Zapletal řešená zkouška 06

Distribuční funkce klesající být nemůže. Zdůvodnit to lze např. takto (jiné zdůvodnění
viz řešení varianty A):
Kdyby F byla klesající, platilo by, že pro a < b je F(a) > F(b).
Platí F(a) = P(X < a) a F(b) = P(X < b). Je-li a < b, je X < b ”širší“ jev než X < a, takže
P(X < b) nemůže být menší než P(X < a).
2. a) Bylo naměřeno následujících 5 hodnot:
2,8;3,2;3,3;2,7;3,0.
Vypočtěte bodový odhad střední hodnoty a rozptylu a určete intervalový odhad pro µ na hladině
významnosti α = 0,1.
Řešení:
Bodový odhad střední hodnoty je X = 15 (2.8 + 3.2 + 3.3 + 2.7 + 3) = 3.
Bodový odhad rozptylu je S2 = 14 ((2.8−3)2+(3.2−3)2+(3.3−3)2+(2.7−3)2+(3−3)2) = 0.065.
Příslušný kvantil Studentova rozdělení je t0.95(4) = 2.132.
Intervalový odhad pro µ je
angbracketleftBig
3 − 2.132
√0.065
√5 ;3 + 2.132
√0.065
√5
angbracketrightBig
= 〈2.757;3.243〉.
b) Buďte X,Y libovolné náhodné veličiny. Platí následující rovnosti?
• E(X −Y ) = E(X) −E(Y ) • D(X −Y ) = D(X) −D(Y )
Řešení: První rovnost platí, druhá ne.
3. a) Lichoběžníkovou metodou vypočtěte integrál
integraldisplay 1
0
4
1 + x2 dx
při dělení intervalu na 3 a 4 dílky.
Extrapolační metodou upřesněte řešení.
Porovnejte výsledky s přesnou hodnotou integrálu.
Řešení:
L3 = 13
parenleftbigg
1
2
4
1+02 +
4
1+(13)2 +
4
1+(23)2 +
1
2
4
1+12
parenrightbigg .
= 3.123077
L4 = 14
parenleftBig1
2
4
1+02 +
4
1+0.252 +
4
1+0.52 +
4
1+0.752 +
1
2
4
1+12
parenrightBig .
= 3.131176
Zpřesnění pomocí extrapolace: Použijeme některý z ekvivalentních vzorců
I = Ln + m2n2−m2 (Ln −Lm) = n2Ln−m2Lmn2−m2 , kde m = 3 a n = 4 (nebo naopak). Dostaneme
I = L4 + 916−9 (L4 −L3) = 16L4−9L316−9 .= 3.141590.
Přesná hodnota integrálu jeintegraltext
2
1
4
1+x2 dx = [4arctgx]
1
0 = 4(arctg1 − arctg0) = pi
.= 3.141592.
Tedy chyba L3 je zhruba 2 · 10−2, chyba L4 zhruba 1 · 10−2 a chyba u extrapolace 2 · 10−6.
b) Načrtněte oblast, jejíž obsah jsme vypočítali v části a), když jsme počítali lichoběžníkovou metodou
s dělením na 3 dílky (nikoli oblast danou přesnou hodnotou integrálu).
Řešení: Plocha je složena ze tří lichoběžníků.
0
1
2
3
4
0.333 0.667 1
x
4. a) Je dána počáteční úloha
y′ = x3 −y, y(1) = 3.
Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x = 1,4 – řešte s krokem h = 0,2 modifikovanou
Eulerovou metodou
yi+1 = yi + k2, kde k1 = hf(xi,yi), k2 = hf(xi + h2,yi + k12 ).
Řešení:
f(x,y) = x3 −y
x0 = 1,y0 = 3
k1 = 0.2 ·f(1,3) = −0.4, k2 = 0.2 ·f(1 + 0.1,3 − 0.4/2) = −0.2938
y1 = 3 − 0.2938 = 2.7062, x1 = 1.2
k1 = 0.2 ·f(1.2,2.7062) = −0.19564, k2 = 0.2 ·f(1.2 + 0.1,2.7062 − 0.19564/2) = −0.082276
y2 = 2.7062 − 0.082276 = 2.62392
Přibližná hodnota řešení v bodě x = 1.4 je tedy 2.62392.
b) Vysvětlete rozdíl mezi interpolačním polynomem a splajnem.
Řešení: Interpolační polynom je jediný polynom, definovaný pro všechna x stejným předpisem,
zatímco splajn je funkce, která je definována různými předpisy na jednotlivých intervalech daných
dvojicemi sousedních uzlů.
Vzorové řešení semestrální písemky BMA3 z 4.1.2007 - varianta C
1. a) Je dána funkce
f(x) =



a
2 sinx−
a
3 cosx pro x ∈
angbracketleftbigpi
2,pi
angbracketrightbig
0 jinak.
Určete hodnotu konstanty a tak, aby tato funkce byla funkcí hustoty nějaké náhodné veličiny.
Najděte distribuční funkci této náhodné veličiny.
Řešení: Hodnotu konstanty a zjistíme podle podmínky
∞integraltext
−∞
f(x)dx = 1:
integraldisplay ∞
−∞
f(x)dx =
integraldisplay pi
pi
2
parenleftbigga
2 sinx−
a
3 cosx
parenrightbigg
dx = a2 [−cosx]pipi
2
−a3 [sinx]pipi
2
= −a2((−1)−0)−a3(0−1) = 56 a
5
6 a = 1 ⇒ a =
6
5 .
Distribuční funkci vypočteme jako F(x) =
xintegraltext
−∞
f(t)dt:
Pro x < pi2: F(x) = integraltextx−∞ 0dt = 0.
Pro x ∈ angbracketleftbigpi2,piangbracketrightbig: F(x) =
pi
2integraltext
−∞
0dt +
xintegraltext
pi
2
parenleftBig3
5 sint−
2
5 cost
parenrightBig
dt = 35 [−cost]xpi
2
− 25 [sint]xpi
2
=
= 35(−cosx) − 25(sinx− 1) = −25 sinx− 35 cosx + 25.
Pro x > pi: F(x) =
pi
2integraltext
−∞
0dt +
piintegraltext
pi
2
parenleftBig3
5 sint−
2
5 cost
parenrightBig
dt +
xintegraltext
pi
0dt = 1.
Celkem tedy
F(x) =



0 pro x ∈ (−∞, pi2)
−25 sinx− 35 cosx + 25 pro x ∈ angbracketleftbigpi2,piangbracketrightbig
1 pro x ∈ (pi,∞).
b) (Nesouvisí s částí a).) Může být distribuční funkce nějaké náhodné veličiny klesající? Svou odpověď
zdůvodněte.
Řešení: Distribuční funkce klesající být nemůže. Zdůvodnit to lze např. takto (jiné zdůvodnění
viz řešení varianty B):
Kdyby F byla klesající, platilo by, že pro a < b je F(a) > F(b).
Jenže F(b) = P(X < b) = P(X < a) + P(X ∈ 〈a,b)) = F(a) +
≥0bracehtipdownleft bracehtipuprightbracehtipupleft bracehtipdownright
P(X ∈ 〈a,b)) ≥ F(a).
2. a) Bylo naměřeno následujících 5 hodnot:
0,8;1,2;1,3;1,5;1,6.
Vypočtěte bodový odhad střední hodnoty a rozptylu a určete intervalový odhad pro µ na hladině
významnosti α = 0,05.
Řešení:
Bodový odhad střední hodnoty je X = 15 (0.8 + 1.2 + 1.3 + 1.5 + 1.6) = 1.28.
Bodový odhad rozptylu je S2 = 14 ((0.8 − 1.28)2 + (1.2 − 1.28)2 + (1.3 − 1.28)2 + (1.5 − 1.28)2 +
(1.6 − 1.28)2) = 0.097.
Příslušný kvantil Studentova rozdělení je t0.975(4) = 2.776.
Intervalový odhad pro µ je
angbracketleftBig
1.28 − 2.776
√0.097
√5 ;1.28 + 2.776
√0.097
√5
angbracketrightBig
= 〈0.893;1.667〉
b) Buďte X,Y libovolné náhodné veličiny. Platí následující rovnosti?
• E(X2) = (E(X))2 • E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
Řešení: První rovnost neplatí, druhá platí.
3. a) Lichoběžníkovou metodou vypočtěte integrál
integraldisplay 2
1
10
x + 3 dx
při dělení intervalu na 3 a 4 dílky.
Extrapolační metodou upřesněte řešení.
Porovnejte výsledky s přesnou hodnotou integrálu.
Řešení:
L3 = 13
parenleftbigg
1
2
10
1+3 +
10
4
3+3
+ 105
3+3
+ 12 102+3
parenrightbigg .
= 2.233516
L4 = 14
parenleftBig1
2
10
1+3 +
10
1.25+3 +
10
1.5+3 +
10
1.75+3 +
1
2
10
2+3
parenrightBig .
= 2.232607
Zpřesnění pomocí extrapolace: Použi