hrw17

ův teorém cestu ke všem ostatním vl-
nám.
17.9 INTERFERENCEVLN
Předpokládejme,že v téženapnuté struně postupují v sou-
hlasném směru dvě sinusové vlny a že obě mají stejnou
amplitudu a stejnou vlnovou délku. Použijeme princip su-
perpozice.Jakábudevýslednávlna?
Tvar výsledné vlny závisí na tom, do jaké míry jsou
obě výchozí vlny navzájem ve fázi (jak dalece jsou sfá-
zovány). Jinak řečeno, citlivým parametrem je vzájemný
posuv křivek, které představují jednotlivé výchozí vlny.
Nejprve uvažme případ, kdy jsou obě vlny přesně ve fázi.
To znamená, že vrcholy (údolí) první vlny se přesně kryjí
s vrcholy (údolími) vlny druhé. Mezi oběma křivkami vln
není vůbec žádnýposuv. Výchylka každé částice struny je
tedydvojnásobnávporovnánísvýchylkoupřisamostatném
šířeníjenjednézvln.Dáleuvažmeopačnýpřípad:oběvý-
chozívlnymajípřesněopačnoufázi.Toznamená,žepolohy
vrcholů(údolí)jednévlnysepřesněkryjíspolohamiúdolí
(vrcholů) vlny druhé. Křivky vln jsou navzájem posunuty
opolovinuvlnovédélky.Výchylkyodobouvýchozíchvln
senavzájemrušíastrunazůstávápřímá.Tentojevvzájem-
néhozesilováníazeslabovánívlnnazývámeinterference.
Říkáme, že výchozí vlny spolu interferují. (Slovo „inter-
ference“ zde ovšem neznamená, že by se snad obě vlny
navzájem nějak ovlivňovaly; ovlivňují se pouze výchylky
částicstruny, atotak,žesesčítají.)
Nechtquoterightjeprourčitostprvnívlna,postupujícínanapnuté
struně,určenavztahem
y
1
(x,t)=y
m
sin(kx−ωt), (17.38)
zatímcodruhávlna,posunutávzhledemkprvní,vztahem
y
2
(x,t)=y
m
sin(kx−ωt+ϕ). (17.39)
Tyto dvě vlny mají stejnou úhlovou frekvenci ω (a tedy
i stejnou frekvenci f), stejnýúhlovývlnočet k (a tedy
i stejnou vlnovou délku λ) a stejnou amplitudu y
m
.Obě
postupujístejnourychlostí,určenouvrov.(17.24),stejným
směrem, tj. ve směru osy x. Liší se pouze konstantním
úhlemϕ. Říkáme, že tyto dvě vlny jsou navzájem fázově
posunuty oúhelϕ.Jinýmislovy,vlnymají fázový rozdílϕ.
Na základě principu superpozice, vyjádřeného v rov-
nici(17.36),příslušívýslednévlněvýchylka
y
prime
(x,t)=y
1
(x,t)+y
2
(x,t)=
=y
m
sin(kx−ωt)+y
m
sin(kx−ωt+ϕ).
(17.40)
V dodatku E je uveden goniometrickývzorec pro součet
dvou funkcísinusdvoulibovolnýchúhlůαaβ:
sinα+sinβ = 2sin
α+β
2
cos
α−β
2
. (17.41)
Po jehopoužitív rov.(17.40)dostaneme
y
prime
(x,t)=
parenleftbig
2y
m
cos
1
2
ϕ
parenrightbig
sin(kx−ωt+
1
2
ϕ). (17.42)
Výsledná vlna je tedy opět vlna sinusová a postupuje
ve směru osy x. Je to ovšem jediná vlna, kterou lze na
struněskutečněpozorovat(jednotlivékomponenty,určené
v rov.(17.38) a(17.39),již nevidíme).
Interferencí dvou sinusových vln o stejné amplitudě
a stejné vlnové délce, postupujících v napnuté struně
souhlasným směrem, vzniká opět vlna sinusová, postu-
pujícístejnýmsměrem,jakooběvýchozívlny.
Výsledná vlna se od obou výchozích vln liší ve dvou
ohledech: (1) její fáze obsahuje konstantu
1
2
ϕ a (2) její
amplitudajeurčenaveličinouuvedenouvrov.(17.42)vzá-
vorkách:
y
prime
m
= 2y
m
cos
1
2
ϕ. (17.43)
Je-li ϕ = 0rad (neboli 0
◦
), jsou obě výchozí vlny
přesně ve fázi (jako na obr.17.12a). V tomto případě se
rov.(17.42)redukujena
y
prime
(x,t)= 2y
m
sin(kx−ωt) (ϕ= 0rad). (17.44)
Všimněme si, že amplituda výsledné vlny je dvakrát větší
než amplituda každé z výchozích vln. Je to také největší
amplituda, kterou může výsledná vlna vůbec mít. Sku-
tečně, člen s funkcí kosinus v rov.(17.42) a (17.43) má
největší hodnotu (rovnou jedné) pro ϕ = 0. Interference,
která vytváří největší možnou amplitudu, se nazýváúplně
konstruktivní.
17.9 INTERFERENCE VLN 451
(a)
x
y
y
1
(x,t)
y
2
(x,t)
y
prime
(x,t)
(b)
x
y
y
1
(x,t)
y
2
(x,t)
y
prime
(x,t)
Obr.17.12 Na struně postupují souhlasným směrem dvě iden-
tické harmonické vlny y
1
(x,t) a y
2
(x,t). Jejich interferencí
vzniká výsledná vlna y
prime
(x,t). (a) Jsou-li výchozí vlny přesně
vefázi,jejejichinterferenceúplněkonstruktivní: výsledná vlna
má v porovnání s výchozími vlnami dvojnásobnou amplitudu.
(b)Jsou-li výchozívlnypřesněvprotifázi,jejejichinterference
úplně destruktivní: struna přestane kmitat.
Je-li ϕ = D4rad (nebo 180
◦
), jsou obě výchozí vlny
přesně v protifázi (jako na obr.17.12b). V tomto případě
má cos
1
2
ϕ hodnotu cos
1
2
D4 = 0, tj. amplituda výsledné
vlny (rov.(17.43)) je nulová. Pro všechny hodnoty pro-
měnnýchxat potom dostáváme
y
prime
(x,t)= 0 (ϕ= D4rad). (17.45)
Ačkoliv jsme tedy na struně vybudili dvě vlny, struna
nekmitá,zůstává v klidu. Tento typ interference se nazývá
úplnědestruktivní.
Fázovýrozdíl ϕ = 2D4rad (neboli 360
◦
) odpovídá po-
suvu křivek, znázorňujících obě výchozí vlny, o vzdále-
nost jedné vlnové délky. Fázovýrozdíl můžeme tedy také
vyjádřit jako rozdíl dráhový. Přitom je výhodné vyjadřo-
vat dráhovýrozdíl ve vlnových délkách. Například vlny
na obr.17.12b mají dráhovýrozdíl 0,50 vlnových délek.
V tab.17.1 jsou uvedeny některé další příklady fázových
rozdílů a jim odpovídající typ interference. Když daná in-
terference není ani úplně konstruktivní, ani úplně destruk-
tivní, nazýváme jičástečnou. Amplituda výsledné vlny je
vtomto případěvětšínežnulaamenšínež2y
m
.
Dvě vlny se stejnou vlnovou délkou jsou ve fázi, je-li
jejich dráhovýrozdíl nulovýnebo je-li roven celočísel-
nému násobku vlnové délky. Ve výpočtech tedy můžeme
od číselné hodnoty dráhového rozdílu, vyjádřeného ve vl-
nových délkách,odečístlibovolné celé číslo.Například si-
tuacesdráhovýmrozdílem0,40vlnovýchdélekjevevšech
směrechekvivalentnísituacisdráhovýmrozdílem2,40vl-
nových délek. Ve výpočtech tak můžeme použít menšího
zobou čísel.
PŘÍKLAD17.5
Na struně postupují souhlasným směrem dvě identické har-
monické vlny a interferují spolu. Amplitudy y
m
výchozích
vln jsou 9,8mm,jejich fázovýrozdíl je 100
◦
.
(a) Vypočtěte amplitudu y
prime
m
výsledné vlny, vznikající inter-
ferencí obou výchozích vln. K jakému typu interference zde
dochází?
ŘEŠENÍ: Pro výpočet amplitudy použijeme rov.(17.43):
y
prime
m
= 2y
m
cos
1
2
ϕ=
= 2(9,8mm)cos(100
◦
/2)=
= 13mm. (Odpovědquoteright)
Protožefázovýrozdílležímezi0
◦
a180
◦
,jednáseočástečnou
interferenci.
(b) Pro jakýfázovýrozdíl výchozích vln by měla amplituda
výslednévlnyvelikost4,9mm?Výsledekvyjádřetevoblou-
kové míře a poté i pomocí dráhového rozdílu ve vlnových
délkách.
ŘEŠENÍ: Opět vyjdeme z rov.(17.43):
y
prime
m
= 2y
m
cos
1
2
ϕ
neboli
4,9mm= 2(9,8mm)cos
1
2
ϕ.
Pomocí kalkulátoru (přepnutého do módu obloukové míry)
vypočteme
cos
1
2
ϕ=
(4,9mm)
2(9,8mm)
= 0,25,
ϕ=±2,636rad
.
=±2,6rad. (Odpovědquoteright)
Tabulka17.1 Fázovérozdílyajimodpovídajícídruhinterference
a
FÁZOVÝ ROZDÍL FÁZOVÝ ROZDÍL DRÁHOVÝ ROZDÍL AMPLITUDA DRUH
VE STUPNÍCH V RADIÁNECH VE VLN. DÉLKÁCH VÝSLEDNÉ VLNY INTERFERENCE
00 0 2y
m
úplně konstruktivní
120 2D4/30,3y
m
částečná
180 D4 0,50 0 úplně destruktivní
240 4D4/ 67y
m
částečná
360 2D4 1,00 2y
m
úplně konstruktivní
865 15,1 2,40 0,60y
m
částečná
a
Interferujídvěidentickéharmonickévlnyo amplituděy
m
, postupujícísouhlasnýmsměrem.
452 KAPITOLA 17 VLNY — I
Máme zde dvě řešení. První vlna může totiž budquoteright předbíhat
druhou vlnu (postupovat před ní), nebo se za ní zpoždquoterightovat
(běžet za ní). V prvním případě je fázovýrozdíl +2,6rad,
v druhém −2,6rad. Vyjádřeno v dráhovém rozdílu, odstup
vln činí
ϕ
2D4rad·λ
−1
=
±2,636rad
2D4rad·λ
−1
=
=±0,42λ. (Odpovědquoteright)
K
ONTROLA 4: Vyjděte ze znění př.17.5 a uvažte ná-
sledující čtyři dráhové rozdíly mezioběma výchozími
vlnami: 0,20λ,0,45λ,0,60λ a0,80λ. Uspořádejte je
sestupněpodlevelikostiamplitudyvýslednévlny.
17.10 FÁZORY
Vlnu na struně (a obecněji jakoukoliv harmonickou vlnu)
můžeme popsat také vektorově, pomocí fázoru. Fázor je
vektor umístěnýdo počátku souřadnic. Jeho velikost se
rovnáamplituděvlnyaúhlovárychlostjehorotacejerovna
úhlovéfrekvenciωvlny.Tak např.vlnu
y
1
(x,t)=y
m1
sin(kx−ωt) (17.46)
reprezentujefázornaobr.17.13a.Velikostfázorujeampli-
tudavlnyy
m1
.Jakčasplyne,fázorseotáčí,atovzáporném
směru (díky zápornému znaménku u časového členuωt).
Při rotaci fázoru s úhlovou rychlostí ω kolem počátku si
všimněme jeho projekce na svislou osu. Ta se mění sinu-
sově od největší hodnoty y
m1
, přes nulu, až k nejmenší
hodnotě −y
m1
. Její průběh odpovídá sinusovému průběhu
výchylky y
1
(x,t) libovolné částice struny, když přes ni
postupuje vlna. Částice struny má pevnou souřadnici x.
Obdobně lze znázornit průběh vlny v závislosti na x při
danémčaset.
Uvažme obecněji dvě vlny postupující souhlasným
směrem v téže struně. Obě tyto výchozí vlny lze spo-
lečněsvlnouvýslednouznázornitpomocífázorovéhodia-
gramu.Naobr.17.13bvidítedvafázory:jedenpředstavuje
vlnuv rov.(17.46),druhýodpovídávlně
y
2
(x,t)=y
m2
sin(kx−ωt+ϕ). (17.47)
Úhel mezi oběma fázory na obr.17.13b je roven fázové
konstantě ϕ v rov.(17.47). Tento úhel se v čase nemění,
protože oba fázory rotují se stejnou úhlovou rychlostí ω
rovnouúhlovéfrekvenciobou vln.
Oběuvažovanévlnymajístejnýúhlovývlnočet kastej-
nouúhlovoufrekvenciω.Včl.17.9jsmejižstudovalijejich
interferenci.Víme,ževýslednávlnamátvar
y
prime
(x,t)=y
prime
m
sin(kx−ωt+β), (17.48)
(a)
y
1
y
m1
ω
(b)
y
1
y
2
y
m1
y
m2
ϕ
ϕ
ω
(c)
ω
y
1
y
2
y
m1
y
m2
y
prime
m
β
y
prime
Obr.17.13 (a) Fázor velikosti y
m1
, rotující v záporném směru
kolem počátku úhlovou rychlostíω, reprezentuje sinusovou vl-
nu. Jeho projekce y
1
na svislou osu popisuje výchylku částice
struny,přeskterouvlnapostupuje.(b)Druhýfázorvelikosti y
m2
seotáčískonstantnímúhlovýmodstupemϕzaprvním;předsta-
vuje druhou vlnu s fázovou konstantouϕ. (c) Vektorovýsoučet
obou fázorůpředstavuje výslednou vlnu, vznikající interferencí
obou výchozích vln. Jeho velikost jey
prime
m
.Projekcey
prime
součtu na
svislou osu odpovídá výchylce kratičkého úseku struny, kterým
právě procházívýsledná vlna.
kdey
prime
m
jeamplitudavýsledniceaβjejejífázovákonstanta.
Kdybychomchtělivypočítathodnotyveličiny
prime
m
aβ,museli
bychomsečístfunkcivrov.(17.46)sfunkcívrov.(17.47).
To jsmevšakjižvlastněučinilipři odvozenírov.(17.42).
Na druhé straně můžeme výslednou vlnu studovat ve
fázorovém diagramu: v libovolném okamžiku během ro-
tace sestrojíme vektorovýsoučet obou fázorů. Postup je
znázorněnnaobr.17.13c,kdejsmenejprveposunulidruhý
fázorovelikostiy
m2
.Velikostvektorovéhosoučtuserovná
amplituděy
prime
m
vrov.(17.48),úhelmezinímafázorem,který
popisujevlnuy
1
,jerovenfázovékonstantěβvrov.(17.48).
Všimněte si, že na rozdíl od postupu v čl.17.9 umož-
ňují fázory konstrukci výsledné vlny i v případě, kdy jsou
amplitudy výchozích vln rozdílné.
PŘÍKLAD17.6
Na struně postupují souhlasným směrem dvě vlny y
1
(x,t)
ay
2
(x,t). Obě vlny mají stejnou vlnovou délku, jejich am-
plitudy jsou y
m1
= 4,0mmay
m2
= 3,0mm, jejich fázové
konstanty jsou po řadě 0rad a D4/3rad. Určete amplituduy
prime
m
afázovou konstantuβvýsledné vlny.
ŘEŠENÍ: Obě vlny postupují v téže struně. Podle rov-
nice (17.24) tedy postupují stejnou rychlostív. Protože mají
17.11 STOJATÉ VLNY 453
takéstejnouvlnovoudélku(atedyistejnýúhlovývlnočet k),
musímítpodlerov.(17.12)stejnouúhlovoufrekvenciω.Od-
povídající fázory tedy rotují kolem počátku se stejnou úh-
lovou rychlostiω, jak je znázorněno na obr.17.13b. Úhelϕ
mezioběma fázoryje nyní D4/3rad.
(a)
y
m1
y
m2
D4/3
(b)
y
m1
y
m2
y
prime
m
D4/3
y
prime
β
Obr.17.14 Příklad 17.6. (a) Dva fázory o velikostechy
m1
a y
m2
svírají úhel D4/3. (b) Vektorové sčítání těchto fázorů, provedené
vlibovolnémokamžikuběhemjejichrotace,poskytujevelikosty
prime
m
fázoru výslednévlny.
Máme sestrojit vektorovýsoučet obou fázorů, jako na
obr.17.13c. Oba sčítance můžeme nakreslit v libovolném
okamžiku během jejich rotace. Pro zjednodušení vektoro-
vého sčítání bude tedy výhodné, když je nakreslíme jako na
obr.17.14a.Nynífázorysečtemezpůsobem,kterýjeobvyklý
pro sčítání libovolných dvou vektorů (obr.17.14b). Vodo-
rovná složka výsledného fázoruje
y
prime
mv
=y
m1
cos0+y
m2
cosD4/3 =
= 4,0mm+(3,0mm)cosD4/3 =
= 5,50mm.
Svislá složka výsledného fázoruje
y
prime
ms
=y
m1
sin0+y
m2
sinD4/3 =
= 0mm+(3,0mm)sinD4/3 =
= 2,60mm.
Výsledná vlna má tedy amplitudu
y
prime
m
=
radicalbig
(5,50mm)
2
+(2,60mm)
2
=
= 6,1mm (Odpovědquoteright)
ajejí fázová konstanta je
tgβ =
(2,60mm)
(5,50mm)
= 0,473,
β = 0,44rad. (Odpovědquoteright)
17.11 STOJATÉVLNY
V předchozích dvou odstavcích jsme studovali dvě sinu-
sové vlny se stejnou vlnovou délkou a stejnou amplitudou
postupující v napnuté struně souhlasným směrem.Aco
když běží proti sobě? Také v tomto případě použijeme
k nalezení výsledné vlny princip superpozice. Východis-
kem našich úvah bude obr.17.15, kterýznázorňuje danou
situacigraficky.Vidímezdedvěvýchozívlny:ta,kterápo-
stupuje doleva je na obr.17.15a. Proti ní, tj. doprava, běží
vlna na obr.17.15b. Na obr.17.15c vidíme jejich součet,
získanýgrafickyaplikacíprincipusuperpozice.Nápadným
rysem výsledné vlny je existenceurčitých míst podél stru-
ny, ve kterých je struna neustále v klidu. Těmto místům
říkáme uzly vlny. Čtyři takové uzly jsou na obr.17.15c
vyznačenytečkami.Uprostředmezisousednímiuzlysena-
cházejíkmitny; v nichje naopakamplitudavýslednévlny
největší. Vlnu na obr.17.15c nazýváme vlnou stojatou,
protože se nepohybuje doprava ani doleva: polohy nulové
amaximálnívýchylkysevčasenemění.
(a)
(b)
λ
2
λ
2
λ
2
(c) xxxxx
t=0 t=
1
4
Tt=
1
2
Tt=
3
4
Tt=T
Obr.17.15 Vznikstojatévlnyzedvouvlnpostupných.Části(a)a(b)ukazujídvěsériesnímkůdvouvlnostejnéamplituděasestejnouvlnovou
délkou.Vlny běží v opačnýchsměrech a jejichtvary jsou zaznamenányv pěti různých okamžicíchv rozmezí jednéperiody. (c) Superpozice
obou vln v pěti uvedených okamžicích. Všimněte si polohy uzlů a kmiten u výsledné stojaté vlny (c). Uzly jsou označeny černými tečkami.
Vpřípaděpostupnýchvln(a)a (b)žádnéuzlyčikmitnyneexistují.
454 KAPITOLA 17 VLNY — I
Jestliže dvě sinusové vlny o stejné amplitudě a se stej-
nouvlnovoudélkoupostupujívnapnutéstruněopačným
směrem,vznikájejichinterferencístojatávlna.
Nyníbudemestudovatstojatouvlnumatematicky.Dvě
výchozívlny popíšemerovnicemi
y
1
(x,t)=y
m
sin(kx−ωt), (17.49)
y
2
(x,t)=y
m
sin(kx+ωt). (17.50)
Výslednávlnay
prime
jeurčenaprincipemsuperpozice:
y
prime
(x,t)=y
1
(x,t)+y
2
(x,t)=
=y
m
sin(kx−ωt)+y
m
sin(kx+ωt).
Nakonecpoužijemeidentitu(17.41) adostaneme:
y
prime
(x,t)=(2y
m
sinkx)cosωt. (17.51)
Výsledek nemá tvar rov.(17.16) a není to tedy postupná
vlna.Rov.(17.51)popisujevlnustojatou.
Veličina 2y
m
sinkx v první závorce na pravé straně
rov.(17.51) vlastněurčuje amplitudukmitů téčásticestru-
ny, která je umístěna na poloze x. Avšak amplituda musí
být vždy nezáporná a sinkx může být i záporný. Ampli-
tudu kmitů částicev místěxtedy vezmemejako absolutní
hodnotuveličiny2y
m
sinkx.
V případě postupné sinusové vlny máme pro všechny
částice struny jednu a tutéž amplitudu kmitů. Pro stojatou
vlnu to neplatí: amplituda kmitů se mění s polohou.Tak
napříkladustojatévlny,popsanérov.(17.51),jeamplituda
nulová pro všechny částice struny, jejichž polohy splňují
rovnicisinkx= 0,atedytakérovnici
kx=nD4 pron= 1,2,3,…. (17.52)
Když do této rovnice dosadíme k = 2D4/λ a provedeme
malouúpravu,získáme
x=n
λ
2
pron= 1,2,3,… (17.53)
(poloha uzlů).
Tojepodmínkapropolohučásticstrunysnulovouamplitu-
dou—uzlů—vpřípaděstojatévlnypopsanérov.(17.51).
Všimnětesi,žesousedníuzlyjsouvzdálenyoλ/2,tj.opo-
lovinuvlnovédélky,auprostředmezinimi ležíkmitna.
Největšízmožnýchamplitudstojatévlnyvrov.(17.51)
mávelikost2y
m
.Vyskytujeseprotyhodnotykx,prokteré
platí|sinkx|=1.Těmito hodnotamijsou
kx=
1
2
D4,
3
2
D4,
5
2
D4, … =
=
parenleftbig
n+
1
2
parenrightbig
D4 pron= 0,1,2,…. (17.54)
Do rov.(17.54) dosadíme k = 2D4/λ a provedeme malou
úpravu.Tak získámepodmínku
x=
parenleftbigg
n+
1
2
parenrightbigg
λ
2
pron= 0,1,2,… (17.55)
(poloha kmiten).
To je podmínka pro polohu částic struny s maximální am-
plitudou — kmiten — v případě stojaté vlny, popsané
rov.(17.51). Sousední kmitny jsou vzdáleny o polovinu
vlnovédélkyauprostředmezinimi ležíuzel.
Odraznahranici
V napnuté struně lze vytvořit stojatou harmonickou vlnu
také odrazem postupné vlny na konci struny. Dopadající
(původní) vlna a odražená vlna jsou popsány postupně
rov.(17.49) a (17.50). Jejich interferencí vzniká stojatá
vlna.
Obr.17.16ilustrujeodrazvlnynapříkladuodrazujed-
noho postupného pulzu. Na obr.17.16a je struna na svém
levém konci upevněna, a tedy i znehybněna. Pulz, který
zprava dospěje k tomuto konci, působí na stěnu určitou
silou ve směru nahoru. Podle zákona akce a reakce tedy
takéstěnapůsobínaokrajovoučásticistrunystejněvelkou,
ale opačně orientovanou silou. Tato reakční síla vytváří
u stěny novýpulz, kterýpostupuje podél struny od konce
zpátky.Přitakovém„tvrdém“odrazumusímítvlnaustěny
uzel, struna je zde totiž znehybněna upevněním ve stěně.
Výchylkydopadajícíhoaodraženéhopulzumusíbýttěsně
ustěnyopačné,interferencísezdemusínutněvyrušit.Jde-li
o harmonickou vlnu, zjistíme toto: Vlna odražená na pev-
némkoncijev protifázikpřicházejícívlně.
Na obr.17.16b je levýkonec struny připevněn k leh-
kému prstenci, kterýmůže volně a bez tření klouzat po
přímétyči.Dopadajícípulzvytáhnestrunuisprstencemna
tyči směrem nahoru. Struna se přitom na svém konci pro-
dloužíavzniknevnínapětí,kterémánaopaktendencitoto
prodloužení zmenšit: výsledkem je pohyb prstence smě-
rem dolů a tím následnývznik odraženého pulzu, jehož
výchylkajesouhlasněorientovanásvýchylkoupulzudopa-
dajícího.Přitakovém„měkkém“odrazusetedydopadající
a odraženýpulz navzájemzesilujía u konce struny vzniká
kmitna;amplitudavýchylkyprstencejedvojnásobkemam-
plitudy každého z obou pulzů. Jde-li o harmonickou vlnu,
zjistíme toto: Vlna odražená na volném konci je ve fázi
spřicházejícívlnou.
17.12 VLASTNÍ KMITY 455
(a)(b)
Obr.17.16 (a) Zprava nabíhající pulz je na levém konci struny
odražen doprava. Levýkonec je pevně zabudován ve stěně.
Všimnětesi,ževýchylky dopadajícího aodraženéhopulzujsou
u stěny opačné. (b) Levýkonec struny je spojen s prstencem,
kterýmůže volně a bez tření klouzat nahoru a dolů po přímé
tyči. Dopadající a odraženýpulz mají nyní stejně orientované
výchylky.
K
ONTROLA 5: Uvažme interferenci dvou vln stejné
amplitudy a vlnové délky. Výsledná vlna má rov-
nici (1) y
prime
(x,t) = 4sin(5x − 4t),(2)y
prime
(x,t) =
= 4sin(5x)cos(4t)a(3)y
prime
(x,t)= 4sin(5x+4t).
Kteráztěchtorovnicpopisujevýslednouvlnuvsituaci,
kdysevýchozívlnyšíří(a)oběvesměruosyx,(b)obě
protisměruosyxa(c)v opačnýchsměrech?
17.12 VLASTNÍKMITY
Nechmejedenkonecstruny,řekněmelevý,sinusověkmitat
adruhýupevníme.Nastruněbudevlnatedynejprvepostu-
povat ve směru doprava.Její frekvence se rovná frekvenci
kmitůlevéhokonce.Napevnémkoncisevlnaodrazíapo-
stupuje skrze sebe samu zpět doleva. Vlna běžící doprava
avlnaběžícídolevaspoluinterferují.
Pro jisté speciálnífrekvence vznikne díky interferenci
stojatá vlna s uzly a s velkými kmitnami, podobná vl-
nám na obr.17.17. Říkáme jí vlastní neboli rezonanční
kmit struny. Frekvence, při kterých dochází ke vzniku
rezonančních kmitů, nazývámevlastnínebolirezonanční
frekvencestruny. Také říkáme, že při těchto frekvencích
strunarezonuje. Kdyby se frekvence kmitů levého konce
nerovnalaněkterézvlastníchfrekvencí,stojatávlnabyne-
mohla vzniknout. Interference vln postupujících doprava
a doleva by v tomto nepříznivém případě vedla pouze ke
vznikumalých,praktickynepostřehnutelnýchkmitůčástic
struny.
Uvažme nyní podobnou situaci: určitá struna, napří-
klad kytarová, je napnuta mezi dvěma pevnými