- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Skripta Úvod do algebry Olšák
X01ALG - Úvod do algebry
Hodnocení materiálu:
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálPetr Olšák
Lineární algebra
Praha, 2000-2002
a69
Text je šířen volně podle licence ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/licence.txt.
Text ve formátech TEX (csplain), PostScript, dvi, PDF najdete na adrese
ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/.
Verze textu: 20. 11. 2003
Copyright c©RNDr. Petr Olšák, 2000, 2001, 2002, 2003
Obsah
Gaussova eliminační metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Úvodní příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Další příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Popis metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Diskuse po převedení matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Příklad, kdy soustava nemá řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Lineární prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Důkaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Definice lineárního prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Prostor R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Prostor Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Prostor funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Prostor polynomů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Lineární podprostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Průnik prostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Prostor orientovaných úseček . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Triviální prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Lineární závislost a nezávislost, lineární obal, báze, dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Lineární kombinace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Triviální lineární kombinace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Lineární závislost skupiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Lineární nezávislost skupiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Základní vlastnosti lineární (ne)závislosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Jeden vektor je lineární kombinací ostatních . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Závislost orientovaných úseček . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Lineární (ne)závislost nekonečných množin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Lineární obal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Prvek lineárního obalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Vlastnosti lineárního obalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Lineární obal je podprostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Rozšíření LN množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Charakteristika LN množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Báze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Existenece a jednoznačnost báze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Báze jsou stejně velké . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Dimenze prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Dimenze podprostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Počet prvků v LN množině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Definice matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Lineární prostor matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Symetrie relace „∼csquotedblright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Gaussova eliminace zachovává obal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Trojúhelníkové matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Numericky nestabilní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Transponovaná matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Násobení matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Komutující matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Matice vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Jednotková matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Inverzní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Regulární, singulární matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Výpočet inverzní matice eliminací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Znaménko permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Definice determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Základní vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Metoda počítání determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Rozvoj determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Součin determinantů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Existence inverzní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5. Soustavy lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Frobeniova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Princip eliminační metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Řešení homogenní soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Řešení nehomogenní soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Strojové řešení soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Nejednoznačnost zápisu řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Soustavy se čtvercovou maticí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6. Lineární prostory konečné dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Spojení prostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Dimenze průniku a spojení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Souřadnice vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Existence a jednoznačnost souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Matice přechodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Souřadnice a matice přechodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Přechod od báze (B) přes (C) k (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Sestavení matic přechodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7. Lineární zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Definice zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Zobrazení „nacsquotedblright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Prosté zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Definice lineárního zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Princip superpozice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Zachování obalů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Jádro zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Defekt a hodnost zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Souřadnice jako lineární zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Lineární zobrazení na bázi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Zobrazení lineárně nezávislých vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Složené zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Inverzní zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Izomorfismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Matice lineárního zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Hodnost matice zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Zobrazení souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Defekt + hodnost zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Matice složeného zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Matice identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8. Lineární prostory se skalárním součinem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Definice skalárního součinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Skalární součiny na Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Symetrické a pozitivně definitní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Velikost vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Úhel dvou vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Vzdálenost vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Kolmé vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Ortonormální báze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Ortogonalizační proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9. Aplikace lineární algebry v geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Eukleidovský prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Souřadnice orientovaných úseček . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Skalární součin orientovaných úseček . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Kolmý průmět vektoru na vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Ortonormální báze v UO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Kladně orientovaná báze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Vektorový součin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Smíšený součin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Prostor V3 volných vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Součet bodu s vektorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Přímka a rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Souřadnicový systém v E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Rovnice přímky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Vzájemná poloha dvou přímek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Rovnice roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Vzájemná poloha přímky a roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Vzájemná poloha dvou rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Souměrné body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Tři roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Gaussova eliminační metoda
Než se pustíme do studia lineárních prostorů a podprostorů, závislosti a nezávislosti vektorů, bází
a lineárních obalů, uvedeme si v této úvodní kapitole metodu, která se nám bude často hodit. Protože
se k řešení soustav vrátíme podrobněji v kapitole páté, řekneme si zde jen to nejnutnější a budeme se
v některých případech vyjadřovat poněkud těžkopádně. Vše napravíme v kapitole 5.
Gaussova eliminační metoda je metoda usnadňující řešení soustav lineárních rovnic. Soustava line-
árních rovnic je jedna nebo (obvykle) více lineárních rovnic, které mají být splněny všechny současně.
Lineární rovnice je rovnice, ve které se jedna nebo (obvykle) více neznámých vyskytuje pouze v první
mocnině. Neznámé mohou být násobené různými konstantami a tyto násobky se v součtu mají rovnat
dané konstantě, tzv. pravé straně. Řešit soustavu rovnic znamená najít řešení, tj. najít taková reálná
čísla, která po dosazení za neznámé v rovnicích splňují všechny rovnice současně. Takové řešení může
existovat pro danou soustavu jediné, může se ale stát, že je takových řešení více nebo též žádné.
Úvodní
příklad
Metodu si nejprve vysvětlíme na jednoduchém příkladě následující soustavy dvou lineárních rovnic
o dvou neznámých x, y:
2x − 5y = 16
− x + 2y = − 7
Ze střední školy asi znáte dvě metody, jak takové soustavy řešit: buď postupným dosazením, nebo náso-
bením rovnic konstantami a vzájemným sčítáním rovnic. Metoda postupného dosazení by mohla vypadat
takto:
2x−5y = 16 ⇒ 2(2y + 7)−5y = 14−y = 16 ⇒ y =−2
−x+ 2y =−7 ⇒ x = 2y + 7 ⇒ x = 2(−2) + 7 = 3,
ale nemá s Gaussovou eliminační metodou moc společného. Pro rozsáhlejší soustavy (mnoho rovnic,
mnoho neznámých) se moc nehodí. Zaměříme se proto na druhou metodu „sčítání rovniccsquotedblright. V této metodě
měníme postupně soustavu rovnic na jinou soustavu se stejným řešením. Změny soustavy, které nemění
řešení, jsou následující:
(1) Prohození rovnic mezi sebou.
(2) Vynásobení rovnice nenulovou konstantou.
(3) Přičtení libovolného násobku nějaké rovnice k jiné.
Pomocí těchto úprav převedeme soustavu rovnic na jinou soustavu, ze které je již řešení snadno
čitelné. Jednotlivé modifikace naší soustavy od sebe oddělujeme znakem „∼csquotedblright.
2x−5y = 16
−x+ 2y =−7 ∼
2x−5y = 16
−2x+ 4y =−14 ∼
2x−5y = 16
0x− y = 2 ∼
2x−5y = 16
y =−2 ∼
2x+ 0y = 6
y =−2 ∼
x = 3
y =−2
Nejprve jsme vynásobili druhou rovnici dvěma, pak jsme obě rovnice sečetli a výsledek napsali na místo
druhé rovnice, dále jsme druhou rovnici vynásobili číslem−1, pak jsme pětinásobek druhé rovnice přičetli
k první a nakonec jsme první rovnici vynásobili číslem 1/2. Z poslední soustavy čteme přímo řešení.
Gaussova eliminační metoda je vlastně shodná s právě použitou metodou „sčítání rovniccsquotedblright. Navíc
Gaussova metoda upřesňuje postup, jak rovnice násobit a sčítat mezi sebou, abychom se cíleně dobrali
k výsledku i u rozsáhlých soustav mnoha rovnic s mnoha neznámými. Než tento postup popíšeme,
zamyslíme se nad tím, jak stručně můžeme soustavy rovnic zapisovat. V soustavě rovnic není při hledání
řešení podstatné, zda se neznámé jmenují x,y,z nebo třeba α,β,γ. Podstatné jsou jen koeficienty, které
násobí jednotlivé neznámé a samozřejmě ještě hodnoty na pravých stranách rovnic. Oddělíme tedy „zrno
od plevcsquotedblright a vypíšeme z naší soustavy jen to podstatné (koeficienty u neznámých a hodnoty pravých stran)
do tabulky čísel, které budeme říkat matice:
parenleftbigg 2 −5 16
−1 2 −7
parenrightbigg
Pokud chceme prohodit rovnice, v novém značení to znamená prohodit řádky matice. Vynásobení rovnice
nenulovou konstantou odpovídá vynásobení řádku matice touto konstantou. Konečně přičtení násobku
jedné rovnice k druhé je totožné s přičtením násobku jednoho řádku ke druhému. Postup řešení našeho
příkladu tedy můžeme zapsat takto:
parenleftbigg 2 −5 16
−1 2 −7
parenrightbigg
∼
parenleftbigg 2 −5 16
−2 4 −14
parenrightbigg
∼
parenleftbigg2 −5 16
0 −1 2
parenrightbigg
∼
parenleftbigg2 −5 16
0 1 −2
parenrightbigg
∼
parenleftbigg2 0 6
0 1 −2
parenrightbigg
∼
parenleftbigg1 0 3
0 1 −2
parenrightbigg
1
Lineární algebra Gaussova eliminační metoda
Další příkladPřed výkladem Gaussovy eliminační metody na obecné soustavě lineárních rovnic si ukážeme postup
ještě na jednom příkladu, který bude mít čtyři rovnice a pět neznámých. Příklad je zvolen záměrně tak,
aby vycházela malá celá čísla, takže se nám to bude dobře počítat bez použití výpočetní techniky. To je
obvyklé v tzv. modelových příkladech, se kterými se setkáte u písemné části zkoušky a při řešení úloh ze
skript. Jakmile se ale dostanete k úlohám z praxe, budete postaveni před soustavy třeba s tisíci rovnicemi
a se zhruba stejným počtem neznámých. Na malá celá čísla budete muset zapomenout. Bez výpočetní
techniky se to pak řešit nedá. Pamatujte tedy, že řešení modelových příkladů ze skript není konečným
cílem naší teorie, ale jen pomůckou k pochopení rozsáhlejších souvislostí.
Máme řešit následující soustavu lineárních rovnic
− 4x1 + 4x2 − x3 + x4 − 7x5 = −11
2x1 − 2x2 + x3 + 3x5 = 4
4x1 − 4x2 + 5x3 + x4 + 7x5 = − 3
− 6x1 + 6x2 − 4x3 + x4 − 12x5 = −13
Koeficienty této soustavy přepíšeme do matice a matici budeme upravovat pomocí tzv. kroků Gaussovy
eliminační metody, mezi které patří prohození řádků mezi sebou, vynásobení řádku nenulovou konstantou
nebo přičtení libovolného násobku nějakého řádku k jinému.
−4 4 −1 1 −7 −11
2 −2 1 0 3 4
4 −4 5 1 7 −3
−6 6 −4 1 −12 −13
∼
Nejprve potřebujeme sčítáním násobků řádků dostat nulu pod
první prvek v prvním sloupci. Aby se nám to lépe dělalo, pro-
hodíme první řádek s druhým.
∼
2 −2 1 0 3 4
−4 4 −1 1 −7 −11
4 −4 5 1 7 −3
−6 6 −4 1 −12 −13
∼
Pod dvojkou v prvním sloupci budeme postupně vytvářet nuly.
Vezmeme dvojnásobek prvního řádku a přičteme jej ke dru-
hému.
∼
2 −2 1 0 3 4
0 0 1 1 −1 −3
4 −4 5 1 7 −3
−6 6 −4 1 −12 −13
∼
Zatím nemáme v prvním sloupci pod dvojkou všude nuly. Bu-
deme si stále „pomáhatcsquotedblright násobky prvního řádku, který opí-
šeme. Minus dvojnásobek prvního řádku přičteme ke třetímu a
trojnásobek prvního řádku přičteme ke čtvrtému.
∼
2 −2 1 0 3 4
0 0 1 1 −1 −3
0 0 3 1 1 −11
0 0 −1 1 −3 −1
∼
Nyní bychom měli vytvářet nuly ve druhém sloupci. To se
v tomto případě stalo (výjimečně) samo, takže se zaměříme
na třetí sloupec. Tam pod první jedničkou v druhém řádku vy-
tvoříme nuly takto: minus trojnásobek druhého řádku přičteme
ke třetímu a dále druhý řádek přičteme ke čtvrtému. První a
druhý řádek opisujeme.
∼
2 −2 1 0 3 4
0 0 1 1 −1 −3
0 0 0 −2 4 −2
0 0 0 2 −4 2
∼
Znovu se přesuneme na další sloupec (tentokrát čtvrtý) a vy-
tvoříme nulu pod minus dvojkou ze třetího řádku. K tomu stačí
sečíst třetí řádek se čtvrtým a výsledek napsat na místo čtvr-
tého řádku.
∼
2 −2 1 0 3 4
0 0 1 1 −1 −3
0 0 0 −2 4 −2
0 0 0 0 0 0
∼
Třetí řádek ještě (spíše pro parádu) vynásobíme číslem −1/2.
Čtvrtý řádek nemusíme psát, protože tento řádek odpovídá rov-
nici 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 0, která je zřejmě splněna
pro libovolná x1,x2,x3,x4,x5.
∼
2 −2 1 0 3 4
0 0 1 1 −1 −3
0 0 0 1 −2 1
Dostáváme matici, která má ve své „dolním levém kou
Vloženo: 26.04.2009
Velikost: 800,32 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Reference vyučujících předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Podobné materiály
- X01ALG - Úvod do algebry - Skripta Sbírka příkladů
- X02FY1 - Fyzika 1 - Skripta Fyzika 1
- X12TDO - Technická dokumentace - Skripta Úvod do elektrotechniky
- Y36PJV - Programování v jazyku Java - Skripta online JAVA
- X01ALG - Úvod do algebry - skripta
- Y36SAP - Struktura a architektura počítačů - AWR - úvod
- A0B01LAA - Lineární algebra a aplikace - Pisemka z linearni algebry 23.1.2012 CVUT FEL
- X01ALG - Úvod do algebry - Skkripta Lineární algebra Olšák
- X01ALG - Úvod do algebry - olsak_vycuc skript
Copyright 2024 unium.cz