- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Texty k přednáškám statistiky od Nagyho a Homolový
BA04 - Matematika III
Hodnocení materiálu:
Popisek: Texty k přednáškám statistiky od Nagyho a Homolový
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálTexty k pˇredn´aˇsk´am
Pravdˇepodobnost
Ivan Nagy, Jitka Homolov´a
Obsah
1 Definice pravdˇepodobnosti 5
1.1 Z´akladn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Definice pravdˇepodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Pˇr´ıklady na pravdˇepodobnost 10
2.1 Poˇc´ıt´an´ı s jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Opakovan´e pokusy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Pravdˇepodobnostn´ı strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 ´Upln´a pravdˇepodobnost a Bayes˚uv vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 N´ahodn´a veliˇcina a jej´ı popis 14
3.1 N´ahodn´a veliˇcina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Distribuˇcn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Hustota pravdˇepodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Rozdˇelen´ı diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny 20
4.1 Alternativn´ı rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Binomick´e rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Poissonovo rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Negativn´ı binomick´e rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5 Diskr´etn´ı rovnomˇern´e rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Rozdˇelen´ı spojit´e n´ahodn´e veliˇciny 24
5.1 Rovnomˇern´e rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2 Norm´aln´ı rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3 Logaritmicko-norm´aln´ı rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.4 Exponenci´aln´ı rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.5 Rozdˇelen´ı gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.6 Rozdˇelen´ı beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.7 Rozdˇelen´ı χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.8 Rozdˇelen´ı t (Studentovo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.9 Rozdˇelen´ı F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6 N´ahodn´y vektor a jeho popis 29
6.1 ´Upln´y popis n´ahodn´eho vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.2 Margin´aln´ı a podm´ınˇen´e rozdˇelen´ı n´ahodn´eho vektoru . . . . . . . . . . . . . 33
7 Poˇc´ıt´an´ı s n´ahodn´ymi vektory 36
8 Charakteristiky n´ahodn´eho vektoru 40
8.1 Stˇredn´ı hodnota a rozptyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.2 Momenty n´ahodn´e veliˇciny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.3 Kvantil spojit´e n´ahodn´e veliˇciny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.4 Charakteristiky v´ıce n´ahodn´ych veliˇcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9 Poˇc´ıt´an´ı charakteristik n´ahodn´eho vektoru 49
10 Funkce n´ahodn´eho vektoru 54
10.1 Funkce n´ahodn´e veliˇciny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
10.2 Funkce n´ahodn´eho vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
11 N´ahodn´y v´ybˇer, limitn´ı vˇety 61
11.1 N´ahodn´y v´ybˇer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
11.2 Pojem n´ahodn´eho v´ybˇeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
11.3 Limitn´ı vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
11.4 Charakteristiky v´ybˇeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.5 Normovan´e v´ybˇerov´e charakteristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
12 Bodov´e odhady, jejich vlastnosti a konstrukce 69
12.1 Statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3
12.2 Bodov´y odhad parametru rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
12.3 Vlastnosti bodov´ych odhad˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
12.4 Konstrukce bodov´ych odhad˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
13 Z´avˇereˇcn´e opakov´an´ı a poˇc´ıt´an´ı 75
4
1 Definice pravdˇepodobnosti
Neˇz pˇristoup´ıme k definici pravdˇepodobnosti, uvedeme z´akladn´ı matematick´e struktury,
o kter´e se definice op´ır´a.
1.1 Z´akladn´ı pojmy
Z´akladem vˇsech ´uvah klasick´e pravdˇepodobnosti je n´ahodn´y pokus a jeho v´ysledky.
N´ahodn´y pokus je urˇcit´y experiment, kter´y i za relativnˇe st´al´ych podm´ınek d´av´a r˚uzn´e
v´ysledky.
Pˇr´ıklad: 1. Hod minc´ı s v´ysledky ”Rub” a ”L´ıc”. 2. Hod kostkou s v´ysledky z mnoˇziny
{1,2,...,6}. 3. Doba ˇzivotnosti pˇr´ıstroje s v´ysledky z R+ atd.
Z´akladn´ı prostor Ω je mnoˇzina vˇsech bezprostˇredn´ıch v´ysledk˚u n´ahodn´eho pokusu. Tyto
v´ysledky povaˇzujeme za d´ale nedˇeliteln´e a naz´yv´ame je element´arn´ı jevy.
Pozn´amka: Vezmeme-li napˇr´ıklad pokus hod kostkou, budou bezprostˇredn´ımi v´ysledky
pˇrirozen´a ˇc´ısla od 1 do 6. To ale nejsou vˇsechny v´ysledky, kter´e n´as mohou zaj´ımat. M˚uˇzeme se
pt´at napˇr na v´ysledek ”padne sud´e ˇc´ıslo”, kter´y sice nen´ı bezprostˇredn´ım v´ysledkem, ale urˇcit´ym
v´ysledkem pokusu jistˇe je. Vˇsimnˇeme si, je zm´ınˇen´y v´ysledek m˚uˇzeme vyj´adˇrit jako mnoˇzinu
bezprostˇredn´ıch v´ysledk˚u {2,4,6}, kter´e jej spln´ı (tedy nastane-li libovoln´y z nich, ˇrekneme, ˇze n´aˇs
v´ysledek nastal - padne-li 4, padlo sud´e ˇc´ıslo).
N´ahodn´y jev je libovoln´a podmnoˇzina z´akladn´ıho prostoru Ω.
Pozn´amka:
1. N´ahodn´ymi jevy jsou i pr´azdn´a mnoˇzina (tzv. jev nemoˇzn´y - v´ysledek, kter´y nem˚uˇze nikdy
nastat) a cel´a mnoˇzina Ω (tzv. jev jist´y - jev, kter´y nastane vˇzdy). Napˇr´ıklad: ”padne -1” a
”padne menˇs´ı neˇz 10”.
2. N´ahodn´ymi jevy jsou i jednoprvkov´e podmnoˇziny, a tedy element´arn´ı jevy jsou tak´e n´ahodn´ymi
jevy.
3. V´ysledek pokusu lze vyj´adˇrit bud’ pomoc´ı v´yroku ”padne sud´e ˇc´ıslo” nebo pomoc´ı odpov´ıdaj´ıc´ı
mnoˇziny element´arn´ıch jev˚u {2,4,6}. Mnoˇzinov´e vyj´adˇren´ı je jedin´e, zat´ımco slovn´ıch
(v´yrokov´ych) vyj´adˇren´ı t´eˇze skuteˇcnosti m˚uˇze b´yt nˇekolik. Napˇr. v´yroky ”padne necel´e ˇc´ıslo”,
”padne z´aporn´e ˇc´ıslo”, ”padne vˇetˇs´ı neˇz 6” maj´ı jedin´e mnoˇzinov´e vyj´adˇren´ı ∅.
Jevov´e pole A je mnoˇzina vˇsech moˇzn´ych jev˚u, tedy mnoˇzina vˇsech podmnoˇzin z´akladn´ıho
prostoru.
5
Pozn´amka: Po pravdˇe ˇreˇceno, jevov´e pole nemus´ı b´yt mnoˇzina ´uplnˇe vˇsech podmnoˇzin
z´akladn´ıho prostoru. Staˇc´ı, jestliˇze je to nepr´azdn´y syst´em podmnoˇzin Ω, splˇnuj´ıc´ı dvˇe podm´ınky
1. je uzavˇren´y na doplˇnky, tj. je-li A ∈ A pak i Aprime ∈ A,
2. je uzavˇren´y na sjednocen´ı, tj. je-li spoˇcetn´y syst´em jev˚u Ai ∈ A, pak take uniontextAi ∈ A.
Z tˇechto dvou podm´ınek plyne i uzavˇrenost na pr˚uniky a skuteˇcnost, ˇze jevov´e pole mus´ı vˇzdy
obsahovat pr´azdnou mnoˇzinu i cel´y z´akladn´ı prostor. (Dok´azat!)
1.2 Definice pravdˇepodobnosti
Definice 1.1 (Axiomatick´a pravdˇepodobnost)
Pravdˇepodobnost je re´aln´a funkce P : A → R definovan´a na jevov´em poli A, splˇnuj´ıc´ı
n´asleduj´ıc´ı podm´ınky:
1. je nez´aporn´a, tj. P(A) ≥ 0, ∀A ∈ A,
2. je normovan´a, tj. P(A) ≤ 1, ∀A ∈ P a P(Ω) = 1,
3. je σaditivn´ı, tj. pro spoˇcetn´y syst´em jev˚u, takov´ych ˇze Ai ∩ Aj = ∅ pro i negationslash= j plat´ı
P(uniontextk Ak) = summationtextk P(Ak).
Koment´aˇr k definici
1. Uveden´a axiomatick´a definice pravdˇepodobnosti neˇr´ık´a, jak´e budou hodnoty pravdˇepo-
dobnosti jednotliv´ych jev˚u, ale pouze vymezuje, jak´e vlastnosti mus´ı m´ıt funkce, aby
mohla b´yt nazv´ana pravdˇepodobnost´ı. N´avod na pˇriˇrazen´ı hodnot pravdˇepodobnost´ı
d´avaj´ı definice klasick´a a statistick´a. Ty uvedeme vz´apˇet´ı.
2. Trojice objekt˚u (Ω,A,P) se naz´yv´a pravdˇepodobnostn´ı prostor a pˇredstavuje ´upln´y
popis zkouman´eho n´ahodn´eho pokusu.
3. Vˇsimnˇete si, ˇze popisem n´ahodn´eho pokusu nen´ı urˇcen´ı spr´avn´eho v´ysledku (jako tˇreba
pˇri ˇreˇsen´ı line´arn´ı rovnice), ale pouze vyjmenov´an´ı vˇsech moˇzn´ych v´ysledk˚u a pˇriˇrazen´ı
pravdˇepodobnost´ı, se kterou jednotliv´e v´ysledky (nebo jejich intervaly) nastanou.
Pˇr´ıklad: Uvaˇzujme pokus: hod nepoˇskozenou minc´ı. Potom bude
Ω = {R,L}, A = {∅,{L},{R},{R,L}}
a pravdˇepodobnost P, kter´a je definov´ana na mnoˇzinˇe A urˇc´ıme tak, ˇze pˇriˇrad´ıme pravdˇepodobnosti
jednotliv´ym prvk˚um Ω (element´arn´ım jev˚um, bezprostˇredn´ım v´ysledk˚um). Vyuˇzijeme skuteˇcnosti, ˇze jsou
nedˇeliteln´e (tj. nemaj´ı nic spoleˇcn´eho a tedy jsou disjunktn´ı) a podle 3. axiomu bude pravdˇepodobnost
kaˇzd´eho jevu d´ana souˇctem pravdˇepodobnost´ı jeho element´arn´ıch jev˚u, kter´e obsahuje. Tedy, je-li J ∈ A
jev, pak
6
J ∅ {R} {L} {R,L}
P(J) 0 0.5 0.5 1
Definice 1.2 (Klasick´a pravdˇepodobnost)
Za pˇredpokladu, ˇze
1. n´ahodn´y pokus m´a koneˇcn´y poˇcet bezprostˇredn´ıch v´ysledk˚u,
2. kaˇzd´y bezprostˇredn´ı v´ysledek je stejnˇe pravdˇepodobn´y,
je pravdˇepodobnost P jevu J d´ana vzorcem
P = mn, (1)
kde m je poˇcet moˇzn´ych bezprostˇredn´ıch v´ysledk˚u, pˇri kter´ych nastane jev J a n je poˇcet
vˇsech bezprostˇredn´ıch v´ysledk˚u.
Koment´aˇr k definici
1. Klasick´a definice prov´ad´ı v´ypoˇcet hodnot pravdˇepodobnosti jednotliv´ych jev˚u, a to na
z´akladˇe teoretick´eho rozboru pokusu. Urˇcen´e pravdˇepodobnosti jsou ”pˇresn´e” v tom
smyslu, ˇze pokaˇzd´e, kdyˇz tuto pravdˇepodobnost poˇc´ıt´ame, dostaneme stejn´y v´ysledek.
Nev´yhodou t´eto definice je, ˇze pˇri sloˇzitˇejˇs´ım pokusu je teoretick´y rozbor pˇr´ıliˇs sloˇzit´y.
Pˇr´ıklad: Urˇcete pravdˇepodobnost jevu ”padne sud´e ˇc´ıslo” pˇri jednom hodu nepoˇskozenou
kostkou.
Jev ”padne sud´e ˇc´ıslo” je reprezentov´an mnoˇzinou {2,4,6}. Jsou tedy tˇri moˇznosti, jak tento jev
nastane, a tedy m = 3. Celkov´y poˇcet bezprostˇredn´ıch v´ysledk˚u je n = 6 (ˇsest moˇzn´ych ˇc´ısel pˇri hodu
kostkou). Proto je P = m/n = 3/6 = 1/2.
Definice 1.3 (Statistick´a pravdˇepodobnost)
Jestliˇze provedeme N pokus˚u a jev J pˇri nich nastane M kr´at, definujeme pravdˇepodobnost
P jevu J takto
P = MN . (2)
Koment´aˇr k definici
1. Statistick´a definice se pˇri v´ypoˇctu pravdˇepodobnosti op´ır´a o experimenty. Proto je
jednoduch´a, coˇz je jej´ı velik´a v´yhoda. V´ysledek, kter´y dostaneme ale nen´ı ”´uplnˇe
pˇresn´y”. Provedeme-li dvˇe stejn´e s´erie pokus˚u, dostaneme pokaˇzd´e jinou hodnotu prav-
dˇepodobnosti a ta se jeˇstˇe bude liˇsit od klasick´e. Statistick´e z´akony ale zaruˇcuj´ı, ˇze
statistick´a a klasick´a hodnota pravdˇepodobnosti leˇz´ı ”bl´ızko” sebe.
7
Pˇr´ıklad: Uvaˇzujme stejn´y pokus jako pro klasickou definici, tj. hod kostkou, a sledujme prav-
dˇepodobnost jevu ”padne sud´e ˇc´ıslo”.
V tomto pˇr´ıpadˇe ale neanalyzujeme moˇznosti, jak m˚uˇze padnout sud´eˇc´ıslo, ale prostˇe h´az´ıme. Provedeme
napˇr. N = 100 hod˚u a jestliˇze pˇri nich padlo napˇr. N1 = 52 kr´at sud´e ˇc´ıslo, pak ˇrekneme, ˇze statistick´a
pravdˇepodobnost padnut´ı sud´eho ˇc´ısla je P = 52/100 = 0.52.
Pozn´amka:
1. Vztah mezi klasickou a statistickou pravdˇepodobnost´ı je formulov´an v z´akonu velk´ych ˇc´ısel.
Ten ˇr´ık´a, ˇze pˇri velk´em poˇctu experiment˚u se obˇe pravdˇepodobnosti bl´ıˇz´ı. Pˇresnˇeji bude na
konci semestru.
2. Podstata obou definic pravdˇepodobnosti se velmi zˇretelnˇe objev´ı ve statistice. Bude se odr´aˇzet
v pojmech soubor a v´ybˇer.
1.3 Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad 1: Uvaˇzujme pokus postupn´eho losov´an´ı dvou kor´alk˚u z krabice, kde je 5 b´ıl´ych a 3 modr´e
kor´alky. Losov´an´ı prov´ad´ıme s vr´acen´ım prvn´ıho vylosovan´eho kor´alku. Chceme urˇcit pravdˇepodobnost,
ˇze oba vybran´e kor´alky budou b´ıl´e. ♦
Oznaˇc´ıme b b´ıl´y a m modr´y kor´alek. Potom
Ω = {[b,b],[b,m],[m,b],[m,m]}
A = {∅,{[b,b]},{[b,m]},{[m,b]},{[m,m]},
{[b,b],[b,m]},{[b,b],[m,b]},{[b,b],[m,m]},{[b,m],[m,b]},{[b,m],[m,m]},{[m,b],[m,m]},
{[b,b],[b,m],[m,b]},{[b,b],[b,m],[m,m]},{[b,b],[m,b],[m,m]},{[b,m],[m,b],[m,m]},
{[b,b],[b,m],[m,b],[m,m]}}
Pravdˇepodobnosti jednotliv´ych jev˚u urˇc´ıme takto: Pˇri prvn´ım tahu je 5 pˇr´ızniv´ych pro b´ıl´y a 3 pˇr´ızniv´e
pro modr´y, celkem je 5 + 3 = 8 moˇznost´ı, Bude tedy P(b) = 5/8 a P(m) = 3/8. Protoˇze po prvn´ım
tahu kor´alek vr´at´ıme, je pˇri druh´em tahu situace zcela stejn´a, a tedy i pravdˇepodobnosti jsou stejn´e.
Pouˇzit´ım pravidla souˇcinu dost´av´ame: pravdˇepodobnost b´ıl´y a b´ıl´y je
P([b,b]) = P(b)P(b) = 58 58 = 2564.
Podobnˇe bychom urˇcili i pravdˇepodobnosti ostatn´ıch element´arn´ıch jev˚u, tj. jednotliv´ych uspoˇr´adan´ych
dvojic. Pravdˇepodobnosti dalˇs´ıch jev˚u (tj. skupin element´arn´ıch jev˚u) dostaneme seˇcten´ım pravdˇepodob-
nost´ı vˇsech element´arn´ıch jev˚u, kter´e sledovan´y jev obsahuje. Tedy napˇr. pravdˇepodobnost jevu ”prvn´ı
b´ıl´y” (kter´y obsahuje element´arn´ı jevy [b,b] a [b,m] bude
P({[b,b],[b,m]}) = 58 58 + 58 38 = 58.
Pozn´amka: Tuto pravdˇepodobnost lze tak´e spoˇc´ıtat jako ”prvn´ı b´ıl´y” a ”druh´y cokoliv”, tj 58·1.
8
Pˇr´ıklad 2: Uvaˇzujme nyn´ı stejnou situaci jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe, ale s t´ım rozd´ılem, ˇze
prvn´ı vytaˇzen´y kor´alek nevr´at´ıme. ♦
V tomto pˇr´ıpadˇe se bude situace v prvn´ım a druh´em tahu liˇsit (jeden kor´alek bude vybr´an a bude v
druh´em tahu chybˇet). Taˇzen´ı napˇr. b´ıl´eho v prvn´ım tahu m˚uˇzeme oznaˇcit stejnˇe jako minule b (zde jsou
situace shodn´e). Taˇzen´ı b´ıl´eho v druh´em tahu mus´ıme ale oznaˇcit b|b, nebo b|m, protoˇze chyb´ı bud’ b´ıl´y,
nebo modr´y kor´alek (ˇcteme: b´ıl´y, za podm´ınky, ˇze v prvn´ım tahu byl vybr´an b´ıl´y, atd.). Pravdˇepodobnosti
prvn´ıho tahu budou stejn´e, jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe. Pravdˇepodobnosti druh´eho tahu (tzv. podm´ınˇen´e
pravdˇepodobnosti) budou P(b|b) = 47, P(b|m) = 57, P(m|b) = 37 a P(m|m) = 37. Pravdˇepodobnost
oba b´ıl´e pak logicky bude: pravdˇepodobnost b´ıl´y v prv´em tahu a (kr´at) pravdˇepodobnost b´ıl´y v druh´em
tahu, za podm´ınky b´ıl´eho v prv´em tahu, tj.
P([b,b]) = P(b)P(b|b) = 58 47 = 514.
Pravdˇepodobnost ”prvn´ı b´ıl´y” bychom dostali takto
P({[b,b],[b,m]}) = P(b)P(b|b) + P(b)P(m|b) = 58 47 + 58 37 = 58.
Pˇr´ıklad 3: Sledujeme dobu ˇcek´an´ı na tramvaj, kter´a jezd´ı pˇresnˇe v pˇetiminutov´em intervalu, za
pˇredpokladu, ˇze naˇse pˇr´ıchody na zast´avku jsou zcela n´ahodn´e. ♦
V naˇsem pokuse, kter´y spoˇc´ıv´a v mˇeˇren´ı doby, kter´a uplyne od naˇseho pˇr´ıchodu do pˇr´ıjezdu tramvaje,
jsou dvˇe krajn´ı situace: ”ˇcek´ame 0 minut”, kdyˇz tramvaj pr´avˇe pˇrijela a ”ˇcek´ame 5 minut”, kdyˇz tramvaj
pr´avˇe ujela. Ostatn´ı doby ˇcek´an´ı mus´ı leˇzet nˇekde mezi tˇemito dvˇema mezemi. Je tedy
Ω = 〈0,5〉.
A je mnoˇzina vˇsech podmnoˇzin Ω. Jsou to jevy typu: ”budeme ˇcekat m´enˇe neˇz a”, ”budeme ˇcekat
v´ıce neˇz b”, ”budeme ˇcekat m´enˇe neˇz c nebo v´ıce neˇz d” a pod. Obecnˇe jsou to tedy vˇsechny uzavˇren´e
i otevˇren´e podintervaly intervalu 〈0,5〉, jejich sjednocen´ı a pr˚uniky.
Protoˇze naˇse pˇr´ıchody na zast´avku jsou zcela n´ahodn´e, budou ”vˇsechny moˇzn´e doby ˇcek´an´ı stejnˇe prav-
dˇepodobn´e”. Proto pravdˇepodobnost jevu reprezentovan´eho intervalem (nebo sjednocen´ım interval˚u)
d´ana jeho relativn´ı d´elkou, tj, jeho d´elkou (nebo souˇctem d´elek) dˇelenou maxim´aln´ı d´elkou intervalu,
coˇz je 5. Tedy pravdˇepodobnost, ˇze budeme ˇcekat maxim´alnˇe jednu minutu, je P(〈0,1〉) = 15 = 0.2.
Pozn´amka: Posledn´ı uveden´y pˇr´ıklad se t´yk´a ”spojit´eho pokusu”, kdy z´akladn´ı prostor je
mnoˇzina nespoˇcetn´a. Vˇsimnˇeme si, pravdˇepodobnost kaˇzd´eho jedin´eho bezprostˇren´ıho v´ysledku je
nula. Jestliˇze je nespoˇcetnˇe mnoho moˇzn´ych v´ysledk˚u, pak skuteˇcnˇe pravdˇepodobnost, ˇze nastane
pr´avˇe jeden z nich je nulov´a. Prakticky m´a tedy smysl mluvit ne o pravdˇepodobnosti bodu, ale pouze
o pravdˇepodobnosti intervalu.
9
2 Pˇr´ıklady na pravdˇepodobnost
2.1 Poˇc´ıt´an´ı s jevy
Jevy ch´apeme jako mnoˇziny, kter´e jsou vˇsechny podmnoˇzinou z´akladn´ı mnoˇziny - z´akladn´ıho
prostoru. Pokud reprezentaci z´akladn´ıho prostoru vyj´adˇr´ıme jako mnoˇzinu s jednotkovou
plochou, lze plochy jednotliv´ych jev˚u interpretovat jako jejich pravdˇepodobnosti: (i) plocha
je nez´aporn´a, (ii) podmnoˇzina jednotkov´e mnoˇziny m´a plochu menˇs´ı nebo rovnu jedn´e,
(iii) plocha sjednocen´ı dvou disjunktn´ıch mnoˇzin je rovna souˇctu ploch jednotliv´ych mnoˇzin.
Z tohoto hlediska zav´ad´ıme:
Jev opaˇcn´y
ˇRekneme, ˇze jev Jprime je opaˇcn´y k jevu J, jestliˇze plat´ı Jprime = Ω−J (je doplˇnkem v z´akladn´ım
prostoru Ω.
Plat´ı:
P(Jprime) = 1−P(J).
Ovˇeˇren´ı: 1 = P(Ω) = P(J ∪Jprime) =bracehtipupleftbracehtipdownrightbracehtipdownleftbracehtipupright
nesluˇciteln´e
P(J) +P(Jprime).
Pr˚unik dvou jev˚u
Jev K nazveme pr˚unikem jev˚u J1 a J2, jestliˇze obsahuje pr´avˇe ty element´arn´ı jevy, kter´e
jsou spoleˇcn´e jev˚um J1 a J2. Z mnoˇzinov´eho hlediska jde skuteˇcnˇe o pr˚unik mnoˇzin J1 a J2.
Znaˇc´ıme: K = J1 ∩J2.
Sjednocen´ı dvou jev˚u
Jev K nazveme pr˚unikem jev˚u J1 a J2, jestliˇze plat´ı K = J1 ∪J2, tj. je sjednocen´ım jev˚u J1
a J2.
Plat´ı:
P(J1 ∪J2) = P(J1) +P(J2)−P(J1 ∩J2)
Ovˇeˇren´ı: J1 ∪J2 = (J1 −J2) +J1 ∩J2 +(J2 −J1) a tyto mnoˇziny jsou disjunktn´ı. Odtud
P(J1 ∪J2) = P(J1 −J1) +P(J1 ∩J2) +P(J2 −J1). Ale J1 = (J1 −J2)∪(J1 ∩J2) pˇriˇcemˇz
obˇe mnoˇziny jsou disjunktn´ı. Proto P(J1) = P(J1 −J2)+P(J1 ∩J2) a tot´eˇz plat´ı pro J2. To
dosazeno v´yˇse d´av´a poˇzadovan´y vztah.
10
Podm´ınˇen´y jev
Jev J1|J2, kter´y vyjadˇruje jev J1 za podm´ınky, ˇze zn´ame v´ysledek jevu J2 nazveme jevem
podm´ınˇen´ym (jev J1 za podm´ınky znalosti jevu J2).
Pˇr´ıklad: Uvaˇzujme pokus hod kostkou a jev J1 = [2,4,6] a J2 = [4,5,6]. Jev J1|J2 je [4,6] -
vyb´ır´ame z p˚uvodn´ıch sud´ych, ale nyn´ı v´ıme (napˇr. n´am nˇekdo prozradil), ˇze m˚uˇze padnout jen vˇetˇs´ı
neˇz 3.
Pokraˇcujme jeˇstˇe d´ale. S touto znalost´ı chceme nyn´ı urˇcit pravdˇepodobnost podm´ınˇen´eho jevu. Zjistili
jsme, ˇze pˇr´ızniv´e element´arn´ı jevy jsou [4, 6], jak´e budou vˇsechny moˇzn´e (mus´ı b´yt vˇetˇs´ı neˇz 3). Jsou
to [4, 5, 6], tedy vˇsechny z podm´ınky, tj. vˇsechny nyn´ı pˇr´ıpustn´e.
To je motivac´ı pro definici pravdˇepodobnosti podm´ınˇen´eho jevu:
P(J1|J2) = P(J1 ∩J2)P(J
2)
(Srovnat s pˇredchoz´ım pˇr´ıkladem!)
Nesluˇcitelnost jev˚u
Tento pojem jsme jiˇz zavedli a nyn´ı pouze pˇripom´ın´ame. Jevy J1 a J2 jsou nesluˇciteln´e, jestliˇze
plat´ı J1 ∩J2 = ∅.
Plat´ı:
P(J1 ∩J2) = 0.
Pozor: rozliˇsovat 0 je nula a ∅ je pr´azdn´a mnoˇzina. Jevy jsou mnoˇziny a jejich pravdˇepodobnosti
ˇc´ısla!!!
Nez´avislost jev˚u
Tento pojem je nov´y a je definov´an pomoc´ı podm´ınˇen´e pravdˇepodobnosti takto: Jevy J1 a J2
jsou nez´avisl´e, jestliˇze plat´ı P(J1|J2) = P(J1) - tedy jestliˇze informace o jevu J1 se s prozrazen´ım
v´ysledku jevu J2 nezmˇen´ı.
Dosad´ıme-li uvedenou podm´ınku do definice podm´ınˇen´e pravdˇepodobnosti, dostaneme podm´ınku
nez´avislosti ve tvaru
P(J1 ∩J2) = P(J1)P(J2)
(Zkusit.)
Pozn´amka: Pro nez´avisl´e, resp., nesluˇciteln´e jevy m´a pravdˇepodobnost sjednocen´ı speci´aln´ı
tvar
P(J1 ∪J2) = P(J1) + P(J2)−P(J1)P(J2)bracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright
nez´avisl´e
= P(J1) + P(J2)bracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright
nesluˇciteln´e
.
Posledn´ı v´yraz nen´ı nic jin´eho neˇz tˇret´ı axiom pravdˇepodobnosti.
11
2.2 Opakovan´e pokusy
ˇCasto sled
Vloženo: 26.08.2009
Velikost: 516,85 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BA04 - Matematika III
Reference vyučujících předmětu BA04 - Matematika III
Podobné materiály
Copyright 2024 unium.cz