hrw42

hlypřesunout;jsoutakblokovány.Jetostejné,
jako když se dítě snaží vylézt na žebřík, na jehož každé
příčceužstojíjinédítě.Nejsou-ližádnépříčkyvolné,nikdo
senemůžepohnout.
Venergiovémpásunadzaplněnýmpásemnaobr.42.4a
je mnoho prázdných hladin. Aby všakelektron obsadil
jednu z těchto hladin, musí získat dostatečnou energii na
překonáníširokéhopásuzakázanýchenergií,kterýodděluje
oba uvedené pásy. U diamantu je tento zakázaný pás tak
široký,žejejvpodstatěžádnýelektronnepřeskočí(energie
potřebnánajehopřekonáníje5,5eV,cožjeasi140krátvíc,
než je střední kinetická energie volné částice při pokojové
teplotě).Diamantjetedy izolátor,ato velicedobrý.
PŘÍKLAD 42.1
V kap.41 jsme použili rov.(41.21)
N
x
N
0
= e
−(E
x
−E
0
)/kT
, (42.1)
abychomzískalipoměrpočtuatomůN
x
naenergiovéhladině
E
x
kpočtu atomů N
0
na hladině E
0
pro případ, že atomy
jsou částí systému o teplotě T (v Kelvinech). Konstanta k je
Boltzmannova konstanta (8,62·10
−5
eV/K).
Stejnou rovnici můžeme použít kvýpočtu pravděpodob-
nosti,ženějakýelektronvizolátorupřeskočípászakázaných
energiíE
g
ukázanýnaobr.42.4a.Položíme-liE
x
−E
0
= E
g
,
pak N
x
/N
0
je poměr počtu elektronů bezprostředně nad za-
kázaným pásem k počtu elektronů bezprostředně pod tímto
pásem.
Jaká je pravděpodobnost, že při pokojové teplotě (300K)
elektronnanejvyššíhladiněvalenčníhopásuvdiamantupře-
skočí zakázanýpás E
g
,který je pro diamant5,5eV?
ŘEŠENÍ: U diamantu je exponent vrov.(42.1)
−
E
g
kT
=−
(5,5eV)
(8,62·10
−5
eV/K)(300K)
=−213.
Hledaná pravděpodobnost je pak
N
x
N
0
= e
−(E
g
/kT)
= e
−213
.
= 3·10
−93
. (Odpovědquoteright)
Není divu, že diamant je takdobrý izolátor. Dokonce i pro
diamant tak velký jako Země by byla šance, že jeden jediný
elektron přeskočí při teplotě 300K pás zakázaných energií,
zanedbatelně malá.
42.5 KOVY
Jak ukazuje obr.42.4b, je pro kovy charakteristické, že se
nejvyšší obsazená hladina energie nachází blízko středu
energiovéhopásu.Jestliženakovovývzorekpřiložímena-
pětí,můževzorkemprotékatproud,protožejevněmvelmi
mnohoprázdnýchhladinovyššíchenergiích,nakterémo-
hou elektrony přecházet. Kov tedy může vést elektřinu,
protože elektrony v nejvyšším obsazeném pásu se mohou
snadnopřesunovatnavyššíenergiovéhladinytéhožpásu.
V čl.27.6 jsme zavedli pro kov model volných elek-
tronů,podlekteréhosemohouvodivostníelektronyvolně
pohybovatvobjemuvzorkupodobnějakomolekulyplynu
v uzavřené nádobě. Tento model jsme použili kodvození
vztahuprorezistivitukovuzapředpokladu,žeseelektrony
chovají podle zákonů klasické newtonovské mechaniky.
Vtétokapitolepoužijemestejnýmodelproobjasněnícho-
vání elektronů, zvaných vodivostní elektrony, v částečně
42.5 KOVY 1111
zaplněném pásu naznačeném na obr.42.4b. Podle zákonů
kvantové fyziky však budeme předpokládat, že energie
těchto elektronů jsou kvantovány a že platí Pauliho vy-
lučovacíprincip.
Předpokládáme rovněž, že potenciální energie vodi-
vostníhoelektronumástejnoukonstantníhodnotuvevšech
bodech uvnitř mřížky. Pokud si tuto hladinu potenciální
energie zvolíme za nulovou (což můžeme),pakje celková
energie E vodivostníchelektronůrovnakinetickéenergii.
Nejnižší hladina částečně zaplněného pásu na obráz-
ku 42.4b odpovídá energii E = 0. Nejvyšší obsazená hla-
dina v tomto pásu (při absolutní nule, T = 0K)sena-
zýváFermiho hladinaaodpovídajícíenergiepakFermiho
energie E
F
.PromědquoterightjeE
F
= 7,0eV.
RychlostelektronůodpovídajícíFermihoenergiisena-
zývá Fermiho rychlost v
F
. U mědi je Fermiho rychlost
rovna 1,6·10
6
m·s
−1
. Tento fakt by měl stačit, aby vyvrá-
til mylnou představu, že při absolutní nule ustává veškerý
pohyb;přitétoteplotě,atopouzevdůsledkuPaulihovylu-
čovacíhoprincipu,jsouvodivostníelektrony„naskládány“
včástečnězaplněnémpásuzobr.42.4bsenergiemiodnuly
ažpo Fermiho energii.
Vodivost při T>0
Veskutečnostinászajímávedeníelektrickéhoprouduvko-
vechpřiteplotáchvyššíchnežabsolutnínula.Jaksezmění
rozděleníelektronůuvedenénaobr.42.4bpřitěchtovyšších
teplotách?Jakdáleuvidíme,změnísepřekvapivěmálo.
Z elektronů v částečně zaplněném pásu na obr.42.4b
mohou jenom ty, které jsou blízko Fermiho hladiny, najít
volnéhladinyovyššíenergii,ajenomtytoelektronymohou
přejít na vyšší hladiny tepelným vybuzením. Dokonce při
T = 1000K, což je teplota, při které by mědquoteright jasně zářila
v zatemněné místnosti, se rozdělení elektronů na dostup-
nýchhladináchpřílišnelišíodrozdělenípro T = 0K.
Vysvětleme si, proč to takje. Veličina kT,kdek je
Boltzmannova konstanta, je vhodnou mírou energie, která
můžebýtpředánaelektronůmvlivemnáhodnéhotepelného
pohybu atomů mřížky. Při teplotě T = 1000K dostáváme
kT = 0,086eV. Není tedy reálné, že by elektron pouze
vlivem tepelného vybuzení změnil svou energii víc než
o několikanásobek této relativně malé hodnoty energie.
Vnejlepšímpřípadětedypouzemaláčástelektronů,jejichž
energiejsoublízkoFermihoenergie,můžepřejítdovyšších
energiovýchhladinvlivemtepelnéhovybuzení.Vyjádřeno
poeticky, tepelné vybuzení způsobuje pouze drobné vlnky
na hladině moře Fermiho elektronů; obrovské hlubiny to-
hotomořevšakzůstávajínerušeny.
Kolik existuje kvantových stavů?
Schopnost kovů vést elektrický proud závisí na tom, ko-
lik kvantových stavů mohou elektrony obsadit a jaké jsou
energietěchtostavů.Ztohovyplýváotázka:Jakéjsouener-
gie jednotlivých stavů v částečně zaplněných pásech na
obr.42.4b? Zodpovědět tuto otázku je těžké, protože ne-
můžemevůbecvypsatjednotlivéenergietakovéhovelkého
množství stavů. Namísto toho se zeptáme: Kolikstavů má
energii v intervalu E až E + dE? Tento počet můžeme
psát jako N(E)dE,kdeN(E) se nazývá hustota stavů
pro energii E. Jednotkou pro N(E)dE je počet stavů na
kubický metr (stavy/m
3
nebo jednoduše m
−3
); obvykle
užívanou jednotkou pro N(E) je počet stavů na kubický
metranaelektronvolt(m
−3
·eV
−1
).
Výraz pro hustotu stavů můžeme určit z počtu stoja-
tých vln elektronů,kterélzevměstnatdo krabiceo rozmě-
rechstudovanéhokovovéhovzorku.Tentopostupjeanalo-
gický stanovení počtu stojatých zvukových vln, které mo-
houvzniknoutvuzavřenépíštquoterightalevarhan.Rozdílyspočívají
v tom, že náš problém je trojrozměrný (problém varhanní
píštquoterightaly je jednorozměrný) a vlny jsou de Broglieho vlny
(vlny ve varhanní píštquoterightale jsou zvukové vlny). Lze ukázat,
ževýsledkemtohoto výpočtuje
N(E)=
8
√
2D4m
3/2
h
3
E
1/2
(hustota stavů), (42.2)
kde m jehmotnostelektronůa E jeenergie,prokteroumá
být N(E)určena. Všimněme si, že vztah pro N(E)neob-
sahuje žádnouinformaci o tvaru vzorku,jeho teplotěnebo
omateriálu,zekteréhosevzorekskládá.Naobr.42.5jena-
kreslenapolovina paraboly,kterájegrafickým vyjádřením
rov.(42.2).Zobrázkulzenapříkladvyčíst,ževenergiovém
intervalu o šířce 1eV kolem energie 8eV leží v jednom
kubickémmetrupřibližně2·10
28
stavů.
energie(eV)
0
1
2
2
46810
N(
E
)
(10
28
m
−
3
·
eV
−
1
)
Obr. 42.5 Hustota stavů N(E), tedy počet energiových hladin
elektronů v jednotkovém intervalu energií a jednotkovém ob-
jemu, zobrazená jako funkce energie elektronů. Hustota stavů
pouze vyjadřuje počet stavů, které jsou k dispozici. Neříká nic
o tom,zda stavy jsou, nebo nejsou obsazeny elektrony.
K
ONTROLA1:(a)Jevzdálenostmezisousednímiener-
giovými hladinami mědi při E = 4eV větší, stejná,
1112 KAPITOLA 42 VEDENÍ ELEKTŘINY V PEVNÝCH LÁTKÁCH
nebo menší než tato vzdálenost při E = 6eV?(b)Je
vzdálenost mezi sousedními energiovými hladinami
mědi při E = 4eV větší, stejná, nebo menší než tato
vzdálenostprostejnýobjemhliníku apro E = 4eV?
Pravděpodobnost obsazení P(E)
Schopnost kovů vést elektrický proud závisí na pravděpo-
dobnosti,žedostupnéprázdnéhladinybudouskutečněob-
sazeny.Tímsedostávámekdalšíotázce:Jestližesevlátce
nachází stav o energii E, jaká je pravděpodobnost P(E),
že bude skutečně obsazen elektronem? Víme, že při tep-
lotě T = 0KjeP(E)= 1 pro všechny stavy s energiemi
nižšíminežjeFermihoenergie,cožodpovídájistotě,žeod-
povídajícístavyjsouobsazeny.Vímetaké,žepro T = 0K
je P(E)= 0provšechnystavysenergiemivyššíminežje
Fermiho energie, což naopakodpovídá jistotě, že odpoví-
dajícístavynejsouobsazeny.Tatosituacejeilustrovánana
obr.42.6a.
Abychom našli P(E) pro teploty vyšší než abso-
lutnínula,musímepoužítsouborpravidelkvantovéfyziky
pro výpočet pravděpodobnosti obsazení nazývaných Fer-
miho-Diracova statistika, pojmenovaných podle fyziků,
kteří je zavedli. Použitím těchto pravidel lze ukázat, že
pravděpodobnost obsazení P(E)je
P(E)=
1
e
(E−E
F
)/kT
+1
(pravděpodobnost
obsazení),
(42.3)
kdeE
F
jeFermihoenergie.Všimněmesi,žeP(E)nezávisí
nahodnotěenergieE,alenavelikostirozdíluE−E
F
,který
můžebýt kladný,nebozáporný.
Abychomsepřesvědčili,žerov.(42.3)popisujekřivku
uvedenounaobr.42.6a,dosadíme T = 0K.Potom:
pro EE
F
je exponenciální člen roven e
+∞
,atedy
veshoděsobr.42.6aje P(E)= 0.
Naobr.42.6bjegrafzávislostiP(E)proT = 1000K.
Grafukazuje,jakjsmesezmínilidříve,žezměnyvrozdě-
leníelektronůprobíhajípouzemezistavy,jejichženergieje
blízkáFermihoenergiiE
F
.Všimněmesi,žeproE = E
F
je
(nezávislenateplotě)exponenciálníčlenvrov.(42.3)roven
e
0
= 1, a tedy P(E)= 0,5. To nás přivádí kužitečnější
definici Fermihoenergie:
Fermihoenergiedanéhomateriálujeenergiekvantového
stavu, který má pravděpodobnost 0,5, že bude zaplněn
elektronem.
energi