hrw22

-li proton na
ose x.
(a)
x
y
d
Q
1
Q
2
(b)
x
y
PRS
Q
1
Q
2
F
1
F
2
F
1
F
2
F
1
F
2
Obr.22.7 Příklad 22.1. (a) Dvě částice s náboji Q
1
a Q
2
jsou
v klidu na ose x ve vzdálenosti d. (b) Tři možné polohy S, P, R
protonu. V každém bodě působí na proton elektrostatická síla F
1
buzená nábojem Q
1
a elektrostatická síla F
2
buzená nábojem Q
2
.
Je-li proton na ose x v libovolném bodě mezi Q
1
a Q
2
(např. v bodě P na obr. 22.7b), pak mají síly F
1
a F
2
směr
stejný a nikoli opačný, jak požadujeme. Je-li proton v libovol-
ném bodě na osex vlevo odQ
1
(např. v boděS na obr. 22.7b),
pak sílyF
1
aF
2
mají opačné směry.Z rov. (22.4) ovšem plyne,
že síly F
1
a F
2
nemohou mít stejnou velikost: F
1
je větší než
F
2
,protožeF
1
vzniká působením bližšího náboje (menší r)
větší velikosti (8Q proti 2Q).
Je-li konečně proton v libovolném bodě na ose x vpravo
od náboje Q
2
(např. v bodě R), pakx>dasílyF
1
a F
2
mají
opět opačný směr. Protože je nyní větší náboj (Q
1
)dáleod
protonu než náboj menší, existuje bod, ve kterém si velikosti
sil F
1
aF
2
jsou rovny. Nechtquoterightx je jeho souřadnice aQ
p
náboj
protonu. Dosazením z rov. (22.4) do rov. (22.9) dostaneme
1
4D4ε
0
8QQ
p
x
2
=
1
4D4ε
0
2QQ
p
(x−d)
2
. (22.10)
(Všimněte si, že v rov. (22.10) vystupuje jen velikost nábojů.)
Úpravou rov. (22.10) získáme
(x−d)
2
x
2
=
1
4
.
22.4 COULOMBŮV ZÁKON 583
Odmocněním obou stran získáme
x−d
x
=±
1
2
a odtud (protože x>d)
x = 2d. (Odpovědquoteright)
Rovnováha v boděx = 2d je nestabilní. (Lze dokonce do-
kázat tzv. Earnshawovu větu: Žádná elektrostatická soustava
nábojů se neudrží ve stabilní rovnováze pouze elektrickými
silami.) Jestliže je proton vychýlen doleva od bodu R,pak
velikosti obou sil F
1
i F
2
narůstají, ale F
2
narůstá rychleji
(protože Q
2
je blíže než Q
1
) a výsledná síla bude posunovat
proton dále doleva. Je-li proton vychýlen doprava, velikosti
obou sil F
1
a F
2
klesají, ale F
2
klesá více, takže výsledná
síla posunuje proton dále doprava. Ve stabilní rovnováze se
proton při každém malém vychýlení vrací zpět do rovnovážné
polohy.
PŘÍKLAD22.2
Obr. 22.8a představuje uspořádání šesti nabitých částic, kde
a = 2,0 cm a úhelθ = 30
◦
. Všech šest částic má náboj stejné
velikostiQ= 3,0·10
−6
C; znaménka nábojů jsou vyznačena.
Jaká je výsledná elektrostatická síla F
1
, kterou na náboj Q
1
působí ostatní náboje?
ŘEŠENÍ: Z rov. (22.7) víme, že F
1
je vektorovým součtem
sil F
12
, F
13
, F
14
, F
15
a F
16
, což jsou elektrostatické síly, kte-
rými na Q
1
působí ostatní náboje. Protože Q
2
a Q
4
mají
stejnou velikost a oba jsou ve vzdálenosti r = 2a od náboje
Q
1
, dostáváme z rov. (22.4)
F
12
=F
14
=
1
4D4ε
0
|Q
1
||Q
2
|
(2a)
2
. (22.11)
A obdobně, protožeQ
3
,Q
5
aQ
6
mají stejnou velikost a jsou
stejně vzdáleny (r =a) od náboje Q
1
, dostáváme
F
13
=F
15
=F
16
=
1
4D4ε
0
|Q
1
||Q
3
|
a
2
. (22.12)
Na obr. 22.8b jsou znázorněny síly, které působí na náboj Q
1
(silový diagram podle kap. 5). Z něho a z rovnice (22.11)
je vidět, že síly F
12
a F
14
mají stejnou velikost, ale opačný
směr, takže se navzájem vyruší. Z obr. 22.8b a z rov. (22.12)
dále plyne, že y-ové složky sil F
13
a F
15
se také ruší a že
jejich x-ové složky mají stejnou velikost a obě jsou záporné.
Z obr. 22.8b také plyne, že síla F
16
má směr osy x.SílaF
1
musí tedy být rovnoběžná s osou x; její velikost je rovna
rozdílu mezi velikostí F
16
a dvojnásobkem velikosti x-ové
složky síly F
13
:
F
1
=F
16
− 2F
13
sinθ =
=
1
4D4ε
0
|Q
1
||Q
6
|
a
2
−
2
4D4ε
0
|Q
1
||Q
3
|
a
2
sinθ.
Dosadíme Q
3
=Q
6
a θ = 30
◦
:
F
1
=
1
4D4ε
0
|Q
1
||Q
6
|
a
2
−
2
4D4ε
0
|Q
1
||Q
6
|
a
2
sin 30
◦
= 0.
(Odpovědquoteright)
Všimněte si, že přítomnost Q
6
na spojnici mezi náboji Q
1
a Q
4
neovlivní elektrostatickou sílu, kterou působí náboj Q
4
na Q
1
.
(a)
x
y
aa
aa
2a
θ
θ
Q
1Q
2
Q
3
Q
4
Q
5
Q
6
(b)
x
y
θθ
F
12
F
13
F
14
F
15
F
16
Obr.22.8 Příklad 22.2. (a) Uspořádání šesti nabitých částic.
(b) Elektrostatické síly, kterými působí ostatních pět nábojů naQ
1
.
RADYANÁMĚTY
Bod22.1: Symetrie
V př. 22.2 jsme využili symetrie ke zjednodušení výpočtů
potřebných k řešení. Protože Q
2
a Q
4
jsou umístěny syme-
tricky vzhledem ke Q
1
asílyF
12
a F
14
se tedy ruší, nebylo
třeba tyto síly počítat. Protože y-ové složky F
13
a F
15
se ruší
a jejich x-ové složky jsou stejné a sčítají se, ušetřili jsme si
další námahu.
Bod22.2: Zakreslení vektorů elektrostatických sil
Je-li zadáno rozložení nabitých částic (obr. 22.8a) a naším
úkolem je najít výslednou elektrostatickou sílu působící na
584 KAPITOLA 22 ELEKTRICKÝ NÁBOJ
jednu z nich, sestrojíme obvykle silový diagram zobrazu-
jící pouze uvažovanou částici a síly, které na ni působí
(obr. 22.8b). Pokud místo toho zakreslujeme síly přímo do
zadaného diagramu zobrazujícího všechny částice, zakreslu-
jeme je vždy s počátečním nebo koncovým bodem v místě
uvažované částice.
Bod22.3: Symboly pro náboje
Pokud znaménko náboje není slovy specifikováno, symbolQ
může znamenat jak náboj kladný, tak záporný. Naproti tomu
označení +Q (nebo např. také +3Q) vyjadřuje náboj kladný
a označení −Q (nebo např. také −3Q) náboj záporný.
K
ONTROLA 3: Obrázek ukazuje tři různá uspořádání
jednoho elektronu e a dvou protonů p. (a) Seřadquoterightte uspo-
řádání sestupně podle velikosti výsledné elektrosta-
tické síly, kterou na elektron působí oba protony. (b) Je
v případě (3) úhel mezi výslednou silou působící na
elektron a úsečkou d menší, nebo větší než 45
◦
?
(1)
d
D
epp
(2)
d D
pe p
(3)
p
p
e
d
D
PŘÍKLAD22.3
Na obr. 22.9a jsou dvě stejné osamocené elektricky izolované
vodivé koule A, B. Vzdálenost a jejich středů je velká vzhle-
dem k poloměrům koulí. Koule A má kladný náboj +Q,
koule B je elektricky neutrální. Na počátku nepůsobí mezi
koulemi žádná elektrostatická síla.
(a) Předpokládejme, že koule jsou na okamžik spojeny vo-
divým drátem. Drát je dostatečně tenký, aby bylo možno
zanedbat jeho výsledný náboj. Jaká je elektrostatická síla
působící mezi koulemi, je-li drát odstraněn?
ŘEŠENÍ: Když jsou koule spojeny drátem, jsou vodivostní
elektrony z koule B přitahovány kladným nábojem koule A
(obr. 22.9b). Koule B ztrácí záporný náboj a nabíjí se kladně.
Koule A získává záporný náboj, je stále méně kladně nabitá.
Protože jsou koule stejné, musí nakonec získat stejný náboj.
Přenos náboje proto skončí,když nadbytečný náboj na kouli B
vzroste na +Q/2 a nadbytečný náboj na kouli A klesne na
+Q/2 (obr. 22.9c).
Můžeme předpokládat,že po odstranění drátu nenaruší ná-
boj na jedné kouli rovnoměrnost rozložení náboje na druhé
kouli, protože koule jsou malé vzhledem ke své vzájemné
vzdálenosti. Můžeme tedy použít první slupkový teorém.
Z rov. (22.4) s Q
1
= Q
2
= Q/2ar = a plyne pro velikost
elektrostatické síly mezi koulemi
F =
1
4D4ε
0
(Q/2)(Q/2)
a
2
=
1
16D4ε
0
parenleftBig
Q
a
parenrightBig
2
. (Odpovědquoteright)
Koule se nyní navzájem odpuzují, protože jsou obě kladně
nabité.
(b) Předpokládejme nyní, že je koule A na okamžik uzemně-
na, a pak je uzemnění přerušeno. Jaká je nyní elektrostatická
síla mezi koulemi?
ŘEŠENÍ: Uzemnění dovolí elektronům s celkovým nábo-
jem −Q/2 přesunout se (ze země) na kouli A (obr. 22.9d)
a neutralizovat ji (obr. 22.9e). Není-li na kouli A žádný volný
náboj, pak mezi koulemi nepůsobí žádná elektrostatická síla
(tak jako na počátku na obr. 22.9a).
22.5 KVANTOVÁNÍ NÁBOJE
V dobách Benjamina Franklina byl elektrický náboj pova-
žován za spojitou tekutinu („fluidum“, podobně jako tep-
lo, světlo apod.); tato myšlenka byla v mnoha případech
užitečná. Dnes však již víme, že i samotné tekutiny (jako
vzduch, voda) nejsou spojité, ale jsou tvořeny atomy a mo-
lekulami; hmota je rozložena diskrétně. Experimenty uka-
zují, že ani „elektrická tekutina“ není spojitá, ale je tvořena
násobky jistého elementárního náboje. Libovolný kladný
nebo záporný náboj Q, který můžeme naměřit, může tedy
mít hodnotu jenom
Q=ne, n=±1,±2,±3,…, (22.13)
Obr.22.9 Příklad 22.3. Dvě malé vodivé
koule A a B. (a) Na počátku je koule A
nabita kladně. (b) Vodivým spojením je
mezi koulemi přenesen záporný náboj.
(c) Obě koule jsou nyní nabity kladně.
(d) Uzemňujícím vodičem je na kouli A
přenesen záporný náboj. (e) Koule A je
nyní neutrální.
(a)
a
A
B
Q=0
+Q
(b)
−Q/2
(c)
+Q/2
+Q/2
(d)
+Q/2
−Q/2
(e)
+Q/2
Q=0
22.5 KVANTOVÁNÍ NÁBOJE 585
kde e je elementárnínáboj, který má hodnotu
e
.
= 1,60·10
−19
C. (22.14)
Elementární nábojeje jednou z důležitých fyzikálních kon-
stant. Elektron a proton mají náboj o velikostie (tab. 22.1).
(Kvarky — částice tvořící neutrony a protony — mají ná-
boje±e/3nebo±2e/3,ale nemohou být detegovány samo-
statně. Proto jejich náboje nepovažujeme za elementární.)
Tabulka 22.1 Náboje tří částic
ČÁSTICE ZNAČKA NÁBOJ
elektron e
−
(nebo jen e) −e
proton p +e
neutron n 0
Často se můžete setkat s větami jako: „náboj na kouli“,
„množství přeneseného náboje“, „náboj nesený elektro-
nem“, z nichž by se zdálo, že náboj je nějaký objekt, látka.
(Taková tvrzení se objevila i v této kapitole.) Elektrický ná-
boj však neexistuje sám o sobě, ale je vždy vázán na hmotné
částice. Je to fyzikální veličina, podobně jako např. hmot-
nost nebo spin.
Pokud nějaká fyzikální veličina nemůže nabývat li-
bovolné hodnoty, ale pouze hodnot diskrétních (nespoji-
tých), říkáme, že je kvantována. Už víme, že hmotnost,
energie, moment hybnosti jsou kvantovány; elektrický ná-
boj je další takovou fyzikální veličinou. Můžeme napří-
klad najít částici, která nemá vůbec žádný náboj, nebo má
náboj +10e,nebo−6e, ale nenajdeme částici s nábojem,
řekněme, 3,57e.
Kvantem náboje je elementární náboje; je velmi malý.
Pro ilustraci: svítí-li 100 W žárovka, vstupuje do ní každou
sekundu zhruba 10
19
elementárních nábojů a stejné množ-
ství ji opouští. „Zrnitost“ elektřiny se při tak velkém počtu
neprojeví, stejně jako nepocítíme rukou ve vodě jednotlivé
molekuly.
„Zrnitosti“ elektřiny můžeme také přičíst modré zá-
blesky (jev triboluminiscence), které emituje kostka cukru
z úvodu kapitoly, je-li drcena. Když se rozlomí krystaly
cukru, jedna část každého porušeného krystalu má přebytek
elektronů, zatímco druhá část má přebytek kladných iontů.
Téměř okamžitě elektrony a ionty přeskočí trhlinu v po-
rušeném krystalu, a tak se obě strany neutralizují. Během
přeskoku se elektrony a ionty sráží s molekulami dusíku
obsaženého ve vzduchu, který proudí do trhliny. V dů-
sledku srážek emituje dusík ultrafialové záření, které je
neviditelné, a velmi slabé modré světlo (z viditelné oblasti
spektra), které vidíme jako slabé jiskření. Aromatický olej
z některých bonbonů absorbuje ultrafialové světlo a emituje
následně dostatek modrého světla, které osvětlí ústa nebo
čelisti kleští. Je-li však bonbon zvlhčen slinami, pokus se
nezdaří, protože vodivé sliny neutralizují obě části poruše-
ného krystalu ještě dříve, než by se mohly objevit jiskry.
K
ONTROLA 4: Koule A má na začátku pokusu náboj
−50e a koule B náboj +20e. Obě jsou vyrobeny z vo-
divého materiálu a stejně velké. Jaký bude výsledný
náboj na kouli A poté, co se navzájem dotknou?
PŘÍKLAD22.4
Elektricky neutrální měděná mince o hmotnosti m = 3,11 g
obsahuje stejné množství kladného a záporného náboje.
(a)JakájevelikostQ celkového kladného (nebo záporného)
náboje obsaženého v minci?
ŘEŠENÍ: Neutrální atom má záporný náboj o velikosti Ze,
představovaný jeho elektrony, a kladný náboj o stejné ve-
likosti, představovaný protony v jádře; Z je atomové číslo
uvažovaného prvku. Pro mědquoteright je Z = 29 (dodatek F), tj. atom
mědi má 29 protonů, a je-li elektricky neutrální, také 29 elek-
tronů.
Náboj velikosti Q, který hledáme, je roven NZe, kde N
je počet atomů v minci. Určíme ho tak, že násobíme počet
molů mědi v minci počtem atomů obsažených v jednom molu
(Avogadrovou konstantou N
A
= 6,02·10
23
mol
−1
). Počet
molů mědi v minci je m/m
m
, kde m
m
= 63,5g·mol
−1
je
molární hmotnost mědi (dodatek F). Je tedy
N =N
A
m
m
m
=(6,02·10
23
mol
−1
)
(3,11 g)
(63,5g·mol
−1
)
=
= 2,95·10
22
.
Velikost celkového kladného nebo záporného náboje v minci
je pak
Q=NZe=
=(2,95·10
22
)(29)(1,60·10
−19
C)=
= 137 000 C. (Odpovědquoteright)
To je obrovský náboj. Z kap. 25 vyplyne, že tento náboj
by centimetrovou kuličku nabil na nepředstavitelné napětí
10
17
V. Pro srovnání: Třete-li ebonitovou tyč kožešinou, mů-
žete na tyč přemístit stěží náboj o velikosti 10
−9
C.
(b) Předpokládejme, že kladný a záporný náboj v minci by
mohly být soustředěny do dvou oddělených „balíčků“ vzdá-
lených 100 m. Jak velká přitažlivá síla by působila na každý
balíček?
ŘEŠENÍ: Z Coulombova zákona (22.4) plyne
F =
1
4D4ε
0
Q
2
r
2
=
=(8,99·10
9
N·m
2
·C
−2
)
(1,37·10
5
C)
2
(100 m)
2
=
= 1,69·10
16
N. (Odpovědquoteright)
586 KAPITOLA 22 ELEKTRICKÝ NÁBOJ
Na „balíčky“ by tedy působila síla odpovídající váze tělesa
o hmotnosti skoro 2·10
12
tun.Dokonce i kdyby náboje byly ve
vzdálenosti poloměru Země, přitažlivá síla by byla stále ještě
obrovská; odpovídala by váze 426tunového závaží. Proto je
také nemožné výrazně porušit elektrickou neutralitu. Pokud
se pokusíme odstranit z tělesa větší část náboje jednoho zna-
ménka, vzniká velká elektrostatická síla, která se ho snaží
přitáhnout zpět.
PŘÍKLAD22.5
Jádro atomu železa má poloměr asi 4,0·10
−15
m a obsahuje
26 protonů.
(a) Jak velká je odpudivá elektrostatická síla mezi dvěma
protony, které jsou ve vzdálenosti 4,0·10
−15
m?
ŘEŠENÍ: Z rov. (22.4) a tab. 22.1 plyne
F =
1
4D4ε
0
e
2
r
2
=
=
(8,99·10
9
N·m
2
·C
−2
)(1,60·10
−19
C)
2
(4,0·10
−15
m)
2
=
= 14 N. (Odpovědquoteright)
Účinek této síly by byl zanedbatelný, pokud by působila třeba
na meloun,ale je obrovský,pokud působí na proton.Tak velké
síly by musely roztrhnout na kousky jádro každého prvku
(kromě jádra atomu vodíku,které obsahuje jen jediný proton).
To se ale nestane, dokonce ani v jádrech s velkým počtem
protonů. Musí tedy existovat nějaká přitažlivá jaderná síla,
která tak velkou odpudivou elektrostatickou sílu překoná.
(b) Jaká je velikost gravitační síly, kterou na sebe působí tyto
dva protony?
ŘEŠENÍ: Hmotnost protonu je m
p
.
= 1,67·10
−27
kg. Vztah
(22.2) pro gravitační sílu pak dává
F =G
m
2
p
r
2
=
=
(6,67·10
−11
N·m
2
·kg
−2
)(1,67·10
−27
kg)
2
(4,0·10
−15
m)
2
=
= 1,2·10
−35
N. (Odpovědquoteright)
Z tohoto výsledku je vidět, že (přitažlivá) gravitační síla
je příliš slabá na to, aby mohla překonat odpudivé elektrosta-
tické síly působící mezi protony v jádře. Protony jsou však
navzájem vázány obrovskou přitažlivou silou způsobenousil-
nou interakcí. Ta se však výrazně projevuje jen tehdy, pokud
jsou částice velmi blízko u sebe (jak je tomu v jádře atomu).
Ačkoli je gravitační síla mnohonásobně slabší než síla
elektrostatická,je důležitější ve velkých měřítkách.Protože je
vždy přitažlivá, může se velmi mnoho malých těles spojit do
těles s obrovskými hmotnostmi, jako jsou planety a hvězdy,
které vyvolávají obrovské gravitační síly. Na druhé straně,
elektrostatická síla je pro náboje stejného znaménka odpudi-
vá, nemůže tedy spojit samotné kladné nebo samotné záporné
náboje do velkých objektů, které by pak mohly působit na-
venek velkými elektrostatickými silami.
22.6 ZACHOVÁNÍ NÁBOJE
Třeme-li skleněnou tyč hedvábím, objeví se na tyči kladný
náboj. Z měření plyne, že se na hedvábí objeví záporný
náboj stejné velikosti. Třením se tedy náboj nevytváří, ale
jen přerozděluje — převádí z jednoho tělesa na druhé a po-
rušuje se tak původní elektrická neutralita obou těles. Tato
hypotéza o zachovánínáboje byla poprvé vyslovena Ben-
jaminem Franklinem a byla mnohokrát ověřena jak pro
makroskopická nabitá tělesa, tak i pro atomy, jádra a ele-
mentární částice. Proto patří elektrický náboj k veličinám
(energie, hybnost, momentu hybnost, hmotnost), pro něž
platí v izolovaných systémech zákon zachování.
Radioaktivnírozpad jádra, při němž se jádro spontánně
přemění na jádro jiného typu, nám dává mnoho příkladů za-
chování elektrického náboje. Například uran 238 (
238
U) se
může přeměnit naα-částici (tj. heliové jádro
4
He) a thorium
(
234
Th):
238
U →
234
Th +
4
He (radioaktivní rozpad). (22.15)
Radioaktivní mateřské jádro
238
U má atomové číslo Z =
= 92, tj. jádro obsahuje 92 protonů a má náboj 92e. Emito-
vanáα-částice máZ = 2adceřiné jádro
234
Th máZ = 90.
Náboj před rozpadem je 92e, celkový náboj po rozpadu je
90e+ 2e. Náboj se zachovává.
Jiným příkladem zachování náboje je anihilace elek-
tronu e
−
(jehož náboj je−e) a jeho antičástice pozitronu e
+
(jehož náboj je +e), při níž vznikají dva fotony γ-záření.
e
−
+ e
+
→γ +γ (anihilace). (22.16)
Při použití zákona zachování náboje musíme náboje sčítat
algebraicky, tj. s ohledem na jejich znaménka. V anihilač-
ním procesu rov. (22.16) je celkový náboj systému nulový
před i po procesu. Náboj se opět zachovává.
Při tvorběelektron-pozitronovýchpárů (opačný proces
k anihilaci) se náboj také zachovává. V tomto procesu se
γ-kvantum přemění na elektron a pozitron:
γ → e
−
+ e
+
(tvorba párů). (22.17)
Obr. 22.10 ukazuje takovou tvorbu párů v bublinkové ko-
moře. Záření γ vstupuje do komory zleva v přímém směru
PŘEHLED & SHRNUTÍ 587
a v určitém místě se přemění na elektron a pozitron. Pro-
tože tyto nové částice jsou nabité a pohybují se, zanechávají
za sebou stopu drobných bublinek. Stopy jsou zakřivené,
protože v komoře je magnetické pole (kap. 29.5). Zářeníγ,
které nemá náboj,nezanechává žádnou stopu.Můžeme tedy
určit, kde přesně došlo k vytvoření páru: bylo to ve špici
vidlice tvaru V, kde začínají stopy elektronu a pozitronu.
Obr.22.10 Fotografie stop, které zanechaly v bublinkové komoře elektron e
−
a pozitron e
+
.
Dvojice částic vznikla zγ-záření, které vniklo do komory zleva. Protožeγ-záření nemá náboj,
nezanechává žádnou stopu podélsvé dráhy (na rozdílod elektronu a pozitronu). Stopy jsou
tvořeny nepatrnými bublinkami vzniklými v přehřáté kapalině.
PŘEHLED&SHRNUTÍ
Elektrický náboj
Elektrická interakce těles (makroskopických i mikroskopických)
je dána jejich elektrickýmnábojem; ten může být kladný nebo zá-
porný. Náboje stejného znaménka se vzájemně odpuzují, náboje
opačného znaménka se přitahují. Těleso se stejným množstvím
obou druhů náboje je elektricky neutrální. Těleso, ve kterém
náboj není v rovnováze, je elektricky nabité.
Vodiče a nevodiče
Vodiče jsou látky, ve kterých se může volně pohybovat velmi
mnoho nabitých částic (elektrony v kovech). V nevodičích (izo-
látorech) se nabité částice nemohou volně pohybovat. Pohy-
bují-li se nabité částice látkou převážně určitým směrem (pro-
bíhá-li usměrněný pohyb nosičů náboje), říkáme, že látkou pro-
téká elektrický proud.
Coulomb a ampér
Jednotkou náb