- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálOBSAH 0
Obsah
1 Numerick¶e •re•sen¶‡ soustav line¶arn¶‡ch algebraick¶ych rovnic 1
1.1 Itera•cn¶‡ metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Soustavy neline¶arn¶‡ch rovnic 5
3 Interpolace a aproximace funkc¶‡ 8
3.1 Interpolace kubick¶ymi spline-funkcemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Aproximace metodou nejmen•s¶‡ch •ctverc”u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Oby•cejn¶e diferenci¶aln¶‡ rovnice 10
4.1 Po•c¶ate•cn¶‡ ¶ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Okrajov¶e ¶ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Preliminary version { May 7, 2004 { 19:38
1 NUMERICK¶E •RE•SEN¶I SOUSTAV LINE ¶ARN¶ICH ALGEBRAICK ¶YCH ROVNIC 1
1 Numerick¶e •re•sen¶‡ soustav line¶arn¶‡ch algebraick¶ych rovnic
1.1 Itera•cn¶‡ metody
1) Je d¶ana soustava rovnic C~x = ~d, kde
C =
0
@
1 ¡10 fl
¡1 5 0
2 0 2
1
A ~d =
0
@
1
2fl
3
1
A
(a) Ur•cete mno•zinu B v•sech parametr”u fl 2 R, pro n•e•z lze k •re•sen¶‡ soustavy u•z¶‡t Jacobiho
itera•cn¶‡ metodu.
(b) Pro fl = ¡2 ur•cete ~x(1), ~x(2) touto metodou p•ri volb•e ~x(0) = ~d
(a) Nutnou a posta•cuj¶‡c¶‡ podminkou konvergence Jacobiho metody je, aby spektr¶aln¶‡ polom•er
jej¶‡ itera•cn¶‡ matice byl men•s¶‡ ne•z jedna, tzn. ‰(UJ ) < 1. Itera•cn¶‡ matice UJ je odvozena
z matice soustavy C n¶asleduj¶‡c¶‡m zp”usobem:
Vyjdeme ze zadan¶e soustavy rovnic:
C~x = ~d (1)
Tuto soustavu p•revedeme do tvaru vhodn¶eho ke konstrukci itera•cn¶‡ metody, tj. do tvaru:
~x = U~x + ~v (2)
Mo•znost¶‡ jak danou soustavu (1) p•rev¶est do formy (2) je mnoho. V¶ysledkem ka•zd¶eho
takov¶eho postupu je jin¶a itera•cn¶‡ metoda. M¶ame-li obdr•zet Jacobiho metodu, je t•reba
postupovat n¶asleduj¶‡c¶‡m zp”usobem.
Matici soustavy C rozlo•z¶‡me na sou•cet doln¶‡ troj¶uheln¶‡kov¶e L, diagon¶aln¶‡ D a horn¶‡
troj¶uheln¶‡kov¶e P matice. Cel¶a soustava pak vypad¶a n¶asledovn•e:
(L + D + P)~x = ~d (3)
Tuto soustavu uprav¶‡me tak, aby na lev¶e stran•e z”ustala pouze diagon¶aln¶‡ •c¶ast D
D~x = ¡(L + P)~x + ~d (4)
Nyn¶‡ u•z jsme t¶em•e•r u povzadovan¶eho tvaru (2). Sta•c¶‡ pouze vyn¶asobit celou rovnici (4)
zleva matic¶‡ D¡1
~x = ¡D¡1(L + P)~x + D¡1~d (5)
Tento tvar u•z souhlas¶‡ s (2), sta•c¶‡ si jen uv•edomit co je v tomto p•r¶‡pad•e matice U a
vektor ~v.
~x = ¡D¡1(L + P)| {z }
UJ
~x + D¡1~d| {z }
~vJ
(6)
Index J zde zna•c¶‡, •ze konstruujeme Jacobiho metodu. Formuli pro postupn¶e aproxi-
mace Jacobiho metody pak dostaneme tak, •ze do prav¶e strany dosazujeme aproximaci
Preliminary version { May 7, 2004 { 19:38
1 NUMERICK¶E •RE•SEN¶I SOUSTAV LINE ¶ARN¶ICH ALGEBRAICK ¶YCH ROVNIC 2
•re•sen¶‡ ~x(k) a na lev¶e stran•e dost¶av¶ame novou aproximaci ~x(k+1). Tento postup m”u•zeme
form¶aln•e zapsat nasleduj¶‡c¶‡m zp”usobem:
~x(k+1) = [¡D¡1(L + P)]~x(k) + D¡1~d resp: ~x(k+1) = UJ~x(k) + ~vJ (7)
Z tohoto v¶yrazu (7) je vid•et, •ze itera•cn¶‡ matice m¶a pro Jacobiho metodu tvar UJ =
¡D¡1(L+P). Jak ji•z bylo •re•ceno v ¶uvodu, mus¶‡me zjistit pro kter¶a fl 2 R je spektr¶aln¶‡
polom•er itera•cn¶‡ matice UJ byl men•s¶‡ ne•z jedna, tzn. ‰(UJ ) < 1. Mus¶‡me tedy nejd•r¶‡ve
spo•c¶‡tat vlastn¶‡ •c¶‡sla matice UJ , tj. mus¶‡me zjistit pro kter¶a ‚ 2 C je spln•ena n¶asleduj¶‡c¶‡
rovnost:
UJ~x = ‚~x (8)
Po rozeps¶an¶‡ s pou•zit¶‡m (6) dostaneme:
[¡D¡1(L + P)]~x = ‚~x (9)
Vyn¶asob¶‡me-li tuto rovnost (9) zleva matic¶‡ ¡D dostaneme
(L + P)~x = ¡‚D~x (10)
Po p•rerovn¶an¶‡ dostaneme homogenn¶‡ soustavu line¶arn¶‡ch rovnic ve tvaru
(L + ‚D + P)~x = ~0 (11)
Tato soustava (11) m¶a nenulov¶e •re•sen¶‡ ~x pouze v p•r¶‡pad•e, •ze matice (L + ‚D + P) je
singul¶arn¶‡, tj. kdy•z je jej¶‡ determinant roven nule:
det(L + ‚D + P) = 0 (12)
Pro konkr¶etn¶‡ matici C ze zad¶an¶‡ nabyde rovnice (12) tvaru:
det
0
@
1‚ ¡10 fl
¡1 5‚ 0
2 0 2‚
1
A = 0 (13)
Po vy•c¶‡slen¶‡ tohoto determinantu dostaneme n¶asleduj¶‡c¶‡ rovnici pro ‚:
10‚3 ¡ 10fl‚ ¡ 20‚ = 0 =) ‚(‚2 ¡ fl ¡ 2) = 0 (14)
Z toho okam•zit•e plyne ‚1 = 0. Pro zb¶yvaj¶‡c¶‡ vlastn¶‡ •c¶‡sla ‚2 a ‚3 pak m¶ame n¶asleduj¶‡c¶‡
kvadratickou rovnici:
‚2 ¡ fl ¡ 2 = 0 =) ‚2 = fl + 2 (15)
Z toho dostaneme ‚2;3 = §pfl + 2. Po•zadujeme-li pro konvergenci Jacobiho metody
‰(UJ ) < 1, mus¶‡ b¶yt jfl + 2j < 1. Pro fl pak m¶ame omezen¶‡
¡1 < fl + 2 < 1 =) ¡3 < fl < ¡1 (16)
Tak•ze m”u•zeme konstatovat, •ze Jacobiho metodu je mo•zn¶e pro danou soustavu (1) pou•z¶‡t
pr¶av•e tehdy, kdy•z fl 2 (¡3;¡1).
Preliminary version { May 7, 2004 { 19:38
1 NUMERICK¶E •RE•SEN¶I SOUSTAV LINE ¶ARN¶ICH ALGEBRAICK ¶YCH ROVNIC 3
(b) Dosad¶‡me-li nyn¶‡ do zadan¶e soustavy rovnic C~x = ~d za fl = ¡2 dostaneme:
C =
0
@
1 ¡10 ¡2
¡1 5 0
2 0 2
1
A ~d =
0
@
1
¡4
3
1
A (17)
P•ri v¶ypo•ctu aproximace ~x(1) m”u•zeme postupovat r”uzn¶ymi zp”usoby. Prvn¶‡ vych¶az¶‡ ze
vztahu (7), kter¶y je explicitn¶‡m vzorcem pro ~x(1). M¶ame tedy vy•c¶‡slit v¶yraz
~x(k+1) = [¡D¡1(L + P)]~x(k) + D¡1~d resp: ~x(k+1) = UJ~x(k) + ~vJ (18)
Mus¶‡me tedy nejd•r¶‡ve ur•cit matici UJ = ¡D¡1(L+P) a vektor ~vJ = D¡1~d. Odpov¶‡daj¶‡c¶‡
rozklad matice soustavy C vypad¶a n¶asledovn•e:
C =
0
@
1 ¡10 ¡2
¡1 5 0
2 0 2
1
A =
0
@
1 0 0
0 5 0
0 0 2
1
A
| {z }
D
+
0
@
0 ¡10 ¡2
¡1 0 0
2 0 0
1
A
| {z }
L+P
(19)
Pro sestaven¶‡ itera•cn¶‡ matice UJ = ¡D¡1(L + P) pot•rebujeme zn¶at inverzn¶‡ matici
D¡1. Vzhledem k tomu, •ze matice D je diagon¶aln¶‡, dostaneme jej¶‡ inverzi prost¶ym
p•revr¶acen¶‡m hodnot na diagon¶ale:
D =
0
@
1 0 0
0 5 0
0 0 2
1
A =) D¡1 =
0
@
1 0 0
0 1=5 0
0 0 1=2
1
A (20)
Pron¶asoben¶‡m t•echto matic m”u•zeme ov•e•rit, •ze skute•cn•e plat¶‡ DD¡1 = D¡1D = I.
Itera•cn¶‡ matice UJ = ¡D¡1(L + P) pro Jacobiho metodu m¶a pak n¶asleduj¶‡c¶‡ tvar:
UJ = ¡
0
@
1 0 0
0 1=5 0
0 0 1=2
1
A
0
@
0 ¡10 ¡2
¡1 0 0
2 0 0
1
A =
0
@
0 10 2
1=5 0 0
¡1 0 0
1
A (21)
Podobn•e dostaneme i transformovan¶y vektor prav¶ych stran vJ = D¡1~d
vJ =
0
@
1 0 0
0 1=5 0
0 0 1=2
1
A
0
@
1
¡4
3
1
A =
0
@
1
¡4=5
3=2
1
A (22)
Te•d u•z m¶ame v•sechno pro v¶ypo•cet ~x(1) podle (18) a m”u•zeme dosadit ~x(0) = ~d:
0
B@ x
(1)
1
x(1)2
x(1)3
1
CA =
0
@
0 10 2
1=5 0 0
¡1 0 0
1
A
0
@
1
¡4
3
1
A+
0
@
1
¡4=5
3=2
1
A =
0
@
33
¡3=5
1=2
1
A (23)
Dosp•eli jsme tedy k po•zadovan¶emu v¶ysledku ~x(1) = (33;¡0:6; 0:5)T .
V p•r¶‡pad•e, •ze je •re•sen¶a soustava vy•s•s¶‡ho •r¶adu, budou v¶y•se popsan¶e maticov¶e operace
velmi pracn¶e a proto m”u•ze b¶yt v¶yhodn•ej•s¶‡ trochu odli•snou metodu. Alternativn¶‡ postup
v¶ypo•ctu aproximace ~x(1) vych¶az¶‡ ze slo•zkov¶eho z¶apisu p”uvodn¶‡ soustavy C~x = ~d:
x1 ¡ 10x2 ¡ 2x3 = 1 (24)
¡x1 + 5x2 = ¡4 (25)
2x1 + 2x3 = 3 (26)
Preliminary version { May 7, 2004 { 19:38
1 NUMERICK¶E •RE•SEN¶I SOUSTAV LINE ¶ARN¶ICH ALGEBRAICK ¶YCH ROVNIC 4
D¶ale postupujeme podobn•e jako p•ri odvozov¶an¶‡ Jacobiho metody ve vztaz¶‡ch (4) a•z (6).
Nejprve p•revedeme v•sechny \nediagon¶aln¶‡" •cleny na pravou stranu:
x1 = 1 + 10x2 + 2x3 (27)
5x2 = ¡4 + x1 (28)
2x3 = 3 ¡ 2x1 (29)
Nakonec vyd•el¶‡me ka•zdou z rovnic koeflcientem u p•r¶‡slu•sn¶e nezn¶am¶e abychom dostali
soustavu ve tvaru:
x1 = 1 + 10x2 + 2x3 (30)
x2 = (¡4 + x1)=5 (31)
x3 = (3 ¡ 2x1)=2 (32)
Nyn¶‡ u•z m¶ame soustavu ve tvaru odpov¶‡daj¶‡c¶‡m (6) a m”u•zeme stejn•e jako v (7) zav¶est
itera•cn¶‡ indexy:
x(k+1)1 = 1 + 10x(k)2 + 2x(k)3 (33)
x(k+1)2 = (¡4 + x(k)1 )=5 (34)
x(k+1)3 = (3 ¡ 2x(k)1 )=2 (35)
Kone•cn•e tedy m”u•zeme pro k = 0 dosadit ~x(0) = ~d a dostaneme:
x(1)1 = 1 + 10 ¢ (¡4) + 2 ¢ 3 = ¡33 (36)
x(1)2 = (¡4 + 1 ¢ 1)=5 = ¡3=5 (37)
x(1)3 = (3 ¡ 2 ¢ 1)=2 = 1=2 (38)
Tak•ze i t¶‡mto postupem jsme se propracovali k v¶ysledku ~x(1) = (33;¡0:6; 0:5)T .
•Re•sen¶‡:
(a) fl 2 (¡3;¡1)
(b) ~x(1) = (33;¡0:6; 0:5)T ;~x(2) = (¡4;¡7:4; 34:5)T
2)
Preliminary version { May 7, 2004 { 19:38
2 SOUSTAVY NELINE ¶ARN¶ICH ROVNIC 5
2 Soustavy neline¶arn¶‡ch rovnic
1) Je d¶ana soustava rovnic
x2
4 + y
2 = 1 y = 2 cos(…x)
(a) Pro jeden z ko•ren”u ~x⁄ le•z¶‡ch ve 3. kvadrantu volte ~x(0) = (¡0:5;¡1)T a
vypo•ct•ete ~x(1) Newtonovou metodou
(b) Ur•cete k~x(1) ¡~x(0)k‘
(a) Nejd•r¶‡ve p•revedeme rovnice do implicitn¶‡ho tvaru, tj. do tvaru ~f(x; y) = 0
x2
4 + y
2 = 1 =) f1 : x2
4 + y
2 ¡ 1 = 0 (39)
y = 2 cos(…x) =) f2 : y ¡ 2 cos(…x) = 0 (40)
Je z•rejm¶e, •ze na platnosti prvn¶‡ rovnosti se nic nezm•en¶‡, vyn¶asob¶‡me-li ji 4, abychom
se zbavili zlomku. Po t¶eto drobn¶e ¶uprav•e m”uzeme zapsat funkci ~f(x; y) konkr¶etn•e pro
zadan¶y p•r¶‡klad:
~f(x; y) =
f
1(x; y)
f2(x; y)
¶
=
x2 + 4y2 ¡ 4
y ¡ 2 cos(…x)
¶
(41)
M¶ame-li nyn¶‡ vypo•c¶‡tat pomoc¶‡ Newtonovy metody 1. aproximaci •re•sen¶‡ rovnice ~f(~x) =
~0, tj. ur•cit vektor ~x(1) = (x(1); y(1); )T , vyjdeme z obecn¶eho vztahu pro k-tou aproximaci
~x(k+1) = ~x(k) ¡
ˆ
@ ~f(~x(k))
@~x
!¡1
~f(~x(k)) (42)
Z tohoto vztahu je vid•et, •ze k v¶ypo•ctu ~x(1) pot•rebujeme zn¶
Vloženo: 25.04.2009
Velikost: 147,15 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2024 unium.cz