- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálat krom•e zadan¶eho ~x(0) a
snadno spo•citateln¶eho ~f(~x(0)) i inverzn¶‡ matici k Jacobiho matici @ ~f(~x(0))@~x . Tato matice
m¶a v na•sem p•r¶‡pad•e tvar:
@ ~f
@~x =
ˆ @f
1
@x
@f1
@y
@f2
@x
@f2
@y
!
=
ˆ
2x 8y
2… sin(…x) 1
!
(43)
Po dosazen¶‡ zadan¶ych hodnot ~x(0) = (¡0:5;¡1)T do (43) dostaneme:
@ ~f(~x(0))
@~x =
ˆ
2x(0) 8y(0)
2… sin(…x(0)) 1
!
=
ˆ
¡1 ¡8
¡2… 1
!
(44)
Pro v¶ypo•cet ~x(1) pot•rebujeme naj¶‡t k t¶eto Jacobiho matici J jej¶‡ inverzi J¡1. Aby k dan¶e
matici J existovala matice inverzn¶‡ je nutn¶e, aby J byla regul¶arn¶‡, tj. aby detJ 6= 0.
det
ˆ
¡1 ¡8
¡2… 1
!
= ¡1 ¡ 16… 6= 0 (45)
Preliminary version { May 7, 2004 { 19:38
2 SOUSTAVY NELINE ¶ARN¶ICH ROVNIC 6
Podm¶‡nka detJ 6= 0 je tedy spln•ena a m”u•zeme p•ristoupit k v¶ypo•ctu inverzn¶‡ matice. V
tomto jednoduch¶em p•r¶‡pad•e lze s v¶yhodou pou•z¶‡t n¶asleduj¶‡c¶‡ho postupu:
J¡1 = 1detJ J⁄ (46)
Zde J⁄ zna•c¶‡ matici adjungovanou k J. Z¶arove•n ihned vid¶‡me, pro•c bylo nutn¶e aby
detJ 6= 0. Adjungovanou matic¶‡ J⁄ rozum¶‡me transponovanou matici algebraick¶ych
dopl•nk”u matice J, kde algebraick¶y dopln•ek je subdeterminant opat•ren¶y p•r¶‡slu•sn¶ym per-
muta•cn¶‡m znam¶enkem. Cel¶y tento postup lze prov¶est ve t•rech kroc¶‡ch n¶asledovn•e:
J =
ˆ
¡1 ¡8
¡2… 1
!
!
ˆ
1 ¡2…
¡8 ¡1
!
!
ˆ
1 2…
8 ¡1
!
! J⁄ =
ˆ
1 8
2… ¡1
!
(47)
p”uvodn¶‡ matice ! subdeterminanty ! algebraick¶e dopl•nky ! adjungovan¶a matice
S vyu•zit¶‡m ji•z d•r¶‡ve spo•cten¶eho determinantu (45) m”u•zeme dle (46) zapsat matici J¡1:
J¡1 = 1detJ J⁄ = ¡11 + 16…
ˆ
1 8
2… ¡1
!
(48)
Prost¶ym n¶asoben¶‡m lze ov•e•rit, •ze se skute•cn•e jedn¶a o matici inverzn¶‡ k J, tj. •ze plat¶‡:
J¡1J = JJ¡1 = I (49)
Posledn¶‡ co n¶am jevst•e chyb¶‡ abychom mohli dosadit do vzorce (42) je ~f(~x(k)) :
~f(x(0); y(0)) =
f
1(x(0); y(0))
f2(x(0); y(0))
¶ :
=
1=4
¡1
¶
(50)
Nyn¶‡ ji•z zb¶yv¶a jen dosadit pro k = 0 do vzorce (42):
ˆ
x(1)
y(1)
!
=
ˆ
¡0:5
¡1
!
+ 11 + 16…
ˆ
1 8
2… ¡1
!
1=4
¡1
¶ :
=
¡0:651174
¡0:949853
¶
(51)
Tak•ze po•zadovan¶y v¶ysledek je ~x(1) := (¡0:651174;¡0:949853)T .
P•ri v¶ypo•ctu ~x(1) lze postupovat i pon•ekud jin¶ym zp”usobem. Nam¶‡sto vztahu (42) pro
p•r¶‡m¶y v¶ypo•cet ~x(1) lze pou•z¶‡t formulace tohoto vzorce pro p•r¶‡r”ustek ¢~x(k) = ~x(k+1) ¡
~x(k). Nam¶‡sto (42) pak dostaneme:
¡
ˆ
@ ~f(~x(k))
@~x
!
¢~x(k) = ~f(~x(k)) (52)
Zat¶‡mco (42) p•redstavuje vzorec z n•ej•z lze p•r¶‡mo spo•c¶‡tat ~x(k), v p•r¶‡pad•e (52) jsme z¶‡skali
pouze soustavu line¶arn¶‡ch algebraick¶ych rovnic pro nezn¶am¶y vektor ¢~x(k) = ~x(k+1) ¡
~x(k). Nemuseli jsme tedy sice invertovat Jacobiho matici @ ~f(~x(k))@~x , ale na druhou stranu
mus¶‡me nyn¶‡ vy•re•sit vzniklou soustavu line¶arn¶‡ch rovnic. V p•r¶‡pad•e, •ze •r¶ad matice je
Preliminary version { May 7, 2004 { 19:38
2 SOUSTAVY NELINE ¶ARN¶ICH ROVNIC 7
vysok¶y je nutn¶e pou•z¶‡t k •re•sen¶‡ line¶arn¶‡ho syst¶emu n•ekterou z itera•cn¶‡ch metod. V
jednoduch¶em p•r¶‡pad•e jako je ten, kter¶y zde •re•s¶‡me lze postupovat p•r¶‡mo:
¡
ˆ
@ ~f(~x(0))
@~x
!
¢~x(0) = ~f(~x(0)) (53)
S vyu•zit¶‡m (43) a (50) dostaneme:
¡
ˆ
¡1 ¡8
¡2… 1
!
¢x(0)
¢y(0)
¶
=
1=4
¡1
¶
(54)
Rozeps¶an¶‡m po slo•zk¶ach obdr•z¶‡me:
¢x(0) + 8¢y(0) = 14 (55)
2… ¢x(0) ¡ ¢y(0) = ¡1 (56)
Vy•re•sen¶‡ t¶eto soustavy dostaneme p•r¶‡r”ustky:
¢x(0) = 1=4 ¡ 81 + 16… := ¡0:151174 (57)
¢y(0) = 1=4 ¡ ¢x
(0)
8
:= 0:050147 (58)
Z toho u•z snadno dopo•c¶‡t¶ame ~x(1) = ~x(0) + ¢~x(0)
ˆ
x(1)
y(1)
!
=
ˆ
¡0:5
¡1
!
+
¡0:151174
0:050147
¶ :
=
¡0:651174
¡0:949853
¶
(59)
Tak•ze jsme se dostali ke stejn¶emu v¶ysledku jako p•redchoz¶‡m postupem, tj. ~x(1) :=
(¡0:651174;¡0:949853)T .
(b) V¶ypo•cet sloupcov¶e normy k~x(1) ¡~x(0)k‘ je ji•z trivi¶aln¶‡:
k~x(1) ¡~x(0)k‘ = j¡ 0:651174 + 0:5j + j¡ 0:949853 + 1j (60)
= 0:151174 + 0:050147 = 0:201321 (61)
•Re•sen¶‡:
(a) ~x(1) = (¡0:651174;¡0:949853)T
(b) k~x(1) ¡~x(0)k‘ = 0:201321
2)
Preliminary version { May 7, 2004 { 19:38
3 INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKC¶I 8
3 Interpolace a aproximace funkc¶‡
3.1 Interpolace kubick¶ymi spline-funkcemi
1) Je d¶ana tabulka hodnot funkce y = f(x) a druh¶e derivace s00(x) jej¶‡ interpola•cn¶‡ kubick¶e
spline funkce s(x).
xi -2 -1 0
yi 2 3
s00(xi) 2 0 8
(a) Ur•cete hodnotu
(b) Stanovte hodnotu spline funkce s(x) v bod•e x = ¡0:5
Vyjdeme z obecn¶e deflnice kubick¶e interpola•cn¶‡ spline funkce si(x) na intervalu hxi; xi+1i
a hned si spo•cteme i jej¶‡ derivace s0i(x) a s00i (x), kter¶e budeme pot•rebovat pozd•eji:
si(x) = ai(x ¡ xi)3 + bi(x ¡ xi)2 + ci(x ¡ xi) + di (62)
s0i(x) = 3ai(x ¡ xi)2 + 2bi(x ¡ xi) + ci (63)
s00i (x) = 6ai(x ¡ xi)3 + 2bi (64)
M¶ame zad¶any t•ri body [xi; yi]. Z toho plyne, •ze budeme muset ur•cit koeflcienty splinu
pro dva podintervaly:
s0(x) = a0(x + 2)3 + b0(x + 2)2 + c0(x + 2) + d0 x 2 h¡2;¡1i (65)
s1(x) = a1(x + 1)3 + b1(x + 1)2 + c1(x + 1) + d1 x 2 h¡1; 0i (66)
Mus¶‡me tedy s vyu•zit¶‡m znalosti vlastost¶‡ spline funkc¶‡ spo•c¶‡tat koeflcienty a0, b0, c0,
d0, a1, b1, c1, d1. Nejd•r¶‡ve vyjdeme ze znalosti zadan¶ych hodnot s00, tj. u•zijeme vztahu
(64) a dosad¶‡me postupn•e hodnoty x0 a x1 do s000(x) a s001(x).
s000(x0) = 6a0(x0 ¡ x0)3 + 2b0 =) b0 = s
000(x0)
2 =
2
2 = 1 (67)
s001(x1) = 6a1(x1 ¡ x1)3 + 2b1 =) b1 = s
001(x1)
2 =
0
2 = 0 (68)
D¶ale pou•zijeme je•st•e jednou vztah (64) a dosad¶‡me postupn•e hodnoty x1 a x2 do s000(x)
a s001(x) a vypo•c¶‡t¶ame koeflcienty a0 a a1.
s000(x1) = 6a0(x1 ¡ x0)3 + 2b0 =) a0 = s
000(x1) ¡ 2b0
6(x1 ¡ x0) =
0 ¡ 2 ¢ 1
6 ¢ 1 =
¡1
3 (69)
s001(x2) = 6a1(x2 ¡ x1)3 + 2b1 =) a1 = s
001(x2) ¡ 2b1
6(x2 ¡ x1) =
8 ¡ 2 ¢ 0
6 ¢ 1 =
4
3 (70)
Koeflcienty d0 a d1 ur•c¶‡me ze zn¶am¶ych hodnot s(x) v bodech x0 a x1:
s0(x0) = a0(x0 ¡ x0)3 + b0(x0 ¡ x0)2 + c0(x0 ¡ x0) + d0 = y0 =) d0 = 2 (71)
s1(x1) = a1(x1 ¡ x1)3 + b1(x1 ¡ x1)2 + c1(x1 ¡ x1) + d1 = y1 =) d1 = 3 (72)
Preliminary version { May 7, 2004 { 19:38
3 INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKC¶I 9
Z podm¶‡nky spojitosti spline funkce v bod•e x1, tj. s0(x1) = s1(x1) = y1, vypo•cteme
koeflcient c0:
a0(x1¡x0)3+b0(x1¡x0)2+c0(x1¡x0)+d0 = ¡13 +1+c0+2 = 3 =) c0 = 13 (73)
Zb¶yvaj¶‡c¶‡ koeflcient c1 ur•c¶‡me z podm¶‡nky spojitosti s0(x) v bod•e x1, tj. s000(x1) = s001(x1):
3a0(x1 ¡ x0)2 + 2b0(x1 ¡ x0) + c0 = ¡313 + 2 ¢ 1 + 13 = c1 =) c1 = 43 (74)
Nyn¶‡ ji•z m¶ame v•se pot•rebn¶e k z¶apisu funkc¶‡ s0(x) a s1(x) podle (65) a (66):
s0(x) = ¡13(x + 2)3 + (x + 2)2 + 13(x + 2) + 2 x 2 h¡2;¡1i (75)
s1(x) = 43(x + 1)3 + 43(x + 1) + 3 x 2 h¡1; 0i (76)
Ted’ u•z zb¶yv¶a jen dosadit do s1(x) postun•e x = x2 = 0 abychom dostali y(x2) =
s(x2) = a podobn•e dosazen¶‡m x = ¡0:5 spo•cteme hodnotu s(¡0:5):
s1(0) = 43(0 + 1)3 + 43(0 + 1) + 3 = = 173 (77)
s1(¡0:5) = 43(¡0:5 + 1)3 + 43(¡0:5 + 1) + 3 = 43 18 + 43 12 + 3 = 236 (78)
•Re•sen¶‡:
(a) = 173
(b) s(¡0:5) = 236
2)
3.2 Aproximace metodou nejmen•s¶‡ch •ctverc”u
1)
Preliminary version { May 7, 2004 { 19:38
4 OBY•CEJN¶E DIFERENCI ¶ALN¶I ROVNICE 10
4 Oby•cejn¶e diferenci¶aln¶‡ rovnice
4.1 Po•c¶ate•cn¶‡ ¶ulohy
1) Je d¶ana Cauchyova ¶uloha
y00 = xy0 + 1 +py ¡ 3 y(0) = 4; y0(0) = ¡2
(a) Zapi•ste oblast v n¶‡•z jsou spln•eny podm¶‡nky existence a jednozna•cnosti •re•sen¶‡ Cauchyovy
¶ulohy
(b) U•zit¶‡m 1.modiflkace Eulerovy metody ur•cete p•ribli•zn¶e hodnoty y a y0 v bod•e x = ¡0:2
s krokem h = ¡0:2
(a) Za•cneme p•revodem zadan¶e rovnice 2. •r¶adu na soustavu dvou rovnic 1. •r¶adu. Obecn•e
m”u•zeme zadanou rovnici zapsat ve tvaru:
y00 = g(x; y; y0) (79)
Tuto rovnici bychom cht•eli p•rev¶est do tvaru:
~y0 = ~f(x;~y) (80)
Vzhledem k tomu, •ze rovnice (79) je druh¶eho •r¶adu, budou m¶‡t vektory ~y a ~f dv•e slo•zky,
t.j. ~y = (y1; y2)T ; ~f = (f1; f2)T . Rozep¶‡•seme-li vektorovou rovnici (80) do slo•zek
dostaneme:
y01 = f1(x; y1; y2) (81)
y02 = f2(x; y1; y2) (82)
Nyn¶‡ zavedeme n¶asleduj¶‡c¶‡ substituci:
y1 = y (83)
y2 = y0 (84)
Prost¶ym zderivov¶an¶‡m substitu•cn¶‡ch v¶yraz”u (83) a (84) dostaneme:
y01 = y0 (85)
y02 = y00 (86)
Uprav¶‡me-li nyn¶‡ prav¶e strany (85) a (86) pomoc¶‡ (84) a (79) obdr•z¶‡me soustavu dvou
diferenci¶aln¶‡ch rovnic v po•zadovan¶em tvaru (81) a (82):
y01 = y2 (87)
y02 = g(x; y1; y2) (88)
Srovn¶an¶‡m prav¶ych stran rovnic (81),(82) a (87),(88) z¶‡sk¶ame funkce f1 a f2.
f1(x; y1; y2) = y2 (89)
f2(x; y1; y2) = g(x; y1; y2) (90)
Preliminary version { May 7, 2004 { 19:38
4 OBY•CEJN¶E DIFERENCI ¶ALN¶I ROVNICE 11
Nyn¶‡ m”u•zeme zapsat konkr¶etn•e vzniklou soustavu rovnic pro zadanou rovnici 2. •r¶adu:
y01 = f1(x; y1; y2) = y2 (91)
y02 = f2(x; y1; y2) = xy
2 + 1
+py1 ¡ 3 (92)
Zb¶yv¶a u•z jen p•rev¶est zadan¶e po•c¶ate•cn¶‡ podm¶‡nky y(0) = 4; y0(0) = ¡2 do \vektorov¶eho"
tvaru. Tj. s vyu•zit¶‡m (83) a (84) dostaneme:
y(0) = y1(0) = 4 (93)
y0(0) = y2(0) = ¡2 (94)
Nyn¶‡ m¶ame celou po•c¶ate•cn¶‡ (t.j. Cauchyovu) ¶ulohu s rovnic¶‡ 2. •r¶adu p•revedenu na ¶ulohu
se soustavou dvo
Vloženo: 25.04.2009
Velikost: 147,15 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2024 unium.cz