hrw17

vlnyv,
se kterou postupuje tvar vlny ve směruosyx.)
ŘEŠENÍ: Naše vlna je určena rov.(17.17). Je tedy jednou
z vln obecně popsaných rov.(17.2):
y(x,t)=y
m
sin(kx−ωt). (17.18)
V této rovnici budeme držet proměnnoux konstantní a bu-
deme sledovat změny výchylky v čase. Pro tuto chvíli je
tedyjedinouproměnnoučast.Vypočtemederivacivýchylky
podle času. Výsledek mátvar*
u=
∂y
∂t
=−ωy
m
cos(kx−ωt). (17.19)
Nyní stačídosadit číselné hodnoty z př.17.1:
u=(−2,72rad·s
−1
)(3,27mm)cos(−35,1855rad)=
= 7,20mm·s
−1
. (Odpovědquoteright)
V čase t = 18,9s se tedy částice struny o souřadnici x =
= 22,5cmpohybuje ve směruosyyrychlostí 7,20mm·s
−1
.
(b)Jaké je příčné zrychleníčásticestruny ouvedené souřad-
nicixa vuvedeném časet?
* Jestliže derivujeme funkci více proměnných podle jedné z nich
aostatníproměnnépokládámezakonstantní,používámetermínupar-
ciálníderivace.Parciálníderivacioznačujemesymbolem∂/∂t.
ŘEŠENÍ: Tentokrátvyjdemezrov.(17.19)abudeme(vtom-
to výpočtu) opět pokládatx za konstantu at za proměnnou.
Parciálníderivacípodle časudostaneme
a
y
=
∂u
∂t
=−ω
2
y
m
sin(kx−ωt).
Avšakposrovnánísrov.(17.18)vidíme,ževýsledekmůžeme
zapsattaké takto:
a
y
=−ω
2
y.
Příčné zrychlení kmitající částice struny je tedy úměrné její
příčnévýchylce,mávšakopačnéznamení.Jinýmislovy,uva-
žovanáčásticestrunyvykonáváharmonickýpohybvpříčném
směru.Podosazení číselných hodnot dostaneme
a
y
=−(2,72rad·s
−1
)
2
(1,92mm)=
=−14,2mm·s
−2
. (Odpovědquoteright)
V čase t = 18,9s je tedy částice struny o souřadnici x =
= 22,5cm vysunuta z rovnovážné polohy y = 0vesměru
osyy o1,92mm a má zrychlení o velikosti 14,2mm·s
−2
ve
směruopačném kosey.
K
ONTROLA 2: Uvažte tři vlny, popsané rovnicemi
(1)y(x,t)= 2sin(4x−2t),(2)y(x,t)= sin(3x−4t)
a(3)y(x,t)= 2sin(3x−3t).Uspořádejtetytovlnyve
vzestupném smyslu (a) podle rychlosti vlny, (b) podle
největšípříčnérychlostikmitajícíchčástic.
RADYANÁMĚTY
Bod17.1: Vyčíslení velkých fází
Za určitých okolností, jako třeba v př.17.1d a 17.2, stojíme
předúkolemvyčíslitfunkcisinusnebokosinusproargument,
kterýje mnohem větší než 2 D4rad (mnohem větší než 360
◦
).
Kdyžkargumentupřidámeneboodnějodečtemeceločíselný
násobek2D4rad,nezměnísefunkčníhodnotagoniometrických
funkcí. Tak třeba v př.17.1d vystupuje úhel −35,1855rad.
Když ktomuto úhlu přičteme(6)(2D4rad),dostaneme
−35,1855rad+(6)(2D4rad)= 2,51361rad.
Tento úhel je již menší než 2D4rad, přitom je pro něj hod-
nota goniometrických funkcí stejná jako pro původní úhel
−35,1855rad (obr.17.6). Například sinus úhlu 2,51361rad
isinus úhlu−35,1855radmajístejnou hodnotu 0,588.
Kapesní kalkulátor provádí popsanou redukci velkých
úhlů zcela automaticky. Ale pozor: před vyčíslením gonio-
metrických funkcí velké argumenty nezaokrouhlujte. Když
totižpočítátesinusvelkéhoúhlu,velkoučástargumentu(pří-
slušnou celočíselnému násobku 2D4rad) odhodíte a pak po-
čítáte sinus toho, co zbývá. Například kdybyste zaokrouhlili
17.6 RYCHLOST VLNY NA STRUNĚ 445
−35,1855rad na −35rad (to je při normálním zaokrouhlo-
vání rozumné, vzniklá změna představuje 0,5% z původní
hodnoty), změnili bychom sinus původního úhlu o 27%.
Stejně tak, když převádíte velkýúhel ze stupňů na radiány,
použijte přesnýpřevodní faktor (tj. například 180
◦
= D4rad).
Vyhněte se přiblížení typu 57,3
◦
.
= 1rad.
xx
yy
−35,1855rad +2,513,61rad
Obr.17.6 Tyto dva úhly jsou různé, ale jejich goniometrické
funkcese shodují.
17.6 RYCHLOSTVLNYNASTRUNĚ
Rov.(17.12)udávásouvislostrychlostivlnysvlnovoudél-
kou a s frekvencí. Z fyzikálního hlediska je však rychlost
vlny určena vlastnostmi látky,vekterésevlnašíří.Má-lise
totižvlnašířitvevodě,vevzduchu,vocelinebonanapnuté
struně, musí se při jejím postupu částice daného prostředí
rozkmitat.Ktomumusíprostředívykazovatjaksetrvačnost
(aby mohlo být nositelem kinetické energie), tak pružnost
(aby na sebe mohlo vázat energii potenciální). Tyto dvě
vlastnostinakonecurčují,jakrychlebudevlnadanoulátkou
postupovat.Jinýmislovy,rychlostvlnybymělobýtmožné
vypočítat na základě znalosti vlastností prostředí, kterým
se vlna šíří. Tento výpočet nyní provedeme pro napnutou
strunu.Budemepřitom postupovatdvěmazpůsoby.
Rozměrováanalýza
Přirozměrovéanalýzepečlivězkoumámerozměryfyzikál-
ních veličin, které se mohou v dané situaci uplatnit (resp.
jejichjednotky).Vnašempřípaděhledámerychlostvlnyv.
Jejífyzikálnírozměrjetvořenpodílemfyzikálníchrozměrů
délkyačasu,jednotkoujetedy m·s
−1
.
Setrvačná tendence určitého úseku napnuté struny je
určenahmotnostítohotoúseku.Rozhodujícímparametrem
je zde podíl hmotnosti struny m a její délky l. Tento po-
dílnazývámedélkovouhustotoustrunyaoznačímejejµ.
Mámetedyµ=m/lafyzikálnírozměrtétoveličinyjepo-
díl fyzikálních rozměrů hmotnosti a délky, tedy jednotkou
je kg·m
−1
.
Má-lisenastruněšířitvlna,nestačístrunupouzenapří-
mit. Musíme ji navíc napnout, tj. vytvořit v ní napětí. Na-
pětívytvářísílupůsobícíprotipříčnévýchylcejednotlivých
úsekůstruny.Fyzikálníveličinou,kterápředstavujepružný
aspekt při kmitání jednotlivých úseků struny, je tedy síla
napínající strunu a její jednotkou je kg·m·s
−2
(vzpomeňte
naF =ma).
Naším úkolem je nyní zkombinovat µ (jednotka
kg·m
−1
)aτ(jednotka kg·m·s
−2
)takovýmzpůsobem,aby-
chom získaliv (jednotka m·s
−1
). Když trochu probereme
možnékombinace,dospějemenakoneckvýrazu
v=C
radicalbigg
τ
µ
, (17.20)
vekterémjeCbezrozměrovákonstanta.Právězdejeslabé
místo rozměrové analýzy:v jejím rámci zůstávákonkrétní
hodnotatakovétobezrozměrovékonstantyneurčena.Vprů-
běhu druhého odvození vztahu pro rychlost vlny uvidíme,
žerov.(17.20) jeskutečněsprávná;navíczískámeC= 1.
OdvozenízdruhéhoNewtonovazákona
Místo sinusové vlny na obr.17.1b se nyní zaměříme na
jeden symetrickýpulz, znázorněnýna obr.17.7. Pro větší
pohodlí zvolíme vztažnou soustavu, ve které se tento pulz
nepohybuje. Jinak řečeno, poběžíme společně s pulzem,
a tak jej budeme mít stále před očima. V naší soustavě
budemevidětstrunuubíhajícídozadu,přesnějinaobr.17.7
zpravadoleva,rychlostív.
v
OR
FSFS
θ
θ
Delta1l
Obr.17.7 Symetrickýpulz pozorujeme ve vztažné soustavě,
která se pohybuje společně s pulzem. V této soustavě pulz stojí
a struna se pohybuje zprava doleva rychlostív. Při výpočtu vl-
novérychlostivvyjdemezdruhéhoNewtonovazákona.Přísluš-
nou pohybovou rovnici aplikujeme na elementární úsek struny
délkyDelta1l, kterýse právě nacházína temenipulzu.
Uvažme malýúsek struny délky Delta1l. V okamžiku za-
chyceném na obr.17.7 vytváří tento úsek kruhovýoblouk
na kružnici o poloměruR. Na obou koncích úseku působí
sílavesměrutečnykekřivcepulzu.Velikostiobousiljsou
rovnyvelikostiτ napětívestruně.Jejichvodorovnésložky
se ruší, avšak svislé složky se sčítají. Celkově tak na daný
446 KAPITOLA 17 VLNY — I
úsekpůsobívratnásíla F o velikosti
F = 2τsinθ ≈τ(2θ)=τ
Delta1l
R
(síla). (17.21)
Použili jsme zde aproximaci sinθ ≈ θ, platnou pro malý
úhelθ na obr.17.7. Z obrázku také vidíme, že platí 2θ =
=Delta1l/R.
Hmotnostuvažovanéhoúsekučiní
Delta1m=µDelta1l (hmotnost). (17.22)
Vokamžiku,kterýjezachycennaobr.17.7,seúsek Delta1l
pohybuje rychlostí v po obvodu kružnice o poloměru R.
Musímutedybýtudílenodostředivézrychlení.Směrzrych-
lenísouhlasísesměremvratnésíly F, jehovelikostčiní
a=
v
2
R
(zrychlení). (17.23)
Rov.(17.21),(17.22)a(17.23)popisujíveličiny,kteréjsou
vázánydruhým Newtonovýmzákonem
síla = (hmotnost)·(zrychlení).
Po dosazenítak získávámerovnici
τ
Delta1l
R
=(µDelta1l)
parenleftbigg
v
2
R
parenrightbigg
.
Jejím řešením pro neznámou rychlost vlnyv nakonec do-
staneme
v=
radicalbigg
τ
µ
(rychlost vlny na struně), (17.24)
což přesně souhlasí s rov.(17.20), pokud je konstanta C
v rov.(17.20) rovna jedné. Rov.(17.24) tedy určuje rych-
lost pulzu na obr.17.7, a tím ovšem i rychlost jakékoliv
jiné postupné vlny na stejné struně (stejné µ), podrobené
stejnémunapětí(stejnéτ).
V případě sinusových vln nám rov.(17.24) říká, že
rychlost vlny na ideální napnuté struně závisí pouze na
parametrech struny, nikoliv na frekvenci vlny. Frekvence
vlnyjeurčenavýhradnězpůsobem,kterýmvlnuvybudíme
(napříkladosobounaobr.17.1b).Jakvyplývázrov.(17.12),
rychlostí vlny a frekvencí je již pevně nastavena vlnová
délka:λ=v/f.
K
ONTROLA 3: Na obrázku jsou znázorněna dvě uspo-
řádání,vekterýchje napětínastejnéstruněvytvořeno
tíhou závaží o hmotnosti 5kg. V kterém případě bude
rychlostvlny,postupujícívestruně,větší?
(a)(b)
PŘÍKLAD17.3
Na obr.17.8 se poraněnýhorolezec zavěsil na vyproštquoterightovací
lano,spuštěnéjehozachráncem.Lanomezihorolezcemaza-
chráncemjesloženozedvouúseků:vprvnímúsekudélkyl
1
málanodélkovouhustotuµ
1
,vdruhémúsekudélkyl
2
= 2l
1
hustotuµ
2
= 4µ
1
.Vurčitémokamžikuškubnulhorolezecza
spodníkoneclana(chtělvyslatsignál„připraven“).Vtomtéž
okamžiku škubnul za horní konec lana zachránce.
uzel
l
1
l
2
µ
1
µ
2
Obr.17.8 Příklad 17.3. Poraněnýhorolezec visí na laně, které se
skládázedvouúseků.Horníkoneclanapevnědržíjehozachránce.
(a) Vyjádřete rychlostv
1
vzniklých pulzů v úseku 1 pomocí
jejichrychlostiv
2
vúseku 2.
ŘEŠENÍ: Předněbudemepředpokládat,žesoučethmotností
obou úseků lana je zanedbatelnýv porovnání s hmotností
horolezce.Napětívlanějetedyurčenopouzetíhouhorolezce
ajeshodnévobouúsecíchlana.Podlerov.(17.24)jsouvlnové
rychlosti vjednotlivých úsecích lana určeny vztahy
v
1
=
radicalbigg
τ
µ
1
a v
2
=
radicalbigg
τ
µ
2
. (17.25)
První výraz dělíme druhým a dosadíme µ
2
= 4µ
1
.Takto
17.7 ENERGIE A VÝKON VLNY 447
získáme
v
1
v
2
=
radicalbigg
τ
µ
1
radicalbigg
µ
2
τ
=
radicalbigg
µ
2
µ
1
=
radicalBigg
4µ
1
µ
1
= 2
neboli
v
1
= 2v
2
.(Odpovědquoteright) (17.26)
(b) V jaké vzdálenosti od zachránce se oba pulzy setkají?
Vyjádřete hledanou vzdálenost pomocí délkyl
2
.
ŘEŠENÍ: Pro zjednodušení dalšího výpočtu nejprve roz-
hodneme, zda místo setkání pulzů leží nad uzlem nebo pod
ním.Označmetdobuodvysláníoboupulzůkjejichsetkání.
Z rov.(17.26) již víme, že pulz horolezce postupuje prvním
úsekemlanarychlostídvakrátvětší,nežjerychlostpulzuza-
chránce při postupu druhým úsekem. Protože platíl
2
= 2l
1
,
vímetaké,žepulzhorolezcemusíproběhnoutkuzludvakrát
menší dráhu, než pulz zachránce. Celkově tedy pulz horo-
lezce dospěje k uzlu jako první a místo setkání obou pulzů
ležínutněnaduzlem.Označmesymbolemdvzdálenostmísta
setkání obou pulzů od zachránce. K tomuto místu běží oba
pulzy po dobut.
Pulz zachránce tedy postupuje dolů k místu setkání rych-
lostív
2
po dobut a proběhne vzdálenostd. Platí
t =
d
v
2
. (17.27)
Pulz horolezce proběhne nahoru nejprve vzdálenostl
1
rych-
lostív
1
apotomještěvzdálenostl
2
−drychlostív
2
.Celková
doba jeho pohybu k místu setkání je takét. Mámetedy
t =
l
1
v
1
+
l
2
−d
v
2
. (17.28)
Do této rovnice nyní dosadíme dobu t, vypočtenou v rov-
nici (17.27):
d
v
2
=
l
1
v
1
+
l
2
−d
v
2
.
Dále položímel
1
=l
2
/2av
1
= 2v
2
:
d
v
2
=
l
2
/2
2v
2
+
l
2
−d
v
2
.
Po vynásobení obou stran poslední rovnice rychlostí v
2
ji
nakonecsnadnovyřešímevzhledemkhledanévzdálenostid.
Výsledek je
d =
5
8
l
2
. (Odpovědquoteright)
17.7 ENERGIEAVÝKONVLNY
K tomu, aby se na napnuté struně vytvořila vlna, je nutno
struně dodat určitou energii, spojenou s pohybem struny.
Připohybuodnášívlnatutoenergiidále.Přenášípřitomjak
energiikinetickou,takpotenciálníenergiipružnosti.Zamě-
římeseodděleněnakaždouztěchtodvou foremenergie.
Kinetickáenergie
Obecnýelementární úsek struny má hmotnost d m apři
postupuvlnyvykonáváharmonickýpohybvpříčnémsmě-
ru. Má tedy kinetickou energii, spojenou se svou příčnou
rychlostí u. Když tento úsek právě probíhá polohouy = 0
(obr.17.9),jejehopříčnárychlost—atedyijehokinetická
energie—největší.Kdyžseprávěnacházívbodechobratu
y=±y
m
,jejehopříčnárychlost—atedyijehokinetická
energie— nulová.
0
y
y
m
λ
a
b
dx dx
t=0
x
v
Obr.17.9 Snímek zachycuje postupnou vlnu na struně v ča-
se t = 0. Elementární úsek struny a má v tomto okamžiku
výchylku y = y
m
, zatímco úsek b má výchylku y = 0. Kine-
tickáenergiejednotlivýchúsekůzávisínajejichpříčnérychlosti.
Potenciální energie úseků závisí na velikosti jejich protažení,
nutného k deformacistruny do tvaru vlny.
Potenciálníenergiepružnosti
K tomu, abychom mohli na struně vybudit vlnu, je nutno
strunu nejen napřímit, ale poté také napnout. Když potom
úseknapnutéstrunydélkydxzačnekmitatvpříčnémsmě-
ru,jetonutněspojenosperiodickýmizměnamijehodélky.
Střídavá prodloužení a zkrácení daného úseku jsou nutná
k tomu, aby se struna zformovala do sinusoidy. Podobně
jako u pružiny je právě s těmito délkovými změnami spo-
jenapotenciálníenergiepružnosti.
Uvažmeúsekstruny,kterýseprávěnacházívokrajové
poloze y = y
m
(obr.17.9, úsek a). Jeho okamžitá délka
je rovna původní délce, jakou měl u napnuté a nekmitající
struny. Jeho potenciální energie je tedy nulová. Naopak,
úsekbprávěprobíhápolohouy= 0ajehookamžitádélka
jenejvětší.Proto mátakénejvětšípotenciálníenergii.
V poloze y = 0 má tedy kmitající úsek největší jak
kinetickou, tak potenciální energii. Na obr.17.9 je uveden
snímek struny: oblasti struny s největší výchylkou mají
nulovou energii, oblasti s nulovou výchylkou mají ener-
gii největší. Postupující vlna přenáší energii z těch úseků
struny,kdejejí nadbytek,do oblastíbezenergie.
448 KAPITOLA 17 VLNY — I
Přenášenývýkon
KinetickáenergiedE
k
,spojenásúsekemstrunyhmotnosti
dm,jeurčenavztahem
dE
k
=
1
2
dmu
2
, (17.29)
kde u je příčná rychlost při kmitání uvažovaného úseku.
Vrov.(17.19)jsmetutorychlostvyjádřili vetvaru
u=
∂y
∂t
=−ωy
m
cos(kx−ωt). (17.30)
Tento výsledek použijeme nyní v rov.(17.29) a současně
dosadímedm=µdx:
dE
k
=
1
2
(µdx)(−ωy
m
)
2
cos
2
(kx−ωt). (17.31)
Průměrnou kinetickou energii připadající na jednotkovou
délkustrunyvypočtemeintegrací:
E
k
=
1
λ
integraldisplay
λ
0
dE
k
. (17.32)
Dosazením(17.31) do(17.32) dostaneme
E
k
=
1
4
µvω
2
y
2
m
. (17.33)
Podél struny ovšem postupuje také potenciální ener-
gie pružnosti. Při jejím přenosu má průměrná potenciální
energie stejnou velikost jako energie kinetická, tedy veli-
kost určenou v rov.(17.33). Důkaz tohoto tvrzení zde ne-
uvádíme. Avšak měli bychom si vybavit obdobnou situaci
u kmitajících systémů, jako je například kyvadlo nebo zá-
važí zavěšené na pružině. U nich jsme skutečně dokázali,
že (časově) střední kinetická energie a střední potenciální
energiepružnostijsousirovny.
Střednívýkon přenášenývlnou je roven energii pře-
nesené strunou za jednotku času (je to součet kinetické
a potenciální energie připadající na takovou délku struny,
kteráječíselněrovnarychlostivlnyv):
P =(E
k
+E
p
)v= 2E
k
v. (17.34)
Použijeme-livýsledkuv rov.(17.33),dostaneme
P =
1
2
µvω
2
y
2
m
(střední výkon). (17.35)
V tomto výsledném vztahu jsou konstanty µ a v určeny
látkou, ze které je struna vyrobena, a napětím, které jsme
v ní vyvolali. Veličinyω ay
m
jsou naopak určeny proce-
sem,kterýmjsmedanévlněnívybudili.Závisloststředního
výkonu vlny na čtverci její amplitudy a také na čtverci
jejíúhlovéfrekvencepředstavujeobecnýzávěr,platnýpro
všechnydruhy vln.
PŘÍKLAD17.4
Struna má délkovou hustotu µ = 525g·m
−1
a je v ní vy-
voláno napětí τ = 45N. Na struně postupuje vlna, jejíž
frekvencef a amplituday
m
mají postupně hodnoty 120Hz
a8,5mm.Jakýje výkon přenášenývlnou?
ŘEŠENÍ: Chceme-lipronalezeníP použítrov.(17.35),mu-
síme nejprve získat úhlovou frekvenciω a rychlost vlny v.
Zrov.(17.9) dostaneme
ω= 2D4f = 2D4(120Hz)= 754rad·s
−1
.
Vdalším kroku získáme zrov.(17.24)
v=
radicalbigg
τ
µ
=
radicalBigg
(45N)
(0,525kg·m
−1
)
= 9,26m·s
−1
.
Nyní již rov.(17.35) dává
P =
1
2
µvω
2
y
2
m
=
=
1
2
(0,525kg·m
−1
)(9,26m·s
−1
)·
·(754rad·s
−1
)
2
(0,0085m)
2
=
= 100W. (Odpovědquoteright)
17.8 PRINCIPSUPERPOZICE
Častopostupujíurčitouoblastíprostorusoučasnědvěnebo
vícevln.Kdyžnapříkladposlouchámekoncert,dopadajína
naše ušní bubínky současně zvuky mnoha nástrojů. V an-
téně rádia nebo v televizní anténě je pohyb elektronů vý-
sledkem působení celé řady signálů různých vysílačů. Na
jezeře nebo v kotvišti je voda rozčeřena vlnami, běžícími
od mnohačlunů.
Předpokládejme, že v téže struně postupují současně
dvěvlny.Označmey
1
(x,t)(resp.y
2
(x,t))výchylkyčástic
struny, jestliže v ní postupuje jen první (resp. jen druhá)
vlna. Při současném šíření obou vln jsou výchylky částic
určenyvztahem
y
prime
(x,t)=y
1
(x,t)+y
2
(x,t), (17.36)
ve kterém znamení plus představuje algebraickýsoučet.
Sčítánívýchylekpodélstrunyznamená:
U překrývajících se vln se výchylky algebraicky sčítají
avytvářejíjednu výslednouvlnu.
Mámezdedalšípříkladprincipusuperpozice.Uplat-
ňuje se v situacích, kdy současně působí několik vlivů
17.8 PRINCIP SUPERPOZICE 449
a tvrdí, že výsledný jev je součtem jevů, vyvolaných in-
dividuálnějednotlivýmivlivy.*
Na obr.17.10 vidíme sérii pěti snímků dvou pulzů,
postupujících opačným směrem na téže struně. Když se
překrývají (když sebou probíhají), je výsledný pulz roven
součtu obou pulzů. Navíc, každýz obou výchozích pulzů
probíhádruhým,jakoby tendruhý vůbecneexistoval:
Překrývající se vlny se při svém postupu navzájem
neovlivňují.
Obr.17.10 Série pěti snímků dvou pulzů, postupujících na na-
pnutéstruněvopačnémsměru.Pokudseboupulzyprávěprobí-
hají, použijeme princip superpozice.
Fourierovaanalýza
FrancouzskýmatematikJeanBaptisteFourier(1786–1830)
použil princip superpozice ke studiu vln obecného tvaru.
Ukázal, že vlnu libovolného tvaru lze vyjádřit ve tvaru
součtuvelkéhopočtusinusovýchvln.Stačíjenpečlivězvo-
litjejichfrekvence,amplitudyafázovékonstanty.Dobřeto
vyjádřilanglickýfyzikSir JamesJeans:
(Fourierův) teorém říká, že libovolnou křivku, atquoteright už
jsou její vlastnosti jakékoliv nebo atquoteright už byla získána
* Neplatil by např., kdyby výchylka vlny byla příliš velká, takže
bychompřekročilimez pružnostiprostředí.
jakýmkoliv způsobem, lze přesně reprodukovat tím,
že složíme dostatečnýpočet jednoduchých harmonic-
kých(tj.sinusových)křivek—stručněřečeno,každou
křivkulzepostavit,kdyžnasebenaskládámesinusové
vlny.
Součty tohoto druhu se nazývají Fourierovy řady;na
obr.17.11 vidíte jeden konkrétní příklad. Uvažme po čás-
techlineárníkřivkunaobr.17.11a(profilpily).Řekněme,že
právětatokřivkapředstavuječasovouzměnuvýchylkyy(t)
(a)
t
y
0
T
1
2
−
1
2
(b)
y
t
T
0
1
4
−
1
4
−
1
D4
sinωt
−
1
2D4
sin2ωt
−
1
3D4
sin3ωt
−
1
4D4
sin4ωt
−
1
5D4
sin5ωt
−
1
6D4
sin6ωt
Obr.17.11 (a) Čárkovaná zubatá křivka (profil pily) je aproxi-
mována zelenou křivkou, která vznikla součtem prvních šesti
členů v rov.(17.37). (Kdybychom sečetli více prvních členů,
byla by aproximace přesnější.) (b) Prvních šest členů na pravé
straně v rov.(17.37) je zobrazeno jako šest jednotlivých křivek.
Každáznichjesinusová.
(v poloze x = 0) při postupu jisté vlny. Lze ukázat, že
Fourierova řada, která reprodukuje tento průběh y(t),má
tvar
y(t)=−
1
D4
sin(ωt)−
1
2D4
sin(2ωt)−
1
3D4
sin(3ωt)−…,
(17.37)
kdeω= 2D4/T aT jeperiodazubatékřivky.Zelenákřivka
na obr.17.11a představuje součet prvních šesti členů na
450 KAPITOLA 17 VLNY — I
pravé straně rov.(17.37). Vidíme již docela dobrou shodu
s průběhem y(t). Obr.17.11b ukazuje odděleně závislost
uvedených šesti členů na čase.Kdybychom vzali více čle-
nů, mohli bychom profil pily reprodukovat s libovolnou
přesností. Obdobně jako tento časový průběh lze i prosto-
rový průběhsložitzesinusovýchvln.
Tedquoteright je pochopitelné, proč jsme věnovali tolik pozor-
nosti právě vlnám sinusovým. Když jim totiž rozumíme,
otevře nám Fourier