Zápisky z přednášek

l s(t) je periodick y s periodou Tp
Z akladn perioda T1 je nejmen s mo zn a perioda, p ri cem z plat
Tp = nT1
, kde n je konstanta (cel e kladn e c slo)
2.2 Fourierova rada
Je pot reba rozebrat Fourierovu radu... Fourierova rada se pou z v a pro anal yzu periodick ych sign al u.
Periodick e sign aly s(t) se z akladn periodou T1 a z akladn m kmito ctem !1 p ri rad me vhodn e:
ss(t) =
1X
k= 1
ckexp(jk!1t)
, naz yv ame to Fourierovou radou...
Koe cienty spo c t ame:
ck = 1T
1
Z T1
2
T1
2
s(t)exp( jk!1t)dt = 1T
1
Z T1
0
s(t)exp( jk!1t)dt
Funkce s(t) aproximujeme, pokud je slo zena jen z harmonick ych, tak plat ss(t) = s(t), jindy v sak ss(t) s(t) ...
Uk azka Fourierovy rady je na obr azku 6.
Obr azek 6: Fourierova rada
Gibson uv jev
V okol bodu nespojitosti doch az k uzk emu vyv y sen . Velikost p rev y sen cin asi 9% z hodnoty velikosti nespojitosti.
6
Dirichletovy podm nky
Ka zd a periodick a funkce nelze vyj ad rit Fourierovou radou - Mus b yt spln eny Dirichletovy podm nky
Funkce s(t) mus b yt integrovateln a p res celou periodu.
Funkce s(t) mus na intervalu < 0;T > m t kone cn y po cet maxim a minim.
Trigonometrick y tvar Fourierovy rady
ss(t) =
1X
k= 1
ckexp(jk!1t)
ss(t) = c0 +
1X
k=1
[ckexp(jk!1t) +c kexp( jk!1t)]
Amplituda Ak jest: Ak = 2T1 RT10 s(t)cosk!1tdt
Amplituda Bk jest: Bk = 2T1 RT10 s(t)sink!1tdt
D ale budeme pracovat pouze s komplexn m tvarem Fourierovy rady...
Frekven cn spektrum periodick eho sign alu
Koe cienty ck komplexn F. rady jsou ur ceny s(t), nebo mno zinou koe cient ufckg, existuje samoz rejm e korespondence:
s(t)$fckg
Mno zina koe cient u fckg se naz yv a frekven cn spektrum sign alu.
Spektrum modul u a spektrum argument u periodick eho sledu obdeln kov eho pr ub ehu jest na obr azku 7, nebo 9...
Obr azek 7: Spektrum modul u a spektrum argument u
Obvykle se pro dan y sign al zobrazuje zvl a st’ amplitudov e frekven cn spektrum a f azov e frekven cn spektrum.
P r: Nakreslete spektrum modul u a spektrum argument u sign alu: s(t) = 6cos(20 t+ 0;2 ) ...
P r: Nakreslete spektrum modul u a spektrum argument u sign alu: s(t) = 6cos(20 t+ 0;2 ) + 3cos(60 t 0;2 ) ...
7
2.3 Zaveden funkce sinc(.)
sinc(x) = sin(x)x pro x6= 0
sinc(x) = 1 pro x = 0
Obr azek 8: Pr ub eh funkce sinc(.)
V ypo cet integr alu exp(jxy)
I(x) = Rb bexp( jxy)dy.
a) Pro x = 0 je I(0) = Rb bexp(0)dy = 2b
D l c v ysledky lze spole cn e zapsat vztahem:
I(x) =
Z b
b
exp( jxy)dy = 2bsinc(bx)
V ypo cet spektra periodick ych obd eln kov ych impulz u
Impulzy maj s rku # , v y sku D a opakuj se s periodou T1.
Koe cienty ck Fourierovy rady vypo c t ame pomoc vztahu:
ck = 1T
1
=
Z T1
2
T1
2
s(t)exp( jk!1t)dt = 1T
1
Z #
2
#
2
Dexp( jk!1t)dt = DT
1
Z #
2
#
2
exp( jk!1t)dt
ck = DT
1
2#2sinc(#2k!1)!ck = D #T
1
sinc(#2k!1)
Kvaziperiodick e sign aly
Je mo zn e je vyj ad rit jako periodick e:
1X
1
ckexp(j!1t)
, ale periodick e nejsou.
Je to sou cet mno zin harmonick ych sign al u, u nich z nelze naj t kmito cet !1 tak, aby pro v sechna k platilo:
!k = k!1
Alespo n dv e harmonick e slo zky maj iracion aln pom er kmito ct u.
8
Kvaziperiodick e sign aly maj carov e (diskr etn ) spektrum.
Periodick y sign al ) carov e spektrum
Carov e spektrum ) periodick y sign al - Nemus znamenat!!!
V ykon kvaziperiodick eho sign alu je roven sou ctu v ykon u jednotliv ych harmonick ych slo zek.
9
3 T ret p redn a ska
P r: Ur cete, zda sign al
s(t) = p2 + 3sin0;6 t 2cos1;2 t+sin2;1 t
je periodick y, nebo kvaziperiodick y. Pokud lze ur cit z akladn periodu T1, vypo c tejte ji c seln e.
Re sen : Jednotliv e harmonick e slo zky sign alu s(t) maj kmito cty 0;6 ; 1;2 a 2;1 Z adn y pom er dvojice kmito ct u
ned av a iracion aln c slo, sign al je tedy periodick y a lze ur rit jeho z akladn periodu.
Nejv et s m spole cn ym d elitelem hodnot kmito ct u je c slo 0;3 . Sign al s(t) m a z akladn kmito cet !1 = 0;3 a z akladn
periodu T1 = 2 !1 = 2 0;3 = 20;3
3.1 Pou cky o spektrech periodick ych sign al u
Zjistit, jak se zm en spektrum, kdy z se zm en casov y pr ub eh.
Tabulka 1: Sign al n asoben y libovolnou konstantou ’a’
Sign al Spektrum
s(t) ck
as(t) ack
) Modul se zm en , argument z ust av a
Tabulka 2: Sou cet dvou sign al u
Sign al Spektrum
sa(t) cak
sb(t) cbk
sa(t) +sb(t) cak +cbk
) Modul i argument se zm en
Tabulka 3: Sign al se zm en en ym casov ym m e r tkem
Sign al Spektrum
s(t) ck
s(mt) ck
) Modul se nezm en , argument se nezm en , ale zm en se mno zina kmito ct u T1 ! Tm!1 !m!1
10
Tabulka 4: Sign al posunut y v case o re alnou konstantu ’T’
Sign al Spektrum
s(t) ck
s(t ) ckexp( jk!1 )
) Modul se nezm en , argument se zm en podle argc k = argck k!1
po c ate cn f aze bude k!1
Zobecn en Fourierovy rady
Lze pou z t i jin e mno ziny sign alu
Obecn e:
Funkci f(t) (na intervalu < 0;T > a integrovatelnou s kvadr atem) nahradit line arn kombinac p redem zvolen ych
funkc ’i
f(t) =
NX
i=1
ci’i(t)
, kde N je po cet prvk u mno ziny f’g
c jsou koe cienty
ck = D #T
1
sinc(#2k!1) = D12sinc(
T1
2
2 k
2
T1 ) =
1
2Dsinc(k

2 )
Obr azek 9: Spektrum modul u a spektrum argument u
c k = cke jk!1 ... jckj=jc kj= argc k = argck k!1
!1 = 2 T1 = 2 20 = 0;1
jc kj=jckj=jD #T1sinc(#2k!1)j=j8sinc(k 2 )j
argc k = argck k!1 = argck k2 T1 ( T14 ) = argck +k 2
11
3.2 V ykon a energie sign alu
V elektrick ych syst emech jsou nej cast ej s mi sign aly nap et u(t) nebo proud i(t).
V ykon na rezistoru R:
p(t) = u
2(t)
R = Ri
2(t)
Pro R = 1 dost av ame normovan y v ykon
p(t) = u2(t) = i2(t) = s2(t)
a normovanou energii Z
t2
t1
s2(t)dt
V p r pad e s komplexn mi hodnotami vypo c t ame energii sign alu vy c slen m v yrazu
Z t2
t1
js(t)j2dt =
Z t2
t1
s(t)s (t)dt
St redn normovan y v ykon sign alu - vzta zen na jednu periodu
Pst = 1T
1
Z T1
0
js(t)j2dt
Vyj ad ren m periodick eho sign alu pomoc Fourierovy rady
ss(t) =
1X
k= 1
ckexp(jk!1t)
St redn v ykon jedn e frekven cn slo zky
Pk = 1T
1
Z T1
0
jckexp(jk!1t)j2dt = 1T
1
Z T1
0
jckj2dt = jckj
2
T1
Z T1
0
1dt =jckj2
Parseval uv theor em
pro periodick y sign al
rovnost v ykonu sign alu p ri ur cen v casov e oblasti a ve frekven cn oblasti
Pst = 1T
1
Z T1
0
js(t)j2dt =
1X
k= 1
jckj2 =jc0j2 +
1X
k=1
jckj2
12
4 Ctvrt a p redn a ska
4.1 Z akladn typy aperiodick ych sign al u
Jednotkov y skok (t) (Heavisideova funkce, l(t), u(t)! unit step function)
Casov y pr ub eh sign alu jednotkov eho skoku jest na obr azku 10.
Obr azek 10: Casov y pr ub eh jednotkov eho skoku
Pou zit jednotkov eho skoku
Vyj ad ren jednoduch ych nespojitost
Z apis kauz aln ch funkc , pro kter e plat f(t) = 0 ; t< 0
Jednotkov y impulz (t) (Diracova funkce)
Casov y pr ub eh Diracova impulzu jest na obr azku 11.
Obr azek 11: Dirac uv impulz
Vz ajemn e vztahy mezi jednotkov ym skokem a Diracov ym impulzem:
@ (t)
@t = (t) ;
R1
1 (t)dt = (t)
Z 1
1
f(t) (t t0)dt = F(t0)
Jednotkov a line arn funkce r(t) ( (t))
Vtahy mezi (t) a r(t):
@[Ar(t t0)]
@t = A (t t0) ;
R1
1A (t t0)d = Ar(t t0)
V yznam t echto funkc
Popis a vyj ad ren slo zit ych sign al u, jejich derivaci a integreci
Vstupn sign aly na testov an syst em u, testuj se odezvy
13
4.2 Spektra aperiodick ych sign al u
P rechod od Fourierovy rady k Fourierov e transformaci
Koe cienty F R:
ck = 1T
1
Z T1
2
T1
2
s(t)exp( j!1t)dt
Zavedeme p rechod
T1 !1 ; !1 = 2 T1 !d! ; k!1 !! ; ck!dc ; 1T1 ! d!2 ,
kter y zavedeme do prvn ho vztahu a dostaneme:
dc = d!2
Z 1
1
s(t)exp( j!t)dt
, p ri ozna cen S(!) = 2 dcd!
Zavedeme spektr aln funkci
S(!) =
Z 1
1
s(t)exp( j!t)dt
Obr azek 12: Impulzy
Obr azek 13: Spektrum impulz u
14
Z akladn vlastnosti spektr aln funkce
S(!) =
Z 1
1
s(t)cos(!t)dt j
Z 1
1
s(t)sin(!t)dt
S(!) = S ( !)
Zaveden zp etn e Fourierovy transformace
sp(t) =
+1X
k= 1
ckexp(jk!1t) = 12
+1X
k= 1
2 ck!
1
[exp(jk!1t)]!1
Po uprav e plat :
s(t) = 12 =
Z +1
1
S(!)exp(j!t)d!
Vlastnosti Fourierovy transformace
Linearita
S(!) = aSa(!) +bSb(!)
Posunut v case
Ffs(t )g=
Z 1
1
s(t )e j!tdt = Substituce =
Z
s(x)e j!(x+ )dx = e j!
Z
s(x)e j!xdx = e j! S(!)
Zm ena casov eho m e r tka
Ffs(mt)g=
Z 1
1
s(mt)c j! dt = Substituce =
Z
s(x)e j! xm 1mdx = 1m
Z
s(x)e!mxdx = 1mS(!m)
Posunut obrazu
F 1fS(! !0)g= 12
Z 1
1
S(! !0)ej!td! = 12
Z 1
1
S(x)ej(x+!0)dx = Substituce = ej!0t 12
Z 1
1
S(x)ejxtdx
S(! !0) = s(t)ej!0t
Spektrum derivace sign alu
s(t) = 12
Z 1
1
S(!)ej!td!
@s(t)
@t =
@[ 12 R1 1S(!)ej!td!]
@t =
1
2
Z
S(!)j!S(!)
s0(t) := j!S(!)
... a obecn e pro n-tou derivaci:
@n
@tns(t)
:= (j!)ns(!)
15
Spektrum integrace sign alu
Sign al: s(t) = S(!)
Integrovan y sign al: g(t) = R s(t)dt ; Ffg(t)g= G(!)
Ff@g(t)@t g= Ffs(t)g= S(!) = j!G(!)
, odtud G(!) = 1j!S(!)
Z
s(t)dt := 1j!s(!)
Pou cky o spektrech aperiodick ych sign al u - shrnut
Pou cky o spektrech aperiodick ych sign al u jsou zahrnuty v tabulce 5.
Tabulka 5: Pou cky o spektrech aperiodick ych sign al u
s(t) S(!)
asa(t) +bsb(t) aSa(!) +bSb(!)
s(t ) S(!)exp( j! )
s(mt)!m> 0 1mS !m
s(t)exp( j!0t) S(! !0)
@n
@tns(t) (j!)
nS(!)
R1
1s(t)dt
s(!)
j!R1
1s1( )s2(t )d S1(!)S2(!)
Ur cen vzoru ( casov eho pr ub ehu) ze zn am eho tvaru spektr aln funkce
s(t) = 12
Z 1
1
S(!)exp(j!t)d!
Obd eln kov a spektr aln funkce
Uk azka casov eho pr ub ehu obd eln kov e spektr aln funkce jest na obr azku 14.
Obr azek 14: Obd eln kov a spektr aln funkce
Z +b
b
exp( jxy)dy = 2bsinc(bx)
s(t) = 12
Z 1
1
S(!)exp(j!t)d! = 12
Z +!c
!c
Hexp(j!t)d! = H2
Z +!c
!c
exp(j!t)d! = H2 2!csinc(!ct) = H!c sinc(!ct)
Uk azka funkce sinc(:) je na obr azku 8.
16
P r: Spektr aln funkce je d ana vztahem:
S(!) =
8!j!j< 2000
0!j!j 2000

Vypo c tejte okam zitou hodnotu sign alu v case 2;1ms.
Spektr aln funkce vybran ych sign al u
Pokud sign al s(t) spl nuje podm nku absolutn integrovatelnosti (Dirichletova podm nka), m u zeme spektr aln funkci
ur cit p r m ym v ypo cte Fourierovy transformace.
V ostatn ch p r padech vyu zijeme podobnost s jin ymi vztahy nebo p uvodn "nevhodn y"sign al nahrad me jin ym sign alem,
kter y se p ri extr emn ch hodnot ach sv ych parametr u bl z p uvodn mu sign alu.
S(!) =
Z 1
1
s(t)exp( j!t)dt
Komplexn exponenci aln impulz
s(t) = Aej!0t , pro t2< 1;1> , !0 > 0
funkce nespl nuje Dirichletovu podm nku ! nelze pou z t Fourierovu transformaci...
F 1 =fA (! !0)g= 12
Z 1
1
A (! !0)ej!td! = 12 Aej!0t
potom
F Aej!0t = 2 A (! !0)
Spektr aln funkce je nulov a krom e bodu ! = !0, kde obsahuje Dirac uv impulz s plochou 2 A.
Stejnosm ern y sign al
s(t) = A , pro t2< 1;1>
Funkce op et nespl nuje Dirichletovu podm nku, funkci lze re sit pomoc komplexn ho exponenci aln ho impulzu pro
!0 = 0
Spektr aln funkce stejnosm ern eho sign alu
s(t) = Aej!0t!A
S(!) = 2 A (! !0)!2 A (!)
17
5 P at a p redn a ska
5.1 Spektr aln funkce vybran ych sign al u
Jednotkov y impulz
S(!) =
Z 1
1
(t)exp( j!t)dt = exp( j!t)jt=0 = 1
Posunut y jednotkov y impulz
S(!) =
Z 1
1
(t )exp( j!t)dt = exp( j! )
Obr azek 15: Posunut y impulz
Harmonick y sign al
s(t) = Ccos(!1t+’1) C > 0 !1’1 2R
= c1ej!t +c 1e j!t, kde c1 = c2ej’1 a c 1 = c2e j’1
Pomocn y vzorec:
(t) := S(!) = 1, nebo ( t) := S(!) = 1
Zp etn a Fourierova transformace:
(t) = 12
Z 1
1
1e j!td!
(t) = 12
Z
1e jxydy
Spektr aln funkce harmonick eho sign alu:
S(!) = R1 1s(t)e j!tdt = R c1ej!t +c 1e j!t e j!tdt
= c1R e j(! !1)tdt+c 1R e j(!+!1)tdt = 2 c1 (! !1) + 2 c 1 (! +!1)
18
Spektrum obecn eho aperiodick eho sign alu
Periodick y sign al:
s(t) = s(t+nT1)
1X
k= 1
ckejk!1t
Spektr aln funkce:
S(!) = Ffs(t)g=
Z 1
1
" 1X
k= 1
ckejk!1t
#
e j!tdt =
1X
k= 1
ck2 (! k!1)
Spektrum periodick eho sign alu tvo r Diracovy impulzy o plo se 2 ck um st en e na kmito ctech k!1, kde k = 0: 1: 2:::::
Obd eln kov y impulz
S(!) =
Z 1
1
s(t)e j!tdt
S pou zit m pomocn eho integr alu:
Z b
b
exp( jxy)dy = 2bsinc(bx)
Dostaneme:
S(!) = D
Z #
2
#
2
exp( j!t)dt = D#sinc
#
2!

Spektrum obd eln kov eho impulzu jest na obr azku 16.
Obr azek 16: Spektrum obd eln kov eho impulzu
19
5.2 Energie aperiodick eho sign alu
E =
Z 1
1
s2(t)dt
Parseval uv teor em
E =
Z 1
1
s2(t)dt = 12
Z 1
1
jS(!)j2d!
Spektr aln hustota energie popisuje rozlo zen energie:
LD(!) = 12 jS(!)j2
, kde S(!) je obecn e komplecn veli cina
a LD(!) je re aln a nez aporn a veli cina
P r: Nakreslete modulov e a argumentov e spektrum sign alu
s1(t) =
10!jtj< 1
0!jtj 1

Re sen :
S(!) =
Z 1
1
s(t)e j!tdt =
Z #
2
#2
De j!tdt = D#sinc

!#2

= 20sinc(!)
Nulov y bod funkce:

!a#2

=
!a = 2 # =
...
P r: Nakreslete spektrum sing alu
s2(t) =
10!jtj< 1
0!jtj 1

P r: Spektr aln funkce sign alu je d ana vztahem
S(!) = 12sinc(0;05!)
Ur cete okam zitou hodnotu sign alu v case t = 0;22s.
Re sen : Spektr aln funkce m a tvar sinc, sign al tedy p redstavuje v casov e oblasti obd eln kov y impulz s parametry
S(!) = D#sinc

!#2

= 12sinc(0;05!)
#
2 = 0;05)# = 0;1s
D# = 12)D = 12# = 120
V case t = 0;22s m a sign al hodnotu: s(0;22) = 0
20
5.3 Korelace
Vyjad ruje m ru podobnosti nebo z avislosti dvou sign al u.
Korela cn anal yza
Slou z k popisu sign al u a jejich zpracov an .
Z akladn parametry korela cn anal yzy
Statick e
{ Korela cn koe cient
{ Korela cn interval
Dynamick e
{ Korela cn funkce
{ Autokorela cn funkce
Statick e parametry
Casov y posuv se mezi zkouman ymi sign aly nem en ...
Dynamick e parametry
Doch az k plynul e zm en e vz ajemn e casov e polohy obou sign al u...
Korela cn koe cient
Ur cuje se pokud jsou bud’ oba sign aly f neperiodick e, nebo oba sign aly periodick e.
12 =
R1
1f1(t)f2(t)dtR
1
1f
2
2 (t)dt
; 21 =
R1
1f1(t)f2(t)dtR
1
1f
2
1 (t)dt
nebo
12 =
1
T
RT
0 f1(t)f2(t)dt
1
T
RT
0 f
2
2 (t)dt
; 21 =
1
T
RT
0 f1(t)f2(t)dt
1
T
RT
0 f
2
1 (t)dt
Korela cn interval
Ur cuje se pokud je jeden sign al f1 periodick y a druhy sign al f2 neperiodick y.
T12 =
hR1
1f1(t)f2(t)dt
i2
1
T
RT
0 f
21 (t)dtR1
1f
22 (t)dt
Vz ajemn a korela cn funkce
R12( ) =
Z 1
1
f1(t)f2(t )dt
R21( ) =
Z 1
1
f1(t )f2(t)dt
21
Korela cn funkce periodick ych sign al u
R12( ) = 1T
Z T
2
T2
f1(t)f2(t+ )dt
Autokorela cn funkce
P redstavuje m ru podobnosti sign alu a jeho posunut eho duplik atu
Poskytuje men s informaci o sign alu, ne z spektrum
D av a informaci o v ykonov ych pom erech sign alu
R( ) = 1T
Z T
2
T2
f(t)f(t+ )dt
Vyj ad ren pomoc Fourierovy rady:
f(t) =
1X
k= 1
ckexp(jk!1t)
cK = 1T
Z T
2
T2
f(t)exp( jk!1t)dt
R( ) = 1T R T2 T
2
f(t)f(t+ )dt = P1k= 1
h
ckejk!1 1T R T2 T
2
f(t)ejk!1tdt
i
= P1k= 1 ckejk!1 c k = P1k= 1jckj2ejk!1
Pro = 0 z sk ame Parceval uv teor em...
Z akladn vlastnosti korela cn ch funkc
R( ) je periodick a funkce pro periodick e sign aly
R12( ) = R21( )
R( ) = R( ) (autokorelace je sud a funkce)
R(0) R( ) pro 6= 0 jedno maximum bud’ bodov e v = 0, nebo ploch e intervalov e v okol = 0
R(0) P redstavuje v ykon pro periodick e sign aly a energii pro neperiodick e sign aly
22
6 Sest a p redn a ska
... tak to byl zrovna hokej... A dopadl skv ele!
VUT porazilo Mas arnu sk orem ! 5 : 3
...
Dod el ano podle skript...
6.1 Konvoluce
Konvoluce y(t) sign al u s1(t) a s2(t) je d ana vztahem:
y(t) =
Z 1
1
s1( )s2(t )d
Spektrum konvoluce dvou obd eln kov ych sign al u jest na obr azku 17.
Obr azek 17: Spektrum konvoluce dvou obd eln kov ych sin al u
23
6.2 Syst emy se spojit ym casem
Charakteristiky line arn ho neparametrick eho syst emu
Line arn syst em obsahuje pouze line arn prvky a plat pro n ej princip superpozice. Neparametrick y (stacion aln ) syst em
m a tu vlastnost, ze ani struktura ani parametry jeho prvk u nejsou s casem prom enn e.
Vlastnosti line arn ho neparametrick eho spojit eho syst emu popisujeme pomoc line arn ch diferenci aln ch rovnic s kon-
stantn mi koe cienty obecn e N-t eho stupn e (Co z je psycho).
6.3 Syst emy s diskr etn m casem
Syst emy pro zpracov an sign alu m u zeme d elit podle t