- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálStudijn text pro obor G+K
Katedra matematiky
Fakulta stavebn
¨eskØ vysokØ uŁen technickØ
VOD DO LINE`RN˝
ALGEBRY
Doc. RNDr. Milada KoŁandrlovÆ, CSc.
Lektorovali: RNDr. Milan KoŁandrle, CSc., Doc. RNDr. Jaroslav ¨ern , CSc.
Sazba v programu AMSTEX: Doc. RNDr. Milada KoŁandrlovÆ, CSc.
ObrÆzky: V t ¨ern
Typogra ckÆ œprava: Mgr. Milan Boł k, Ph.D.
2003
AnalytickÆ geometrie v prostoru.
Vektorov prostor
Euklidovsk prostor
S pojmy bod, pł mka, rovina a prostor jsme se uŁili pracovat ji na zÆkladn „kole.
Prostor, resp. rovinu, resp. pł mku, jako mno inu bodø, budeme naz vat Euklidov-
sk prostor a znaŁit E3, resp. EuklidovskÆ rovina a znaŁit E2, resp. EuklidovskÆ
pł mka a znaŁit E1. Krom toho budeme pł mky, resp. roviny tØ oznaŁovat obvykl m
zpøsobem: p;q;a;b;:::, resp. fi;fl;%;:::. V t chto mno inÆch budeme m łit tak, jak
jsme se to nauŁili ve fyzikÆln m prostoru (prostoru, ve kterØm ijeme).
OrientovanÆ œseŁka
Ka dØ dva body A, B urŁuj œseŁku AB. UspołÆdÆme-li dvojici bodø A;B, tj. łekneme-
li napł., e A je poŁÆteŁn bod a B je koncov bod tØto œseŁky, naz vÆme takovou
œseŁku orientovanou œseŁkou. DØlka orientovanØ œseŁky AB je vzdÆlenost bodø A,
B. Jestli e poŁÆteŁn a koncov bod œseŁky splynou, naz vÆme œseŁku nulovou ori-
entovanou œseŁkou.
Vektor
Nenulov m vektorem naz vÆme mno inu v„ech stejn velk ch a stejn orientovan ch
œseŁek.
Pokud nen złejmØ, kdy jsou dv orien-
tovanØ œseŁky stejn orientovanØ, mø eme
vektor zavØst i jinak. Stłed œseŁky XY je
bod S pro n j plat jXSj = jYSj = 12jXYj.
Nyn mø eme ł ci, e orientovanØ œseŁky
AB a CD urŁuj stejn vektor, jestli e
œseŁky AD a BC maj spoleŁn stłed,
tj. jestli e Łtyłœheln k ABDC je rovnob -
n k.
A
B
C
S
D
Nulov m vektorem naz vÆme mno inu v„ech nulov ch orientovan ch œseŁek, zna-
Ł me o.
Ka dÆ orientovanÆ œseŁka AB, kterÆ urŁuje vektor u, se naz vÆ um st n vektoru u,
p „eme u = B ¡A, nebo tØ B = A + u.
Vektory um me sŁ tat a nÆsobit reÆln m Ł slem:
1. SouŁet vektorø u = B ¡A a v = C ¡B je vektor u + v = C ¡A.
2
2. Pro sŁ tÆn vektorø plat
u + v = v + u; (1)
(u + v) + w = u + (v + w); (2)
u + o = u: (3)
u+v
A B
C
v
u
u
v
v
w
u
u+v
(u+v)+w
3. Je-li vektor u = B¡A, naz vÆme vektor A¡B opaŁn m vektorem k vektoru
u, znaŁ me ¡u. M sto v + (¡u) obvykle p „eme jen v ¡ u. Złejm
u + (¡u) = u ¡ u = o:
4. NÆsobek nenulovØho vektoru u = B ¡ A reÆln m Ł slem fi je vektor fiu =
C¡A, kde pro bod C plat : jACj = jfij¢jABj a pro fi > 0 je bod C na polopł mce
AB, pro fi < 0 je bod C na polopł mce opaŁnØ k polopł mce AB (pro fi = 0
dostÆvÆme vektor nulov ).
NÆsobek nulovØho vektoru reÆln m Ł slem je nulov vektor.
5. Pro nÆsoben vektorø reÆln mi Ł sly plat :
0 ¢ u = o; (4)
(¡1)u = ¡u; (5)
fi(flu) = (fifl)u; (6)
fi(u + v) = fiu + fiv; (7)
(fi + fl)u = fiu + flu: (8)
Zam łen EuklidovskØho prostoru
Mno inu V3 v„ech vektorø (urŁen ch body E3) naz vÆme zam łen EuklidovskØho
prostoru E3.
Podobn , je-li % rovina, resp. p pł mka, v E3, naz vÆme mno inu v„ech vektorø urŁen ch
body roviny %, resp. pł mky p, zam łen m tØto roviny, resp. pł mky. Ze zaveden ch
operac sŁ tÆn vektorø a nÆsoben vektoru Ł slem vypl vÆ, e je-li V0 zam łen n jakØ
pł mky, nebo roviny, plat :
u; v 2 V0 =) u + v 2 V0; (9)
u 2 V0; fi 2R =) fiu 2 V0: (10)
3
Pozd ji se seznÆm me je„t s jin mi mno inami, na kter ch jsou de novÆny operace sŁ -
tÆn dvou prvkø a nÆsoben prvkø tØto mno iny reÆln m Ł slem. Proto takovØ mno iny
nade nujeme obecn .
Vektorov prostor Jsou-li pro prvky neprÆzdnØ mno iny V de novÆny operace (9)
a (10), kterØ spl uj vlastnosti (1) a (8), naz vÆ se mno ina V vektorov prostor.
Tud mno ina V3 je vektorov prostor.
Vektorov podprostor Je-li V vektorov prostor, pak ka dÆ jeho podmno ina V’,
kterÆ mÆ vlastnosti (9), (10), se naz vÆ podprostor vektorovØho prostoru V.
Złejm podprostor vektorovØho prostoru je takØ vektorov prostor. Tedy zam łen li-
bovolnØ pł mky, nebo roviny, je podprostor vektorovØho prostoru V3.
Vid me, e jednoprvkovÆ podmno ina fog ka dØho vektorovØho prostoru V, obsahuj c
jenom nulov vektor, je takØ podprostor vektorovØho prostoru V. Naz vÆme ji triviÆln
vektorov prostor.
LineÆrn kombinace vektorø
Vektor
x = fiu + flv;
kde fi;fl 2R, naz vÆme lineÆrn kombinac vektorø u a v.
Vektor
x = fiu + fl v + w;
kde fi;fl; 2 R, naz vÆme lineÆrn kombinac vektorø u, v a w. Analogicky pro
4;5;6;7;::: vektorø.
A
x
x
v v
w
βv
u uαu
Vektor
x = a1u1 + a2u2 + ¢¢¢ + anun;
kde a1;:::;an 2R, se naz vÆ lineÆrn kombinace vektorø u1;u2;:::;un.
LineÆrn kombinace jednoho vektoru u je ka d nÆsobek tohoto vektoru.
LineÆrn zÆvislost vektorø
4
kÆme, e dva vektory u, v jsou lineÆrn zÆvislØ, jestli e jeden je nÆsobkem druhØho,
tj. jestli e existuj Ł sla fi;fl 2R takovÆ, e alespo jedno z nich je nenulovØ a plat
fiu + flv = o:
SkuteŁn , je-li fi 6= 0, pak u = ¡flfiv, jestli e fl 6= 0 je v = ¡fiflu.
kÆme, e dva vektory u, v jsou lineÆrn nezÆvislØ, jestli e Ædn z nich nen nÆ-
sobkem druhØho, tj. jestli e z rovnice
fiu + flv = o
vypl vÆ, e fi = fl = 0.
Je-li jeden z vektorø nulov , napł. v = o, potom je nÆsobkem vektoru u, (v = 0 ¢ u)
a vektory u, v jsou lineÆrn zÆvislØ.
Pojmy lineÆrn zÆvislost a lineÆrn nezÆvislost, kterØ jsme prÆv de novali, mø eme
de novat i pro v ce ne dva vektory (podobn jako jsme to ud lali u lineÆrn kombinace
vektorø).
kÆme, e vektory u1;:::;uk jsou lineÆrn zÆvislØ, jestli e existuj Ł sla a1, :::,
ak 2R, z nich aspo jedno je nenulovØ, tak, e
a1u1 + ¢¢¢ + akuk = o: (11)
Podobn , jako tomu bylo u dvou vektorø, mø eme ł ci, e vektory u1;:::;uk jsou line-
Ærn zÆvislØ prÆv tehdy, mø eme-li aspo jeden z nich vyjÆdłit jako lineÆrn kombinaci
ostatn ch vektorø.
kÆme, e vektory u1;:::;uk jsou lineÆrn nezÆvislØ, nejsou-li lineÆrn zÆvislØ, tj.
plat -li rovnost (11) jen tehdy, je-li a1 = a2 = ¢¢¢ = ak = 0.
ParametrickØ vyjÆdłen pł mky
MÆme-li dÆnu pł mku p se sm rov m vektorem u 2 V3, pak zam łen pł mky p je
mno ina (podprostor) V1 = fxu;x 2 Rg. Tuto mno inu budeme zkrÆcen zapisovat
V1 = hui. Je V1 ‰ V3.
Zvol me-li libovoln bod A 2 p, potom mno ina v„ech bodø X 2 E3, pro kterØ existuje
x 2R tak, e X ¡A = xu, je pł mka p. Rovnice
X = A + xu; x 2R;
se naz vÆ parametrickÆ rovnice pł mky nebo parametrickØ vyjÆdłen pł mky
p urŁenØ bodem A a vektorem u.
Dv rovnice
X = A + xu; Y = B + yv; x;y 2R;
kde oznaŁ me V1 = hui, V01 = hvi,
5
1. urŁuj stejnou pł mku, jestli e V1 = V01 a B ¡A 2 V1,
2. urŁuj rovnob nØ pł mky (røznØ), jestli e V1 = V01 a B ¡A =2 V1,
3. urŁuj røznob nØ pł mky, jestli e V1 6= V01 a vektory u, v a B ¡A jsou lineÆrn
zÆvislØ,
4. urŁuj mimob nØ pł mky, jestli e vektory u, v, B ¡A jsou lineÆrn nezÆvislØ.
u
uA v
v
B
AB
u
v
A
B
ParametrickØ vyjÆdłen roviny
Jsou-li vektory u1;u2 ze zam łen roviny % lineÆrn nezÆvislØ, potom mno ina v„ech
jejich lineÆrn ch kombinac x1u1 + x2u2, x1;x2 2R, je zam łen V2 = hu1;u2i roviny
%. Je V2 ‰ V3. Zvol me-li libovoln bod A 2 %, potom mno ina v„ech bodø X 2 E3
takov ch, e X ¡A = x1u1 + x2u2 je rovina %. Rovnice
X = A + x1u1 + x2u2 ; x1;x2 2R
je parametrickÆ rovnice roviny % urŁenØ bodem A a vektory u1, u2.
A u
v x
X ρ
Dv rovnice
X = A + x1u1 + x2u2 ; Y = B + y1v1 + y2v2 ; x1;x2;y1;y2 2R;
kde oznaŁ me V2 = hu1;u2i, V02 = hv1;v2i,
1. urŁuj stejnou rovinu, jestli e V2 = V02 a B ¡A 2 V2,
2. urŁuj rovnob nØ (røznØ) roviny, jestli e V2 = V02 a B ¡A =2 V2,
3. urŁuj røznob nØ roviny, jestli e V2 6= V02.
6
Β
Α
v1
v1
u1 u1
v2
v2
u2 u2
Pro rovinu a pł mku danØ rovnicemi
X = A + x1u1 + x2u2 ; Y = B + yv; x1;x2;y 2R;
kde oznaŁ me V2 = hu1;u2i, V01 = hvi, plat
1. pł mka le v rovin , jestli e V01 ‰ V2 a B ¡A 2 V2,
2. pł mka je rovnob nÆ s rovinou, jestli e V01 ‰ V2 a B ¡A =2 V2,
3. pł mka je røznob nÆ s rovinou, jestli e V01 * V2.
Au1
v B u
2 A
B B
u1
v
v
v
u2 A u
1
u2
Prostor, bÆze a lineÆrn soustava souładnic
O tom, e jsou vektory u1;u2;u3 2 V3 lineÆrn nezÆvislØ, se mø eme płesv dŁit tak,
e mno ina v„ech jejich lineÆrn ch kombinac x1u1 + x2u2 + x3u3, x1;x2;x3 2 R, je
zam łen V3 EuklidovskØho prostoru E3. Zvol me-li libovoln bod A 2 E3, potom pro
ka d bod X 2 E3 existuj reÆlnÆ Ł sla x1;x2;x3 takovÆ, e
X ¡A = x1u1 + x2u2 + x3u3 ; tj. X = A + x1u1 + x2u2 + x3u3 : (⁄)
LineÆrn nezÆvislØ vektory u, resp. u1;u2, resp. u1;u2;u3 naz vÆme bÆz prostoru V1,
resp. V2, resp. V3. ¨ sla x, resp. x1;x2, resp. x1;x2;x3 naz vÆme souładnice vektoru
X ¡A vzhledem k tØto bÆzi. P „eme
X ¡A = (x1;x2;x3)
jako łÆdkov vektor, nebo
X ¡A =
0
@
x1
x2
x3
1
A
7
sloupcov vektor.
¨tvełice A;u1;u2;u3 urŁuje lineÆrn soustavu souładnic EuklidovskØho prostoru
E3. Souładnice bodu X v tØto soustav zapisujeme X = [x1;x2;x3].
Proto e pro ka dØ body X, Y 2 E3, X = [x1;x2;x3], Y = [y1;y2;y3] plat X ¡ A =
(X ¡Y ) + (Y ¡A), a tedy X ¡Y = (X ¡A) ¡ (Y ¡A), je podle (*)
X ¡Y = (x1 ¡y1; x2 ¡y2; x3 ¡y3):
Z vlastnost (1){ (8) pro vektory u = (u1;u2;u3), v = (v1;v2;v3) danØ souładnicemi
plat
u = v , u1 = v1 ; u2 = v2 ; u3 = v3 ;
u + v = (u1 + v1;u2 + v2;u3 + v3); (12)
fiu = (fiu1;fiu2;fiu3): (13)
Złejm operace (12) a (13) spl uj vlastnosti (1) a (8).
Aritmetick vektorov prostor Płiłazen m uspołÆdanØ trojice (x1;x2;x3) reÆln ch
Ł sel vektoru x 2 V3 ztoto ujeme mno inu v„ech uspołÆdan ch trojic reÆln ch Ł sel,
kterou znaŁ me R3, se zam łen m V3.
Mno inuR3 naz vÆme 3-rozm rn m aritmetick m vektorov m prostorem, ana-
logicky pro V2 ·R2 a V1 ·R.
I tento pojem mø eme zobecnit.
Mno inu Rn v„ech uspołÆdan ch n-tic x = (x1;x2;:::;xn) reÆln ch Ł sel s operacemi
sŁ tÆn a nÆsoben reÆln m Ł slem
x + y = (x1 + y1;:::;xn + yn); fix = (fix1;:::;fixn)
naz vÆme n-rozm rn m aritmetick m vektorov m prostorem.
Płesn formulovÆno bychom m sto ztoto ovÆn dvou mno in, napł. E3 aR3, m li mluvit
o vzÆjemn jednoznaŁnØm zobrazen jednØ mno iny na druhou. Vektory u1, u2, u3 jsme
mohli volit mnoha zpøsoby, tak e t chto ztoto n n bychom dostali mnoho.
TakØ pojmy bÆze a rozm r (dimenze) vektorovØho prostoru mø eme upłesnit.
BÆze vektorovØho prostoru
UspołÆdanÆ n-tice vektorø u1;:::;un z vektorovØho prostoru V se naz vÆ bÆze pro-
storu V, jestli e
- vektory u1;:::;un jsou lineÆrn nezÆvislØ a
- ka d vektor x 2 V je mo nØ napsat jako jejich lineÆrn kombinaci.
Ozłejm me si na obrÆzku, e jsme tyto pojmy pou ili v souladu s prÆv vyslovenou
de nic .
8
A
C D
Bu1
u1u2
u3
u2 x
x
x*
ρ ρ
Na prvn m obrÆzku je zobrazena bÆze zam łen roviny %. Na druhØm obrÆzku bÆze ve
V3. K bÆzi roviny % płidÆme vektor u3, kter v n nele . Libovoln vektor x mø eme
złejm psÆt ve tvaru x = x⁄ + x3u3, kde x⁄ 2 V2, a tedy x = x1u1 + x2u2 + x3u3
a u1;u2;u3 je bÆze prostoru V3.
KanonickÆ bÆze
Vzhledem k tomu, e v Rn jsme de novali sŁ tÆn a nÆsoben vektorø reÆln m Ł s-
lem, mø eme ka d vektor x 2 Rn napsat jako lineÆrn kombinaci vektorø e1;:::;en
takov ch, e i-t vektor mÆ na i-tØm m st jedniŁku a na ostatn ch m stech nulu, tj.
x = x1(1;0;:::;0) + x2(0;1;:::;0) + ¢¢¢ + xn(0;0;:::;1):
Skupina t chto vektorø se naz vÆ kanonickÆ bÆze Rn.
Dimenze vektorovØho prostoru
Je mo nØ ov łit (v prostoru V3 je złejmØ), e dv bÆze tØho vektorovØho prostoru
V maj stejn poŁet prvkø, tento poŁet se naz vÆ dimenze (rozm r) vektorovØho
prostoru.
Dimenze prostoru Rn je n.
Velikost vektoru, œhel a ortogonalita vektorø
Velikost vektoru u = B¡A 2 V3 naz vÆme Ł slo jABj, dØlku œseŁky AB, a znaŁ me ji
juj.
Jsou-li u = B ¡ A a v = C ¡ A dva nenulovØ vektory z V3, naz vÆme velikost œhlu
^BAC œhlem vektorø u, v.
SpeciÆln , je-li œhel vektorø u, v prav , ł kÆme, e oba vektory jsou navzÆjem kolmØ
vektory, nebo tØ ortogonÆln vektory. Vektory u, v, w jsou ortogonÆln , jsou-li
ka dØ dva z nich navzÆjem kolmØ.
kÆme, e vektor u je jednotkov vektor, jestli e juj = 1.
Vektory u1;:::;uk jsou ortonormÆln vektory, jsou-li ortogonÆln a ka d z nich
je jednotkov . BÆze vektorovØho prostoru tvołenÆ ortonormÆln mi vektory se naz vÆ
ortonormÆln bÆze.
9
KartØzskÆ soustava souładnic
Na stłedn „kole se kartØzskÆ soustava souładnic v rovin , resp. v prostoru, zavÆd jako
dvojice, resp. trojice, Ł seln ch os x;y;z, pro n plat
1. ka dØ dv z nich jsou kolmØ,
2. v„echny prochÆzej jedn m bodem O, kter na v„ech osÆch odpov dÆ Ł slu 0,
3. pro ka dou z os plat , e vzdÆlenost bodu O od bodu, kter na n odpov dÆ Ł slu
1, je rovna jednØ.
Pro płipomenut jsou na obrÆzku vyznaŁeny souładnice bodø i v poŁet jejich vzdÆle-
nosti.
y
A A
OO
B B
x
x
y
z
b1 b
1
a1
a1
a2
b2a2
A1
B1
b2
IABI
Ib1 - a1I
Ib2 - a2I Ib3 - a3I
jABj = p(b1 ¡a1)2 + (b2 ¡a2)2 jABj = pjA1B1j2 + (b3 ¡a3)2 =
= p(b1 ¡a1)2 + (b2 ¡a2)2 + (b3 ¡a3)2
Złejm oznaŁ me-li E1 = [1;0;0], E2 = [0;1;0],
E3 = [0;0;1] body na osÆch souładnic a e1 = E1¡O,
e2 = E2 ¡ O, e3 = E3 ¡ O, budou vektory e1,
e2, e3 tvołit ortonormÆln bÆzi. Bod O a trojice
vektorø e1;e2;e3 tvoł lineÆrn soustavu souładnic,
kterÆ złejm spl vÆ s kartØzskou soustavou souład-
nic danou osami x;y;z.
Jak jsme ji uvedli, plat : Jestli e A = [a1;a2;a3], B = [b1;b2;b3], u = B ¡A, potom
u = (b1 ¡a1;b2 ¡a2;b3 ¡a3).
PoznÆmka. NadÆle budeme płedpoklÆdat, e v E3 v„echny v poŁty provÆd me v pevn
zvolenØ kartØzskØ soustav souładnic, kterÆ je urŁena poŁÆtkem O a ortonormÆln bÆz
e1;e2;e3 prostoru V3.
10
Ze vzorce pro vzdÆlenost dvou bodø vypl vÆ: Je-li u = (u1;u2;u3), potom
juj =
q
u21 + u22 + u23 :
SkalÆrn m souŁinem vektorø u = (u1;u2;u3), v = (v1;v2;v3) naz vÆme Ł slo
u ¢ v = u1v1 + u2v2 + u3v3 : (14)
Pł mo z de nice skalÆrn ho souŁinu vypl vaj nÆsleduj c vlastnosti
u ¢ v = v ¢ u;
(cu) ¢ v = u ¢ (cv) = c(u ¢ v);
(u + v) ¢ w = u ¢ w + v ¢ w; (15)
u ¢ o = 0;
u ¢ u = juj2 :
Podobn jako v R budeme psÆt
u ¢ u = u2 :
Z vlastnost (14) vypl vÆ, e pro u;v 2 V3 plat
(u + v)2 = u2 + 2u ¢ v + v2 ;
(u ¡ v)2 = u2 ¡ 2u ¢ v + v2 :
Odtud
u ¢ v = 12(ju + vj2 ¡juj2 ¡jvj2); (16)
u ¢ v = 12(juj2 + jvj2 ¡ju ¡ vj2): (17)
Z vlastnost (16), (17) vypl vÆ, e skalÆrn souŁin nezÆvis na volb kartØzskØ soustavy
souładnic.
Nech» vektory u, v jsou z prostoru V3. Zvol me ortonormÆln vektory e1, e2 jako na
obrÆzku a dopln me je na ortonormÆln bÆzi prostoru V3. Potom bude platit
u = (juj;0;0),
v = (jvjcos’;jvjsin’;0),
kde ’ je œhel vektorø u, v.
Podle (14) je
11
u ¢ v = juj¢jvjcos’: (18)
Złejm jsou-li vektory u a v ortogonÆln , je jejich skalÆrn souŁin roven nule.
Schmidtova ortogonalizaŁn metoda
Ke ka dØ bÆzi u1, u2, u3 mø eme sestrojit ortogonÆln bÆzi e1, e2, e3 tak, e
he1i = hu1i;
he1;e2i = hu1;u2i;
he1;e2;e3i = hu1;u2;u3i;
(**)
(kde ji dł ve jsme oznaŁili hu1;u2;u3i mno inu v„ech lineÆrn ch kombinac uveden ch
vektorø.)
Za prvn vektor ortogonÆln bÆze zvol me napł. vektor u1, tj.
e1 = u1: (19)
Druh vektor ortogonÆln bÆze bude lineÆrn kombinac vektorø e1 a u2.
e2 = u2 + fie1 : (20)
Vektor e2 mÆ b t kolm na vektor e1, proto po vynÆsoben rovnice (20) t mto vektorem
dostÆvÆme rovnici pro fi
0 = u2 ¢ e1 + fie1 ¢ e1 =) fi = ¡u2 ¢ e1e
1 ¢ e1
:
Potom
e2 = u2 ¡ u2 ¢ e1e
1 ¢ e1
e1: (21)
Tłet vektor e3 ortogonÆln bÆze bude lineÆrn kombinac vektorø u3, e1, e2
e3 = u3 + fle1 + e2 : (22)
Vektor e3 mÆ b t kolm na vektory e1 a e2, proto po vynÆsoben rovnice (22) t mito
vektory dostÆvÆme rovnice pro fl a
0 = u3 ¢ e1 + fle1 ¢ e1 + e1 ¢ e2 =) fl = ¡u3 ¢ e1e
1 ¢ e1
;
0 = u3 ¢ e2 + fle2 ¢ e1 + e2 ¢ e2 =) = ¡u3 ¢ e2e
2 ¢ e2
:
Potom
e3 = u3 ¡ u3 ¢ e1e
1 ¢ e1
e1 ¡ u3 ¢ e2e
2 ¢ e2
e2: (23)
12
Vektory (19), (21), (23) urŁuj ortogonÆln bÆzi, kterou jsme sestrojili k bÆzi u1, u2,
u3 tak, e plat podm nky (**). VynÆsob me-li tyto vektory płevrÆcen mi hodnotami
jejich velikost , dostaneme bÆzi ortonormÆln .
ObecnÆ rovnice pł mky v rovin
Je-li pł mka urŁena bodem A = [a1;a2] a nenulov m vektorem n = (a;b), kter je na
n kolm , potom pro jej ka d bod X = [x;y] plat
(X ¡A) ¢ n = 0; tj. a(x¡a1) + b(y ¡a2) = 0:
OznaŁ me-li c = ¡aa1 ¡ba2, je
ax + by + c = 0
obecnou rovnic pł mky v rovin . Vektor n naz vÆme normÆlov m vektorem pł mky.
ObecnÆ rovnice roviny
Je-li rovina urŁena bodem A = [a1;a2;a3] a nenulov m vektorem n = (a;b;c), kter je
na n kolm , potom pro ka d bod X = [x;y;z] tØto roviny plat
(X ¡A) ¢ n = 0; tj. a(x¡a1) + b(y ¡a2) + c(z ¡a3) = 0:
OznaŁ me-li d = ¡aa1 ¡ba2 ¡ca3, je
ax + by + cz + d = 0
obecnou rovnic roviny. Vektor n naz vÆme normÆlov m vektorem roviny.
Sm rovØ kosiny vektoru
VynÆsob me-li vektor u = u1e1 + u2e2 + u3e3 postupn vektory ortonormÆln bÆze e1,
e2, e3, napł. pro prvn souŁin
u ¢ e1 = u1e1 ¢ e1 + u2e2 ¢ e1 + u3e3 ¢ e1 ;
jujcos’1 = u1 ¢ 1 + u2 ¢ 0 + u3 ¢ 0;
(vyu ili jsme tvrzen (18)) dostaneme pro souładnice jednotkovØho vektoru
u1
juj = cos’1 ;
u2
juj = cos’2 ;
u3
juj = cos’3 ;
kde ’1, ’2, ’3 jsou œhly mezi vektorem u a vektory e1, e2, e3.
Kolm prøm t vektoru do jednotkovØho vektoru
Velikost kolmØho prøm tu vektoru u do jed-
notkovØho vektoru n je rovna Ł slu
u = jn ¢ uj:
13
VzdÆlenost bodu od roviny
VzdÆlenost bodu M = [m1;m2;m3] od roviny, danØ obecnou rovnic ax+by+cz+d = 0,
je rovna velikosti kolmØho prøm tu vektoru M ¡A do jednotkovØho normÆlovØho vek-
toru tØto roviny. Bod A je libovoln bod roviny, napł. A = [0;0;¡dc];c 6= 0 a jednotkov
normÆlov vektor je n0 = 1pa2+b2+c2 (a;b;c). Potom
v = jn0 ¢ (M ¡A)j = jam1 + bm2 + cm3 + djpa2 + b2 + c2 :
LineÆrn zÆvislost vektorø a łe„en
rovnic
Jak zjist me, zda vektory danØ souładnicemi jsou lineÆrn zÆvislØ, nebo nezÆvislØ si ukÆ-
eme na pł klad . Nejdł ve si mus me uv domit, e mÆme-li ve vektorovØm prostoru V
dÆny vektory u1;:::;uk, tvoł v„echny jejich lineÆrn kombinace podprostor V0 prostoru
V. kÆme, e podprostor V0 je generovÆn vektory u1;:::;uk.
Ekvivalentn œpravy vektorø
Vektorov prostor V0 se nezm n , jestli e
1. vynÆsob me libovoln z vektorø u1;:::;uk nenulov m Ł slem,
2. płiŁteme k libovolnØmu vektoru z vektorø u1;:::;uk lineÆrn kombinaci ostatn ch
vektorø,
3. vynechÆme vektor, kter je lineÆrn kombinac ostatn ch vektorø.
pravy 1,2,3 vektorø se naz vaj ekvivalentn œpravy skupiny vektorø u1, :::, uk.
Pł klad 1. Zjist me, zda vektory u1 =
0
@
3
3
3
1
A, u2 =
0
@
3
5
9
1
A, u3 =
0
@
5
9
17
1
A jsou lineÆrn
zÆvislØ nebo nezÆvislØ.
e„en . V lineÆrn kombinaci dan ch vektorø
fi
0
@
3
3
3
1
A+ fl
0
@
3
5
9
1
A+
0
@
5
9
17
1
A =
0
@
0
0
0
1
A (1)
v pł pad lineÆrn nezÆvislosti mus b t fi = fl = = 0 a v opaŁnØm pł pad aspo
jedno Ł slo z trojice fi, fl, je nenulovØ.
14
VektorovÆ rovnice (1) je ekvivalentn tłem rovnic m pro souładnice vektorø
3fi + 3fl + 5 = 0
3fi + 5fl + 9 = 0 (2)
3fi + 9fl + 17 = 0:
Ne najdeme łe„en soustavy (2) płipom me si dovolenØ œpravy rovnic.
Ekvivalentn œpravy lineÆrn ch rovnic
Budeme-li łe„it soustavu lineÆrn ch rovnic, mø eme, ani by se zm nila mno ina v„ech
jej ch łe„en , d lat nÆsleduj c œpravy:
† 1’. VynÆsob me libovolnou rovnici soustavy nenulov m Ł slem.
† 2’. PłiŁteme k libovolnØ rovnici soustavy lineÆrn kombinaci ostatn ch rovnic.
† 3’. VynechÆme rovnici soustavy, kterÆ je lineÆrn kombinac ostatn ch rovnic.
pravy 1’, 2’, 3’ se naz vaj ekvivalentn œpravy rovnic. Provedeme-li n kterou
z nich, dostaneme soustavu se stejnou mno inou łe„en . TakovØ soustavy rovnic na-
z vÆme ekvivalentn soustavy rovnic. Souvislost bodø 1, 2, 3 s body 1’, 2’, 3’ je
døsledkem toho, e ka dØ lineÆrn rovnici mø eme płiładit vektor z Rn (v pł klad 1
vektor z R3) tvołen jej mi koe cienty a mø eme s n zachÆzet jako s vektorem.
Pł klad 1 - pokraŁovÆn . Nyn tedy k soustav (2) sestav me ekvivalentn soustavu
rovnic: 1. rovnici op „eme, od 2. rovnice odeŁteme 1. rovnici a od 3. rovnice odeŁteme
1. rovnici
3fi + 3fl + 5 = 0
2fl + 4 = 0 (3)
6fl + 12 = 0:
Posledn dv rovnice v (3) jsou jedna nÆsobkem druhØ, proto jednu z nich mø eme
vynechat. e„en dvou zb vaj c ch rovnic je zÆvislØ na jednØ ze tł prom nn ch, napł.
3fi + 3fl + 5 = 0
fl + 2 = 0: (4)
Odtud je fi = 13 . Snadno se płesv dŁ me, ze ka dÆ trojice (13 ;¡2 ; ), 2 R, je
łe„en m soustavy (2). Proto e existuje nenulovÆ trojice koe cientø v rovnici (1), jsou
danØ vektory lineÆrn zÆvislØ.
Złejm ka d z dan ch vektorø mø eme vyjÆdłit jako lineÆrn kombinaci zb vaj c ch
dvou vektorø
u1 = 6u2 ¡ 3u3 ; u2 = 16u1 + 12u3 ; u3 = ¡13u1 + 2u2 :
15
DanØ vektory jsou z dvojrozm rnØho vektorovØho podprostoru prostoru R3.
Pł klad 2. Zjist me, zda vektory v1 =
0
@
3
3
5
1
A, v2 =
0
@
3
5
9
1
A, v3 =
0
@
5
9
17
1
A jsou lineÆrn
zÆvislØ nebo nezÆvislØ.
e„en . Pro lineÆrn kombinaci dan ch vektorø
fi
0
@
3
3
5
1
A+ fl
0
@
3
5
9
1
A+
0
@
5
9
17
1
A =
0
@
0
0
0
1
A
hledÆme trojici koe cientø fi;fl; . Ta mus b t łe„en m soustavy rovnic jako v pł -
klad 1. Tuto soustavu op t łe„ me pomoc ekvivalentn
Vloženo: 25.06.2009
Velikost: 397,30 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Reference vyučujících předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Podobné materiály
Copyright 2024 unium.cz