Zápisky z přednášek

oho jak y sign al zpracov avaj , to znamen a diskr etn syst em
zpracov av a diskr etn sign al. Obecn e diskr etn syst em, neboli syst em s diskr etn m casem, lze de novat jako dynam-
ick y syst em, kter y prov ad jednozna cnou transformaci vstupn ho diskr etn ho sign alu (posloupnosti) x(n) na v ystupn
diskr etn sign al (posloupnost) y(n).
y(n) = Tfx(n)g;n2h 1;1)
Pro line arn diskr etn syst em plat princip superpozice...
Pro diskr etn syst em stacion arn chov an transformace Tfg nez avis na casov em posunut ...
24
6.4 Sd elovac soustava a jej charakteristiky
Je to soubor za r zen umo z nuj c ch p renos informace z jednoho m sta na druh e. V klasick ych rozhlasov ych a televizn ch
(broadcast) soustav ach se p ren a s informace z jednoho m sta na v ce m st. V jin ych soustav ach se p ren a s informace
ob ema sm ery sou casn e, nap r klad v telefonn ch syst emech. D l c prvky sd elovac ch soustav mohou b yt uspo r ad any do
sd elovac ch s t .
Z akladn m prvkem syst emu je sd elovac veden (metalick e veden , jako kroucen y p ar, koaxi aln p ar, d ale pak sv etlovod,
nebo tak e prost red , kter ym se s r r adiov e vlny).
Nositelem zpr avy ve sd elovac soustav e je n ejak y sign al. Zpravidla tento sign al nen zp usobil y pro bezprost redn p renos
veden m, a tak mus b yt upravena jeho fyzik aln forma, v ykonov a urove n, kmito ctov a pozice, atd...
Sd elovac soustavu p ren a sej c casov e spojit y sign al tedy popisujeme n asleduj c mi charakteristikami:
Kamito ctov e charakteristiky
Cinitel neline arn ho zkreslen
Odstup sign al- sum (signal-to-noise ratio)
Sd elovac soustava p ren a sej c c slicov y sign al tedy m u ze b yt pops ana n asleduj c mi veli cinami:
P renosov a rychlost
chybovost
Blokov e sch ema sd elovac soustavy je na obr azku 1, nebo 18 a sch ema c slicov e sd elovac soustavy je na obr azku 19.
Obr azek 18: Blokov e sch ema sd elovac soustavy
Obr azek 19: Blokov e sch ema c slicov e sd elovac soustavy
Nic moc z apisky, no... Tuto p redn a sku doporu cuju nastudovat samostatn e...
Ani nev m, jestli se na t eto p redn a sce braly p resn e tyto v eci...
25
7 Sedm a p redn a ska
P r: Uneline arn soustavy byly nam e reny pro vstupn hodnoty xi odpov daj c v ystupn hodnoty yi podle tabulky:
xi 0 10 20
yi 0 1;5 5
Ur cete aproxima cn funkci pro p revodn charakteristiku ve tvaru
y(x) = a0 +a1x+a2x2
Re sen : Interpolace ! k rivka proch az uzav ren ymi body:
0 = a0 +a1 0 +a2 02
1;5 = a0 +a1 10 +a2 102
5 = a0 +a1 20 +a2 202
...
y(x) = 0;05x+ 0;01x2
D elen soustav podle soust rednosti prvk u
Se soust red en ymi parametry
{ Nulov e rozm ery prvk u
{ Teoretick a idealizace
{ Rozm ery zanedbateln e vzhledem k vlnov e d elce
S nesoust red en ymi parametry
D elen soustav podle z avislosti parametr u konstruk cn ch prvk u
Parametrick e
{ Alespon jeden prvek ma a alespon jeden parametr z avisl y na n ekter e fyzik aln veli cin e
Neparametrick e
D elen soustav podle pam eti
Statick e (bezpam etov e, nesetrva cn e)
{ V ystupn sign al je v ka zd em okam ziku z avisl y... na n e cem...
Dynamick e (pam et’ov e, setrva cn e
Prvky schopn e akumulovat
V ystupn sign al z avisl y na p redchoz ch hodnot ach vstupn ho sign alu
D elen soustav podle spojitosti
Spojit e
Diskr etn
Hybridn
26
D elen soustav podle casov e z avislosti
Casov e nem enn e
{ Struktura ani hodnoty parametr u prvk u se nem en
Casov e prom enn e
{ V sechny re aln e soustavy
{ Pokud jsou casov e zm eny dosti pomal e, tak soustavu pova zujeme za invariantn
7.1 LSI soustava
Je line arn , spojit a, kauz aln , invariantn ...
Linearita
Plat princip superpozice: ax1(t) +bx2(t))ay1(t) +by2(t)
a a b jsou re aln e konstanty...
Casov a invariance
x(t ))y(t )
je casov e zpo zd en
Stabilita
Vstupn sign al x(t) s kone cnou maxim aln hodnotou
jx(t)jmax A
vyvol av a v ystupn sign al y(t) s kone cnou maxim aln hodnotou
jy(t)jmax B
Kauzalita
V ystupn sign al y(t) v libovoln em case nen na hodnot ach vstupn ho sign alu z avisl y...
27
7.2 Ne z adouc p usoben neline arn ch soustav
Vstupn sign al - harmonick y sign al s amplitudou X1
Cinitel zkreslen :
k =
pP1
n=2Y 2n
Y1
Cinitel zkreslen n-tou harmonickou slo zkou:
kn = YnY
1
Yn a Y1 jsou amplitudy slo zek na v ystupu
Cinitel intermodula cn ho zkreslen :
kIM = YIMnY
1
YIMn jsou amplitudy intermodula cn ch slo zek v ystupu s uhlov ymi kmito cty
!n = ni!i +nj!j
P r: Na vstupu zesilova ce popsan eho vztahem
uvyst = 500uvst + 1000u2vst
je p rivedeno nap et
uvst(t) = 0;005cos!1t+ 0;005cos!2t
p ri cem z !1 6= !2.
Vypo ct ete cinitele intermodula cn ho zkreslen .
Re sen :
uvyst = 500uvst + 1000u2vst
uvst = 0;005cos!1t+ 0;003cos!2t
kIM = YIMY
1
= a2x xa
1x
= a2xa
1
= 10
3 5 103
5 102 = 0;01’1%
28
7.3 Popis soustav
Popis diferenci aln rovnic
Nejobecn ej s popis
Druh rovnice ur cuje druh soustavy
P oly a nuly
P renos H(p) libovoln eho LSI se spojit ym casem lze zapsat:
H(p) = k (p pz1)(p pz2):::(p pzn)(p p
p1)(p pp2):::(p ppm)
, kde k je re aln a konstanta, pzi jsou nulov e body, ppj jsou p oly
P oly a nulov e body mohou b yt re aln e a mohou tvo rit komplexn e sdru zen e p ary...
Pokud p oly nele z v prav e polorovin e, je syst em stabiln
Impulsov a charakteristika h(t)
Odezva na jednotkov y impulz p riveden y na vstup soustavy.
Casov a oblast:
y(t) = h(t) x(t)
y(t) = Rt0 h(t)x(t )dt
Oper atorov a oblast:
Y(p) = H(p) X(p)
P rechodov a charakteristika g(t)
Odezva na jednotkov y skok p riveden y na vstup soustavy.
In: x(t) = x(t) ... "LSI"... Out: y(t) = g(t)
Casov a oblast:
y(t) = Rt0 g(t )x0(t)d = Rt0 g0(t)x(t )d
Oper atorov a oblast:
Y(p) = pG(p)X(p)
29
8 Osm a p redn a ska
8.1 Kmito ctov e ltry
Obvody vymezuj c kmito ctov e p asmo, ve kter em se p ren a s nebo potla cuje u zite cn y sign al.
P r klad realizace jednoduch eho line arn ho syst emu
Obr azek 20: Toleran cn sch ema
Z akladn typy ide aln ch ltr u
Obr azek 21: Z akladn typy ide aln ch ltr u
Pou z van e aproximace
Besselova
Butterworthova
Ceby sevova
Inverzn Ceby sevova
Cauerova
30
8.2 Analogov e a c slicov e sign aly
Analogov y sign al
Sign al se spojit ym casem a spojitou mno zinou hodnot
T em e r v sechny sign aly z sk av ame ze sv eho okol pomoc cidel
C slicov y sign al
Sign al s diskr etn m casem a kone cnou mno zinou diskr etn ch hodnot
Sou casn a za r zen pro zpracov an sign al u, nebo jejich p renos vy zaduj c slicovou podobu sign alu
Lidsk e smysly nejsou schopny vn mat c slicov y sign al
Blokov e sch ema sd elovac soustavy je na obr azku 1, nebo 18, a nebo na obr azku 22 a sign aly v p rizp usoben em ltru
jsou na obr azku 23.
Obr azek 22: P renosov a soustava
Obr azek 23: Sign aly v p rizp usoben em ltru
31
A/D a D/A p revody
Jsou spojeny s men s ci v et s degradac sign alu
Zp usobuj ur citou ztr atu informace
...
Obr azek 24: Analogov e digit aln p revod
Ide aln vzorkov an
Obr azek 25: Ide aln vzorkov an
s1(t) = s(t)s (t) = s(t)
1X
x= 1
Z(uT) (t uT)
Sv(!) = Ffs(t)s (t)g= 12
Z 1
1
S (v)S(! v)dv = 12
Z 1
1
"
2
T
1X
k= 1
(v k!1)
#
S(! v)dv = 1T
1X
k= 1
S(! k!1)
32
Obr azek 26: Ide aln vzorkov an v kmito ctov e oblasti
!1 = 2 T T = !1
2
Mezn p r pad: !12 = !m
Sign al s(t) se spektrem omezen ym uhlov ym kmito ctem !m lze vyj ad rit posloupnot jeho vzork u, pokud vzorkovac
krok spl nuje podm nku:
T < !
m
Zaveden m vzorkovac frekvence
fvz = 1T
vz
lze pak podm nku vyj ad rit:
fvz = 2 fm
, jinak dojde k jevu aliasing, co z je p rekryt spekter a je zobrazen na obr. 27.
Obr azek 27: Aliasing v kmito ctov e oblasti
Aliasing se odstran t reba doln propust , jen z p rekryt "ignoruje"...
AAF (co z je prvek, kter y aliasing ltruje) se zapoj a z za zesilova c.
33
9 Dev at a p redn a ska
9.1 AD a DA p revody sign al u
AD p revod
! Vzorkov an ! Kvantov an ! K odov an !
9.2 Kvantov an
Princip kvantov an je na obr azku 28 a nebo 24.
Obr azek 28: Analogov e digit aln p revod
Chyby vznikl e kvantov an m jsou zobrazeny na obr azku 29.
Obr azek 29: Kvantov an zaokrouhlov an m
Po cet kvantovac ch hladin: N = 2b
, kde b je po cet bit u pro vyj ad ren hodnoty jednoho vzorku.
34
Efektivn hodnota kvantovac ho sumu
Ref = sp12
Cinitel zkreslen
k = RefS
ef
= sp6S
max
Z avislost pom eru sign al/ sum na po ctu bit u AD p revodu
Existuje:
Kvantov an line arn
Kvantov an neline arn (nerovnom ern e)
Kvantov an nerovnom ern e
D uvod: Relativn naru sen slab ych sign al u kvantovac m sumem je v et s , ne z u siln ych sign al u...
Slab y sign al se pak kvantuje s v et s citlivost , co z ale nen p r li s praktick e...
Sp se se sign al zes l a pot e navzorkuje norm aln e line arn m kvantov an m...
Pou zit :
Nap r klad u nahr av an zvukov eho sign alu...
35
9.3 K odov an
Z apis (p renos) hodnoty kvantovan eho sign alu v jednom okam ziku (vzorku) pomoc s erie nul a jedni cek (bin arn e).
Zp usob kvantov an jest op et nap r klad na obr azku 30, 28 a nebo 24.
Obr azek 30: A/D p revod
36
10 Des at a p redn a ska
P r.: Pom er sign al- sum SNR na v ystupu A/D p revodn k u s rozsahem 10V m a b yt p ri maxim aln m rozsahu vstupn ho
harmonick eho nap et lep s , ne z 60dB. Stanovte pot rebn y po cet bit u p revodn ku.
Re sen :
Pom er sign al- sum v dB
SNR = 20logsignalsum = 20logUefR
ef
Rozsah = Umax Umin = 20V
Uef = Rozsah2p2 Ref = sp12
60 20log
10p
2
sp
12
3 log10
p6
s 10
3 10p6
s s =
p6 10 2 s = Rozsah
2b
Po cet kvantovac ch hladin: N = 2b = Rozsah s
Podm nka: 2b 2 1010 2p6 = 2 103p6 := 816;5
Hodnotu b m u zeme stanovit zkusmo: 29 = 512 210 = 1024
Pot rebn y po cet bit u u p revodn ku je nejm en e 10.
10.1 Rekonstrukce sign alu ze vzork u
Sn mek viz 31.
Obr azek 31: Rekonstrukce v casov e oblasti
37
Rampov y sign al
r(n) = n (n), pro n 0
Periodick y sign al
Jestli ze existuje cel e kladn e c slo N takov e, ze:
8n2Z : s(n) = s(n+N)
, tak to znamen a velkou }... xD
Kmito ctov a osa
Mus platit:
! = Tvz = f
vz
P r.:
f = 1kHz, = 2 103, fvz = 8kSa=s
! = f
vz
= 2 10
3
8 103 =

4
Z akladn perioda
Mus platit:
N1 = k2 !
P r.:
! = 1;5
N1 = k 2 1;5 = 343 = 4
Posunut sign alu
Je line arn , nebo cyklick e...
1. Posloupnosti fs(n)g d elky N p ri rad me zperioditov an m posloupnosti s[modN(n)]
2. Posloupnosti s[modN(n)] line arn e posuneme o m, tak ze dostaneme posloupnost s[modN(n m)]
3. Ze zperiodizovan e posloupnosti vysekneme pravo uhl ym oknem posloupnost d elky N
Cyklicky posunut a posloupnost je tedy d ana:
fRN(n)s[modN(n m)]g
38
10.2 Druhy konvoluc
Konvoluce line arn
z(n) =
N 1X
m=0
s1(m)s2(n m)
Konvoluce kruhov a
z(n) = Rn(n)
N 1X
m=0
s1(m)s2[modN(n m)] = RN(n)
N 1X
m=0
s1(m)s2(n m)
Konvoluce periodick a
z(n) =
N 1X
m=0
s1(m)s2(n m)
*Bacha ! Jak je nad v yrazem takov a ta c arka (s), tak ve skute cnosti tam m a b yt vlnovka ( ), jako ze st r dav a...
P r.: Ur cete line arn konvoluci sign al u:
s1(0) = 2 s2(0) = 1
s1(1) = 4 s2(1) = 3
N = 2
Ostatn vzorky jsou nulov e...
Ur cete pr ub eh funkce...
Re sen :
z(0) = 2 1 + 4 0 = 2
z(1) = 2 3 + 4 1 = 10
z(2) = 2 0 + 4 3 = 12
z(3) = 2 0 + 4 0 = 0
P r.: Ur cete kruhovou konvoluci sign al u:
s1(0) = 2 s2(0) = 1
s1(1) = 4 s2(1) = 3
N = 2
Ostatn vzorky jsou nulov e...
Ur cete pr ub eh funkce...
39
11 Jeden act a p redn a ska
Neuskute cnila se...
40
12 Dvan act a p redn a ska
12.1 Syst emy s diskr etn m casem
Pro popis lze pou z t
Diferenci aln rovnice
Impulzn charakteristiku
Komplexn kmito ctovou charakteristiku
P renos
Rozlo zen nulov ych bod u a p ol u (ne upln y popis)
Element arn syst emy
Realizuj operace
Zpo zd en - y(n) = x(n 1)
N asoben konstantou - y(n) = ax(n)
Se c t an - z(n) = u(n) +v(n)
Diferen cn rovnice
y(n) = 12x(n) + 12x(n 1)
Impulzn charakteristika
Impulzn charakteristika h(n) je odezva diskr etn ho LTI syst emu na jednotkov y impulz (n).
h(n) = 12 (n) + 12 (n 1)
V ypo cet odezvy v casov e oblasti
y(n) =
1X
r= 1
h(r)x(n r)
Kmito ctov a charakteristika
Exponenci aln buzen
x(n) = x1exp(j!1n) ! y(n) = y1exp(j!1n)
Harmonick e buzen
Y1 = cos(!1n+ 1) = y1exp(j!1t) +y 1exp( j!1t)
Nach az me funkci:
H(ej!) =
1X
r= 1
h(r)e j!r
P renos
H(z) =
1X
r= 1
h(r)z r
Zrovnice y(n) = P1r= 1h(r)x(n r) lze odvodit:
Y(z) = H(z)X(z)
41
12.2 Spojov an spustav
Jednotliv e
y1(n) = h1(n) x1(n)
y2(n) = h2(n) x2(n)
Celkov e
x(n) = h(n) x(n)
h(n) = h1(n) +h2(n)
P r: Syst em je pops an p renosovou funkc
H(z) = 2 + 5z 1 + 3z 2
Nalezn ete amplitudu Y1 a po c ate cn f azi 1 odezvy syst emu na harmonick y sign al
x(n) = 4cos(0;6 n+ 0;1 )
Re sen :
1) Vy set r me, zda je syst em stabiln :
H(z) = 2z
2 + 5z1 + 3
z2
Z adn y p ol nele z vn e jednotkov e kru znice, syst em je tedy stabiln .
2.a) V ypo cet amplitudy:
Y1 = H(ej!) X1 = 2 + 5e j0;6 + 3e j1;2 4 = 14;33
2.b) V ypo cet f aze:
1 = arg H(ej!) +’1 = arg 2 + 5e j0;6 + 3e j1;2 + 0;1 = 0;686 + 0;1 = 0;586
P r: P renosov a funkce H(z) soustavy LTI m a tvar
H(z) = 1z(z 1)(2z 1)
Ur cete:
1. Diferen cn rovnici soustavy ve tvaru y(n) = :::.
2. Impulzn charakteristiku soustavy ve tvaru h(n) = :::, pro jej prvn t ri nenulov e hodnoty.
3 body
Re sen
H(z) = 12z3 3z2 +z = Y(z)X(z)
2z3Y(z) 3z2Y(z) +zY(z) = X(z)
Pou zit m vlastnost transformace Z:
2y(n+ 3) 3y(n+ 2) +y(n+ 1) = x(n)
Je pot reba vyj ad rit y(n), tak ze po casov em posunu (ode cten 3) obdr z me:
y(n) = 1;5y(n 1) 0;5y(n 2) + 0;5x(n 3)
Impulzn charakteristika: x(n) = (n)
h(n) = 1;5h(n 1) 0;5h(n 2) + 0;5 (n 3)
(n 3)6= 0, jen pro n = 3 ! h(n) = 0 pro n< 3
h(1) = 0, h(2) = 0, h(3) = 0;5
42
12.3 Sd elovac soustava
Blokov e sch ema sd elovac soustavy je na obr azku 32.
Obr azek 32: Blokov e sch ema sd elovac soustavy - tzv. Dvoubodov a
Analogov e a c slicov e soustavy
Sd elovac soustavu p ren a sej c casov e spojit y sign al popisujeme n asleduj c mi charakteristikami:
Kmito ctov a charakteristika
Cinitel neline arn ho zkreslen
Odstupem sign al- sum
Technick e prost redky pro p renos sign alu
Co je pot reba:
Mal y utlum
Velk a s re p asma
Odolnost proti ru sen
Odolnost v u ci pov etrnostn m podm nk am
apod.
43
P renos v z akladn m p asmu
P r klad binarn ho sign alu jest na obrazku 33 a p r klad tzv. cty rstavov eho sign alu viz 34.
Obr azek 33: Bin arn sign al
Obr azek 34: Cty rstavov y sign al
Cty rstavov y sign al je v yhodn y kv uli sv e rychlosti...
Modulace
Moduluje se proto, aby se dal vyu z t prostor jako sd elovac prost redek (p renos vzduchem...).
Nosn y sign al je harmonick y
Nosn y sign al je periodick ym sledem obd eln kov ych impulz u
Nosn y sign al
sc(t) = Sccos(!ct+’c)
44
13 T rin act a p redn a ska
13.1 N ahodn e sign aly
Deterministick e sign aly
Periodick e, kvaziperiodick e, neperiodick e, jednor azov e
Jsou pops any matematicky
P ri dan em pevn em po c atku lze v libovoln em okam ziku ur cit p resnou okam zitou hodnotu sign alu
N ahodn e sign aly (stochastick e)
Maj m ru neur citosti, nahodilosti
Lze je charakterizovat ur cit ymi vlastnostmi, kter e plat trvale
Praktick y v yznam - ve sd elovac technice popisuj ne z adouc sign aly
{ Ztr ata u zite cn e informace p ri p renosu zpr avy
{ Ru sen (vn ej s ru sen , sum...)
P r klad - Re cov y sign al
Tento sign al jednak m en v case sv uj pr ub eh a d ale taky sv uj charakter...
Ur cit e hl asky (samohl asky) se jev tak e jako periodick e a jsou i docela matematicky popsateln e...
Spojit a n ahodn a veli cina
Popis funkc rozd elen hustoty pravd epodobnosti p(x)
Pravd epodobnost je d ana:
P(a b) =
Z b
a
p(x)dx
Typy rozd elen
Norm aln (Gaussovo) rozd elen
p(x) = 1 p2 exp

(x )
2
2 2

N ahodn y proces
De nice
Syst em ( t) n ahodn ych veli cin t de novan ych pro v sechna t2R.
45
Popis n ahodn eho procesu
Distribu cn funkce
F(x;t) = Pf (t)