- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálu rovnic 1. •r¶adu. Tento tvar d¶ale pou•zijeme jak pro ov•e•ren¶‡ podm¶‡nek
existence a jednozna•cnosti •re•sen¶‡ Cauchyovy ¶ulohy tak i pro konstrukci numerick¶e aprox-
imace •re•sen¶‡.
Pro ov•e•ren¶‡ podm¶‡nek existence a jednozna•cnosti •re•sen¶‡ Cauchyovy ¶ulohy vyjdeme z
n¶asleduj¶‡c¶‡ v•ety:
Necht’ je d¶ana soustava m diferenci¶aln¶‡ch rovnic v norm¶aln¶‡m tvaru ~y 0 =
~f(x;~y) a necht’ funkce fi(x;~y), @fi@y
j ; i; j = 1; 2; : : :; m jsou spojit¶e v oblasti
› ‰R£Rm. Potom pro ka•zd¶y bod [x0;~y0] 2 › existuje pr¶av•e jedno maxim¶aln¶‡
•re•sen¶‡ dan¶e soustavy, spl•nuj¶‡c¶‡ po•c¶ate•cn¶‡ podm¶‡nku ~y(x0) = ~y0.
Oblast existence a jednozna•cnosti •re•sen¶‡ Cauchyovy ¶ulohy je oblast¶‡ na n¶‡•z jsou funkce
fi(x;~y) a @fi@yj ; i; j = 1; 2; : : :; m spojit¶e. Vezmeme nyn¶‡ postupn•e tyto funkce a ur•c¶‡me
jak¶a omezen¶‡ plynou pro jejich argumenty z po•zadavku spojitosti:
f1(x; y1; y2) = y2 =) spojit¶a (8x; y1; y2 2R)
f2(x; y1; y2) = xy2+1 + py1 ¡ 3 =) y2 6= ¡1 & y1 ‚ 3
@f1
@y1 (x; y1; y2) = 0 =) spojit¶a (8x; y1; y2 2R)
@f1
@y2 (x; y1; y2) = 1 =) spojit¶a (8x; y1; y2 2R)
@f2
@y1 (x; y1; y2) =
1
2py1¡3 =) y1 > 3
@f2
@y2 (x; y1; y2) =
¡x
(y2+1)2 =) y2 6= ¡1
Shrneme-li v¶y•seuveden¶a omezen¶‡ pro argumenty x; y1; y2, dostaneme pro ka•zd¶y z nich
jednorozm•ern¶y \interval spojitosti" (funkc¶‡ fi(x;~y) a @fi@yj ):
x 2 (¡1; +1)
y1 2 (3; +1)
y2 2 (¡1;¡1) [ (¡1; +1)
Tyto jednorozm•ern¶e intervaly spolu dohromady vytv¶a•rej¶‡ dv•e oblasti, v nich•z jsou funkce
fi(x;~y) a @fi@yj spojit¶e. Tyto oblasti jsou tvo•reny kart¶ezsk¶ym sou•cinem p•r¶‡slu•sn¶ych jed-
norozm•ern¶ych interval”u:
G1 = (¡1;1) £ (3;1) £ (¡1;¡1)
G2 = (¡1;1) £ (3;1) £ (¡1; +1)
Preliminary version { May 7, 2004 { 19:38
4 OBY•CEJN¶E DIFERENCI ¶ALN¶I ROVNICE 12
Nyn¶‡ jsme ji•z t¶em•e•r u c¶‡le. M•eli jsme ur•cit oblast existence a jednozna•cnosti •re•sen¶‡
konkr¶etn¶‡ Cauchyovy ¶ulohy. Sta•c¶‡ tedy pouze ur•cit do kter¶e z oblast¶‡ G1 a G2 spad¶a
zadan¶a po•c¶ate•cn¶‡ podm¶‡nka, tj. bod x = 0, y1 = 4, y2 = ¡2. Tento bod z•rejm•e pat•r¶‡
do oblasti G1. Oblast¶‡ existence a jednozna•cnosti •re•sen¶‡ zadan¶e Cauchyovy ¶ulohy tedy je
oblast:
G = (¡1;1) £ (3;1) £ (¡1;¡1)
(b) V dal•s¶‡ •c¶asti zad¶an¶‡ se po•zaduje ur•cen¶‡ p•ribli•zn¶ych hodnot y(¡0:2) a y0(¡0:2) pomoc¶‡
1. modiflkace Eulerovy metody. Z cvi•cn¶ych d”uvod”u v•sak postupn•e provedeme v¶ypo•cet
v•semi variantami Eulerovy metody, tj. z¶akladn¶‡ Eulerovou metodou a jej¶‡ 1. a 2. modi-
flkac¶‡.
Ne•z za•cneme s vlastn¶‡m •re•sen¶‡m, je nutn¶e si uv•edomit jak¶a data m¶ame k dispozici a co
m¶ame ur•cit. M¶ame tedy vypo•c¶‡tat hodnoty
y(¡0:2) = y1(¡0:2) := y(1)1 (95)
y0(¡0:2) = y2(¡0:2) := y(1)2 (96)
To znamen¶a vyj¶‡t ze zadan¶e po•c¶ate•cn¶‡ podm¶‡nky, tj. z bodu [x(0) = 0; y(0)1 = 4; y(0)2 =
¡2], a ud•elat jeden krok (o d¶elce h = ¡0:2) p•redepsanou Eulerovou metodou. Po•zadovan¶e
p•ribli•zn¶e hodnoty y(1)1 a y(1)1 v bod•e x(1) = ¡0:2 ur•c¶‡me na z¶aklad•e obecn¶eho vztahu
pro line¶arn¶‡ jednokrokovou metodu
~y (k+1) = ~y (k) + h~` (97)
Pro k = 0 zn¶ame ~y (0) = (4;¡2)T a h = ¡0:2. P•r¶‡r”ustkov¶a funkce ~` bude nab¶yvat
konkr¶etn¶‡ho tvaru dle pou•zit¶e varianty Eulerovy metody.
(i) Eulerova metoda
P•r¶‡r”ustkov¶a funkce m¶a v tomto p•r¶‡pad•e tvar:
~` = ~f(x(0);~y (0)) (98)
Hodnota p•r¶‡r”ustkov¶e funkce ~` je rovna hodnot•e funkce ~f v po•c¶ate•cn¶‡m bod•e
[x(0);~y (0)].
Rozeps¶ano po slo•zk¶ach to znamen¶a:
`1 = f1(x(0); y(0)1 ; y(0)2 ) (99)
`2 = f2(x(0); y(0)1 ; y(0)2 ) (100)
Funkce f1 a f2 jsou deflnov¶any v¶yrazy (91) a (91), tak•ze pro hodnoty p•r¶‡r”ustkov¶e
funkce dostaneme:
`1 = y(0)2 = ¡2 (101)
`2 = x
(0)
y(0)2 + 1
+
q
y(0)1 ¡ 3 = 0¡2 + 1 + p4 ¡ 3 = 1 (102)
Po•zadovan¶e hodnoty ~y(1) dostaneme dosazen¶‡m do (97) pro k = 0:
y(1)1 = y(0)1 + h`1 = 4 + (¡0:2) ¢ (¡2) = 4:4 (103)
y(1)2 = y(0)2 + h`2 = ¡2 + (¡0:2) ¢ 1 = ¡2:2 (104)
Preliminary version { May 7, 2004 { 19:38
4 OBY•CEJN¶E DIFERENCI ¶ALN¶I ROVNICE 13
Pou•zit¶‡m Eulerovy metody jsme vypo•c¶‡tali hodnoty ~y(1) = (y(1)1 ; y(1)2 )T = (4:4;¡2:2)T .
V zad¶an¶‡ se po•zaduje ur•cen¶‡ p•ribli•zn¶ych hodnot y(¡0:2) a y0(¡0:2). Vzhledem k
zaveden¶e substituci (83) a (84) m”u•zeme pro tyto hodnoty ps¶at:
y(¡0:2) := y(1)1 = 4:4 (105)
y0(¡0:2) := y(1)2 = ¡2:2 (106)
(ii) 1. modiflkace Eulerovy metody
P•r¶‡r”ustkov¶a funkce m¶a pro tuto metodu tvar:
~` = ~f(x(0) + h
2;~y
(0) + h
2
~f(x(0);~y (0))) (107)
Hodnota p•r¶‡r”ustkov¶e funkce ~` je rovna hodnot•e funkce ~f v \prost•redn¶‡m"
bod•e [x(1=2);~y (1=2)], tj. v bod•e do kter¶eho se dostaneme \p”ulkrokem"
Eulerovou metodou z bodu [x(0);~y (0)].
Rozeps¶ano po slo•zk¶ach to znamen¶a:
`1=f1
‡
x(0) + h2; y(0)1 + h2f1(x(0); y(0)1 ; y(0)2 ); y(0)2 + h2f2(x(0); y(0)1 ; y(0)2 )
·
(108)
`2=f2
‡
x(0) + h2; y(0)1 + h2f1(x(0); y(0)1 ; y(0)2 ); y(0)2 + h2f2(x(0); y(0)1 ; y(0)2 )
·
(109)
Tyto vztahy vypadaj¶‡ velice komplikovan•e a dosazovat p•r¶‡mo do nich je zna•cn•e
pracn¶e. V tomto p•r¶‡pad•e si m”u•zeme u•set•rit zna•cnou •c¶ast pr¶ace, kdy•z pou•zijeme
v¶ysledk”u dosa•zen¶ych Eulerovou metodou. Jak ji•z bylo •re•ceno v¶y•se, je pro 1. mod-
iflkaci Eulerovy metody hodnota p•r¶‡r”ustkov¶e funkce ~` je rovna hodnot•e funkce ~f v
bod•e do kter¶eho se dostaneme \p”ulkrokem" Eulerovou metodou z bodu [x(0);~y (0)].
To znamen¶a, •ze m¶ame dosadit sou•radnice bodu, kter¶y le•z¶‡ uprost•red mezi body
[x(0);~y (0)] a [x(1);~y (1)], p•ri•cem•z bod [x(1);~y (1)] jsme obdr•zeli Eulerovou metodou.
P•r¶‡r”ustkovou funkci pro 1. modiflkaci Eulerovy metody m”u•zeme zapsat n¶asledovn•e:
~` = ~f‡x(0) + x(1)
2 ;
~y(0) + ~y(1)
2
·
(110)
= ~f
‡0 + (¡0:2)
2 ;
4 + 4:4
2 ;
¡2 + (¡1:8)
2
·
= ~f(0:1; 4:2;¡2:1)
Rozpisem po slo•zk¶ach a dosazen¶‡m dostaneme (obdobn•e jako v (101) a (102))
konkr¶etn¶‡ hodnoty p•r¶‡r”ustkov¶e funkce pro 1. modiflkaci Eulerovy metody:
`1 = f1(0:1; 4:2;¡2:1) = ¡2:1 (111)
`2 = f2(0:1; 4:2;¡2:1) = ¡0:1¡2:1 + 1 + p4:2 ¡ 3 = 1:186354206 (112)
Pomoc¶‡ t•echto hodnot m”u•zeme vypo•c¶‡tat ~y(1) odpov¶‡daj¶‡c¶‡ 1. modiflkaci Eulerovy
metody. Podobn•e jako v (103) a (104) dostaneme:
y(1)1 = y(0)1 + h`1 = 4 + (¡0:2) ¢ (¡2:1) = 4:42 (113)
y(1)2 = y(0)2 + h`2 = ¡2 + (¡0:2) ¢ 1:186354206 = ¡2:237270841 (114)
Pro po•zadovan¶e hodnoty y(¡0:2) a y0(¡0:2) tedy m¶ame:
y(¡0:2) := y(1)1 = 4:42 (115)
y0(¡0:2) := y(1)2 = ¡2:237270841 (116)
Preliminary version { May 7, 2004 { 19:38
4 OBY•CEJN¶E DIFERENCI ¶ALN¶I ROVNICE 14
(iii) 2. modiflkace Eulerovy metody
Pro tuto modiflkaci m¶a p•r¶‡r”ustkov¶a funkce tvar:
~` = 1
2
h~
f(x(0);~y (0)) + ~f(x(0) + h;~y (0) + h~f(x(0);~y (0)))
i
(117)
Hodnota p•r¶‡r”ustkov¶e funkce ~` je rovna aritmetick¶emu pr”um•eru hodnot
funkce ~f v po•c¶ate•cn¶‡m bod•e [x(0);~y (0)] a \koncov¶em" bod•e [x(1);~y (1)], do
kter¶eho se dostaneme cel¶ym krokem Eulerovou metodou z bodu [x(0);~y (0)].
Rozeps¶ano po slo•zk¶ach to znamen¶a:
`1= 12
"
f1(x(0); y(0)1 ; y(0)2 ) + (118)
+f1
‡
x(0) + h; y(0)1 + hf1(x(0); y(0)1 ; y(0)2 ); y(0)2 + hf2(x(0); y(0)1 ; y(0)2 )
·#
`2= 12
"
f2(x(0); y(0)1 ; y(0)2 ) + (119)
+f2
‡
x(0) + h; y(0)1 + hf1(x(0); y(0)1 ; y(0)2 ); y(0)2 + hf2(x(0); y(0)1 ; y(0)2 )
·#
Podobn•e jako v p•r¶‡pad•e 1. modiflkace Eulerovy metody, i zde se vyhneme p•r¶‡m¶emu
dosazen¶‡ do t•echto vzorc”u pou•zit¶‡m v¶ysledk”u dosa•zen¶ych Eulerovou metodou. Pro
druhou modiflkaci Eulerovy metody je hodnota p•r¶‡r”ustkov¶e funkce ~` je rovna ar-
itmetick¶emu pr”um•eru hodnot funkce ~f v bodech [x(0);~y (0)] a [x(1);~y (1)], kde
sou•radnice bodu [x(1);~y (1)] vezmeme z v¶ysledk”u Eulerovy metody. To znamen¶a, •ze
pro p•r¶‡r”ustkovou funkci ~` m”u•zeme ps¶at:
~` = 1
2
h~
f(x(0);~y (0))+ ~f(x(1);~y (1))
i
= 12
h~
f(0; 4;¡2)+ ~f(¡0:2; 4:4;¡1:8)
i
(120)
Dal•s¶‡ pr¶aci si m”•zeme u•set•rit pou•zit¶‡ ji•z vypo•cten¶ych hodnot ~f(x(0);~y (0)), kter¶e
jsme pot•rebovali pro vy•c¶‡slen¶‡ p•r¶‡r”ustkov¶e funkce Eulerovy metody (vztahy (98) a•z
(102)). M”u•zeme tedy rovnou ps¶at ~f(x(0);~y (0)) = (¡2; 1)T a pro p•r¶‡r”ustkovou
funkci ~` dostaneme:
`1 = 12
h
¡ 2 + f1(0:2; 4:4;¡2:1)
i
= 12
h
¡ 2 + (¡2:2)
i
= ¡2:1 (121)
`2 = 12
h
1 + f2(0:2; 4:4;¡2:1)
i
= 12
h
1 + ¡0:2¡2:2 + 1 + p4:4 ¡ 3
i
(122)
= 12
h
1 + 1:349882623
i
= 1:174941312
Podobn•e jako v (103) a (104) dostaneme ~y(1) odpov¶‡daj¶‡c¶‡ 2. modiflkaci Eulerovy
metody:
y(1)1 = y(0)1 + h`1 = 4 + (¡0:2) ¢ (¡2:1) = 4:42 (123)
y(1)2 = y(0)2 + h`2 = ¡2 + (¡0:2) ¢ 1:174941312 = ¡2:234988826 (124)
Preliminary version { May 7, 2004 { 19:38
4 OBY•CEJN¶E DIFERENCI ¶ALN¶I ROVNICE 15
Pro po•zadovan¶e hodnoty y(¡0:2) a y0(¡0:2) tedy m¶ame:
y(¡0:2) := y(1)1 = 4:42 (125)
y0(¡0:2) := y(1)2 = ¡2:234988826 (126)
•Re•sen¶‡:
(a) G = (¡1;1)£(3;1)£(¡1;¡1)
(b) 1.modiflkace y(¡0:2) := 4:42, y0(¡0:2) := ¡2:237270841
2.modiflkace y(¡0:2) := 4:42, y0(¡0:2) := ¡2:234988826
4.2 Okrajov¶e ¶ulohy
Preliminary version { May 7, 2004 { 19:38
Vloženo: 25.04.2009
Velikost: 147,15 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2024 unium.cz