶ahodn¶a, m¶a sv¶e rozd•elen¶‡ (hustotu pravd•epodobnosti statistiky). Ta je z¶akladn¶‡m n¶astrojem
pro ve•sker¶a odvozen¶‡ klasick¶e statistiky.
Nejprve se podrobn•eji pod¶‡v¶ame na nejzn¶am•ej•s¶‡ charakteristiku v¶yb•erov¶y pr”um•er, v p•r¶‡•st¶‡
kapitole si pak uvedeme dal•s¶‡ z¶akladn¶‡ charakteristiky a jejich vlastnosti.
1.3 V¶yb•erov¶y pr”um•er (Skripta str. 70)
Definice 1.2 (V¶yb•erov¶y pr”um•er)
Pro v¶yb•er X = [X1;X2;:::;Xn] ze spojit¶e n¶ahodn¶e veli•ciny X se st•redn¶‡ hodnotou „ a
rozptylem 2 je v¶yb•erov¶y pr”um•er deflnov¶an vztahem
X = 1n
nX
i=1
Xi: (1)
Koment¶a•r k deflnici
1. V•simn•eme si, •ze ve vzorci pro v¶yb•erov¶y pr”um•er flguruj¶‡ velk¶a p¶‡smena. Nen¶‡ to tedy
pr”um•er z •c¶‡sel, ale form¶aln•e zapsan¶y pr”um•er z n¶ahodn¶ych veli•cin.
1.4 Charakteristiky v¶yb•erov¶eho pr”um•eru (Skripta str. 70)
Pro v¶yb•erov¶y pr”um•er, jako n¶ahodnou veli•cinu, uvedeme jeho st•redn¶‡ hodnotu a rozptyl. Jsou
to vlastn•e charakteristiky deflnovan¶e na charakteristice v¶yb•erov¶y pr”um•er. Tyto charakter-
istiky se po•c¶‡taj¶‡ pro v•sechny mo•zn¶e hodnoty v¶yb•erov¶eho pr”um•eru. Z¶avis¶‡ proto na v•sech
realizac¶‡ch souboru. Jsou to tedy ji•z konstanty (d”ukladn•e rozmyslet).
P•r¶‡klad: Uva•zujme soubor s hodnotami f1;2;3g a v¶yb•er z tohoto souboru o rozsahu n = 2.
V•sechny mo•zn¶e v¶yb•ery jsou uvedeny jako sloupce n¶asleduj¶‡c¶‡ tabulky
5
mo•zn¶e 1 1 1 2 2 2 3 3 3
v¶yb•ery 1 2 3 1 2 3 1 2 3
v¶yb. pr”um•ery 1 1.5 2 1.5 2 2.5 2 2.5 3
Jestli•ze zpr”um•erujeme v•sechny v¶yb•erov¶e pr”um•ery, dostaneme st•redn¶‡ hodnotu v¶yb•erov¶eho pr”um•eru. Zde
je to 2.
St•redn¶‡ hodnota v¶yb•erov¶eho pr”um•eru X je rovna st•redn¶‡ hodnot•e souboru E[X] = „
E[X] = E
"1
n
nX
i=1
Xi
#
= 1n
nX
i=1
E[Xi] = 1n
nX
i=1
„ = 1nn„ = „: (2)
Rozptyl v¶yb•erov¶eho pr”um•eru X je roven rozptylu souboru D[X] = 2, d•elen¶emu rozsa-
hem v¶yb•eru n
s2X = D[X] = D
"1
n
nX
i=1
Xi
#
= 1n2D
" nX
i=1
Xi
#
=|{z}
nez¶avislost
1
n2
nX
i=1
D[Xi] = 1n2n 2 =
2
n : (3)
1.5 Rozd•elen¶‡ v¶yb•erov¶eho pr”um•eru (Skripta str. 66,70)
Pro v¶yb•er z n¶ahodn¶e veli•ciny s norm¶aln¶‡m rozd•elen¶‡m N(„; 2), nebo pro dostate•cn•e velk¶y
v¶yb•er (viz Centr¶aln¶‡ limitn¶‡ v•eta) plat¶‡
X » N(E[X];D[X]) = N(„; 2=n)
tj, v¶yb•erov¶y pr”um•er m¶a norm¶aln¶‡ rozd•elen¶‡ se st•redn¶‡ hodnotou „ a rozptylem 2=n.
1.6 V¶yb•erov¶y rozptyl (Skripta str. 71)
Definice 1.3 (V¶yb•erov¶y rozptyl)
Pro v¶yb•er X = [X1;X2;:::;Xn] ze spojit¶e n¶ahodn¶e veli•ciny X se st•redn¶‡ hodnotou „ a
rozptylem 2 je v¶yb•erov¶y rozptyl deflnov¶an vztahem
S2 = 1n¡1
nX
i=1
(Xi ¡X)2: (4)
1.7 V¶yb•erov¶y pod¶‡l (Skripta str. 72)
Definice 1.4 (V¶yb•erov¶y pod¶‡l)
Pro v¶yb•er X = [X1;X2;:::;Xn] z alternativn¶‡ n¶ahodn¶e veli•ciny X se souborov¶ym pod¶‡lem
… je v¶yb•erov¶y pod¶‡l deflnov¶an vztahem
p = n
+
n ; (5)
kde n+ je po•cet p•r¶‡zniv¶ych pokus”u ve v¶yb•eru a n je rozsah v¶yb•eru.
6
2 V¶yb•erov¶e charakteristiky
V¶yb•erov¶y pr”um•er je nejzn¶am•ej•s¶‡, ale zdaleka ne jedinou charakteristikou v¶yb•eru. Nyn¶‡
uvedeme ty charakteristiky, kter¶e budeme d¶ale nej•cast•eji pou•z¶‡vat. Mohou se t¶ykat jednoho
nebo dvou v¶yb•er”u.
Jeden n¶ahodn¶y v¶yb•er
Uva•zujeme v¶yb•er z jednoho rozd•elen¶‡, nap•r. zji•st’ujeme st¶a•r¶‡ n¶ahodn•e vybran¶ych automobil”u.
Budeme sledovat t•ri z¶akladn¶‡ charakteristiky n¶ahodn¶eho v¶yb•eru: v¶yb•erov¶y pr”um•er, rozptyl
a pod¶‡l. Proto•ze je v¶yb•er n¶ahodn¶y, jsou i tyto charakteristiky n¶ahodn¶e a ka•zd¶a z nich m¶a
sv¶e rozd•elen¶‡.
2.1 V¶yb•erov¶y pr”um•er p•ri zn¶am¶em rozptylu souboru (Skripta str. 70)
Normovan¶y v¶yb•erov¶y pr”um•er z norm¶aln¶‡ho rozd•elen¶‡ N(„; 2), nebo dostate•cn•e velk¶y
v¶yb•er z libovoln¶eho rozd•elen¶‡ se st•redn¶‡ hodnotou „ a rozptylem 2 je
Z = X¡„ pn » N(0;1) (6)
a m¶a normovan¶e norm¶aln¶‡ rozd•elen¶‡ N(0;1).
2.2 V¶yb•erov¶y pr”um•er p•ri nezn¶am¶em rozptylu souboru (Skripta str.
72)
V p•r¶‡pad•e nezn¶am¶eho rozptylu souboru, ze kter¶eho je v¶yb•er po•r¶‡zen, se nezn¶am¶y rozptyl
odhadne pomoc¶‡ v¶yb•erov¶eho rozptylu (4).
Normovan¶y v¶yb•erov¶y pr”um•er je deflnov¶an
t = X¡„S pn » St(n¡1) (7)
a m¶a Studentovo rozd•elen¶‡ s n¡1 stupni volnosti.
2.3 V¶yb•erov¶y rozptyl (Skripta str. 71)
Normovan¶y v¶yb•erov¶y rozptyl je deflnov¶an vztahem
´2 = (n¡1)S2 2 » Chi2(n¡1) (8)
a m¶a rozd•elen¶‡ rozd•elen¶‡ ´2 s n¡1 stupni volnosti.
7
2.4 V¶yb•erov¶y pod¶‡l (Skripta str. 72)
Normovan¶y v¶yb•erov¶y pod¶‡l je
Z = p¡…pp(1¡p)pn » N(0;1) (9)
a m¶a p•ribli•zn•e norm¶aln¶‡ normovan¶e rozd•elen¶‡ N(0;1). To plat¶‡ pro np > 5 a z¶arove•n
n(1¡p) > 5.
Dva n¶ahodn¶e v¶yb•ery
Uva•zujeme dva v¶yb•ery, tj. dv•e n¶ahodn¶e veli•ciny, kter¶e chceme zkoumat. Nap•r¶‡klad m•e•r¶‡me
nahu•st•en¶‡ p•redn¶‡ch pneumatik u n¶ahodn•e vybran¶ych automobil”u. Tlak v lev¶e pneumatice je
realizac¶‡ prvn¶‡ n¶ahodn¶e veli•ciny, tlak v prav¶e je realizac¶‡ druh¶e n¶ahodn¶e veli•ciny. Charakter-
istikami budou op•et pr”um•er, rozptyl a pod¶‡l a vztahuj¶‡ se na rozd¶‡l obou n¶ahodn¶ych veli•cin.
P•redpokl¶ad¶ame, •ze rozptyl rozd•elen¶‡ nen¶‡ zn¶am a je nahrazen v¶yb•erov¶ym rozptylem.
Zna•c¶‡me: x1;x2 v¶yb•ery, n1;n2 rozsahy v¶yb•er”u, „1;„2 st•redn¶‡ hodnoty v¶yb•er”u a 21; 22
rozptyly v¶yb•er”u.
2.5 Dva v¶yb•erov¶e pr”um•ery 74
Normovan¶y rozd¶‡l dvou v¶yb•erov¶ych pr”um•er”u p•ri shodn¶ych rozptylech
t = X1¡X2¡(„1¡„2)S
P
p
1=n1+1=n2 » St(n¡1) ; S
2
P =
(n1 ¡1)S21 +(n2 ¡1)S22
n1 +n2 ¡2 : (10)
a m¶a Studentovo rozd•elen¶‡ s n¡1 stupni volnosti.
Normovan¶y rozd¶‡l dvou v¶yb•erov¶ych pr”um•er”u p•ri r”uzn¶ych rozptylech
t = X1¡X2¡(„1¡„2)pS2
1=n1+S
2
2=n2
» St(n¡1) (11)
a m¶a Studentovo rozd•elen¶‡ s – stupni volnosti, kde
– = (k1 +k2)
2
k21
n1¡1 +
k22
n2¡1
; k1 = s
2
1
n1; k2 =
s22
n2
Normovan¶y rozd¶‡l dvou v¶yb•erov¶ych pr”um•er”u p•ri p¶arov¶ych v¶yb•erech
t = D¡(„1¡„2)S
D
pn » St(n¡1) ; (12)
8
kde D = X1 ¡X2, D je v¶yb•erov¶y pr”um•er a SD v¶yb•erov¶y rozptyl n¶ahodn¶eho vektoru D.
Di = X1;i ¡X2;i; D = 1n
nX
i=1
Di; S2D = 1n¡1
nX
i=1
(Di ¡D)2
Tato charakteristika m¶a Studentovo rozd•elen¶‡ s n¡1 stupni volnosti.
P•r¶‡klad: Sledujeme nahu•st•en¶‡ p•redn¶‡ch pneumatik u osobn¶‡ch automobil”u. U ka•zd¶eho auta
zm•e•r¶‡me tlak v lev¶e pneumatice (prvek v¶yb•eru 1) a v prav¶e pneumatice (prvek v¶yb•eru 2). Tedy, pro
ka•zd¶y objekt (automobil) m•e•r¶‡me dv•e vlastnosti (pravou a levou pneumatiku). Tak dostaneme p¶arov¶e
v¶yb•ery.
Pozn¶amka: P¶arov¶y rozd¶‡l v¶yb•erov¶ych pr”um•er”u dostaneme tak, •ze ode•cteme polo•zky jed-
notliv¶ych v¶yb•er”u, tak dostaneme v¶yb•er D a z n•eho sestav¶‡me oby•cejn¶y normovan¶y v¶yb•erov¶y pr”um•er
(7).
2.6 Dva v¶yb•erov¶e rozptyly
Normovan¶y pod¶‡l dvou v¶yb•erov¶ych rozptyl”u
F = S21S2
2
» F(n1 ¡1;n2 ¡1): (13)
Tato charakteristika m¶a F rozd•elen¶‡ s n1 ¡ 1 stupni volnosti pro •citatele a n2 ¡ 1 stupni
volnosti pro jmenovatele.
2.7 Dva v¶yb•erov¶e pod¶‡ly
Normovan¶y rozd¶‡l dvou v¶yb•erov¶ych pod¶‡l”u p1 a p2 pro dv•e alternativn¶‡ rozd•elen¶‡ s
pod¶‡ly …1 a …2 je
Z = p1¡p2¡(…1¡…1)q…
1(1¡…1)
n1 +
…2(1¡…2)
n2
» N(0;1) (14)
a m¶a p•ribli•zn•e norm¶aln¶‡ rozd•elen¶‡ N(0;1).
9
3 Bodov¶e odhady a jejich vlastnosti
3.1 Statistika (Skripta str. 77)
V¶yb•erpo•rizujemeproto,abychomse(v¶‡ce)dov•ed•eliosouboru,zekter¶ehojsmev¶yb•erpo•r¶‡dili.
Zde se soust•red¶‡me na situaci, kdy zn¶ame rozd•elen¶‡ souboru a•z na jeden nebo v¶‡ce parametr”u.
Nap•r. v¶‡me, •ze rozd•elen¶‡ souboru je norm¶aln¶‡, ale nezn¶ame jeho st•redn¶‡ hodnotu, p•r¶‡padn•e
i rozptyl. Z v¶yb•eru se sna•z¶‡me hodnoty t•echto nezn¶am¶ych parametr”u odhadnout. P•redpis,
pomoc¶‡ kter¶eho z v¶yb•eru vypo•cteme hodnotu nezn¶am¶eho parametru se naz¶yv¶a statistika. V
souladu s t¶‡m je i n¶asleduj¶‡c¶‡ deflnice.
Definice 3.1 (Statistika)
Statistika T = T(X) je funkce v¶yb•eru X.
Koment¶a•r k deflnici
1. Statistika ur•cen¶a pro odhadov¶an¶‡ se naz¶yv¶a odhadov¶a statistika, pro testov¶an¶‡ testov¶a
statistika.
2. Deflnice ne•r¶‡k¶a nic o tom, jak statistiku volit vzhledem k jej¶‡mu c¶‡lov¶emu vyu•zit¶‡
(odhad, test). Jej¶‡ vhodnost •ci nevhodnost budeme zkoumat pozd•eji.
3.2 Bodov¶y odhad parametru rozd•elen¶‡ (Skripta str. 77)
Definice 3.2 (Bodov¶y odhad)
Sledujeme rozd•elen¶‡ s hustotou pravd•epodobnosti f(x; ) s nezn¶am¶ym parametrem .
Provedli jsme realizaci n¶ahodn¶eho v¶yb•eru x = (x1;x2;:::;xn) z tohoto rozd•elen¶‡ a defl-
novali statistiku T(X). Bodov¶y odhad ^ parametru pro realizaci n¶ahodn¶eho v¶yb•eru x je
hodnota statistiky T s dosazenou realizac¶‡ n¶ahodn¶eho v¶yb•eru x
^ = T(x) (15)
Koment¶a•r k deflnici
1. Pro ka•zdou novou realizaci v¶yb•eru obdr•z¶‡me jin¶y bodov¶y odhad. Odtud je z•rejm¶e, •ze
bodov¶y odhad nem”u•ze d¶at ¶upln•e p•resnou hodnotu parametru.
2. Vlastn¶‡ volbu statistiky jsme zat¶‡m nechali stranou. Lze pro ni pou•z¶‡t metodu mo-
ment”u nebo maxim¶aln¶‡ v•erohodnosti, o kter¶e se zm¶‡n¶‡me. Statistiku je tak¶e mo•zno
volit heuristicky, potom je v•sak t•reba ov•e•rit jej¶‡ vlastnosti.
P•r¶‡klad: Odhadujeme parametr st•redn¶‡ hodnotu „. Provedli jsme v¶yb•er
x = fx1;x2;:::;xng = f3;5;2;4;5g:
Proto•ze v¶‡me, •ze st•redn¶‡ hodnotu si lze p•ribli•zn•e p•redstavit jako pr”um•er v•sech mo•zn¶ych realizac¶‡,
usoud¶‡me, •ze jej¶‡m vhodn¶ym odhadem bude aritmetick¶y pr”um•er x = 1n Pni=1 xi. Po dosazen¶‡ realizace
v¶yb•eru dostaneme x = 19=5. Vlastnosti zvolen¶e statistiky je v•sak t•reba ov•e•rit (viz d¶ale).
10
3.3 Vlastnosti bodov¶ych odhad”u (Skripta str. 78)
Vlastnosti bodov¶eho odhadu ^ vypov¶‡daj¶‡ o vhodnosti pou•zit¶e statistiky T k odhadu hodnoty
parametru . Uvedeme t•ri vlastnosti: nestrannost, konzistenci a vydatnost. ffgg
Nestrannost1
Definice 3.3 (Nestrannost)
Statistika T poskytuje nestrann¶y bodov¶y odhad parametru , jestli•ze jej¶‡ st•redn¶‡ hodnota se
rovn¶a tomuto parametru
E[T] = (16)
Koment¶a•r k deflnici
1. St•redn¶‡ hodnotu E[T] je t•reba ch¶apat jako "pr”um•erov¶an¶‡" p•res v•sechny mo•zn¶e v¶yb•ery.
Jestli•ze bychom cht•eli nazna•cit v¶ypo•cet t¶eto st•redn¶‡ hodnoty, bylo by t•reba postupovat
takto: provedeme prvn¶‡ v¶yb•er, spo•cteme bodov¶y odhad, provedeme druh¶y v¶yb•er a op•et
spo•cteme bodov¶y odhad, atd. Po proveden¶‡ v•sech mo•zn¶ych v¶yb•er”u ud•el¶ame pr”um•er ze
v•sech jednotliv¶ych bodov¶ych odhad”u. To je hledan¶a st•redn¶‡ hodnota.
2. Nestrannost •r¶‡k¶a, •ze odhad je "v pr”um•eru" (rozum¶‡me p•res v•sechny mo•zn¶e v¶yb•ery)
p•resn¶y.
P•r¶‡klad: Ov•e•r¶‡me nestrannost v¶yb•erov¶eho pr”um•eru vzhledem ke st•redn¶‡ hodnot•e. M¶ame dok¶azat,
•ze plat¶‡ E[X] = „. Dosad¶‡me deflnici v¶yb•erov¶eho pr”um•eru a manipulujeme s oper¶atorem st•redn¶‡ hodnoty
E[X] = E
"
1
n
nX
Vloženo: 26.08.2009
Velikost: 420,76 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BA04 - Matematika III
Reference vyučujících předmětu BA04 - Matematika III
Podobné materiály
Copyright 2024 unium.cz